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2020 年高考数学（理）终极押题卷（试卷）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 2, 3 , ,A x y y x x y N ，则集合 A 中元素的个数为（ ）
A．3 B． 4 C．5 D． 6
2．复数 1
2
iz i
（i 为虚数单位)的虚部为（ ）
A． 1
5 B． 3
5 C．- 3
5 D． 3
5i
3．已知样本数据为 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x ，该样本平均数为 4 ，方差为 2 ，现加入一个数 4 ，
得到新样本的平均数为 x ，方差为 2s ，则（ ）
A． 24, 2x s B． 24, 2x s C． 24, 2x s D． 24, 2x s
4．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度 h 与
其采摘后时间 t（天）满足的函数关系式为 th m a ．若采摘后 10 天，这种水果失去
的新鲜度为 10%，采摘后 20 天，这种水果失去的新鲜度为 20%．那么采摘下来的这种
水果在多长时间后失去 50%新鲜度（已知 lg 2 0.3 ，结果取整数）（ ）
A．23 天 B．33 天 C．43 天 D．50 天
5．已知 F 为抛物线 2: 8C y x 的焦点，直线l 与C 交于 ,A B 两点，若 AB 中点的横坐
标为 4, 则 AF BF （ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
6．已知| | 1a ，| | 4
b ，( 2 ) ( ) -33a b a b ，则 a 与b
的夹角 ,a b 为（ ）
A．
3
B．
2
C． 2
3
D． 5
6
7．在 ABC 中， 3a ， 4b ， 3sin 5A ，则sinC （ ）
A．1 B．1或 7
25 C．1或 7
25
D．1或 5
9
8．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）
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A． 32
3
B． 64
3
C． 32 D． 64 2
3
9．已知 是第四象限的角， 3cos 5
，则 tan 2 = （ ）
A． 24
7
B． 24
7 C． 24
25 D． 24
25
10．已知圆 M 过点 A(1，﹣1），B(1，2），C(5，2），则圆 M 在点 B 处的切线方程为
（ ）
A．3 4 2 0x y B．3 4 2 0x y
C． 4 3 2 0x y D． 4 3 2 0x y
11．已知 1F ， 2F 是双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左，右焦点，过点 1F 倾斜
角为 30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 A ，B .若 2 2AF BF ，则双曲线 C
的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
12．已知 5log 6a ， 3log 5b ， 2log 3c ， 3
2d ，则 a 、b 、c 、 d 的大小关系
是（ ）
A．b a d c B． a b c d
C．b a c d D． a b d c
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 ,x y 满足约束条件
2 2 0
1 0
1 0
x y
x y
x y
，则 2z x y 的取值范围为_________．
14．在
5
2
12x x
的二项展开式中 2x 的系数为_____________
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15．如图，在三棱锥 A BCD 中， 2 2 BC CD BD ， 2AB AC AD a ，
若该三棱锥的侧面积是底面积的 3 倍，则该三被锥外接球的表面积为______.
16．给出下列五个命题：
①函数 ( ) ln 2f x x x 在区间(1, )e 上存在零点；
②要得到函数 siny x 的图象，只需将函数 cos 3y x
的图象向左平移
6
个单位；
③若 1m ，则函数
2
1
2
log ( 2 )y x x m 的值城为 R ；
④“ 1a ”是“函数 ( ) 1
x
x
a ef x ae
在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；
⑤已知 na 为等差数列，若 11
10
1a
a
，且它的前 n 项和 nS 有最大值，那么当 nS 取得最
小正值时， 20n .
其中正确命题的序号是________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～
21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根
据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）已知 na 数列满足 1 2a ， 1
1 2 2n
n na a
.
（1）证明：数列
2
n
n
a
为等差数列.
（2）求数列 12n
na 的前 n 项和.
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18．（12 分）某网店经过对五一假期的消费者的消费金额进行统计，发现在消费金额
不超过 1000 元的消费者中男女比例为 1：4，该店按此比例抽取了 100 名消费者进行进
一步分析，得到下表：
消费金额/元 0,200 200,400 400,600 600,800 800,1000
女性消费者人数 5 10 15 46 4
男性消费者人数 2 3 10 2 3
若消费金额不低于 600 元的网购者为“网购达人”，低于 600 元的网购者为“非网购达人”．
（1）分别计算女性和男性消费的平均数，并判断平均消费水平高的一方“网购达人”出
手是否更阔绰？
（2）根据列表中统计数据填写如下 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
0.005 的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．
女性 男性 总计
“网购达人”
“非网购达人”
总计
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
2
0P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
19．（12 分）如图，在三棱锥 D ABC 中， ABC 与 BDC 都为等边三角形，且侧
面 BCD与底面 ABC 互相垂直，O 为 BC 的中点，点 F 在线段 OD 上，且 1
3OF OD ，
E 为棱 AB 上一点.
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（1）试确定点 E 的位置，使得 / /EF 平面 ACD ；
（2）在（1）的条件下，求二面角 D FB E 的余弦值.
20．（12 分）己知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右焦点为 (1,0)F ，且经过点 ( 2,0)A
和点 (2,0)B .
（1）求椭圆C 的方程；
（2） M 和 N 是椭圆C 上两个不同的点，四边形 AMBN 是平行四边形，直线
AM AN、 分别交 y 轴于点 P 和点Q ，求四边形 APFQ 面积的最小值.
21．（12 分）已知函数 1ln 1k xf x x x
.
（1）当 2k 时，求曲线 f x 在点 1, 1f 处的切线方程;
（2）当 1x 时，函数 f x 有两个零点，求正整数 k 的最小值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
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在直角坐标系 xOy 中，直线l 的直角坐标方程为 3 2 3,3y x 曲线 C 的参数方程
为 3 3cos
3sin
x
y
（ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系.
（1）求直线l 和 C 的极坐标方程；
（2）设直线l 与曲线 C 交于 M,N 两点，求 MN .
