1
目 录
考前预测篇
【考前预测篇 1】热点试题精做……………………………………………………………………01
【考前预测篇 2】命题专家押题……………………………………………………………………19
命题猜想篇
【高考命题猜想 1】与平面向量中有关的范围和最值问题………………………………………26
【高考命题猜想 2】零点问题……………………………………...........................……………….31
【高考命题猜想 3】解三角形的最值问题…………………………………………………………37
考前技巧篇
【考前技能篇 1】高考数学核心考点解题方法与策略……………………………………………42
【考前技能篇 2】高考数学三种题型的答题技巧…………………………………………………48
【考前技能篇 3】数学解答题的“偷分”技巧…………………………………………………………….54
考前提醒篇
【考场注意篇 1】高考数学临场解题策略……………………………………………………………59
【考场注意篇 2】高考数学阅卷和答题卡的注意事项……………………………………………64
考后心理篇
【考后调整篇】高考考后那些事…………………………………………………………………71
终极押题
2021 年高考数学（理）终极押题卷（试卷）.................................................................................80
2021 年高考数学（文）终极押题卷（试卷）.................................................................................86
2021 年（新高考）数学终极押题卷（试卷）.................................................................................92
2021 年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）.........................................................................98
2021 年高考数学（文）终极押题卷（全解全析）.......................................................................108
2021 年新高考数学终极押题卷（全解全析）...............................................................................117
第 1 页 共 78 页
一、考前预测篇
【考前预测篇 1】热点试题精做
1．（2021.高三第二次月考）已知集合 4A x x a ，
3 0B x x x ， 0 2A B x x ，则 a （ ）
A． 2 B．0 C．2 D．4
【答案】A
【详解】由题意， 4A x x a ， 0 3B x x ，又 0 2A B x x ，故
4 2a ，得 2a ，故选：A．
2．(2021.云南师范大学附属中学第四次高考适应性月考)已知集合 A＝{1，2，3，4，5}，集
合 B＝{x| 2 4x }，则 A∩B 中元素的个数为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为 {1 2 3 4 5}A ， ， ， ， ， { | 2 2}B x x ≤ ≤ ，所以 {1 2}A B ， ， A B 中含有
两个元素，故选：C．
3．(2021.陕西省高三下学期第二次模拟考试)设 ， 是两平面，a ，b 是两直线．下
列说法正确的是（ ）
①若 // , //a b a c ，则 //b c
②若 a ，b ，则 //a b
③若 a ， a ，则 //
④若 a ， b ， a ， a b
r r ，则 a
A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】由平行公理知①对，
垂直于同一平面的两条直线平行，故②对，
第 2 页 共 78 页
垂直于同一直线的两个平面平行，故③对，
由面面垂直性质定理知④对．
故选：D．
4．（2021·高三第二次模拟）函数
2
2
2
2( 1) ln 2( 1)
xy x x
的部分图象
是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数
2
2
2
21 ln
2 1
xy x
x
是偶函数，排除 AD;
且
2
2 2
2
22( 1) 2, 02( 1)
xx x x
当 0 1 , 0, 1 0.x y x y 时 当 时， 排除 B,选 C．
5．（2021.高三第二次月考）已知函数 f x 是定义域为 R 的偶函数，
当 0x 时， 2 2f x x x ，则 0xf x 的解集为（ ）
A． 2,0 0,2 B． 2,0 2,
C． , 2 0,2 D． , 2 2,
【答案】B
【解析】
∵ ( )f x 是定义域为 R 的偶函数，当 0x 时， 2 2f x x x
∴当 0x 时， 0x ，所以 2 2( ) ( ) ( ) 2 2f x f x x x x x .
第 3 页 共 78 页
3 2
3 2
2 , 0
2 , 0
x x xxf x
x x x
，故 0xf x ，分别求解，
3 22 0
0
x x
x
或
3 22 0
0
x x
x
即可得解为 2,0 2, ，故选：B．
6．(2021.宁夏高三第六次月考)已知函数 2( ) lnxf x e x x 与函数
2( ) 2xg x e x ax 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． ( , ]e B． ( , 1] C． 1( , ]2
D． 1( , ]e
【答案】B
【解析】由 22xg x e x ax 得： 22xg x e x ax
由题意可知 f x g x 在 0,x 上有解
即： ln xx a x
在 0,x 上有解
即 y x a 与 ln xy x
在 0, 上有交点
ln xy x
2
1 ln xy x
0,x e 时， 0y ，则 ln xy x
单调递增； ,x e ， 0y ，则 ln xy x
单调递
减
当 x e 时，取极大值为： 1
e
函数 y x a 与 ln xy x
的图象如下图所示：
当 y x a 与 ln xy x
相切时，即 2
1 ln 1x
x
时， 1x
切点为 1,0 ，则 0 1 1a
若 y x a 与 ln xy x
在 0, 上有交点，只需 1a
第 4 页 共 78 页
即： , 1a
本题正确选项： B
7．(2021.云南师大附中高三高考适应性月考卷（五）)已知函数 f（x）＝cosx，若 x1，
2 ,0 0,4 4x 时，有 1 2
2 2
2 1
( ) ( )f x f x
x x
，则（ ）
A．x1＞x2 B．x1＜x2 C． 2 2
1 2x x D． 2 2
1 2x x
【答案】D
【解析】因为 1 2 0x x ，所以 2 21 2
1 1 2 22 2
2 1
( ) ( ) ( ) ( )f x f x x f x x f xx x
，令 2 2( ) ( ) cosg x x f x x x ，
则 ( )g x 为偶函数．当 π0 4x
， 时， 2( ) 2 cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x ，令
( ) 2cosh x x sinx x ，则 ( ) 3sin cosh x x x x ，则 ( ) 0h x 在 π0 4
， 上恒成立，所以
( )h x 在 π0 4
， 上单调递减，又 π π 22 04 4 2h
，所以 ( ) 0g x 在 π0 4x
， 上恒
成立，所以 ( )g x 在 π0 4
， 上单调递增．再结合 ( )g x 为偶函数，从而当 1x ，
2
π π0 04 4x ， ， 且 1( )g x 2( )g x 时必有 1 2| | | |x x ，即 2 2
1 2x x .
故选：D
8．（2021·全国高三其他模拟）教育改革的核心是课程改革，新课程改革的核心理念就是教
育以人为本，即一切为了每一位学生的发展．为满足新课程的三维目标要求，某校开设 A 类
选修课 4 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中至少选一门，
则不同的选法共有（ ）
A．24 种 B．48 种 C．32 种 D．64 种
【答案】B
【解析】分两种情况：第一种，选择 1 门 A 类选修课和 2 门 B 类选修课，有 1 2
4 4C C 24 种
选法；
第二种，选择 2 门 A 选修课和 1 门 B 类选修课，有 2 1
4 4C C 24 种选法，
故共有 48 种选法．
故选：B
第 5 页 共 78 页
9．（2021·北京房山区·高三一模）“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人
均收入持续增长.下面散点图反映了 2016-2020 年我国居民人均可支配收入(单位：元)情况.
根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．2016-2020 年，全国居民人均可支配收入每年都超过 20000 元
B．2017-2020 年，全国居民人均可支配收入均逐年增加
C．根据图中数据估计，2015 年全国居民人均可支配收入可能高于 20000 元
D．根据图中数据预测，2021 年全国居民人均可支配收入一定大于 30000 元
【答案】D
【解析】A：由散点图可知：2016-2020 年，全国居民人均可支配收入每年都超过 20000 元，
所以本判断正确；
B：由散点图可知：2017-2020 年，全国居民人均可支配收入均逐年增加，所以本判断正确；
C：根据图中数据估计，2015 年全国居民人均可支配收入可能高于 20000 元，所以本判断正
确；
D：根据图中数据预测，2021 年全国居民人均可支配收入有可能大于 30000 元，不是一定大
于 30000 元，所以本判断不正确，故选：D．
10．（2021·天津红桥区·高三一模）某校对高三年级 800 名学生的数学成绩进行统计分析.
全年级同学的成绩全部介于 80 分与 150 分之间，将他们的成绩按照[80,90) ，[90,100) ，
[100,110) ，[110,120) ，[120,130) ，[130,140) ，[140,150]分组，整理得到如下频率分布直
方图，则成绩在[120,130) 内的学生人数为（ ）
第 6 页 共 78 页
A．200 B．240 C．360 D．280
【答案】B
【解析】从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取 800 名同学的试卷进行分析, 则从
成绩在 [120,130) 内的学生中抽取的人数为：
800 [1 (0.005 0.010 0.010 0.015 0.025 0.005) 10] 240
故选：B
11．（2021·辽宁高三二模（文））已知向量 a 、b 满足 1a ， 2b ， 1a b ，则 2a b
（ ）
A．2 B． 2 2 C． 2 3 D． 2 5
【答案】C
【解析】 22
2 2
24 4 1 4 1| 2 | | 2 | 4 2 2 3a b a b a a b b
故选：C．
12．（2021·北京西城区·高三一模）在 ABC 中， 90 , 4, 3C AC BC ，点 P 是 AB
的中点，则CB CP （ ）
A． 9
4 B．4 C． 9
2 D．6
【答案】C
【解析】解：如图建立平面直角坐标系，则 4,0A ， 0,3B ， 0,0C ， 32, 2P
所以 0,3CB ， 32, 2CP
，所以 3 90 2 3 2 2CB CP ，故选：C
第 7 页 共 78 页
13．（2021·安徽合肥市·高三二模（文））如图，在 ABC 中，D，E是AB边上两点， 2BM MC ，
且 BDM ， EDM△ ， AEM△ ， ACM△ 的面积成等差数列.若在 ABC 内随机取一点，
则该点取自 AEM△ 的概率是（ ）
A． 5
18 B． 2
9 C． 1
6 D． 1
9
【答案】A
【解析】因为 2BM MC ，所以 2BM MC ， 2ABM ACMS S△ △ ，
因为 BDM ， EDM△ ， AEM△ ， ACM△ 的面积成等差数列.
设面积依次为 , , 2 , 3a a d a d a d ，则 2 2( 3 )a a d a d a d ，则 3a d ，
所以 BDM ， EDM△ ， AEM△ ， ACM△ 的面积依次为 3 ,4 ,5 ,6d d d d ，
所求概率为 5 5
3 4 5 6 18
dP d d d d
．
故选：A．
14．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 2
nS n ，记数列
1
1
n na a
的前 n 项和为 nT ， *n N ．则使得 20
41nT 成立的 n 的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
第 8 页 共 78 页
【答案】C
【解析】当 1n 时， 1 1 1a S ；当 2n 时， 2 2
1 ( 1) 2 1n n na S S n n n ；而
1 2 1 1 1a 也符合 2 1na n ，
∴ 2 1na n ， *n N .又
1
1 1 1 1( )2 2 1 2 1n na a n n
，
∴ 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ... ) (1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n
nT n n n n
，要使 20
41nT ，
即 20
2 1 41
n
n
，得 20n 且 *n N ，则 n 的最大值为 19.故选：C．
15．（2021·全国高三其他模拟（理））四面体 ABCD 的顶点 A ， B ，C ， D 在同个球面
上， AD 平面 ABC ， 2 6
3AD ， 2AB ， 3AC ， 60CAB ，则该四面体的
外接球的表面积为（ ）
A． 6 B． 14
3
C．12 D．16
3
【答案】C
【解析】如图所示，作 ABC 外接圆 1O ，过 1O 作直线l 平面 ABC ，
又 DA 平面 ABC ， / /DA l ，连接 1AO ，并延长交球O 于 H ，
连接 DH ，与 l 的交点为球心O ，OH OD R ，则 1
1 6
2 3OO AD ，
在 ABC 中，由余弦定理得
2 2 2 2 cos60BC AB AC AB AC 14 9 2 2 3 72
， 7BC ，
又由正弦定理得 12sin60
BC O H ( 1O H 为外接圆半径)， 1
21
3O H
2 2 2 2
1 1
6 21 39 9R OH OO O H ， 24 12S R .
第 9 页 共 78 页
故选：C．
16．（2021·四川成都市·高三二模（理））已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 2 ，M ，N
分别为棱 AD ， BC 的中点， F 为棱 AB 上异于 A ， B 的动点．有下列结论：
①线段 MN 的长度为 1；
②若点 G 为线段 MN 上的动点，则无论点 F 与G 如何运动，直线 FG 与直线 CD 都是异面
直线；
③ MFN 的余弦值的取值范围为 50, 5
；
④ FMN 周长的最小值为 2 1 ．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】在棱长为1的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为 2 四面
体 ABCD ，
显然， ,M N 分别为正方体前后两个面的中心，故线段 MN 的长度为正方体棱长1，故 ①
对；
对于②：如图， F 取为 AB 的中点，G 取为 MN 的中点， I 取为 CD 的中点，则由正方体
的性质易知，该三点在一条直线上，故此时 FG 与 CD 相交于 I ，故②错；
对于③， 2
2 2
BCBN ， 2 2 1 62 2 2BM BD MD ，又有 1MN
故
1 3 1 3 52 2cos 3 52 62 2 2
MBN
第 10 页 共 78 页
故 F 点无限接近 B 点时， cos MFN 会无限接近 3
3
，故 MFN 的余弦值的取值范围不
为 50, 5
，③错误；
对于④，如图将等边三角形 ABC 与 ABD 铺平，放在同一平面上，故有
' ' ' ' 2N F FM M N+ ³ = ，当且仅当 F 为 AB 中点时取最小值
故在正方体中 2NF FM+ ³
故 FMN 周长的最小值为 2 1 ,故④对
故选：B
17．（2021·辽宁高三二模（理））双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、
2F ，P 是双曲线C 上一点， 2PF x 轴， 1 2
3tan 4PF F ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． 2 0x y B． 2 0x y
C． 3 0x y D． 3 0x y
【答案】C
【解析】由题设， 2 ( ,0)F c ，由 2PF x 轴，知
2
( , )bP c a
，
∴
2
2
1 2
1 2
3tan 2 4
PF bPF F F F ac
，又 2 2 2b c a ，
∴ 2 22 3 2 0c ac a ，得 (2 )( 2 ) 0c a c a ，又 0c a ，得 2c a ，
∴ 3b a ，又渐近线方程为 by xa
，即 3y x 等价于 3 0x y .
故选：C．
第 11 页 共 78 页
18．（2021·全国高三其他模拟（理））已知抛物线 2
1 : 4C y x 的焦点与椭圆
2 2
2 2: 1( 0)
3
x yC a
a
的一个焦点重合，则 2C 的离心率为（ ）
A． 1
4 B． 1
2 C． 3
4 D． 3
2
【答案】B
【解析】抛物线 2
1 : 4C y x 的焦点为 ( 1,0) ，则椭圆
2 2
2 2: 1( 0)
3
x yC a
a
的一个焦
点为 ( 1,0) ，则 2 3 1 4a ，解得 2a ，所以 2C 的离心率为 1
2e .