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设 x ， y ， z 均为正实数，且 2 4x y z .
（1）证明： 2 2 22 4x y z .
（2）求 x y z 的最大值.
2021 年高考数学（文）终极押题卷（试卷）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
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1．已知集合 0 4A x Z x ， 1 2 0,B x x x x N ，则 A B
（ ）
A． 1 B． 1,2 C． 0,1,2,3 D． 1,0,1,2,3
2．已知i 为虚数单位，则 1+2i （ ）
A． 3 B． 5 C．3 D．5
3．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10 次，中靶环数情况如图所示．则
甲、乙两人中靶环数的方差分别为（ ）
A． 7 ， 7 B． 7 ，1.2 C．1.1， 2.3 D．1.2 ， 5.4
4．2020 年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检
测由上海交通大学附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“5G 发热门诊智慧解决方
案”完成.该方案基于 5C 网络技术实现了患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品
与标本配送的无人化和智能化.5G 技术中数学原理之一就是香农公式：
2log 1 SC W N
.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C （单位：
bit / s ）取决于信道带宽W （单位：HZ ）、信道内信号的平均功率S（单位：dB ）、
信道内部的高斯噪声功率 N （单位：dB ）的大小，其中 S
N
叫做信噪比.按照香农公式，
若不改变带宽W ，而将信噪比 S
N
从 1000 提升至 2000，则 C 大约是原来的（ ）
A．2 倍 B．1.1 倍 C．0.9 倍 D．0.5 倍
5．已知 3tan 2
，则 3sin π 22
的值为（ ）
A． 1
7
B． 3
2
C． 2 3 7 D． 1
2
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6．在平面直角坐标系 oxy 中，动点 P 关于 x 轴对称的点为 Q ，且 2OP OQ ，则点 P
的轨迹方程为（ ）
A． 2 2 2x y B． 2 2 2x y C． 2 2x y D． 2 2 x y
7．已知 P 是抛物线 2 4y x 上一点，且 P 到焦点 F 的距离与 P 到直线 4x 的距离之
和为 7，则 PF （ ）
A．4 B．5 C．6 D．6.5
8．若动点 ,A B 分别在直线 1 : 6 0l x y 和 2 : 2 0l x y 上，则 AB 的中点 M 到
坐标原点的距离的最小值为（ ）
A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体
某条棱上的一个端点 P 在正视图中对应的点为 M ，在俯视图中对应的点为 N ，则 P 在
侧视图中对应的点为（ ）
A．点 D B．点C C．点 B D．点 A
10．设 2log 3a ， 32log 2b ， 32 log 2c ，则 a，b，c 的大小顺序为（ ）
A． b c a B． c b a C． a b c D．b a c
11．在 ABC 中， 120A ， 6BC ，则 ABC 的面积的最大值为（ ）
A． 1
2 B．1 C． 3 3
2
D．3 3
12．函数 ( ) log 1x
af x a x （ 0a ，且 1a ）有两个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A． (1, ) B． 1 (1, )e
C． ee (1, ) D．
1
ee (1, )
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二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 ,x y 满足约束条件
2 0
2 0
2.
x y
x y
x
，
，则 3z x y 的最大值为__________．
14．已知焦点在 y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为 2y x ，则该双曲线的离心率为
______．
15．曲线 lny a x 在点 1,a 处的切线与曲线 exy 相切，则 a ___________.
16．已知球O 的半径为 4 ,3
点 , , ,A B C D 均在球面上，若 ABC 为等边三角形，且其面
积为 3, 则三棱锥 D ABC 的最大体积是___________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～
21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根
据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．已知数列 na 满足 1 1a ， 2
1 2 2 2n na a n n ．
（1）证明：数列 2 1na n 为等比数列．
（2）求数列 2
na n 的前 n 项和 nS ．
18．在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，三角形 APB 为等腰直角
三角形， PA PB ，已知 2AD ， 2AB ， PD AB ， 5PC ．
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（1）求证： BD AD ；
（2）求四棱锥 P ABCD 的体积．
19．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面
积以及相应的管理时间的关系如下表：
土地使用面积 x （单位：亩） 1 2 3 4 5
管理时间 y （单位：月） 9 11 14 26 20
并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 140 60
女性村民 40
（1）求相关系数 r 的大小（精确到 0.01），并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 的线
性相关程度；
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
参考公式：
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
，
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其
中 n a b c d ．
临界值表：
2
0P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
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0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考数据： 485 22.02 ．
20．已知函数 2( ) ln (2 1)f x x ax a x ．
（1）若 ( )f x 在 (1, ) 上单调，求 a 的取值范围；
（2）若 ( )f x 在 (1, ) 上有极小值，求该极小值的最大值．
21．椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率 1
2e ， 1 3 5,2 4P
在C 上.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2） ,E F 设为短轴端点，过 ( )0M ，1 作直线l 交椭圆C 于 A B、 两点(异于 ,E F )，直线
AE BF、 交于点T .求证：点T 恒在一定直线上.
故点 T 恒在一定直线 3y 上.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
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在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
4 cos3
7 sin3
x t
y t
（t 为参数， 为直
线 l 的倾斜角），以原点 O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐
标方程为 2 4
3 cos2
．
（1）求曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若点 4 7,3 3P
，直线 l 与曲线 C 相交于 A B、 两点，且 2PA PB ，求直线 l
的方程．
23．已知函数 2
af x x x b c ( a ，b ， c 均为正实数).
（1）当 1a b c 时，求 f x 的最小值；
（2）当 f x 的最小值为 3 时，求 2 2 2a b c 的最小值.
2021 年新高考数学终极押题卷（试卷）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
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1．已知集合 2 4 , 3 4 0A x x x B x x ，则 A B
A． ,0 B． 40, 3
C． 4 ,43
D． ,0
2．设复数 2000 1 iz i i
，则| |z （ ）
A． 5 B． 3 C．2 D．1
3．已知非向量 ,2 , , 2a x x b x ，则 0x 或 4x 是向量 a 与b 夹角为锐角的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不
必要条件
4．为了支持山区教育，某中学安排 6 位教师到 A、 B 、C 、 D 四个山区支
教，要求 A、B 两个山区各安排一位教师，C 、D 两个山区各安排两位教师，
其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有（ ）
A．180 种 B．172 种 C．168 种 D．156 种
5．已知定义在 R 上的函数 2 xf x x ， 3log 5a f ， 3
1log 2b f
，
ln3c f ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A．c b a B．b c a C． a b c D．c a b
6．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：
从第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）
共入 510 贯”，则该人 12 月营收贯数为
A．35 B．65 C．70 D．60
7．在 ABC 中， 2AB ， 3AC ， 60A ，O为 ABC 的外心，若
AO xAB yAC ， x ， y R ，则 2 3x y （ ）
A． 2 B． 5
3 C． 4
3 D． 3
2
8．在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M 是 AC 的中点，
则三棱锥 B1－ABM 的外接球的表面积为（ ）
A． 3
2
B．2 C． 5
4
D． 9
8
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二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对
的得 3 分。
9．Keep 是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学、跑步、骑
行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep 可以让你
随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人
的体质，制定不同的健身计划.小明根据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年
11 月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．月跑步里程最小值出现在 2 月
B．月跑步里程逐月增加
C．月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数
D．1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小
10．已知函数 3 sin cosf x x x ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的图象关于点 ,06
中心对称
B． f x 在区间 ,2
上单调递减
C． f x 在 0,2 上有且仅有1个最小值点
D． f x 的值域为 1,2
11．如图所示，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 11, 2,AB BC AA P 是 1A B
上的一动点，则下列选项正确的是
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A． DP 的最小值为 3 5
5
B． DP 的最小值为 5
C． 1AP PC 的最小值为 6 D． 1AP PC 的最小值为 170
5
12．函数 f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（ ）
A．当 a=1 时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 2x－y+1=0
B．当 a=1 时，f(x)存在唯一极小值点 x0 且－1＜f(x0)＜0
C．对任意 a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点
D．存在 a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．二项式 5
3
1x
x
（ - ）的展开式中常数项为__________．
14．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审
专家的评审，则直接予以利用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，
若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复
审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审
的概率均为 1
2
，复审的稿件能通过评审的概率为 1
3
，若甲、乙两人分别向该
出版社投稿1篇，两人的稿件是否被录用相互独立，则两人中恰有1人的稿件
被录用的概率为__________.
15．已知 ,a b 为正实数，直线 2y x a 与曲线 1x by e 相切，则 1 1
a b
的
最小值为________.
16．已知双曲线
2
2 18
yx ，F1，F2 是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上
且在第一象限，圆 M 是△F1PF2 的内切圆.则 M 的横坐标为_________，若 F1
到圆 M 上点的最大距离为 4 3 ，则△F1PF2 的面积为___________.
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四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
17．已知数列 的前 项和为 ，满足 ， .
（1）证明： 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和为 .
18．设 ABC 的内角 A， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 cos 4a B ，
sin 3b A .
（1）求 tan B 及边长a 的值；
（2）若 ABC 的面积 S 9 ，求 ABC 的周长.
19．如图，ABCD是边长为 6 的正方形，已知 2AE EF ，且 / / / /ME NF AD
并与对角线 DB 交于 ,G H ，现以 ,ME NF 为折痕将正方形折起，且 ,BC AD 重
合，记 ,D C 重合后为 P ，记 ,A B 重合后为Q .
（1）求证：平面 PGQ 平面 HGQ ；
（2）求平面GPN 与平面GQH 所成二面角的余弦值.
20．从2019 年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾
情.目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫
危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均
产卵数 y 和平均温度 x 有关，现收集了以往某地的 7 组数据，得到下面的散点
图及一些统计量的值.
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平均温度 /x C 21 23 25 27 29 32 35
平均产卵数 /y
个
7 11 21 24 66 115 325
x y z
1
n
i
i
x x z z
2
1
n
i
i
x x
27.429 81.286 3.612 40.182 147.714
表中 lni iz y ，
7
1
1
7 i
i
z z
.
（1）根据散点图判断， y a bx 与 dxy ce （其中e 2.718 为自然对数的
底数）哪一个更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型？（给
出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出 y 关于 x 的回
归方程.（结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到 28 Co 以上时蝗虫会造成严重伤
害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到
28 Co 以上的概率为 0 1p p .
①记该地今后 3,n n n N 年中，恰好需要 2 次人工防治的概率为 f p ，
求 f p 取得最大值时相应的概率 0p ；
②根据①中的结论，当 f p 取最大值时，记该地今后6年中，需要人工防治
的次数为 X ，求 X 的数学期望和方差.
第 18 页 共 43 页
附：对于一组数据 1 1,x z 、 2 2,x z 、 、 7 7,x z ，其回归直线 z a bx 的
斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
7
1
7 2
1
i i
i
i
i
x x z z
b
x x
， a z bx .
21．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右焦点为 1,0F ，点 P，M，N 为椭
圆 C 上的点，直线 MN 过坐标原点，直线 PM，PN 的斜率分别为 1k ， 2k ，且
1 2
1
2k k .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若 / /PF MN 且直线 PF 与椭圆的另一个交点为 Q，问
2| |
| |
MN
PQ
是否为常
数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.
22．函数 xg x be ， ln 1 0, 0h x c x b c ，已知函数 g x ， h x 的图
象存在唯一的公切线.
（1）求 c
b
的值；
（2）当 1b ， ln 2 1
2k e 时，证明：关于 x 的不等式 1g x xh x ke 在
1 ,2
上有解.