故选：B．
19．（2021·辽宁高三二模）已知点 1F ， 2F 分别是双曲线C ：
2
2
2 1 0yx bb
的左，右
焦点，O 为坐标原点，点 P 在双曲线C 的右支上，且满足 1 2 2F F OP ， 2 1tan 5PF F ，
则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）
A． 171, 3
B． 261, 4
C．1, 5 D．1, 2
【答案】B
【解析】因为 1 2 2F F OP ，
所以 OP c ，故 1 2PF F△ 为直角三角形，且 1 2PF PF ，
∴ 2 2 2
1 2 1 2PF PF F F .
由双曲线定义可得 1 2 2PF PF a .
∵ 1
2 1
2
tan 5PFPF F PF
，∴ 1 25PF PF ，
∵ 1 2 2PF PF a ，∴ 2 2
aPF .
又 2 2 2
2 22 4a PF PF c ，
第 12 页 共 78 页
整理得 2 2 2
2 2PF a c a .
所以
2 22 2 2
2
92 2 4
a aPF a c a a
.
所以
2
2
2
13
8
ce a
，
又 1e ，所以 261 4e ，
所以双曲线C 的离心率的取值范围为 261, 4
.
故选：B
20．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 2( ) xf x x e ，则 f x 在 1x 处的切线
斜率为___________.
【答案】 23e
【解析】 2 2 2( ) 2 (2 1)x x xf x e xe x e ，由导数的几何意义，可得 2(1) 3k f e .故答
案为：3e2
21．（2021·全国高三专题练习）关于函数 ( ) 4sin 6f x x
有如下四个命题：
① ( )f x 的最小正周期为 2；
② ( )f x 的图象关于点 7 ,06
对称；
③若 f a x f a x ，则 a 的最小值为 2
3
；
④ ( )f x 的图象与曲线 1 250 6y xx
共有 4 个交点．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】由图可得： 2 2
， ( )f x 的最小正周期为 2，①正确；
第 13 页 共 78 页
7( ) 4sin 06 6 6f
， ( )f x 的图象关于点 7 ,06
对称，②正确；
离 y 轴最近的对称轴为 1
3x ，所以若 f a x f a x ，则 a 的最小值为 1
3
，③错
误；
在 y 轴右边离 y 最近的对称为 2
3x ， 2( ) 43f ，而
1 3 42 2
3
， 1y x
在 (0, ) 上是减
函数，因此 ( )f x 的图象在第一象限每个周期内与 1y x
的图象都有两个交点，在区间 1 13( , )6 6
上有两个交点，在区间 13 25( , )6 6
上有两个交点，从而在 25(0, )6
上有 4 个交点，④正确；
故答案为：①②④．
22．(2021.云南师范大学高三第七次月考）已知点 O 为坐标原点，抛物线 2 3y x 与过焦点
的直线交于 A，B 两点，则OA OB 等于___________.
【答案】 27
16
【解析】设
2
1
13
yA y
， ，
2
2
23
yB y
， ，
当直线 AB 斜率不存在时， 1 2
3 3,2 2y p y p ，
所以
2 2
1 2
1 23 3
y yOA OB y y
， ， 2 2
1 2 1 2
1 27
9 16y y y y .
当直线 AB 斜率存在时，设方程为 3 04x my m ，
与抛物线联立方程得： 2 93 04y my
所以 1 2
9
4y y ，
∴
2 2
1 2
1 23 3
y yOA OB y y
， ， 2 2
1 2 1 2
1 27
9 16y y y y .
故答案为： 27
16
.
23．（2021.西安高中高三下学期第二次模拟测试）某地区进行疾病普查，为此要检验每一
人的血液，如果当地有 N 人，若逐个检验就需要检验 N 次，为了减少检验的工作量，我们
第 14 页 共 78 页
把受检验者分组，假设每组有 k 个人，把这个 k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为
阴性，这 k 个人的血液全为阴性，因而这 k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明
确这个 k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这 k 个人再逐个进行检验，这时 k 个人的检
验次数为 1k 次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，
且每个人是阳性结果的概率为 p .
（1）为熟悉检验流程，先对 3 个人进行逐个检验，若 0.1p ，求 3 人中恰好有 1 人检测结
果为阳性的概率；
（2）设 为 k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.
①当 5k ， 0.1p 时，求 的分布列；
②是运用统计概率的相关知识，求当 k 和 p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.
【解析】
（1）对 3 人进行检验，且检验结果是独立的，设事件 A ：3 人中恰有 1 人检测结果为阳性，
则其概率 1 2
3 0.1 0.9 0.243P A C
（2）①当 5K ， 0.1P 时，则 5 人一组混合检验结果为阴性的概率为 50.9 ，每人所检
验的次数为 1
5
次，若混合检验结果为阳性，则其概率为 51 0.9 ，则每人所检验的次数为 6
5
次，故 的分布列为
1
5
6
5
P 50.9 51 0.9
②分组时，每人检验次数的期望如下
1 1 kP Pk
1 1 1 1 kP Pk
∴ 1 1 11 1 1 1 1 1k k kE P P Pk k k
第 15 页 共 78 页
不分组时，每人检验次数为 1 次，要使分组办法能减少检验次数，需 11 1 1kP k
即
11 kP
k
所以当 11 kP
k
时，用分组的办法能减少检验次数.
24．（2021.高三第八次月考）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，BD 平面 1AB C ，
其垂足 D 落在直线 1B C 上．
（1）求证： 1AC B C ；
（2）若 P 是线段 AB 上一点， 3BD ， 2BC AC ，三棱锥 1B PAC 的体积为 3
3
，
求二面角 1P B C A 的平面角的余弦值．
【解析】（1）∵是直三棱柱，∴ 1AC BB ，
又 BD 平面 1AB C ，∴ AC BD ， 1BD BB B ，∴ AC 平面 1 1BBC C ，
1B C 平面 1 1BBC C ，∴ 1AC B C ．
（2）由（1）知 AC 平面 1 1BBC C ，
∴ AC BC ， 2BC AC ，∴ 2 2AB ，
设 AP x ，则 1 222 2PACS x x
，
∵ 1BD B C ， 1Rt RtB BC BDC ∽ ， 2BC ， 3BD ，
第 16 页 共 78 页
∴ 1 2 3BB ，∴
1
1 2 32 33 2 3B PACV x
∴ 2
2x ，∴ 1
3
AP
PB
，
如图建立空间直角坐标系，
(0,2,2 3)B ， 1 3 30, ,2 2
D ， 1(0,2,0)B ， (0,0,2 3)C ， 3 1, ,2 32 2
P ，
1 1
3 3, ,2 3 , 0, 2,2 32 2
B P B C
平面 1B AC 的一个法向量是 3 30, ,2 2
DB ，
设平面 1B PC 的一个法向量是 , ,n x y zr ，．
1
1
3 3 2 3 00 2 2
0 2 2 3 0
x y zn B P
n B C y z
，令 3 , 3, 13
x y z ，
所以 3 , 3,13
n
二面角 1P B C A 的平面角为 ，则 2 39cos 13| || |
DB n
DB n
．
25．（2021.高三第 6 次月考）在平面直角坐标系中，己知圆心为点 Q 的动圆恒过
点 (1,0)F ，且与直线 1x 相切，设动圆的圆心 Q 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
第 17 页 共 78 页
（2）过点 F 的两条直线 1l 、 2l 与曲线 相交于 A、B、C、D 四点，且 M、N 分别为 AB 、CD
的中点.设 1l 与 2l 的斜率依次为 1k 、 2k ，若 1 2 1k k ，求证：直线 MN 恒过定点.
【解析】（1）由题意，设 ( , )Q x y ，
因为圆心为点 Q 的动圆恒过点 (1,0)F ，且与直线 1x 相切，
可得 2 2| 1| ( 1)x x y ，化简得 2 4y x .
（2）设 1l ， 2l 的方程分别为 1( 1)y k x ， 2 ( 1)y k x ，
联立方程组 1
2
( 1)
4
y k x
y x
，整理得 2 2 2 2
1 1 12 4 0k x k x k ，
所以
2
1
1 2 2
1
2 4kx x k
，则
2
1
2
1 1
2 2,kM k k
，同理
2
2
2
2 2
2 2,kN k k
所以 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2
2 2
2 2MN
k k k kk k k k k
k k
，
由 1 2 1k k ，可得 1 11MNk k k ，
所以直线 MN 的方程为
2
1
1 1 2
1 1
22 1 ky k k xk k
整理得 1 12 1 ( 1)y k k x ，所以直线 MN 恒过定点 (1, 2) .
26．（2021.衡水中学高三上学期第二次调研）定义可导函数 ( )y f x 在 x 处的弹性函数为
( ) ( )
xf x f x
，其中 ( )f x 为 ( )f x 的导函数．在区间 D 上，若函数 ( )f x 的弹性函数值大于
1，则称 ( )f x 在区间 D 上具有弹性，相应的区间 D 也称作 ( )f x 的弹性区间．
（1）若 ( ) 1xr x e x ，求 ( )r x 的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数 ( ) ( 1) lnxf x x e x tx （其中 e 为自然对数的底数）
（ⅰ）当 0t 时，求 ( )f x 的弹性区间 D；
（ⅱ）若 ( ) 1f x 在（i）中的区间 D 上恒成立，求实数 t 的取值范围．
第 18 页 共 78 页
【解析】（1）由 ( ) 1xr x e x ，可得 ( ) 1xr x e ，则 ( ) ( 1)( ) 1
x
x
x xr x er x e x
，
令 ( ) ( 1) 0( ) 1
x
x
x xr x er x e x
，解得 0x ，
所以 ( )r x 弹性函数的零点为 0x .
（2）（ⅰ）当 0t 时，函数 ( ) ( 1) lnxf x x e x ，可得函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，
因为
21 1( ) ( 1) ln ( 1)
x
x x x x ef x x e x e x e x x
，
函数 ( )f x 是弹性函数
2 1( ) 1( ) ( 1) ln
x
x
x x ef x f x x e x
，
此不等式等价于下面两个不等式组：
（Ⅰ）
2
1 ln 0......
1 ( 1) ln .......
x
x x
x e x
x e x e x
①
②
或（Ⅱ）
2
1 ln 0.....
1 ( 1) ln .......
x
x x
x e x
x e x e x
③
④
，
因为①对应的函数就是 ( )f x ，
由 ( ) 0f x¢ > ，所以 ( )f x 在定义域上单调递增，
又由 (1) 0f ，所以①的解为 1x ；
由可得 2 21 [( 1) ln ] ( 1) 1 ln 0x x xg x x e x e x x x e x ，
且
3 2
2 1 ( ) 1(2 1) ( 1)
x
x x x x eg x x e x x e x x
在 1x 上恒为正，
则 g x 在 1x 上单调递增，所以 1 0g x g ，故②在 1x 上恒成立，
于是不等式组（Ⅰ）的解为 1x ，
同①的解法，求得③的解为 0 1x ；
因为 0 1x 时，④ 2 1 0,( 1) ln 0x xx e x e x ，所以不成立，
所以不等式（Ⅱ）无实数解，
综上，函数 ( )f x 的弹性区间 (1, )D .
（ⅱ）由 ( ) 1f x 在 (1, ) 上恒成立，可得 1 ln 1(1 ) x xt ex x
在 1x 上恒成立，
第 19 页 共 78 页
设 1 ln 1( ) (1 ) x xh x ex x
，则
2
2
( 1) 2 ln( )
xx x e xh x x
，
而 2( 1) 2 ln 1xx x e x g x ，由（ⅰ）可知，在 1x 上恒为正，
所以 ( ) 0h x ，函数 h x 在 (1, ) 上单调递增，所以 1 1h x h ，
所以 1t ，即实数t 的取值范围是 ( , 1] .
【考前预测篇 2】命题专家押题
1．已知集合 { 2, 1,0,1,2}A , { | ln 1 }B x y x ，则 A B =（ ）
A．{ 1,0} B．{0,1}
C．{ 1,0,1} D．{0,1,2}
【解析】选 D, { | 1}B x x ， A B ={0,1,2}.注意注意代表元素的字母是 x 还是 y.
2．已知复数 2
1 2
iz i
，则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． 0, 1 B． 0,1 C． 1, 1 D． 1,0
【解析】选 D， 2 = 11 2
iz i
，所以对应点坐标为（-1,0）.
3．下列说法错误的是（ ）
A．命题“若 x2﹣4x+3=0，则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3，则 x2﹣4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．命题 p：“
∃
x∈R，使得 x2+x+1＜0”，则¬p：“
∀
x∈R，x2+x+1≥0”
D．若 p∧q 为假命题，则 p、q 均为假命题
【解析】选 D．若 p∧q 为假命题，则 p、q 至少有一个为假命题.
4．设 a
，b
是单位向量，且 a
， b
的夹角为 60°，则 3c a b 的模为（ ）
A． 13 B．13 C．4 D．16
【解析】选 A． 2 2 2 03 9 6 10 6cos60 13c a b a b a b
第 20 页 共 78 页
5．函数 ( ) sin( )f x x 的部分图像如图所示，则 ( )f x 的单调递减区间为（）
A． 1 3( , ),4 4k k k Z B． 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z
C． 1 3( , ),4 4k k k Z D． 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z
【解析】选 C．由图象可知最小正周期 T= 5 12 24 4
骣琪 - =琪桫 ， 2
T
pw p= = ， sin 04
p f骣琪 + =琪桫
所以 3 2 ,4 k k Z ，
所以函数 3 3( ) sin( 2 ) sin( )4 4f x x k x 的单调递减区间为，
3 32 + + 22 4 2k x k ，即 1 32 24 4k x k ， k Z ．
6．钝角三角形 ABC 的面积是 1
2 ，AB=1，BC= 2 ，则 AC=( )
A． 5 B． 5 C． 2 D． 1
【解析】选 B． ，或，得
4
3π
42
2sin,2
1sin212
1 ====×××=Δ BBBBS ABC
π
2 2 2 cos 14B AC AB BC AB BC B
p= = + - × =当 时， ,此时三角形 ABC 为等腰直角三角形，不
合题意；
2 23 2 cos 54B AC AB BC AB BC B
p= = + - × =当 时， .
7． 2 52( )x x
的展开式中 4x 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【解析】选 C． 2 2
5 2 40C ´ = .
8．函数 2 1 sin1 x xef x
的图象大致形状为（ ）
第 21 页 共 78 页
A． B．
C． D．
【解析】选 A． 2 11 sin sin1 1
x
x x
exf x xe e
，
1 1sin sin sin1 1
1
1
x x x
x x x
e e ex x xf x f xe e e
，
所以 f x 为偶函数，排除 CD；
2
2
1 s 2 02 in1
e
ef
，排除 B．
9．设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 na 的前 n 项和，且 =+=
45
9
17 ,2- aS
Saa 则 _____.