第 19 页 共 43 页
2021 年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）
1．【答案】B
【解析】由集合 A 的描述知： 2 2 3x y 且 ,x y N ，∴以原点为圆心 3 为半径的圆(含圆上)，满足条件的非负整数点
有 ,0,0 , 0,1 1,0 , 1,1 ，即集合 A 中元素的个数为 4, 故选：B．
2．【答案】C
【解析】 2
2 2
1 21 2 2 1 3 1 3
2 2 5 5 5 5
i ii i i i iz ii i
，
所以复数 z 的虚部为 3
5- .故选：C．
3．【答案】B
【解析】 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 的平均数为 4 .方差为 2,则加入 4 后平均数为方差 1 4 ,6 ( )5 4 4x 方差为
22 1 55 2 4 4 26 3s .故选：B
4．【答案】B
【解析】
10
10
20
2,10%
120%
20
am a
m a m
，故 1
102a ，故
1
101 220
t
h ，
令 1
2h ，∴ 102 10, lg 2 110
t t ，故 10 330.3t ，故选：B．
5．【答案】C
【解析】抛物线 2: 8C y x 的焦点为 F ，直线l 与抛物线C 交于 A ，B 两点，若 AB 的中点的横坐标为 4，设 1(A x ， 1)y ，
2(B x ， 2 )y ， 1 2 8x x ，
则 1 2| | | | 8 4 12AF BF x x p ．故选：C ．
6．【答案】C
【解析】∵ ( 2 ) ( ) -33a b a b ，∴ 2 2
2 33a a b b
∵| | 1a ， | | 4
b ，∴ 2a b
，∴ 2co 2s 1, = = =1 4
a ba b
a b
∵ , 0a b ， ，∴ 2, 3a b = .故选：C
7．【答案】B
【解析】 a b ，则 A 为锐角，所以， 2 4cos 1 sin 5A A ，
由余弦定理可得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，即 25 32 35 0c c ，解得 7
5c 或 5c .
当 7
5c 时，由正弦定理
sin sin
a c
A C
，可得
7 3
sin 75 5sin 3 25
c AC a
；
当 5c 时，同理可得
35sin 5sin 13
c AC a
.
第 20 页 共 43 页
综上所述，sin 1C 或 7
25 .故选：B．
8．【答案】D
【解析】由已知三视图，可得该几何体是一个四棱锥 E ABCD ，如下图示，
故该四棱锥的外接球，与以 DEC 为底面，以 4 为高的直三棱柱的外接球相同，
∵底面底边为 4 ，高为 2 ，故底面是等腰直角三角形且
2DEC ，
∴底面三角形外接圆的半径为 | | 2r O E¢= = ，由棱柱高为 4 可得 2OO ，
∴外接球半径为 2 22 2 2 2R ，外接球的体积为 34 64 2(2 2)3 3V ，
故选：D．
9．【答案】B
【解析】因为 是第四象限的角，所以 2 4sin 1 cos 5
，
则 22
4 2sin 4 2tan 243tan ,tan 2cos 3 1 tan 741 3
.故选：B．
10．【答案】C
【解析】根据题意，圆 M 过点 A(1，﹣1），B(1，2），C(5，2），
设圆心 M 的坐标为(m，n），则点 M 在线段 AB 的垂直平分线上，则 n＝ 1
2
，
同理：点 M 在线段 BC 的垂直平分线上，则 m＝3，
则 M 的坐标为(3， 1
2 )，
12 32
1 3 4MBk
,则圆 M 在点 B 处的切线的斜率 k＝ 4
3
，
则切线的方程为 y﹣2＝ 4
3 (x﹣1)，变形可得 4x﹣3y+2＝0，故选：C．
11．【答案】A
【解析】设 1AF t ，则 2 22AF t a BF ，从而 1 4BF t a ，进而 4BA a .
过 2F 作 2F H AB H ，则 2AH a .如图：
在 1 2Rt F F H△ 中， 2 2 sin30F H c c ， 1 22 cos 3F H c c AF ；
第 21 页 共 43 页
在 2Rt AF H△ 中， 2 223 2c c a ，即 2 22 4c a ，所以 2e .
故选：A
12．【答案】D
【解析】 5 5
3log 6 log 5 5 2a d ， 3 3
3log 5 log 3 3 2b d ， 2 2
3log 3 log 2 2 2c d ，
4 56 1296 5 3125 ， 5
46 5 ，则
5
4
5 5
5log 6 log 5 4a ，
4 55 625 3 243 ， 5
45 3 ，则
5
4
3 3
5log 5 log 3 4b ，
因此， a b d c .故选：D．
13．【答案】[ 1,5]
【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数 2z x y 在 0,1 处取得最小值为 1 ，在点 4,3 处取得最大值
为 2 4 3 5 ，
所以 2z x y 的取值范围为[ 1,5] .故答案为：[ 1,5]
14．【答案】 80
【解析】因为
5
2
12x x
展开式的第 1r 项为
5 52 5 3
1 5 52 1 1 2r r r rr r r r
rT C x x C x
，令5 3 2r ，则 1r ，
所以
5
2
12x x
的二项展开式中 2x 的系数为 41
5 1 2 80C .
故答案为: 80 .
15．【答案】12
【解析】如图，取 BC 边的中点 E ， BCD△ 外接圆的圆心为 F ，三棱锥 A BCD 外接球球心为 O .如图所示，因为
AB AC 且点 E 为 BC 的中点，所以 24 2AE a ，
由此可知该三棱锥的侧面积 2 21 6 2 4 2 6 2 12S a a 侧 ，底面 BCD△ 的面积为 2 3 ，所以
26 2 1 3 2 3a ，解得 1a （舍负）.
设三棱锥 A BCD 外接球半径为 R ，OF x .因为 2AB AC AD ，
所以点 A 在底面 BCD上的射影为点 F .因为 AB BC ，
第 22 页 共 43 页
故三棱锥外接球球心O 在直线 AF 的延长线上， BF 为 BCD△ 外接圆的半径，所以 2 6
3BF ．
在 Rt ABF 中，由勾股定理可得
2
2 2 6 43R x
，
在 Rt OBF 中，由勾股定理可得
2
2 22 6
3x R
，解得 3R ， 3
3x ，
所以外接球的表面积 24 12S R .故答案为：12 ．
16．【答案】①③④
【解析】对于①函数 ( ) ln 2f x x x 在区间 (1, )e 上单调递增， (1) 1, ( ) 1 0f f e e ，根据函数零点的存在定
理可得在区间 (1, )e 上存在零点，正确；
对于②将函数 siny x 化为 cos 2y x
，要得到此函数的图象，只需将函数 cos 3y x
的图象向右平移
6
个
单位，得到 cos cos sin3 6 2y x x x
，错误；
对于③当 1m ，函数
2
1
2
log ( 2 )y x x m 的真数为 2 2x x m ，判别式 4 4 0m ，故真数可取所有正实数，
故函数的值城为 R ，正确；
对于④函数 ( ) 1
x
x
a ef x ae
在定义域上是奇函数，则 1( ) 1 1
x x x
x x x
a e ae a ef x f xae e a ae
，即解得 1a ，
所以条件可推出结论，结论不能推出条件，是充分不必要条件，正确；
对于⑤ nS 有最大值，所以 11
10
0, 1 0ad a
，于是 11 100, 0a a ，所以 1 19
19 10
19 19 02
a aS a
，则
11 10 11 10 0a a a a ，即 1 20
20 10 11
20 10 02
a aS a a
，所以所求 19n ，错误.
故答案为：①③④
17．【解析】（1）依题，在 1
1 2 2n
n na a
两边同时除以 12n ，
得： 1
1 1
2 2
n n
n n
a a
， 1
1 12
a ，故数列
2
n
n
a
是以 1 为首项，1 为公差的等差数列；
（2）由（1）得： 1 12
n
n
a n n ，可得 2n
na n ，
所以 12 2 2n n
na n ，
第 23 页 共 43 页
则数列 12n
na 的前 n 项和 1 2 33 2 4 2 5 2 2 2n
nS n ①，
2 3 12 3 2 4 2 1 2 2 2n n
nS n n ②，
①-②得： 2 3 1 12 1 2
6 2 2 2 2 2 4 2 21 2
n
n n n
nS n n
，
所以 11 2 2n
nS n .
18．【解析】（1）由题意，女性消费者消费的平均数为：
1 100 5 300 10 500 15 700 46 900 4 58580
，
男性消费者消费的平均数为 1 100 2 300 3 500 10 700 2 900 3 51020
“女网购达人”消费的平均数为 1 700 46 900 4 71650
“男网购达人”消费的平均数为 1 700 2 900 3 8205
虽然女性消费者平均消费水平较高，但“女网购达人”平均消费水平低于“男网购达人”平均消费水平，所以“平均消费水平”
高的一方“网购达人”出手不一定更阔绰．
（2）2×2 列联表如下所示：
女性 男性 总计
“网购达人” 50 5 55
“非网购达人” 30 15 45
总计 80 20 100
可得 2K 的观测值 2
2 100 50 15 30 5 9.09180 20 55 45K
，
因为 9.091 7.879
所以能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”
19．【解析】（1）在 BDC 中，延长 BF 交 CD 于点 M ，
1
3OF OD , BDC 是等边三角形
F 为 BDC 的重心
1
3MF BM
/ /EF 平面 ACD , EF 平面 ABM ABM ACD AM ，且面 面 ，
/ /EF AM
1
3AE AB ,即点 E 为线段 AB 上靠近点 A的三等分点
（2）等边 BCD 中， OD BC^ ，OD BCD 平面 ， ABC BCD面 面 ，交线为 BC ， OD ABC 平面
如图以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz
第 24 页 共 43 页
点 A在平面 BEF 上，所以二面角 D FB E 与二面角 D FB A 为相同二面角.
设 2AB ,则 3OD OA ， 30,0, , 3,0,0 , 0,1,03F A B
30, 1, , 3, 1,03BF BA
设平面 AFB 的法向量 , ,x y z ，则 0
0
BF
BA
即
3 03
3 0
y z
x y
，取 1x ，则 1, 3,3
又OA 平面OBD ， 3,0,0OA
,
则 cos , 3 13
1313 3
OA
又二面角 D FB E 为钝二面角，所以余弦值为 13
13
.
20．【解析】（1）由已知 2a ， 1c ，所以 2 2 2 3b a c .
所以椭圆 C 的方程为
2 2
14 3
x y .
（2）因为四边形 AMBN 是平行四边形，
所以 AB 与 MN 的中点重合，所以 M、N 关于原点对称.
设 1 1( , )M x y ，则 1 1( , )N x y .（ 1 12 0x y 且 ）， 1
1 2AM
yk x
，
直线 AM 的方程为 1
1
( 2)2
yy xx= ++ ，
令 0x ，得 1
1
2
2
yy x
，即 1
1
2(0, )2
yP x ，又 1
1 2AN
yk x
，
直线 AN 的方程为 1
1
( 2)2
yy xx
，
令 0x ，得 1
1
2
2
yy x
，即 1
1
2(0, )2
yQ x .
四边形 APFQ 面积为 1 3| | | | | |2 2AF PQ PQ ，
第 25 页 共 43 页
1 1 1
2
1 1 1
2 2 8| | | | | |2 2 4
y y yPQ x x x
.
因为点 M 在椭圆上，
所以
2 2
1 1 14 3
x y ， 1 13 3 0y y ≤ ≤ 且 .
所以 2 2
1 1
44 3x y .所以
1
6| | | |PQ y
.
所以当 1 3y 时， min| | 2 3PQ .
所以四边形 APFQ 面积的最小值为3 3 .
21．【解析】（1）当 2k 时， 2 1 2ln 1 ln 1xf x x xx x
，
2 2
1 2 2xf x x x x
，则 1 1f ，又 1 1f ，
f x 在 1, 1f 处的切线方程为： 1 1 1y x ，即 2 0x y .