【解析】填 18.由题意 1 -2da = , 9 1
5 4 1 1
9 36 18 185 10 3
S a d d
S a a d a d d
+= = =+ + + + .
10．已知 P A B C、 、 、 是球面上的四点，且 , 2 2AC BC AB ，若三棱锥 P ABC 的
体积的最大值为 4
3
，则球的体积为________________.
【解析】填 9
2
p .由题意可知，当 ABCD 是等腰直角三角形时， 1 2 4, 23 3 3P ABC ABC
hV S h h- D= £ = = ，
则有 ( )22 32 2 , 2R R= + - 得R= , 34 9
3 2V Rp p= =球 .
11．已知点 F1,F2 是椭圆 C: )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的左、右焦点，以 F1 为圆心，F1F2 为半
径的圆与椭圆在第一象限的交点为 P.若椭圆 C 的离心率为
3
2 ，且 1521
FPFS ,则椭圆 C
的方程为_______.
【解析】填
2 2
19 5
x y+ = .由题意知 2
3
c
a
= ①, 1 22 , 2 2 ,PF c PF a c= = -
( )( ) ( ) ( )2 21 2 2 2 152OAFS a c c a cD = - ´ - - = ②，所以 2, 3, 5c a b= = = ，
椭圆 C 的方程为
2 2
19 5
x y+ = .
第 22 页 共 78 页
12．在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的 5 个小球，这些小球除标注数字外完
全相同，现从中随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是________．
【解析】填 3
10 .两个数之和为 3 或 6 的有：（1，2），（1，5），（2，4）共三种，从 5 个
球中取出两个球有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，
5），（3，4），（3，5），（4，5）共 10 种取法， 2
5
3 3
10p C
= = .
13．2020 年，全球 70 多亿人口受影响、30 余万人的生命被夺走。一场来势汹汹的新冠肺炎
疫情，成为二战结束以来最严重的全球公共卫生突发事件。面对肆虐的疫情，人们寄希望
于今早开发出有效的疫苗，摆脱病毒带来的威胁。如今，多国在研发领域按下“快进键”，
中国不仅在进度上是“第一梯队”，更提出新冠疫苗研发完成并投入使用后，将作为全球公
共产品。现某科研团队为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联
表。
患病 未患病 总计
服用药 10 45
没服用药 50
总计 30
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）能否有 97.5%的把握认为药物对预防疾病有效？说明你的理由；
（3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取 10 只，设其中未服用药的
动物数为 只，求 的分布列与期望.
下面的临界值表供参考:
2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
其中 n a b c d ）
【解析】（1）列联表补充如下
患病 未患病 总计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
总计 30 75 105
第 23 页 共 78 页
（2）∵
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
∴ 2
2 105 10 30 20 45 1008= 6.109 5.02430 75 55 50 165K
∵ 2 5.024 0.025P K
∴有 97.5%的把握认为药物对预防疾病有效。
（3）根据题意，10 只未患病动物中，有 6 只服用药，4 只没服用药；所以x 的值可能为 0，
1，2，3，4
( ) 4
10
4
6 150 210
CP C
x = = = ， ( ) 4
4
10
3 1
61 210
80C CP C
x = = = ， ( ) 4
4
10
2 2
62 210
90C CP C
x = = = ，
( ) 4
4
10
1 3
63 210
24C CP C
x = = = ， ( ) 4
4
4
10
4 210
1CP C
x = = = ，
分布列如下:
ξ 0 1 2 3 4
P 15
210
80
210
90
210
24
210
1
210
则 0 1 2 3 4 =1.6210 210 21 1
15 80 1
0 2 0 21
9 24
0
0 8
5Ex = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ =
14．已知椭圆
的左、右焦点为
，点
䁠
在椭圆
上.
（1）设点
到直线
的距离为
，证明：
为定值；
（2）若
൏ ൏
是椭圆
上的两个动点（都不与
重合），直线
的斜率互
为相反数，求直线
的斜率（结果用
䁠
表示）
【解析】（1）由已知，得
，所以
，即
因为点
䁠
在椭圆
上，所以
䁠
，即
䁠
又
䁠
所以
为定值.
（2）当
൏ ൏
时，则
䁠
，直线
的斜率一定存在.
设
，直线
的斜率为
，则
的方程为
䁠
，即
䁠
，与椭圆
的方程
，联立组成方程组，消去
，
第 24 页 共 78 页
整理得
香 䁠 䁠
.
由韦达定理，得
䁠
，于是
䁠
䁠
.
根据直线
的斜率为
，将上式中的
用
代替，
得
km䁠
km䁠
km 䁠
.
于是
䁠 䁠
km䁠
km䁠
km
香
䁠
香䁠
.
䁠
䁠
䁠
䁠
䁠
.
注意到
䁠
得
䁠
，于是
䁠
因此，直线
的斜率为
香䁠
䁠
䁠
香䁠
香䁠
䁠
䁠
䁠
.
15.已知函数 2( ) ( )Raf x x ax ax
.
（1）当 1a 且 1x 时，求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）当 2
e
e +1a 时，若函数 2( ) ( ) lng x f x x x 的两个极值点分别为 1 2,x x ，
证明： 1 2 2
40 | ( ) ( ) | e 1g x g x .
【解析】（1）解法一：
当 1a 时， 2 1( )f x x x x
，所以
3 2
2 2
1 2 1( ) 2 1 x xf x x x x
，
①当 0x 时， ( ) 0f x 恒成立，所以函数 ( )f x 在区间 (0, ) 上单调递增；
②当 ( 1,0)x 时，记 3 2( ) 2 1x x x ，则 2 1( ) 6 2 6 ( )3x x x x x ，
所以当 1( ,0)3x 时， ( ) 0x ， ( )x 单调递减，且有 ( ) (0) 1x ；
当 1( 1, )3x 时， ( ) 0x ， ( )x 单调递增，且 ( ) ( 1) 0x ，
所以当 ( 1,0)x 时， ( ) 0x ，函数 ( )f x 单调递增.
综上，函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( 1,0) 和 (0, ) ，无单调递减区间.
解法二：
当 1a 时， 2 1( )f x x x x
（ 0x ），
第 25 页 共 78 页
所以
3 2
2 2
1 2 1( ) 2 1 x xf x x x x
2
2
( 1)(2 1)x x x
x
，
因为 1x ，且 2 21 72 1 2( ) 04 8x x x ，
所以当 ( 1,0) (0, )x 时，均有 ( ) 0f x ，
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( 1,0) 和 (0, ) ，无单调递减区间.
（2）因为 2( ) ( ) ln lnag x f x x x ax xx
（ Ra ， 0x ），
所以
2
2 2
1( ) a ax x ag x a x x x
.
因为 1 2,x x 是函数 ( )g x 的两个零点，所以 1 2,x x 是方程 2 0ax x a 的两个实数解，
由 21 4 0a ，且 2
e
e 1a ，即 2
e 1
e 1 2a ，
因为 1 2 1x x ，则 2
1
1x x
，不妨设 1 2x x ，所以 1 20 1x x ，
则 1 2 1
1
1 1x x x x a
，因为 2
e 1
e 1 2a ，所以
21 e +1 12 ee ea
，
所以 1
1
1 1e ex x
，即 1
1 1e x .
由二次函数的图象及性质可知，函数 ( )g x 在 1x 处取得极大值，在 2x 处取极小值，即
1 2( ) ( )g x g x ，
故 1 2 1 2 1
1
1| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )g x g x g x g x g x g x
1 1 1 1
1 1
( ln ) ( ln )a aax x ax xx x
1 1
1
2( ln )aax xx
（*）
又因为 1x 是方程 2 0ax x a 的根，所以 1
2
1 1
xa x
，代入（*）式，
2 2
21 1
1 2 1 12 2 2
1 1 1
11 1( ) ( ) 2( ln ) 2( ln )1 1 2
x xg x g x x xx x x
，
令 2
1x t ，则 2
1 1e t ， 1 1( ) 2( ln )1 2
tg t tt
.
设 1 1( ) 2( ln )1 2
xh x xx
， 2
1 1e x ，所以
2
2
( 1)( ) 0( 1)
xh x x x
，则 ( )h x 单调递减，
从而有 2 2
1 40 (1) ( ) ( )e e 1h h x h ，即 2
40 ( ) e 1g t ，
所以 1 2 2
40 ( ) ( ) e 1g x g x ，即 1 2 2
40 | ( ) ( ) | e 1g x g x ，证毕.
第 26 页 共 78 页
二、命题猜想篇
【高考命题猜想 1】与平面向量相关的范围和最值问题
纵观近几年高考对于圆的的考查，平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性
强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、
向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”
与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．
(一) 平面向量数量积的范围问题
已知两个非零向量 a
和b
,它们的夹角为 ,把数量 cosa b 叫做 a
和b
的数量积(或内积),记作 a b
.即
a b
= cosa b
,规定 0 0a
,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义
法求解,即 a b
= cosa b ；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则 a·b＝
x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．
1．在边长为
的正方形
形
中，
为
的中点，点
在线段
上运动，则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设 E(x，0)，0≤x≤1．又
，C(1，1)，所以
，
所以
，
因为 0≤x≤1，所以
，即
的取值范围是
．
本题选择 C 选项．
第 27 页 共 78 页
2．已知 A、B 是单位圆 O 上的两点（O 为圆心），∠AOB=120°，点 C 是线段 AB 上不与 A、B 重合的动点．MN
是圆 O 的一条直径，则CM CN 的取值范围是（ ）
A． [ 3
4
，0） B． [ 3
4
，0] C． [ 1
2
，1） D． [ 1
2
，1]
【解析】建立如图所示的坐标系， 1, 120 ,OA OB AOB O 到直线 AB 的距离
21 1 1, 1, 12 2 4d OC OC ，则
CM CN OM OC ON OC 2
OM ON OM ON OC OC 2
1 OC ，
3 0,4 CM CN CM CN 的取值范围是 3 ,04
，故选 A．
3.如图，在四边形 ABCD 中， 60 , 3B AB ， 6BC ，且 3, 2AD BC AD AB ，则实数
的值为_________，若 ,M N 是线段 BC 上的动点，且| | 1MN ，则 DM DN 的最小值为_________．
【解析】 AD BC
， //AD BC ， 180 120BAD B ，
cos120AB AD BC AB BC AB 1 36 3 92 2
，
解得 1
6
，
以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ，
第 28 页 共 78 页
6 6,0BC C ， ,∵ 3, 60AB ABC ，∴ A 的坐标为 3 3 3,2 2A
,
∵又∵ 1
6AD BC
,则 5 3 3,2 2D
，设 ,0M x ，则 1,0N x （其中 0 5x ），
5 3 3,2 2DM x
， 3 3 3,2 2DN x
，
2
225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x x
，
所以，当 2x 时， DM DN 取得最小值 13
2 .故答案为： 1
6
； 13
2 .
(二) 平面向量模的取值范围问题
设 ( , )a x y
,则 2 2 2a a x y
,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向
线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．
1.已知向量 , ,a b c
满足 4, 2 2,a b
a
与 b
的夹角为
4
,
( ) ( ) 1c a c b
,则 c a 的最大值为 .
【解析】设 , ,OA OB OC
a b c ；
以 OA 所在直线为 x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,
∵ 4, 2 2,a b
a
与 b
的夹角为
4
,
则 A（4,0）,B（2,2）,设 C（x,y）
∵ ( ) ( ) 1c a c b
,
∴ 2 2 6 2 9 0x y x y ,
即 2 23 1 1x y 表示以（3,1）为圆心,以 1 为半径的圆,
第 29 页 共 78 页
c a 表示点 A,C 的距离即圆上的点与点 A（4,0）的距离；
∵圆心到 B 的距离为 2)01()43( 22 ,
∴ c a 的最大值为 12 ．
2．在 ABC 中， 2AB ， 3AC ， 13BC ，若向量 m 满足 2 3m AB AC ，则 m 的最大
值与最小值的和为（ ）
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
【解析】由 2AB ， 3AC ， 13BC 得 2 2 2BC AB AC ，即 A 为直角，以 A 点为原点， AB
为 x 轴， AC 为 y 轴建立直角坐标系，则 0,0A ， 2,0B ， 0,3C ，设 m 的终点坐标为 ,x y ，∵
2 3m AB AC ，∴ 2 24 3 9x y ，故 m 的最大值与最小值分别为圆 2 24 3 9x y
上的点到原点距离的最大值和最小值，故最大值为 5 3 8 ，最小值为5 3 2 ，即之和为 10，故选 D．
3．若平面向量 1e ， 2e 满足 1 1 23 2e e e ，则 1e 在 2e 方向上投影的最大值是________．
【解析】由 1 1 23 2e e e 可得： 1
2 2
1 1 2 2
2
9 6 4
e
e e e e
∴ 2
1 2 24 36 6 cosθe e e
1e 在 2e 方向上投影
2
2
1 2
2 2
32 1 32 1 4 2cosθ 2 326 6 36
e
e e
e e
故最大值为： 4 2
3
(三) 平面向量夹角的取值范围问题
设 1 1( , )a x y
, 2 2( , )b x y
,且 ,a b
的夹角为 ,则 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos x x y ya b
a b x y x y
．
1.设 1e
， 2e
为单位向量，满足 21| 2 2|
ee ， 1 2a e e ， 1 23b e e ，设 a
，b
的夹角为 ，则 2cos 的
最小值为_______．
【解析】 1 2| 2 | 2e e
ur ur
Q ， 1 24 4 1 2e e
ur ur ， 1 2
3
4e e
ur ur
，
第 30 页 共 78 页
22
2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
(4 4 ) 4(1 )( )cos
(2 2 )(10 6 ) 5 3
e e e ea b
e e e e e ea b
ur ur ur urr r
ur ur ur ur ur urr r
1 2
4 2 4 2 28(1 ) (1 )33 3 295 3 5 3 4
e e
ur ur .
故答案为： 28
29 .
2. 已知向量
OA 与
OB 的夹角为 , ,)1(,,1,2
→→→→→→
OBtOQOAtOPOBOA ====
PQ
0t在 时取得最小值,当 0
10 5t 时,夹角 的取值范围为_________.
【解析】由题意知，
䁨
,
䁣 䁣
,
所以
䁣
䁣
䁣 䁣
䁣
䁣
䁣 䁣 䁨
䁨 䁣
䁨 䁣
+1
由二次函数的图像及其性质知，当上式取最小值时，
䁣
cosθ
cosθ
,
由题意可知
൏
cosθ
cosθ ൏
,q 求得
൏ 䁨 ൏ 所以
൏ ൏
.