（2） 2 2
1 k x kf x x x x
，当 0k 时，由 0f x 得： x k .
①当 1k 时， 0f x 在 1, 上恒成立， f x 在 1, 上单调递增，
f x 至多一个零点，不合题意；
②当 1k 时，若 1,x k ，则 0f x ；若 ,x k ，则 0f x ；
f x 在 1,k 上单调递减，在 ,k 上单调递增， min ln 2f x f k k k .
当 1x 时， 1f x ；当 x 时， f x ；
f x 有两个零点，则 min 0f x ，即 ln 2 0k k ；
设 ln 2 1g k k k k ，则 1 11 0kg k k k
，
g k 在 1, 上单调递减，
又 3 ln3 1 0g ， 4 ln 4 2 0g ， 0 3,4k ，使得 0 0g k ，
当 01,k k 时， 0g k ；当 0,k k 时， 0g k ；
ln 2 0k k 的解集为 0,k ，
又 0 3,4k ，正整数 k 的最小值为 4 .
22．【解析】（1）因为 2 2 2cos , sin ,x y x y ，
所以 3sin cos 2 33
，即 3 sin cos 6
整理可得直线l 的极坐标方程为： sin( ) 36
；
由题意得，曲线 C 的直角坐标方程为 2 2( 3) 9x y ，即 2 2 6 0x y x ，
第 26 页 共 43 页
所以曲线 C 的极坐标方程为： 2 6 cos 0 ，即 6cos .
（2）由（1）可得曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 6 0x y x ，
与直线 3 2 3,3y x 联立，得 22 15 18 0x x ，
解得 1 2
3
26,x x ，
所以 2
1 2
1 91 1 3 33 2MN k x x .
23．【解析】（1）证明：因为 2 1 2x x ， 22 1 4y y ， 2 1 2z z ，
所以 2 2 22 4 2 2 8x y z x y z ，即 2 2 22 4x y z ，
当且仅当 1x y z 时，等号成立，所以不等式得证.
（2）解：由柯西不等式，得 2
2 4 2 4 2 2 2x y z x y z ，
当且仅当 2
4 2 4
x y z ，即 8
5x z ， 2
5y 时，等号成立.
因为 2 4x y z ，所以 2
10x y z ，
则 10x y z ，
故 x y z 的最大值为 10 .
2021 年高考数学（文）终极押题卷（全解全析）
1．【答案】C
第 27 页 共 43 页
【详解】 0 4 1,2,3A x Z x ， 2 1, 0B x x x N ，
因此， 0,1,2,3A B .故选：C．
2．【答案】B
【详解】 2 21+2 1 2 5i ,故选：B．
3．【答案】D
【详解】实线的数字为： 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10 ，虚线的数字为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7 ，
所以 1= 2+4+6+8+7+7+8+9+9+10 =710x乙 ，
1= 9+5+7 8 7 6 8 6 7 7 710x 甲 ,
2 2 2 2 22 1= 9-7 + 5-7 7 7 8 7 7 7 1.210S 甲
2 2 2 2 22 1= 2-7 + 4-7 6 7 8 7 10 7 5.410S 乙 .
故选：D
4．【答案】B
【详解】 2log 1 SC W N
，
当 1000S
N
时， 1 2 2log 1 1000 log 1001C W W ，
当 2000S
N
时， 2 2 2log 1 2000 log 2001C W W ，
则 2 2 2 2 2
3
1 2 2 2 2
log 2001 log 2000 log 2 log 1000 1 11 lg 2 1log 1001 log 1000 log 1000 log 10 3
C W
C W
，
又
11
341 1lg10 lg 2 lg104 3
，则 1 lg 2 0.13
，即 2
1
1.1C
C
.
故选：B．
5．【答案】A
【详解】因为 3tan 2
，所以 2 23sin π 2 cos2 sin cos2
2 2
2 2
sin cos
sin cos
，
2
2
22
1
tan 1 1
tan 1 7
1
3
2
3
2
，故选：A．
6．【答案】B
【详解】设 ( , ), ( , )P x y Q x y ，则 2 2( , ) ( , ) 2OP OQ x y x y x y ．故选：B．
7．【答案】C
【详解】设 P 的横坐标为 ( 0)m m ，因为 P 到焦点 F 的距离与 P 到直线 4x 的距离之和为 7，
所以 1 4 7m m ∣ ∣ ，解得 5m ，从而 1 6PF m .故选：C．
8．【答案】B
第 28 页 共 43 页
【详解】根据题意，可得 M 的集合为与直线 1l 和 2l 距离都相等的直线，
则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 M 所在直线的方程为 : 0l x y m ，
由 | 6 | | 2 |
2 2
m m ，可得| 6| | 2|m m ，解得 4m ，可得 : 4 0l x y ，
所以 M 到原点的距离的最小值为 | 4 | 2 2
2
.故选：B．
9．【答案】C
【详解】根据三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由图可知， P 在侧视图中对应的点为点 B ，
故选：C．
10．【答案】A
【详解】由 3 3 3 3 3 3
92 log 2 log 9 log 2 log log 4 2log 22c b ，
2 3 2 3log 3 log 2 2 2 log 3 log 2 2 2 2 0a c ，
所以 a c ，所以 a c b ，故选：A．
11．【答案】D
【详解】由余弦定理，
2 2 26cos120 2
b c
bc
，
即 2 2 36 2b c bc bc ，当且仅当b c 时，等号成立，所以 max( ) 12bc ，
所以 max
1 1 3sin 12 3 32 2 2S bc A ，故选：D
12．【答案】D
【详解】 ( ) 0f x ，得 1loga xx a
，即 1
1log
x
a
x a
．由题意知函数 1log
a
y x 图象与函数 1 x
y a
图象有两个交
点．
当 1a 时， 1
1log ,
x
a
y x y a
草图如下，显然有两交点．
当 0 1a 时，函数 1log
a
y x 图象与函数 1 x
y a
图象有两个交点时，注意到 1
1 , log
x
a
y y xa
互为反函数，图
象关于直线 y x 对称，可知函数 1 x
y a
图象与直线 y x 相切，设切点横坐标 0x ，则
0
0
0
1
1 1ln 1
x
x
xa
a a
，解得
0
1
e,
e .e
x
a
第 29 页 共 43 页
综上，a 的取值范围为
1
ee (1, )
.
故选：D．
13．【答案】14
【详解】由线性约束条件作出可行域如图，
由 3z x y 可得 1
3 3
zy x ，作直线 0
1: 3l y x ，
沿可行域的方向平移可知过点 A时， 3z x y 取得最大值，
由 2 0
2
x y
x
可得 2
4
x
y
，所以 2,4A ，所以 max 2 3 4 14z ，
故答案为：14 .
14．【答案】 5
2
【详解】因为以原点为中心，焦点在 y 轴上的双曲线 C 的渐近线方程为 ay xb
，所以 2a
b
,所以
2 2 5 5
2 2
c a b be a a b
．故答案为： 5
2
．
15【答案】 2
【详解】由 lny a x 求导得 1y x
，
∴曲线 lny a x 在点 1,a 处的切线方程为 1y a x ，即 1y x a .
设 1y x a 与 exy 相切于点 0
0 , exx ，
由 exy 求导得 exy ，∴ 0e 1x ，∴ 0 0x ，即切点为 0, 1 .
它在切线 1y x a 上，∴ 1 1a ，∴ 2a .故答案为：-2
16．【答案】 2 3 3
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【详解】设 ABC 外接圆的圆心为 1,O
由 ABC 是面积为 3 的等边三角形，得 21 sin60 3,2 AB 解得 2AB ，
则 1
1 2 3 .2 sin60 3
ABO B
当三棱棱锥 D ABC 体积最大时，球心O 在 1DO 上，
因此有 2 2
1 1
2 ,3OO OB O B
所以 1DO 的最大值为 4 2 23 3
，
三棱锥 D ABC 的最大体积为 1
1 1 2 33 23 3 3ABCV S DO .
故答案为： 2 3
3
.
17．【详解】（1）（法一）由 2
1 2 2 2n na a n n ，知 2 2
1 1 1 2 1n na n a n ，
又 2
1 1 1 1a ，故 2 1na n 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，得证．
（法二） 1 1a ，可知： 2
1 1 1 1a ，
又 2
1 2 2 2n na a n n ，所以 2 22 2
1
2 2 2
1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 21 1 1
n n n
n n n
a n a n n n a n
a n a n a n
，
∴ 2 1na n 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，得证．
（2）由（1）知： 2 11 2n
na n ，则 2 12 1n
na n ，
∴ 11 2 2n
nS n 1 2 2 11 2
n
nn n
．
18．【详解】（1）取 AB 中点 O,连接 PO,DO， APB 为等腰直角三角形， PA PB ，则 ,PO AB 又
,PD AB PD PO P AB 平面 POD,又 DO 平面 POD,故 AB OD；
且 O 为线段 AB 中点，则 AD B 为等腰三角形故 2AD BD ， 2 2 2AD BD AB BD AD
（2）因为 PD AB ，且 AB 平行 CD,则 PD CD ， 5PC 则 5 4 1PD ，则 POD 为等边，又由（1）
AB 平面 POD, AB Ì平面 ABCD，则平面 POD 平面 ABCD，过 P 作 PE OD,则 PE 平面 ABCD，且 3
2PE ，
又 2 2 1 2 22ADB ABCD ADBS S S P ABCD 的体积 1 3 323 2 3V
第 31 页 共 43 页
19．【详解】（1） 1 2 3 4 5 35x ， 9 11 14 26 20 165y ，
1
1 3 9 16 2 3 11 16 3 3 14 16
n
i i
i
x x y y
4 3 26 16 5 3 20 16 37 ，
2
2 2 2 2 2
1
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 10
n
i
i
x x
，
2
2 2 2 2 2
1
9 16 11 16 14 16 26 16 20 16 194
n
i
i
y y
2 2
1 1
2 485 44.04
n n
i i
i i
x x y y
，
1
2 2
1 1
37 0.84 0.7544.04
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
，
所以管理时间 y 与土地使用面积 x 的线性相关程度为强相关.
（2）由条件可知女性不愿意参与管理的人数为300 140 60 40 60
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 140 60
女性村民 40 60
2
2 300 140 60 60 40 25 10.828200 100 180 120K
，
所以有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性.
20．【详解】（1） 2 ' 1 (2 1)( 1)( ) ln (2 1) ( ) 2 (2 1) ax xf x x ax a x f x ax ax x
，
当 0a 时，因为 (1, )x ，所以 ' ( ) 0f x ，因此 ( )f x 在 (1, ) 上单调递减，符合题意；
当 1
2a 时，因为 (1, )x ，所以 ' ( ) 0f x ，因此 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增，符合题意；
当 10 2a 时，即 1 12a
，当 11 2x a
时， ' ( ) 0f x ，所以此时 ( )f x 单调递减，
当 1
2x a
时， ' ( ) 0f x ，所以此时 ( )f x 单调递增，显然不符合题意，
综上所述： a 的取值范围为： 1( ,0] [ , )2
；
（2）由（1）可知：当 0a 或 1
2a 时， ( )f x 在 (1, ) 上单调，所以不存在极值，
第 32 页 共 43 页
因此 10 2a ，
当 11 2x a
时， ' ( ) 0f x ，所以此时 ( )f x 单调递减，
当 1
2x a
时， ' ( ) 0f x ，所以此时 ( )f x 单调递增，因此当 1
2x a
时，函数有极小值，极小值为
21 1 1 1 1( ) ln ( ) (2 1)( ) ln 2 12 2 2 2 4f a a aa a a a a
，
令 '
2 2
1 1 1 1 1 4( ) ln 2 1(0 ) ( )4 2 4 4
ag a a a g aa a a a
，
当 10 4a 时， ' ( ) 0g a ，函数 ( )g a 单调递增，当 1 1
4 2a 时， ' ( ) 0g a ，函数 ( )g a 单调递减，
所以当 1
4a 时，函数 ( )g a 有最大值，最大值为：
1 1 1( ) ln(2 ) 1 ln 2 214 4 4 4
g
.