【高考命题猜想 2】零点问题
从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，
难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．
(1)函数零点的定义
对于函数 y＝f(x) (x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x) (x∈D)的零点．
(2)零点存在性定理(函数零点的判定)
第 31 页 共 78 页
若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)·f(b)＜0，
则在区间(a，b)内，函数 y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程 f(x)＝0 在区间(a，b)内至少有一个实数解．
也可以说：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么，
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．
(3)几个等价关系
函数 y＝f(x)有零点
⇔
方程 f(x)＝0 有实数根
⇔
函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝0(即 x 轴)有交点．
推广：函数 y＝f(x)－g(x)有零点
⇔
方程 f(x)－g(x)＝0 有实数根
⇔
函数 y＝f(x)－g(x)的图象与 y＝0(即
x 轴)有交点．
推广的变形：函数 y＝f(x)－g(x)有零点
⇔
方程 f(x)＝g(x)有实数根
⇔
函数 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)有
交点．
题型一：判断零点所在区间
1. 函数 3log)( 3 xxf x 零点所在大致区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【解析】因为函数 3log)( 3 xxf x 的定义域为： 0x > ，函数是连续函数
( ) ( )3 3 3
22 log 2 2 3 log 0, 3 log 3 3 3 1 03f f= + - = < = + - = >
根据函数的零点判定定理，故选 C．
2.设函数 ( ) 4sin(2 1)f x x x ，则在下列区间中函数 ( )f x 不存在零点的是（ ）
A． 4, 2 B． 2,0 C． 0,2 D． 2,4
【解析】由函数零点的定义，知 ( ) 0f x > 不存在零点，，即方程 ( )4sin 2 1 0x x+ - = 在这个区间上无解。
设 ( ) ( ) ( )4sin 2 1 ,y g x x y h x x= = + = = ，则这两个函数图像在这个区间上无交点。做出
( ) ( ) ( )4sin 2 1 ,y g x x y h x x= = + = = 的图像，观察图像知选 A．
题型二：求零点个数
1．函数 ( ) cos(3 )6f x x 在[0, ] 的零点个数为_____．
第 32 页 共 78 页
【解析】由题意知， cos(3 ) 06x ，所以 3 6 2x k ， k Z ，
所以
9 3
kx ， k Z ，当 0k 时，
9x ；当 1k 时， 4
9x ；
当 2k 时， 7
9x ，均满足题意，所以函数 ( )f x 在[0, ] 的零点个数为 3．
2．关于函数 ( ) sin | | | sin |f x x x 在[ , ] 有_______个零点.
【解析】 ( ) sin sin sin sin ( )f x x x x x f x ，则函数 ( )f x 是偶函数，
0 , ( ) sin sin 2sinx f x x x x 当 ，
由 0f x 得 2sin 0x ,得 0x 或 x ，
由 ( )f x 是偶函数，得在 ,0 上还有一个零点 x ，即函数 ( )f x 在 , 上有 3 个零点.
3．函数 1
1y x
的图像与函数 2sin ( 2 4)y x x 的图像所有交点的横坐标之和等于________.
【解析】图像法求解． 1
1y x
的对称中心是 (1,0) 也是 2sin ( 2 4)y x x 的中心， 2 4x 他
们的图像在 1x 的左侧有 4 个交点，则 1x 右侧必有 4 个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为
1, 2 3 4 5 6 7 8, , , , , ,x x x x x x x x ，
则 1 8 2 7 3 6 4 5 2x x x x x x x x ，所以选 D
2,
,
-3 +2=0f x f x f x
2
xcos 1 x 12
x 1 x 1
4.已知函数 的实根的个数是___.
，
则关于x的方程
＞ ，
【解析】 2 -3 +2=0 =1 =2f x f x f x f x方 等价于程 或
1,1 , >1 1 0
,
,
f x f x x f
2
xcos 1 x 12 1 x 1
x 1 x 1
函
，
当 ， 时,
＞ ，
数
2=1 cos 1 1 1, 0 22f x x x x x时， 或 所以 或
2=2 1 2, 3f x x x时， 所以
2 -3 +2=0f x f x 的实根个数为5个综上知方程
题型三：根据零点个数求参数
1.已知函数
0,ln
0,
xx
xexf
x
， axxfxg ．若 xg 存在 2
第 33 页 共 78 页
个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A．[–1，0） B．[0，+∞）
C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【解析】函数 ( ) ( ) g x f x x a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 ( ) f x x a 有 2 个不同的实根，即
函数 ( )f x 的图象与直线 y x a 有 2 个交点，作出直线 y x a 与函数 ( )f x 的图象，如图所示，
由图可知， 1 ≤a ，解得 1≥a ，故选 C．
2．已知函数 2 1 1( ) 2 ( )x xf x x x a e e 有唯一零点，则 a
A． 1
2
B． 1
3 C． 1
2 D．1
【解析】令 ( ) 0f x ，则方程 1 1 2( ) 2x xa e e x x 有唯一解，
设 2( ) 2h x x x ， 1 1( ) x xg x e e ，则 ( )h x 与 ( )g x 有唯一交点，
又 1 1 1
1
1( ) 2x x x
xg x e e e e
≥ ，当且仅当 1x 时取得最小值 2．
而 2( ) ( 1) 1 1h x x ≤ ，此时 1x 时取得最大值 1，
( ) ( )ag x h x 有唯一的交点，则 1
2a ．选 C．
3．已知函数 ( )f x = 3 23 1ax x ，若 ( )f x 存在唯一的零点 0x ，且 0x ＞0，则 a 的取值范围为
A．（2，+∞） B．（-∞，-2） C．（1，+∞） D．（-∞，-1）
【解析】 ( ) 30 3a f x= ±当 时， 有两个零点 不合题意，
( ) ( )/ 2 /
1 2
2 20 3 3 =0 0, ,a f x ax x a x f x x xa a
骣琪¹ = = - = =琪桫
当 时， -6 ，令 得
( ) ( ) 20 ,0 ,
20,
a f x a
a
骣琪> -¥ +¥琪桫
骣琪琪桫
若 时，则可判断 在 和 单调递增，
在 单调递减，
( ) ( ) ( ) ( )0 1, ,0 .f x f f x= = \ -¥ 极大值 在 必有一个零点，与题意矛盾
( ) ( ) 20 ,0 ,
20,
a f x a
a
骣琪< -¥ +¥琪桫
骣琪琪桫
若 时，则可判断 在 和 单调递减，
在 单调递增，
( ) ( ) 02
2 4 1,f x f f x Ra a
骣琪= = - +琪桫 极小值 要使 在 有唯一一个零点x ，
第 34 页 共 78 页
( ) 2
2 4 1 0, 2,f x f a Ba a
骣琪= = - + > < -琪桫极小值只需 解得 故选
4．设函数 ( ) sin( )( 0)5f x x ，已知 ( )f x 在 20， 有且仅有 5 个零点． 的取值范围是
____________.
【解析】当 [0,2 ]x 时， ,25 5 5x
，
因 为 f x 在 0 2， 有 且 仅 有 5 个 零 点 ， 所 以 5 2 + 65
，
所以 12 29
5 10
，
5．已知函数
2
1
2
log , 0
( ) log ( ), 0
x x
f x x x
，若 a ，b ， c 均不相等，且 ( )f a = ( )f b = ( )f c ，则 abc 的取值范
围是
A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)
【解析】画出函数的图象，
如图所示，不妨设 a b c ，因为 ( ) ( ) ( )f a f b f c 所以 1ab ， c
的取值范围是 (10,12) ，所以 abc 的取值范围是 (10,12) ．
6．已知函数 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x 有两个零点，求 a 的取值范围；
【解析】Ⅰ） '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )x xf x x e a x x e a ．
（i）设 0a ，则 ( ) ( 2) xf x x e ， ( )f x 只有一个零点．
（ii）设 0a ，则当 ( ,1)x 时， '( ) 0f x ；当 (1, )x 时， '( ) 0f x ．
所以 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增．
又 (1)f e ， (2)f a ，取b 满足 0b 且 ln 2
ab ，则
2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2
af b b a b a b b ，故 ( )f x 存在两个零点．
（iii）设 0a ，由 '( ) 0f x 得 1x 或 ln( 2 )x a ．
若
2
ea ，则 ln( 2 ) 1a ，故当 (1, )x 时， '( ) 0f x ，
因此 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增．又当 1x 时， ( ) 0f x ，
第 35 页 共 78 页
所以 ( )f x 不存在两个零点．
若
2
ea ，则 ln( 2 ) 1a ，故当 (1,ln( 2 ))x a 时， '( ) 0f x ；
当 (ln( 2 ), )x a 时， '( ) 0f x ．因此 ( )f x 在 (1,ln( 2 ))a 上单调递减，
在 (ln( 2 ), )a 上单调递增．又当 1x 时， ( ) 0f x ，
所以 ( )f x 不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0, ) ．
7．已知函数 2( ) ( 2)x xf x ae a e x ．
(1)讨论 ( )f x 的单调性；
(2)若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
【解析】（1） ( )f x 的定义域为 ( , ) ，
2( ) 2 ( 2) 1 ( 1)(2 1)x x x xf x ae a e ae e ，
（ⅰ）若 0a ≤ ，则 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 ( , ) 单调递减．
（ⅱ）若 0a ，则由 ( ) 0f x 得 lnx a ．
当 ( , ln )x a 时， ( ) 0f x ；当 ( ln , )x a 时， ( ) 0f x ，
所以 ( )f x 在 ( , ln )a 单调递减，在 ( ln , )a 单调递增．
（2）（ⅰ）若 0a ≤ ，由（1）知， ( )f x 至多有一个零点．
（ⅱ）若 0a ，由（1）知，当 lnx a 时， ( )f x 取得最小值，
最小值为 1( ln ) 1 lnf a aa
．
①当 1a 时，由于 ( ln ) 0f a ，故 ( )f x 只有一个零点；
②当 (1, )a 时，由于 11 ln 0aa
，即 ( ln ) 0f a ，故 ( )f x 没有零点；
③当 (0,1)a 时， 11 ln 0aa
，即 ( ln ) 0f a ．
又 4 2 2( 2) e ( 2)e 2 2e 2 0f a a ，
故 ( )f x 在 ( , ln )a 有一个零点．
设正整数 0n 满足 0
3ln( 1)n a
，
则 0 0 0 0
0 0 0 0( ) e ( e 2) e 2 0n n n nf n a a n n n ．
由于 3ln( 1) ln aa
，因此 ( )f x 在 ( ln , )a 有一个零点．
综上， a 的取值范围为 (0,1) ．
第 36 页 共 78 页
【考点总结与提高】
1.确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程 f(x)＝ 0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上。
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间 ba, 上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)＜0。
若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点。
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断。
2.判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的
性质。
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交
点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。
3.函数零点的应用问题类型及解题思路
(1)已知函数零点情况求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围。
(2)已知函数零 点的个数求参数，常利用数形结合法。
【高考命题猜想 3】解三角形的最值问题
三角形中最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结
合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，
要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另
一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
1.三角函数问题在求解时要注意结合正弦定理的边角互化关系快速转换求解，涉及面积最值时明确面积公式
结合基本不等式求解是借此题第二问的关键.
第 37 页 共 78 页
2.解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，例如，通过向量的工具作用，将条件集
中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为
此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理及均值
不等式是解题的关键．
题型一：与三角形的边相关
1．在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是（ ）
【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在
△
BCE 中，∠
B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
sin sin
BC BE
E C
，即 o o
2
sin30 sin 75
BE ，解得 BE = 6+ 2 ，
平移 AD ，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在
△
BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，
由正弦定理知，
sin sin
BF BC
FCB BFC
，即 o o
2
sin30 sin 75
BF ，解得 BF= 6 2 ，所以 AB 的取值范围
为（ 6 2 ， 6+ 2 ）．
2．在 ABC 中， 060B ， 3AC ，则 2AB BC 的最大值为 ．
【解析】由正弦定理
sin sin sin
AC BC AB
B A C
得，
sin 2sinsin
AC CAB CB
， BC = sin 2sinsin
AC ABC AB
，
∴ 2AB BC = 2sinC + 4sin A = 02sin(120 ) 4sinA A
= 3sin 5cosA A = 2 7 sin( )A （ 5 3tan 3
， 0 00 120 )A ，
故 2AB BC 的最大值为 2 7 ．
3．在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， 120ABC ， ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 1BD ，
则 4a c 的最小值为 ．
【解析】因为 120ABC ， ABC 的平分线交 AC 于点 D ，
所以 60ABD CBD ，
第 38 页 共 78 页
由三角形的面积公式可得 1 1 1sin120 sin 60 sin 602 2 2ac a c ，
化简得 ac a c ，又 0a ， 0c ，所以 1 1 1a c
，
则 1 1 4 44 (4 )( ) 5 5 2 9c a c aa c a c a c a c a c
≥ ，
当且仅当 2c a 时取等号，故 4a c 的最小值为 9．
4. ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．
（1）求 A；
（2）若 BC＝3，求 ABC 周长的最大值.
【解析】（1）由正弦定理可得： 2 2 2BC AC AB AC AB ，
2 2 2 1cos 2 2
AC AB BCA AC AB
， 0,A ， 2
3A .
（2）由余弦定理得： 2 2 2 2 22 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，
即 2 9AC AB AC AB .
2
2
AC ABAC AB （当且仅当 AC AB 时取等号），
2
2 2 239 2 4
AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB
，
解得： 2 3AC AB （当且仅当 AC AB 时取等号），
ABC 周长 3 2 3L AC AB BC ， ABC 周长的最大值为3 2 3 .
【点睛】求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
题型二：与三角形的角相关
1.在锐角
△
ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2 sin 3b A a ．
（1）求角 B；
（2）求 cosA＋cosB＋cosC 的取值范围．
【解析】（1）由 2 sin 3b A a 结合正弦定理可得： 32sin sin 3sin , sin 2B A A B ，
△
ABC 为锐角三角形，故
3B .
第 39 页 共 78 页
（2）结合(1)的结论有： 1 2cos cos cos cos cos2 3A B C A A
1 3 1cos cos sin2 2 2A A A 3 1 1sin cos2 2 2A A 1sin 6 2A .
由
20 3 2
0 2
A
A
可得：
6 2A ， 2
3 6 3A ，
则 3sin ,13 2A
， 1 3 1 3sin ,2 23 2A
.
即 cos cos cosA B C 的取值范围是 3 1 3,2 2
.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值
也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于
某个角的函数，利用函数思想求最值.
2．在
△
ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tan tan2(tan tan ) .cos cos
A BA B B A
（1）证明： 2a b c ；
（2）求 cosC 的最小值．
【解析】(1)由 tan tan2(tan tan ) cos cos
A BA B B A
得 sin sin sin2 cos cos cos cos cos cos
C A B
A B A B A B
，
所以 CBC sinsinsin 2 ，由正弦定理，得 cba 2=+ ．
（2）由
ab
cabba
ab
cbaC 2
2
2
22222 )(cos
2 2
2
3 3 3 11 1 12 2 22( )2
c c
a bab
．
所以 Ccos 的最小值为 1
2
．
题型三：与三角形的面积相关
1． ABC 在内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 cos sina b C c B ．
（1）求 B ；（2）若 2b ，求
△
ABC 面积的最大值．
【解析】（1）因为 cos sina b C c B ，所以由正弦定理得：
sin sin cos sin sinA B C C B ，
所以sin( ) sin cos sin sinB C B C C B ，
第 40 页 共 78 页
即 cos sin sin sinB C C B ，因为sinC 0，所以 tan 1B ，解得 B= 4
；
（2）由余弦定理得： 2 2 2 2 cos 4b a c ac ，即 2 24 2a c ac ，由不等式得： 2 2 2a c ac ，当
且仅当 a c 时，取等号，所以 4 (2 2)ac ，解得 4 2 2ac ，所以
△
ABC 的面积为
1 sin2 4ac 2 (4 2 2)4
= 2 1 ，所以
△
ABC 面积的最大值为 2 1 ．
2．已知 , ,a b c 分别为 ABC 的三个内角 , ,A B C 的对边， a=2，且 (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C ，
则 ABC 面积的最大值为 ．
【解析】由 2a 且 (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C ，
即 ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C ，由及正弦定理得： ( )( ) ( )a b a b c b c
∴ 2 2 2b c a bc ，故
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，∴ 060A ，∴ 2 2 4b c bc
2 24 b c bc bc ，∴ 1 sin 32ABCS bc A ．
3．
△
ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 sin sin2
A Ca b A ．
（1）求 B；
（2）若
△
ABC 为锐角三角形，且 c=1，求
△
ABC 面积的取值范围．
【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin2
A CA B A ．
因为 sin 0A ，所以sin sin2
A C B ．
由 180A B C ，可得 sin cos2 2
A C B ，故 cos 2sin cos2 2 2
B B B ．
因为 cos 02
B ，故 1sin 2 2
B ，因此 60B ．
（2）由题设及（1）知
△
ABC的面积 3
4ABCS a△ ．
由正弦定理得 sin 120sin 3 1
sin sin 2tan 2
Cc Aa C C C
．
由于 ABC△ 为锐角三角形，故 0 90A ， 0 90C ，
由（1）知 120A C ，所以30 90C ，故 1 22 a ，从而 3 3
8 2ABCS △ ．
第 41 页 共 78 页
因此， ABC△ 面积的取值范围是 3 3,8 2
．
4． ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a ，b ， c ．已知 sin sin2
A Ca b A ．
（1）求 B ；
（2）若 ABC 为锐角三角形，且 1c ，求 ABC 面积的取值范围．
【解析】（1） sin sin2
A Ca b A ，即为 sin cos sin2 2
B Ba a b A ，
可得 sin cos sin sin 2sin cos sin2 2 2
B B BA B A A ， sin 0A ， cos 2sin cos2 2 2
B B B ，
若 cos 02
B ，可得 (2 1)B k ， k Z 不成立， 1sin 2 2
B ，
由 0 B ，可得
3B ；
（2）若 ABC 为锐角三角形，且 1c ，
由余弦定理可得 2 21 2 1 cos 13b a a a a ，
由三角形 ABC 为锐角三角形，可得 2 2 1 1a a a 且 2 21 1a a a ，解得 1 22 a ，
可得 ABC 面积 1 3 3sin (2 3 4 8S a a ， 3)2
．
三、考前技能篇
一、历年高考数学试卷的启发
1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；
2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会
证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性；
3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。
二、解题策略选择
1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两
题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己
第 42 页 共 78 页
的难题，所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考 1 分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂
时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；
2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的
答案更准确。切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用
到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答题卷上。多写不会
扣分，写了就可能得分。
（1）直接法
直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公
理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题
目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而
来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空
题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运
算过程，快速准确得到结果.
直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等
进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或
等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义（ 1n na a d 或 1n
n
a qa
）、性质（若 m n p q ，
则 m n p qa a a a 或 m n p qa a a a ）、通项公式（ 1 ( 1)na a n d 或 1
1
n
na a q ）、前 n 项和公式（等
差数列 1
( 1)
2n
n n dS na 、 1( )
2
n
n
a a nS ，等比数列 1(1 )
1
n
n
a qS q
）等搬出来看是否适用；如果不
能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态.
（2）排除法
排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的
选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐
一剔除，从而获得正确的结论．具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，比
如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这
个数的范围选项，即：如果有两个选项 A（ 1a ）、B（ 1a ），你就可以选取 1 这个数看是否符合题意，
如果 1 符合题意，你就排除 B，如果 1 不符合题意，你就排除 A，这样就能快速找到正确选项，当然，选取
第 43 页 共 78 页
数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对熟悉的知
识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论证，看是
否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项.
而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部
分高考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经
求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们要熟
练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！
（3）特例法
特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收
到事半功倍的效果.
特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条
件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的高考选择题
或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.
常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例法是
解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的
特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比
数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点
等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.
特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，
但使用时一定要注意：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个
或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）当正确的选择对象，在
题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的
答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解答本类选择、填空题的最佳策略.
近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到 30%左右，所以要想快速准确地赢
得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！
（4）估算法
估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效
率得出正确结论的捷径.
第 44 页 共 78 页
对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，
不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可
以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．
当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的
层次，所以我们要学会灵活运用.
而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得
分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或
自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论.
（5）数形结合法
数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置
关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，
抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.
在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程
复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用图
示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：
①在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使
运算快捷明了.
②借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数
形结合的特征与方法.
③处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件
与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.
④有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象
来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.
⑤线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想
的应用.
⑥数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前 n 项和公式可以看作关于正整数 n 的函数.用数形结
合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来
解决.
⑦解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的
性质及其相互关系的研究中.
第 45 页 共 78 页
⑧立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问
题转化为纯粹的代数运算.
著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方
法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把
握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一
定要学好并应用好数形结合的方法.
三、解题思想方法
1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；
2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；
3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，
二次函数的对称轴或是……；
4.选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；
5.求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式
完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；
6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，
分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；
7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而
不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系公式法；使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二
次方程及根的判别式；
8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的
步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；
9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于 a、b、c 之间的关系等式即可；
10. 求三角函数的周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；
解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；
11.数列的题目与和有关，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；
解答的时候注意使用通项公式及前 n 项和公式，体会方程的思想；
12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系
完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体
第 46 页 共 78 页
积的计算注意系数 1
3
，而三角形面积的计算注意系数 1
2
；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”
创造直角三角形解题；
13.导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知
或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；
14.概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答
的详略；如果有分布列，则概率和为 1 是检验正确与否的重要途径；
15.二选一的选做题中，极坐标系与参数方程题目注意转化的方法，不等式题目注意柯西不等式与绝对
值的几何意义；
16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，若式子为勾股定理型的，可
使用三角换元来完成；
17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，
全称与特称命题的否定写法，取值范围或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方
程的时候考虑斜率是否存在等；
18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先考虑使用定义；
19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；
20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式即可，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂
直，一是中点在对称轴上。
四、每分必争
1.答题时间共 120 分钟，而你要答分数为 150 分的考卷，算一算就知道，每分钟应该解答 1 分多的题目，
所以每 1 分钟的时间都是重要的。试卷发到手中首先完成必要的检查（是否有印刷不清楚的地方）与填涂，
之后剩下的时间就马上看试卷中可能使用到的公式，做到心中有数。用心计算简单的题目，必要时动一动
笔也不是不行（你是写名字或是写一个字母没有人去区分）。
2.在分数上也是每分必争。你得到 89 分与得到 90 分，虽然只差 1 分，但是有本质的不同，一个是不合
格一个是合格。高考中，你得 556 分与得 557 分，虽然只差 1 分，但是它决定你是否可以上重点线，关系
到你的一生。所以，在答卷的时候要精益求精。对选择题的每一个选项进行评估，看与你选的相似的那个
是不是更准确？填空题的范围书写是不是集合形式，是不是少或多了一个端点？是不是有一个解应该舍去
而没舍？解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式完成的，应用题是不是设、列、画（线性归化）、
解、答？根据已知条件你还能联想到什么？把它写在考卷上，也许它就是你需要的关键的 1 分，为什么不
去做呢？
第 47 页 共 78 页
3.答题的时间紧张是所有同学的感觉，想让它变成宽松的方法只有一个，那就是学会放弃，准确地判断
把该放弃的放弃，就为你多得 1 分提供了前提。
4.冷静一下，表面是耽误了时间，其实是为自己赢得了机会，可能创造出奇迹。在头脑混乱的时候，不
妨停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你就会得到灵感。
5.题目分析受挫，很可能是一个重要的已知条件被你忽略，所以重新读题，仔细读题才能有所发现，不
能停留在某一固定的思维层面不变。联想你做过的类似的题目的解题方法，把不熟悉的转化为你熟悉的也
许就是成功。
6.高考只是人生的重要考试之一，其实人生是由每一分钟组成的。把握好人生的每一分钟才能真正把握
人生。高考就是平常的模拟考试罢了，其实真正的高考是在你生活的每一分钟里。
一、考前准备
1．调适心理，增强信心
（1）合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考；
（2）合理安排饮食，提高睡眠质量；
（3）保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示；
（4）静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。
2．悉心准备，不紊不乱
（1）重点复习，查缺补漏。对前几次模拟考试的试题分类梳理、整合，既可按知识分类，也可按数学思
想方法分类。强化联系，形成知识网络结构，以少胜多，以不变应万变。
（2）查找错题，分析病因，对症下药，这是重点工作。
（3）阅读《考试说明》和《试题分析》，确保没有知识盲点。
（4）回归课本，回归基础，回归近几年高考试题，把握通性通法。
（5）重视书写表达的规范性和简洁性，掌握各类常见题型的表达模式，避免“会而不对，对而不全”现象
的出现。
（6）临考前应做一定量的中、低档题，以达到熟悉基本方法、典型问题的目的，一般不再做难题，要保
持清醒的头脑和良好的竞技状态。
3．入场临战，通览全卷
第 48 页 共 78 页
最容易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平稳是非常重要的。
刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不要匆忙作答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取更多的信息，为实施
正确的解题策略作铺垫，一般可在五分钟之内做完下面几件事：
（1）填写好全部考生信息，检查试卷有无问题；
（2）调节情绪，尽快进入考试状态，可解答那些一眼就能看得出结论的简单选择题或填空题（一旦解出，
信心倍增，情绪立即稳定）；
（3）对于不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略地分为 A、B 两类：A 类指题型比较熟悉、容易
上手的题目；B 类指题型比较陌生、自我感觉有困难的题目，做到心中有数。
二、高考数学题型特点和答题技巧
1．选择题——“不择手段”
题型特点：（1）概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这
个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强，试题的陈述和信息的传递，都是以数学的学科
规定与习惯为依据，决不标新立异。
（2）量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容，在
高考的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大，而且许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不
是简单或机械的计算问题，其中往往蕴含了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定量计算紧
密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点。
（3）充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。作为数学选择题，尤其是作为选
择性考试的高考数学试题，只凭简单计算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在，绝大
多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力。思辨性的要
求充满题目的字里行间。
（4）形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，并不是孤立开
来分割进行的，而是有分有合，将它们辩证统一起来。这个特色在高中数学中已经得到充分的显露。因此，
在高考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代
数选择题中往往又寓有几何图形的问题。因此，数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种
重要且有效的思想方法与解题方法。
（5）解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出，尤其是数学选择题由于它
有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大
大地增加了解答的途径和方法，而且常常潜藏着极其巧妙的解法，有利于对考生思维深度的考查。
第 49 页 共 78 页
解题策略：（1）注意审题。把题目多读几遍，弄清这道题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关
系，把题目搞清楚了再动手答题。
（2）答题顺序不一定按题号进行。可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进
入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。若有时间，再去拼那些把握不大
或无从下手的题目。这样也许能超水平发挥。
（3）数学选择题大约有 70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和
使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。
（4）挖掘隐含条件，注意易错、易混点，例如集合中的空集、函数的定义域、应用性问题的限制条件等。
（5）方法多样，不择手段。高考试题凸显能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含
特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速
作答。不要在一两道小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是
要做对”，即使是“蒙”，也有 25%的正确率。
（6）控制时间。一般不要超过 40 分钟，最好是 25 分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解
答题留下充裕的时间，防止“超时失分”。
2．填空题——“直扑结果”
题型特点： 填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，
答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等，不过填空题和选择题也有质的
区别。首先，填空题没有备选项，因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足。
对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些。长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，
也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些
内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活，在对题目的阅
读理解上，较之选择题有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。
填空题的考点少，目标集中。否则，试题的区分度差，其考试的信度和效度都难以得到保证。这是因为：
填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因，
有的可能是一窍不通，入手就错了；有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况
一样，可以得到相同的成绩，尽管他们的水平存在很大的差异。
解题策略：由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针
对不同的特征给几条建议：
一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答时必须按规则
进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断；
第 50 页 共 78 页
二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病
便是零分；
三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运
算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，防止操之过急；全——答案要全，避免对而不全；活——解题
要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
3．解答题——“步步为营”
题型特点：解答题与填空题比较，同为提供型的试题，但也有本质的区别，首先，解答题应答时，考
生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明，填空题则无
此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、准确；其次，解答题比起填空题试题内涵
要丰富得多，解答题的考点相对较多，综合性强，难度较高，解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要
看其推演和论证过程，分情况判定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度较之填空题大得多。
数学解答题的评分办法：数学高考阅卷评分施行懂多少知识给多少分的评分办法，叫做“分段评分”。而考生
“分段得分”的基本策略是：会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。会做的题目若不注意准确
表达和规范书写，常常会被“分段扣分”，有阅卷经验的老师告诉我们，解答立体几何题时，用向量方法处理
的往往扣分少。解答题阅卷的评分原则一般是：第一问，错或未做，而第二问对，则第二问得分全给；前
面错引起后面方法用对但结果出错，则后面给一半分。
解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，
考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课
本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列
几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差
导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，例如平面解析几何中的圆锥曲线问题就要求较强
的运算能力；⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译
成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出
解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的
人解决的少。为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段
评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，
会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个
老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，
但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、
第 51 页 共 78 页
考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则
更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题
策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系
列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，
尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演
算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看
能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中
力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再
写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，
可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般
退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，
退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还
会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的
步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应
用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完
后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规
范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
（3）能力不同，要求有变： 由于考生的层次不同，面对同一张数学试卷，要尽可能发挥自己的水平，
考试策略也有所不同。针对基础较差、以二类本科为最高目标的考生而言要“以稳取胜”——这类考生除了知
识方面的缺陷外，“会而不对，对而不全”是这类考生的致命伤。丢分的主要原因在于审题失误和计算失误。
考试时要克服急躁心态，如果发现做不下去，就尽早放弃，把时间用于检查已做的题，或回头再做前面没
做的题。记住，只要把你会做的题都做对，你就是最成功的人！针对二本及部分一本的同学而言要“以准取
胜”——他们基础比较扎实，但也会犯低级错误，所以，考试时要做到准确无误（指会做的题目），除了最
后两题的最后一问不一定能做出，其他题目大都在“火力范围”内。但前面可能遇到“拦路虎”，要敢于放弃，
把会做的题做得准确无误，再回来“打虎”。针对第一志愿为名牌大学的考生而言要“以新取胜”——这些考生
第 52 页 共 78 页
的主攻方向是能力型试题，在快速、正确做好常规试题的前提下，集中精力做好能力题。这些试题往往思
考强度大，运算要求高，解题需要新的思想和方法，要灵活把握，见机行事。如果遇到不顺手的试题，也
不必恐慌，可能是试题较难，大家都一样，此时，使会做的题不丢分就是上策。
高中数学，完完全全的题海战术，完完全全的是靠你做出来的！想提高？看看书，总结总结知识点，
似乎没有什么用处！现在临近高考了，还有什么方法能提高数学分数呢？
这个时候如果还去谈知识点和方法，似乎太晚了一点，那我们就直入主题吧！
先来说说解三角形，这一题基本上是在 17 或 18 题的位置，对于大多数的同学来说几乎没什么问题，
但对于一些体育艺术生来讲依然是一个问题，即使是这样子，其实我们还是可以偷到一些分数的，比如
【2020•新课标高考全国 II 卷 17】 ABC△ 中， 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C .
（1）求 A ；
（2）若 3BC ，求 ABC△ 周长的最大值．
【解析】：（1）在 ABC△ 中，设内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c
因为 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C
由正弦定理得， 2 2 2a b c bc ，即 2 2 2b c a bc
由余弦定理得，
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
因为 0 A ，所以 2
3A
（2）由（1）知 2
3A ，因为 3BC ，即 3a
由余弦定理得， 2 2 2 2 cosa b c bc A
所以 9= 2 2 2( )b c bc b c bc
由基本不等式
2
b cbc ≤ 知
2( )
4
b cbc ≤ ，结合上式得
2 239 ( ) ( )4b c bc b c ≥ , 2( ) 12b c ≤ ，所以 2 3b c ≤
当且仅当 3b c 时取等号，所以 ABC△ 周长的最大值为 3 2 3
对于大多数的解三角大题来讲，第（1）问一般考查的是正弦定理，边角互化，所以只要你能写出正弦
定理一般都会得分，或者将已知条件中的边直接换成相应角的正弦值（或反之），基本上都是对的，也会
第 53 页 共 78 页
得上 1 到 2 分，第（2）问考查的是余弦定理，如果涉及面积就把面积公式列出来，那么就有可能会得分。
当然如果你是高手，这道题就完全没问题了。
再来说说解析几何，通常是倒数第一或倒数第二道解答题，难度是比较大的，比如：
【2020•新课标高考全国Ⅰ卷 20】已知 ,A B 分别为椭圆
2
2
2: 1( 1)xE y aa
的左、右顶点，G 为 E 的上
顶点， 8AG GB ， P 为直线 6x 上的动点， PA 与 E 的另一交点为 C ， PB 与 E 的另一交点为 D .
（1）求 E 的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点.
【解析】：（1）由题意， ( ,0)A a ， ( ,0)B a ， (0,1)G ，所以 ( ,1)AG a ， ( , 1)GB a ，
2 1 8AG GB a 2 9 3a a ，所以椭圆 E 的方程为
2
2 19
x y .
（2）依题意可设点 (6, )P m ，则直线 PA 的方程为 ( 3)9
my x ，①
联立
2 29 9
( 3)9
x y
my x
，得 2 2 2 2(9 ) 6 9 81 0m x m x m ，②
由韦达定理有
2
2
9 813 9C
mx m
，即
2
2
3 27
9C
mx m
，将其代入直线 PA 的方程，可得 2
6
9C
my m
，所
以
2
2 2
3 27 6( , )9 9
m mC m m
.③
易知直线 PB 的方程为 ( 3)3
my x ，④
联立
2 29 9
( 3)3
x y
my x
，得 2 2 2 2(1 ) 6 9 9 0m x m x m .⑤
由韦达定理有
2
2
9 93 1D
mx m
，即
2
2
3 3
1D
mx m
，将其代入直线 PB 的方程为 ( 3)3
my x ，可得
2
2
1D
my m
，即
2
2 2
3 3 2( , )1 1
m mD m m
.
第 54 页 共 78 页
所以直线 CD 的斜率
2 2
2 2 2
2 2
6 2
49 1
3 27 3 3 3(3 )
9 1
CD
m m
mm mk m m m
m m
，其中 3m
进而直线 CD 的方程为
2
2 2 2
2 4 3 3( )1 3(3 ) 1
m m my xm m m
，
化简得 2
4 3( )3(3 ) 2
my xm
， ( 3)m ，直线 CD 过定点 3( ,0)2
当 = 3m 时，
2
2
3 27 3=9 2C
mx m
，
2
2
3 3 3=1 2D
mx m
，则直线 CD 过定点 3( ,0)2
综上所述直线 CD 过定点 3( ,0)2
．
很多同学做完第(1)小题后，就不再往下思考了，一是“感觉”题目难度比较大，二是时间可能也比较紧
张了，那么我们注意上面标注①到⑤的这几个步骤，基本上只要是直线与圆锥曲线位置关系问题，这几个
步骤都是“理所当然”的，没有难度，也不需要大量的计算，基本上属于“套路”的形式，但就是这样的几个步
骤，足以让你得到 3～4 分，加上第(1)小题的 5 分，已经是 8～9 分了，对于通常省平均只有 3～5 分的题来
说，你岂不是遥遥领先了么。
类似地，我们再看一道题（函数导数题）：
【2020•高考新课标 I 卷 21】已知函数 2( ) exf x ax x .
（1）当 1a 时，讨论 ( )f x 的单调性；
（2）当 0x
时， 31( ) 12f x x
，求 a 的取值范围．
【解析】：（1）当 1a 时， 2( ) exf x x x ，
( ) e 2 1xf x x ，记 ( ) ( )g x f x ，因为 23( ) e 2 12
xh x x ax 所以 ( )g x 在 R 上单调递增，即 ( )f x
在 R 上单调递增，又因为 (0) 0f ，
所以当 0x 时， ( ) 0f x .
所以 ( )f x 的单调增区间为 (0, ) ，减区间为 ( ,0) .
（2）当 0x
时， 31( ) 12f x x
恒成立，
法一：当 0x
时， 31( ) 12f x x
恒成立，即当 0x
时，
3 21 12 1 0ex
x ax x
恒成立，
第 55 页 共 78 页
记
3 21 12( ) 1ex
x ax x
g x
( 0)x
， ( 2) (2 1)( ) 2ex
x x x ag x
( 0)x
，
（i）当 2 1 0a ，即 1
2a 时，
当 (0,2)x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (0,2) 单调递减，
当 (2, )x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (2, ) 单调递增，
所以
2
min 2
7 4 e[ ( )] (2) e
ag x g ，
由 ( ) 0g x
恒成立，可得
2
2
7 4 +e 0e
a
即
27 e
4a
，因为
21 7 e
2 4
，所以无解；
（ii）当 0 2 1 2a ，即 1 1
2 2a 时，
令 ( ) 0g x 得 1 2 1x a 或 2 2x ，
当 (0,2 1)x a 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (0,2 1)a 单调递增，
当 (2 1,2)x a 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (2 1,2)a 单调递减，
当 (2, )x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (2, ) 单调递增，
所以 min[ ( )] min{ (0), (2)}g x g g ，
由 ( ) 0g x
恒成立，可得 (0) 0g
且 (2) 0g
，解得
27 e 1
4 2a ≤
（iii）当 2 1 2a ，即 1
2a 时，
当 0x 时， ( ) 0g x 恒成立，所以 ( )g x 在 (0, ) 单调递增，
所以 min[ ( )] (0) 0g x g ，所以当 0x 时， ( ) 0g x
恒成立符合题意；
（iv）当 2 1 2a ，即 1
2a 时，
令 ( ) 0g x 得 1 2x 或 2 2 1x a ，
当 (0,2)x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (0,2) 单调递增，
当 (2,2 1)x a 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (2,2 1)a 单调递减，
第 56 页 共 78 页
当 (2 1, )x a 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (2 1, )a 单调递增，
所以 min[ ( )] min{ (0), (2 1)}g x g g a ，
由 ( ) 0g x
恒成立，可得 (0) 0g
且 (2 1) 0g a
，
因为 (2 1)g a
2 1 2
2 1
1e (2 1) (2 1) 12
e
a
a
a a
，
记 21( ) e 12
xG x x x ，当 0x 时， ( ) e 1 0xG x
恒成立， ( ) e 1xG x x ， 所以 ( )G x 在
(0, ) 单调递增，所以 min[ ( )] (0) 0G x G ，
所以 ( ) 0G x 恒成立，所以 ( )G x 在 (0, ) 单调递增，所以 min[ ( )] (0) 0G x G ，
所以 (2 1) 0g a ，所以当 1
2a 时，符合题意；
综上， a 的取值范围为
27 e[ , )4
.
情况（iv）另解：
当 2 1 2a ，即 1
2a 时， 2 0ax
，
所 3 2 31 1( ) ( 1) 1 ( 1) 12 2
x xg x x ax x e x x e
以，
构造函数 31( ) ( 1) 12
xx x x e ，
求导得 1( ) ( 1)( 2)2
xx x x x e ，令 ( ) 0x 得到 1 0x ， 2 1x ， 3 2x ，
当 (0,1)x 时， ( ) 0x ， ( )x 在 (0,1) 单调递增，
当 (1,2)x 时， ( ) 0x ， ( )x 在 (1,2) 单调递减，
当 (2, )x 时， ( ) 0x ， ( )x 在 (2, ) 单调递增，
所以 min[ ( )] min{ (0), (2)}x ，而 2
7(0) 0, (2) 1 0e
从而 min[ ( )] (0) 0x ，所以当 1
2a 时， ( ) 0g x
恒成立；
法二（2） (i)当 0x 时， Ra ；
（ii）当 0x 时，即
3
2
1 1 e2
xx x
a x
恒成立，
第 57 页 共 78 页
记
3
2
1 1 e2( )
xx x
h x x
，所以
2
3
1(2 )(e 1)2( )
xx x x
h x x
，
记 21( ) e 12
xg x x x ，因为当 0x
， ( ) e 1 0xg x
恒成立， ( ) e 1xg x x ， 所以 ( )g x 在
(0, ) 单调递增，所以 min[ ( )] (0) 0g x g ，
所以 ( ) 0g x
恒成立，所以 ( )g x 在 (0, ) 单调递增，所以 min[ ( )] (0) 0g x g ，
令 ( ) 0h x 可得 2x ，当 (0,2)x 时， ( ) 0h x ， ( )h x 在 (0,2) 单调递增，
当 (2, )x 时， ( ) 0h x ， ( )h x 在 (2, ) 单调递减，
所以
2
min
7 e[ ( )] (2) 4h x h .所以
27 e
4a
.
综上， a 的取值范围为
27 e[ , )4
.
这道题放在压轴题的位置，许多考生看到后直接放弃，导致省平均在 1 分以下(满分可是 12 分哦)，其
实作为导数问题，基本上与切线、单调性、最值等问题有关，因此，第一步：求出导数，拿下 1 分(也可能
2 分)，你就已经领先于平均水平了，接下来，基本上就是令导函数值等于 0，找出原函数的拐点，便可定出
单调区间，即使求的是函数的极值(最值)也一样可以做到这一步，这些通常也只需要会解一元二次不等式即
可，到这里分数通常也就是 3～5 分了。当然，对于多数中档同学(甚至数学较差的同学)，如果不是运气太
好，遇上高考试卷整体降低难度，或者前两天刚刚做了这道原题的话，我们也不要在最后两道难题上花太
多力气，那是给考清华、北大的同学准备的，而且，即便具备了考清华、北大能力的同学也不一定能得满
分，那现在两道题得分都在 10 分以上了，你还有什么理由心情不舒畅呢。
四、考场注意篇
高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和
总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考数学的重要内容之一，正确运用数学高考临场
第 58 页 共 78 页
解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，
建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。
一、调整大脑思绪，提前进入数学情境
考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进
入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的
自我安慰，从而稳定情绪、增强信心，减轻压力、轻装上阵，使思维单一化、数学化，以平稳自信、积极
主动的心态准备应考。
二、“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场
集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注
意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制
思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。
三、沉着应战，确保旗开得胜，以振奋精神
良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求
成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”
的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门
坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
四、“六先六后”，因人因卷制宜
在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于
积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金时间了。这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试
题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。即先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际情况，果断跳过“啃”不动的题目，从易到
难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
2.先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失
措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先
熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较透彻、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在
拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中、高档题目的目的。
3.先同后异。即先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位
时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的
跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。
第 59 页 共 78 页
4.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在解答大题之前尽快
解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础。
5.先点后面。近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一
步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。
6.先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题
都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。
五、一“慢”一“快”，相得益彰
有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结
果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，
题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形
成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。
六、确保运算准确，立足一次成功
数学高考需要在 120 分钟时间内完成 22 道题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽
量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上的，更
何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的
前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也毫无意义。
七、讲求规范书写，力争既对又全
考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范。会而不对，
令人惋惜;对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。
因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感
情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”。“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。
第 60 页 共 78 页
第 61 页 共 78 页
八、面对难题，讲究策略，争取得分
会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，
下面有两种常用方法：
1.缺步解答。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一
系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进
行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设
应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。还有像完成数学归纳法的第
一步，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分。而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一
般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。
2.跳步解答。当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如
得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径;如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一
过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底;另
外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。也许后来由于解
题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。
九、以退求进，立足特殊，发散一般
对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊(如用特殊法解选择题)，化
抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。总之，退到一个你能够解决
的程度上，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决。
十、执果索因，逆向思考，正难则反
第 62 页 共 78 页
对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的
进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条
件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。
十一、回避结论的肯定与否定，解决探索性问题
对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的
推理与讨论，则步骤所至，结论自明。
十二、应用性问题思路：面—点—线
解决应用性问题，首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”;透过冗长叙述，抓住重点词句，提
出重点数据，此为“点”;综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，此为“线”。如此将应用性问
题转化为纯数学问题。当然，求解过程和结果都不能离开实际。
随着科技的发达，现在越来越多的考试都采用电子阅卷，尤其是中高考。今天就和大家聊聊高考数学
方面的阅卷以及考生需要注意的地方。
走近电子阅卷，看看试卷在阅卷人眼中呈现的样子。
一、扫描
1.如果不使用规定的 2B 铅笔，可能识别被误判为“空选”，造成失分。
第 63 页 共 78 页
2.蓝色钢笔书写后，扫描字迹较浅，若无法辨认，容易误判或不给分。
3.作图未使用规定铅笔，或下笔太轻，会造成扫描看不清楚，请慎重。
第 64 页 共 78 页
4.语言表述需简明扼要，勿超出答题区域。
二、阅卷
1.主观题和客观题
一般客观题为选择题，由电脑自动阅卷完成；主观题为填空题、解答题，划分区域后，由人工网上阅
卷完成。改卷中存在争议的部分，往往都是主观题部分。
2.正评和仲裁
每次考试，一般每道题由两位老师独立评分，即为正评。
评卷前会在系统内设定一个允许误差，比如 1 分，若两位老师评分不超过允许误差，则得分按均值计
算；若评分超过允许误差，则试卷提交到第三位老师进行仲裁，作为最终结果。考试按不同题型分类，允
许误差为 0 分或 1 分。
3.评卷误差的产生
评卷误差的产生，主要有两个原因：一是解题过程的规范性，二是书写的规范性。
由于解题过程的不规范，其实是方法掌握得不够全面，各题迥异不具代表性，这里主要展示一些书写
规范性的问题。
2 险的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。
第 65 页 共 78 页
②解答题未化简到最终结果可能会多扣分；填空题以下三种情况未化简则全扣。
3 千万别和阅卷老师开玩笑，情节严重者，本题即使有部分正确依然 0 分处理。
第 66 页 共 78 页
建议同学们要注意平时作业和考试中的书写，一定要非常规范，养成良好的习惯，这样在高考中就会
很自然地书写规范，考出自己满意的成绩！
三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面，具体包括以下 6 点：
1.卷面清洁，这是最基本的要求；
2.书写工整，字迹清晰；
3.在规定的答题区域答题，否则做无用功；
4.表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述；
5.语言要简洁，答中要害；
6.语言表述要规范，尽量用专业术语。
如果卷面做到了以上 6 点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的高考评分原则下，将无形中增加
了多得分的砝码。
四、以下是网上阅卷中发现的考生答题不规范的典型情况：
1.字迹潦草
问题一：字迹潦草、字迹过淡的情况不少。高考阅卷是在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没有平
时纸质阅卷那么清晰易认，加上高考阅卷时间短、任务重，因此字迹不清楚的试卷是不受阅卷老师欢迎的。
【应对】书写差的学生应加强书法练习，不仅每个字要力争书写工整、大方，而且整个卷面要做到干
净、清洁；答题卡答题范围设置是假定用三号字书写两倍正确答案字数的大小，考生无需担心字写大了书
写空间不够；考试时统一要求学生使用配套的 0.5mm 考试专用水芯笔，避免笔迹过淡或过浓导致扫描不清
晰。
第 67 页 共 78 页
2.题号填涂与作答不符
问题二：试卷中有选考题，要求考生除了答出所选题目的答案外，还要在答题卡中将相应的选择题号
涂黑，而部分考生出现答题内容与所涂题号不一致的情况，这样做，该题 0 分。例如，考生涂的是 39 题题
号，答的却是 40 题的内容，只能得零分。
【应对】答选考题时，一定要头脑清醒，选定要答的题目一定要涂对题号，否则白费了工夫，还不得
分。
3.超出规定区域答题
问题三：部分学生还没想好便匆忙答题，以至于格式没安排好，超出了该题预留的答题位置。在网上
阅卷中，超出规定区域的答案无效。
【应对】答大题时，想好了再动笔，先答什么，后答什么，要有条理，不能写了半天还没入主题，重
要的东西没地方写了，再东找点地方，西找点地方写，结果不得分。
4.答案分块
问题四：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。“分块”现象容易导致阅卷老师漏阅得分点，造成
赋分过少的现象。
【应对】高考试题中的非选择题一般是一个要点 2 分。因此，书写答案前先确定需要书写的要点个数，
规划好答案的整体布局，在书写前对答案打好草稿，然后从左上角往右下角书写，这样就不会出现图示的“分
块”现象；备考过程中加强对高考非选择题答案的揣摩，分析答案要点有几个，答案依据在哪，为什么只答
这几个要点等。做到答题时条理分明，避免书写之后又补充答案的现象。
5.答案不分层次
问题五：不少考生答一道大题时，没有层次，一口气写了一大段，让阅卷老师很难查找知识点。
【应对】对于一道需要答出很多采分点的大题，考生作答时要尽可能做到有层次，这样能让阅卷老师
感觉到该考生思路是清晰的，便于得高分。
6.作图不规范
问题六：部分学生在答题卡上作图不清晰，要不过淡，要不就东一条线、西一条线，擦又没擦干净，
显得很脏，这让阅卷老师很难辨识清楚。
【应对】作图题要本着清晰、干净的原则，该用尺子的地方一定要用尺子，线条要重些，但又不能让
其看起来显得很脏。
7.出现删除符号
问题七：部分考生匆忙答题，答错了一段，便用删除符号大面积删掉。
第 68 页 共 78 页
【应对】往年高考中允许使用白纸“打补丁”，而现在高考则取消了“打补丁”。因此，很多学生感觉答题
出现错误时，往往使用删除符号划掉部分字词，这是一个极其错误的思维定势。
高考阅卷有一个“采点得分”原则，即只看对的答案。只要不是同一句话中前后矛盾，那么即使是错误的
答案也不会影响考生应得分数。因此，在不允许“打补丁”的前提下，已经书写的答案就不要使用删除符号。
解决方案：1.如果答案中已经用数字标注①、②、③等，则无需进行修改。2.如果没有使用数字标注的
习惯，则在认为要删除的答案前后标上句号，使其与别的答案存在并列关系。
五、数学阅卷中给考生在考试中发挥提几点意见：
1.发挥最大潜能，让考分达到最大值，忽略其他一切与考试无关的东西。
2.立体几何第 1 问一般较为简单，用一般知识即可解决，不必用空间向量求解，但第 2 问一般都要建坐
标系用向量求解。
3.由于每道大题答题框面积有限，故答题只能写必要关键步骤，有些课本上没有的常规结论直接使用。
4.如果将前面的过程写得过细，必然会导致后面拥挤，关键的内容没有写上。
5.大家知道，大题不能留空白，“会而不对”的题将涉及的知识套上去，必要时用“瑕疵”法求解。
6.大胆使用归纳、类比，赋值法。
7.熟知高考数学解答题的评分标准：解答题评分的大思想“踩点给分”，先由评卷全体老师把该题可能有
的解法都解出来，每种解法，细化步骤，讨论哪一步给多少分，直到评卷组长通过为止。
8.做题的几个原则：①先易后难，先熟后生；②一慢一快：审题要慢，做题要快；③不能小题难做，小
题大做，要小题小做，小题巧做；④基础题要拿满分，难题力争多得分，似曾相识题力争不失分；⑤考试
不怕题不会，就怕会题做不对。
六、评分细则举例
第 69 页 共 78 页
说明： 1、上述评分细则中方框处是主要的得分点；
2、若证明过程不完整，除给结论分外，其他得分点见式给分；（这次阅卷要求若证明过程有扣分情况，
则没有结论分）.
3、评分原则注重数学的基础知识，基本技能和数学的思想方法，真正做到“给分有理，扣分有据”。
第 70 页 共 78 页
五、考后调整篇
当赛事已完，赛完人散，在等待结果的日子，你们会惴惴不安。枕着希望，进入梦乡，期待佳音，迎接黎
明；害怕失望，黄昏已至，又将明天，该何去何从！其实这段时光你们人生真正的学习才刚刚开始，凡事
预则立，不预则废，你们该如何谋定在先，去面对人生的第一个十字路口，只不过大多数人忘了思考，没
有去想，或者不愿去想，在这无奈而又无所事事的时光里该做些什么？
一、考后的三种普遍心态
个案 1:放纵型考生
在“黑色”的大考过后，小林把自己接下来的三天三夜“奉献”给了 KTV，所有同学、好友甚至老师都接到
“邀请”，可算是彻彻底底地当了一回疯狂的麦霸；接着是几天的通宵到网吧上网……
分析：放纵型的考生之所以选择疯狂，主要是因为长期受到压抑，一下子得到完全的释放而有点变得
忘乎所以，也可能因为这次考得的确不错，过于兴奋而难以自制。但如此放纵对于刚考完试的同学的身心
来说极易造成过度疲劳而产生危害，例如过度用嗓、用眼而导致声带、眼睛的损坏。
对策：合理作息，健康休闲
建议该类考生要适当而渐进性地放松，不宜过于放纵。况且这一时期还有估分、填报志愿等重要的事
情要做。可以考虑跟家长或者同学做一个合适的、循序渐进的减压放松计划。如可以去打打球，陪父母逛
逛街，或者跟朋友聊聊天等。同时建议考生，考试结束后不要完全丢掉学习习惯，而应规划“调整性学习”，
比如阅读自己感兴趣的文学作品，广泛涉猎各领域的知识，拓宽自己的知识面，为即将到来的新学期学习
生活做好准备。
个案 2：挫败型考生
“今年考砸了，有很多题型平时根本没见到过，考着考着就慌了手脚。第一门很容易，本以为今年的考
试总体来说难度不大，没想到竟然败在了自己的强项数学手上。哎！这一辈子都没希望了……”平时数学不
错的小李不无遗憾地说。
分析：有这种心态的考生一般都把高考的失败看作前途的终结，将人生的路看得过于单一。所以，他
们就会长吁短叹、愁眉苦脸，反复咀嚼自己在某一学科上的失败和痛苦，只看到自己的缺点，看不到自己
的优点。同时觉得自己考得不如别人，低人一等。
对策：正确评估自己，转移注意力
应对这种心理的关键就是要正确评估自己。每个考生都应当在考后好好反省，全面分析考试胜败的原
因，客观评价自己，既不要盲目夸大自己的优点，也不要把自己评价过低。考生一旦对自己有了一个正确
的评价，也就能够比较客观地对待考试的成败得失，真正做到“不以物喜，不以己悲”了。同时，还要懂得，
高考也带有一定的偶然性，大考的竞技场上，既有成功者，也一定有失败者。因此，千万不能凭一次成败
论英雄。同时不妨采取转移注意的方法，避免不良情绪的困扰。例如数学科目考得不好，那就不要再想数
第 71 页 共 78 页
学，而是想想自己考得好的科目。同时也可以多做些力所能及的家务，或听听音乐、看看电视，或拜访亲
戚朋友，分散或转移对挫折的注意，使考试失败的阴影逐渐淡化，从而有效地防止挫败感和焦虑感的产生。
个案 3：内疚型考生
“爸爸妈妈，我对不起你们，这么简单的考试都考砸了。”一位考生走出考场后面对焦急等待的父母，泪
流满面，伤心欲绝。而她的父母也在一边不知所措，刚想安抚孩子，这位考生反而哭得更厉害了。
分析：产生内疚心理的考生很多都是因为考前得到了家长和亲戚无微不至的关怀和照顾，得到老师无
私的帮助和激励，本想考上一所理想的学校以示报答，结果心想事不成，遂产生了愧对家长与老师的内疚
心理。一些过度内疚的同学还会因此整天闷在家里，避免会亲访友，减少了与人交往的机会（独处，不合
群，过分地自我封闭），严重者甚至会产生抑郁症。
对策：多参加活动，多与父母交流
此类同学，要化内疚为力量，勇敢地站起来，不要沉浸在内疚之中，要尽快走出这个误区。可以选择
一些集体活动，一般来说，和同学在一起可以减轻自己的压力，也可以在家看看书，看看伟人的传记；还
可以进行适当的学习。
二、2021 赢在志愿专业
尖子生选一流大学 中等生选合适专业
2021 高考填报志愿——高考如何报专业？大学里各种专业真实情况到底是怎样的呢?
【电子商务】无论是中专还是重点大学都有的专业。名字很好听，但是学的东西广而不深，不仅要学
计算机还要学经济贸易和会计，每学期的课都无比的多。一般的人毕业以后估计就是去开个小淘宝店了，
少之又少的人可以进像阿里巴巴这种企业。要报考的同学请三思!
【商贸英语】就业面很广。主要学习商务方面的知识，比起师范类的学生来说，英语方面的要求比较
高，要了解掌握商务方面的专业词汇，要学习商务信件，学习关于整个商业的流程，整个会议的流程。总
之商贸英语很有意思的，以后可以去外企工作的喔，这是这个专业的绝对优势。
【会展经济与管理】新兴专业，就业面广，人才需求量大，薪酬高。排行十大本科专业之一;对学生综
合素质要求高，课内外实践多;要求较高英语水平;毕业后可去酒店、展会公司或者会展中心工作。属于旅游
管理下二级学科，有丰富有趣的选修课程，如调酒茶艺实训等。
【化学】师范类会很苦逼，无机化学，分析化学，有机化学，物理化学，结构化学等等，只有不想学
的，没有学不到的，教育学，心理学，普通话，书法，各种教育技能课程，你需要文科生背诵功力，还需
要理科生的计算实力，当然工作还是很好找的，继续深造已是大势所趋!
【建筑学】工科与艺术的结合。既需要学习工科知识也要学习美术艺术，建筑设计是核心。学起来较
累，尤其在工程制图与建筑模型方面需要耗费大量的时间精力，而且略显枯燥，需要经常熬夜甚至通宵。
以后对口就业多的即是去建筑师事务所工作。
第 72 页 共 78 页
【通信工程】这是一个充满实验的学科，主要围绕两个科学家开展：傅里叶和拉普拉斯。主要学习课
程：单片机，模拟电子，数字电子，信号与系统，高频电子线路，电磁场，通信原理，数字信号处理等一
系列课程，对物理，编程尤其是数学不感兴趣的请慎报!
【汉语言文学】这是一个神奇的专业，它几乎对中国五千年的文字记载无所不包，主要课程有现代汉
语、现代文学三十年、世界文学、写作等等，课程多，压力大，就业方向广，政府行政、文秘、教师、文
员等，喜欢文学和文字的孩子可以选择报考。
【学前教育】这是幼师的一大“爱称”，说白了就是幼儿园老师，此专业此前活跃在各大县市职教中心，
最近几年本科中也出现了它的身影，原因不明。如果你打算本科毕业之后和大专同专业学生享受相同待遇，
欢迎参考。
【机械工程与自动化】这一行听起来很霸气，其实不是把一个小机器从中间砍断让你画剖视图，就是
让你考中级工证时做个小螺丝，或回到远古时代磨一个锤头。重点大学还好点，普通大学建议果断弃选。
【热能与动力工程】包括动力机械、制冷、工程热物理、能源与环境四个方向。涉及机械和力学方面
课程较多，对数学、物理要求高，物理不好的谨慎报考。该专业目前人才紧缺，就业前景较好，方向主要
是在汽车公司、制冷和空调企业以及锅炉汽轮机等企业从事实验设计等工作。
【中药学】需要记忆几百种常用中药，不要以为只需要记忆，这个专业还有无穷无尽的化学，需要学
习一切与化学相关的学科，不喜欢化学的慎重选择。没多大追求的毕业后会进药房或药店卖药，口才好的
去做医药代表，一般的可以去制药公司或药监局，学霸型就安心做研究吧。
【新闻学】学习的东西很多，包括新闻摄影、编辑、广播电视等。并不像大家想象中的那样，各地跑。
其实有很多枯燥的课程，比如中国、外国新闻事业史等。很多的院校现在都开设了这个专业，专业本身对
学生没有太多要求，但是之后的工作会有很大的挑战，而且现在传统媒体的优势下降，如果有更好的专业
选择还是不建议选择这个专业。
【新闻传播学类】相比传统的小专业，大的专业学类能让大家学到更广泛的专业基础知识，在一年半
的通识教育后对各个小专业有所了解后再做选择，避免了冲动选择。广告学，新闻学，编辑出版，广电新
闻，想成为新闻媒体工作者的同学们可以考虑。
【心理学】心理学看起来很美好，事实上学习没有想象中那么有兴趣，不学算命，不学一眼能看透别
人的心理，不是半仙，学的是心理学基础流派咨询技巧，有些课枯燥，对口工作主要是心理老师和咨询师，
本科毕业需要深造才能当咨询师，就业前景没有想象中好，有兴趣的可以报考。
【大气科学类】综合数学、物理、化学等基础学科研究成果，充分应用高性能计算机的运算实力，这
是一个冷门学科，却和我们的生活息息相关。天气预报，大气探测，雷电防护，人工影响天气，大气污染
治理……就业方向一般为气象、航空、海洋等部门，欢迎加入气象人!
第 73 页 共 78 页
【环境工程】这是一个工科的专业，在大一专业课方面主要学习基础理论和工程制图，这是一个需要
有想象力和动手能力的专业，如果你在实验，想象力方面不是很能接受的话，不建议你报考!环境工程专业
学的东西很宽泛，不够透彻，只是蜻蜓点水，没有当初想的好!
【风景园林专业】比起经济类的专业，我们的学习更充实、更多彩;比起纯理科的专业，我们的生活更
有趣、更丰富;比起文史类专业，我们的学习生活更理性、更充满挑战。风景园林，一个充满艺术风情、充
满理性思考、充满艰苦奋斗的专业!
【历史学专业】各位对历史感兴趣的同学明确一点，是想将历史作为爱好，还是作为要从事的方向。
爱好和专业不同是很大的。然后，大学历史和高中有很多不同之处，并不是去背史实，而是去发现问题查
找资料解决问题的过程。最后，就业真正对口的方向不多，所以选择的时候要谨慎!
【文化产业管理】高端大气上档次，文化产业投融资。文化产业管理专业旨在培养掌握经济学、管理
学及文化学基本理论与方法，具备较强规划、决策、组织、策划、创意以及沟通表达能力，具备较强社会
调研和信息处理能力，能够在文化产业及相关产业、政府文化管理部门及文化事业单位从事文化经营管理、
市场营销与策划、文化贸易与交流工作的应用型、复合型高级人才。
【预防医学】现在社会中越来越受到重视，其基础课程和临床差不多，但有其自己独特的课程。总体
来说课程压力不是很大(相对的)。毕业以后可以去疾病控制中心、食监药监局、海关等专业工作。工资和管
理参照公务员的制度。相对很轻松啦!
【药学】药学分为制药工、药学和临床药学。药学以化学为基础，基础课有有机化学等，专业课有药
理学、药动力学等，实验课较多。制药工程属工科，工程学类课程较多。药学就业方向有企业单位、医院、
考研比例很大。药学就业前景较好，特别是制药工程方面人才紧缺。
【医学检验】医学检验专业只招理科生。但是却需要文科生的记忆能力。要背的东西太多了。但是将
来就业比较好。检验科压力比临床小。工资比较合适。
【计算机科学与技术】计算机专业学的不是如何修电脑更不是如何使用电脑，计算机是一个孤独的专
业，你要能受得了一个人坐在电脑前很长时间去调试代码或者对着一堆电路板、机器设备反复的实验，你
要对数学和英语感兴趣，这个累人却有着很大乐趣的专业更适合男生。
【交通设备信息工程】主要是修电路和信号、车站信号三条主线，然后电路为：电路原理、模拟电子、
数字电子、单片机原理;信号为：信号与系统、自动控制原理和通信原理;车站信号：铁路信号基础等;有比较
擅长电路的同学可以报考。
【电子信息工程】本专业包括比较多如数字媒体技术、机械电子工程、信息管理与信息系统、电子科
学与技术、信息与通信工程等专业，都是目前市场非常火热专业，就业率高，受考生的喜欢。电子信息类
偏向于电子和信息，而现在互联网的普及，大数据的崛起，电子类更与互联网结合，信息更是与大数据结
第 74 页 共 78 页
合起来，加之人工智能的兴趣，电子信息类产品更是受市场喜欢，这类人才也是非常匮乏，所以如果能在
二本院校学习电子信息类专业，就业情况还是非常好的；如果能继续考研到比较好的一本，那毕业后年薪
将更可观。
【软件工程】本专业该应用比较广、实际操作比较强的一门学科，它涉及到程序设计、数据库、软件
开发及维护、系统平台等方面，在各个行业领域应用非常广。根据《2020 年中国大学生就业报告》显示，
本科专业中软件工程专业连续 3 年绿牌。（注：绿牌专业指的是失业量较小，就业率、薪资和就业满意度
综合较高的专业。）而在最近麦可思发表的女性三年后月收入排行中，软件工程专业的女性毕业生 3 年后
月平均收入也很理想，更不用说男性了。随着互联网的普及，科技创新发展，软件工程专业人才市场缺乏
比较厉害，尤其软件工程专业工程师类人才，一般都是年薪制；并且我国开设软件工程专业院校非常多，
上到 985 名校，下到专科院校，都有软件工程专业，所以对于数学比较好的二本生来说，软件工程是不错
的一个选择。
【师范类专业】值得报考的专业也有很多，首先就是师范类专业，根据国家的政策，近年来对教师的
待遇方面都是有很大的提升，建议大家尽量都报考教师资格证，但是如果跟师范类的同时面试，还是专业
性强一些的占优势的。
三、2021 赢在志愿填报
每年因为志愿填报的问题导致很多高分学子也没有上到好的学校，错失上名校的机会。现为您搜集整
理了高考志愿填报过程中容易出现的十大误区，希望高考生和家长在志愿填报之前能多看看本文，从而避
免出现不必要的失误。高考志愿填报十大误区分别如下：
误区一： 一门心思奔名校
有的考生父母打算为孩子只在本科一批一志愿报考一所心仪 “名校”，二志愿放弃。这种填报志愿方式
欠缺考虑，风险较大，如果孩子分数不够，本科一批一志愿没被报考院校录取，就失去了就读其他一本院
校的机会。不可否认，“211”和“985”高校在硬件、软件上都较优越，能考上名牌大学固然是好事，但完全从
“名牌”出发选高校，不考虑其他因素，特别是专业因素，则是不明智的。更何况，“名牌”大学并非所有专业
都是优势专业，普通高校一些专业也有特色，具有很强的实力。因此，填报志愿时，考生和家长不要只考
虑“名校”，要走出非“名校”不报的误区。
误区二： 不仔细看招生章程
专家提醒考生，填报高考志愿千万别冷落了招生章程，按照教育部的有关规定，“招生章程主要内容包
括：高校全称、校址(分校、校区等须注明)、层次(本科、高职或专科)、办学类型(如普通或成人高校、公办
或民办高校或独立学院、高等专科学校或高等职业技术学校等)，在有关省(区、市)分专业招生人数及有关
说明，专业培养对外语的要求，经批准的招收男女生比例，身体健康状况要求，录取规则(如有无相关科目
成绩或加试要求、对加分或降低分数要求投档及投档成绩相同考生的处理、进档考生的专业安排办法等)，
第 75 页 共 78 页
学费标准，颁发学历证书的学校名称及证书种类等，特别是录取原则将直接关系到考生将来能否被录取，
以及所报专业是否存在体检受限等。
误区三： 志愿之间没拉开梯度
同一批次院校不同志愿之间拉开梯度是非常重要的，在拉开梯度上，风险有所减小，但也不是不考虑。
平行志愿大大降低了考生落榜的风险，同时更突出了高考分数的作用。在考虑梯度问题时，专家认为平行
志愿的最后一个到两个志愿要有相当的保险系数，也就是说，按照往年的分数，考生的分数上最后一个或
者两个平行志愿一定要非常有把握才行。
误区四： 盲目拥挤热门专业
考生在选择专业时，另外一个误区是：盲目拥挤热门专业。各校招办老师表示，自己在咨询时经常被
问道 “今年什么专业热”，“什么专业是好专业”，实际上专业没有好坏之分，只有冷热的差异。盲目挤热门
专业，对考生长远发展非常不利。首先，热门专业分数高，竞争激烈，如果成绩不太突出，竞争实力并非
很强的学生在挤热门专业时，容易落榜。其次，热门专业并不是一成不变的，在市场经济的调节下，专业
的“热”与“冷”总是相对的。再次，热门专业并非都是师资力量强，或是学校的名牌专业。专业热的原因有很
多因素，其中一项最重要的就是部分考生家长太功利性，单纯从眼前就业、待遇、收入来决定专业的选报，
这其实是一种短期行为。随着市场经济的不断完善，部门、行业垄断逐渐被打破，真正对考生有用的还是
在学校学的真本事。
误区五： 只凭名称来选择专业
有些专业虽然名称相同，但仍存在一定的差异，考生在填报志愿选择专业时，还有一个误区是，喜欢
凭着专业的名称来选择专业，而对专业内涵不了解。实际上，不同专业之间所学的课程、发展方向的差异
是非常大的。有些专业虽然名称相同，但仍存在一定的差异。
考生在看专业的时候，一定要详细了解专业的内涵，一般应该了解以下几方面内容：该专业的主干课
程是什么，是否属于特色专业，专业的实力如何，有无硕士、博士，是否是国家重点学科，在国内同类专
业当中居于什么位置，专业发展前景和学生就业去向如何，专业对学生的相关科目成绩和身体状况有无特
殊要求。
误区六： 不服从专业调剂
服从调剂可以增加被录取的机会，但可能被不喜欢专业录取，当考生在报考某院校时分数不占优势(够
了院校提档线，但不够所报专业的专业录取线)，填写“不服从专业调剂”就意味着学校将会作退档处理。每
年高招录取过程中，都有相当一部分考生在填报志愿时，专业志愿没有拉开梯度，没有掌握好专业级差，
或全部填报热门、紧俏专业，且不服从专业调剂而落榜。
第 76 页 共 78 页
对待是否服从所报院校专业调剂，考生要统筹考虑。服从调剂可以增加被录取的机会，但也要做好被
不喜欢专业录取的思想准备。但现在大部分高校可以提供入校后转专业的机会，因此如果考生被调剂到不
喜欢的专业，也可以通过自己的努力换专业或者选修第二学位。
误区七： 平行志愿没有风险
平行志愿填报虽然减少了志愿填报的风险，虽然教育考试部门从减少投档而被退档的矛盾出发把投档
比例定位在 95%，但是仍有 5%的考生投档后可能会被退档。退档的考生，即便是 A 志愿退档，也将直接进
入征求志愿。这是平行志愿填报最大的风险。被退档的理由大致有：高考分数在所有被投档该学校考生中
偏低;填报专业志愿太高，且志愿不服从调剂。当然，如果高校实行“进档即取”的原则，那么只要分数达到
投档线，志愿服从调剂，就不会退档，落榜生将大大减少。
误区八： 不考虑兴趣和特长
选择符合考生特性的专业，扬长避短，才能促进其学有所成，为将来获得一个理想的职业创造条件，
这才是最佳选择。专家认为考生自身特性包括：个人兴趣爱好、个人性格特征、个人能力所及、个人身体
条件等四个方面。面对一个自己根本不感兴趣、完全不喜欢的专业,又如何要求他能积极主动地学习深造？
误区九： 填报志愿是家长的事
把志愿决定权还给孩子，每对父母都希望自己的孩子能考上大学，而且最好能进名牌大学读书。这种
愿望会在孩子填报志愿问题上充分表露。有些父母还固执得有些过分，主观决定考生的志愿，忽略孩子的
兴趣、爱好，导致父母与孩子之间在填报志愿的问题上分歧很大，给孩子造成不小的压力。在填报志愿的
整个过程中，父母的角色定位是参谋，应该把填报志愿的决定权还给孩子。考入什么样的学校，上什么专
业，将来从事什么样的工作，都是孩子自己的事情。如果父母给报的专业孩子不喜欢，甚至一点兴趣都没
有，将来上大学就会造成被动状态，学习积极性会受到打击。
误区十： 照搬往年录取分数线
“老师，今年学校最低录取分数线多少啊?”“我这个分数，能上你们学校吗”……在每年的高考招生咨询
会上，分数是家长们咨询得最多的问题。类似的问题把招生老师给难住了，他们只能告诉家长 “录取分数
不是学校决定的，要看考生报考的情况”。
高校的最低录取分数线是自然形成的，录取结束前无法准确知道。高校的录取分数线存在波动，有的还有“大
小年”现象，即一年高，一年低。考生要多分析几年的录取情况，还可关注分数线与批次线的差值、分数线
对应的考生“位次”等。具体可以参考下面流程：
1.考生根据分数，明确在本省本批次的排位，这个数据非常重要。
2.通过参考书籍或某些权威大数据系统筛选该考分适合的院校和专业。
第 77 页 共 78 页
3.依考生考分定位先选大学还是先选专业还是院校专业兼顾，这个因分而定，建议高分段考生以学校为
主，中低分段以专业为主。
4.原则上一定要结合考生学科特长、性格优势、职业能力等初次筛选适合的院校和专业。
5.然后看初次筛选院校及专业近 2~3 年在本批次录取的位次情况再做二次筛选。
6.依据线差法和位次定位法科学评估冲保稳的院校和专业。
7.认真阅读学校招生章程，看清专业录取规则和其他特殊要求，千万不能忽视细读章程。
8.合理拉开院校/专业梯度，充分确保院校之间冷热均匀，合理搭配，万无一失。
9.确保在每一个院校志愿都填满且专业尽量选择服从调剂。
微信/支付宝扫码支付