21．【详解】（1）因为点 1 3 5,2 4P
在 C 上，所以
2
2 2
3 51
44 1a b
，
又 1
2
ce a
， 2 2 2a b c ，所以 2 4a ， 2 3b ，故所求椭圆 C 的方程为
2 2
14 3
x y .
（2）由题意知直线 l 的斜率存在，设其方程为 1y kx .
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，( 1 0x ， 2 0x ).
2 2
2 2
1 4 3 8 8 03 4 12 0
y kx k x kxx y
，
1 2 2
8
4 3
kx x k
， 1 2 2
8
4 3x x k
，且有 1 2 1 2x x kx x .
1
1
2
2
3: 3
3: 3
AE
BF
yl y xx
yl y xx
( 1 0x ， 2 0x )
1 2 1 2 1 2 2
1 12 2 1 2 1
3 1 3 (1 3)3
3 3 1 3 (1 3)
y x kx x kx x xy
x xy y kx kx x x
，
1 2 2
1 2
(1 3)3
2 3 (1 3) (1 3)
kx x xy
x x
，
故 1 2 2
1 2
2 2(1 3)3 1
(1 3) (1 3)
kx x xy
x x
1 2 1 2 1 2
1 2
2 33
(1 3) (1 3)
kx x x x x x
x x
1 2 1 2
1 2 1 2
3 33
3
x x x x
x x x x
3 ，故点 T 恒在一定直线 3y 上.
22．【详解】（1）由 2 2 2 , sinx y y ，
又 2
2
4 4
3 cos2 2 2sin
，即 2 2 22 2 sin 4 ，
得 2 22 4 4x y ，即 C 的直角坐标方程为：
2
2 12
x y
第 33 页 共 43 页
（2）将
4 cos3
7 sin3
x t
y t
代入
2
2: 12
xC y 有
2 24 7cos 2 sin 23 3t t
，
化简得 2 2 23cos 6sin 4(2cos 7sin ) 32 0t t ①，
设 ,A B 两点对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 1 22 2 2 2
4(2cos 7sin ) 32,3cos 6sin 3cos 6sint t t t
，
由 2PA PB ，得 2
1 2 1 2
1 2
1 2 2 1
2 , 2t t t tt t t t t t
，
因此
2
2 2
(2cos 7sin ) 9
6cos 12sin 2
即 25tan 28tan 23 0 ，
解得 23tan 5
或 1，经检验此时①对应的 0 ，直线l 的方程为 1 0x y 或 69 15 57 0x y ．
23．【详解】（1）当 1a b c 时， 1 22f x x x
易得 1 1 52 22 2 2f x x x x x .
（2）由绝对值三角不等式可得： 32 2 2
a a af x x x b c x x b c b c
，
, ,a b c 均为正实数， 32
a b c ，
2
2 2 2 1 1 1 94 2
aa b c b c ， 2 2 2 4a b c ，
当且仅当 2a b c ，即 2
3a ， 4
3b c 时等号成立，
2 2 2a b c 的最小值是 4 .
2021 年新高考数学终极押题卷（全解全析）
1．【答案】C
【详解】
∵集合 A={x|x2≤4x}={x|0≤x≤4}，B={x|3x﹣4＞0}={x|x 4
3
＞ }，
∴A∩B={x| 4
3
＜x≤4}=（ 4 43
，]．故选 C．
2．【答案】D
【详解】因为 2 1010 1( ) iz i i
2
(1 )1 i i
i
11 1
i i ，所以 | 1|z ．故选：D．
3．【答案】B
【详解】向量 a 与b 夹角为锐角充要条件为 0a b
且向量 a 与b 不共线，即
2 4 0, : 2 :( 2) 4 0 1x x x x x x x x 或 ，且 ，故 0x 或 4x 是向量 a 与b 夹角为锐角的必要不充分
条件，选 B．
4．【答案】D
【详解】由题可知，分三种情况讨论：
第 34 页 共 43 页
（1）甲，乙两位教师均没有去 ,C D 山区，共有
2 2
2 24 2
2 22
2
12C CA AA
种；
（2）甲，乙两位教师只有一人去C 或 D 山区，共有
2 2
1 1 1 24 2
2 2 4 22
2
96C CA A A AA
种；
（3）甲，乙两位教师分别去C 或 D 山区，共有 2 2 2 2
4 2 2 2 48C A A A 种，
故共有：12 96 48 156 种安排方案．
故选：D．
5．【答案】D
【详解】由题意，定义在 R 上的函数 2 xf x x 的定义域为 R ，关于原点对称，
且 2 2x xf x x x f x ，所以函数 2 xf x x 为奇函数，
所以 3 3 3
1 1(log ) ( log ) (log 2)2 2b f f f
又由当 0x 时，结合初等函数的性质，可得函数 2xf x x 为单调递增函数，
又由对数的运算性质可得 3 3log 2 log 5 ln3 ，
所以 3 3(log 2) (log 5) (ln3)f f f ，即c a b .故选：D．
6．【答案】C
【详解】设每个月的收入为等差数列{an}．公差为 D．则 a3=25，S12=510．∴a1+2d=25，12a1+12 11
2
d=510，
解得 a1=15，d=5， 12 1 11 15 11 5 70a a d 故选 C
7．【答案】B
【详解】如图所示过O做三角形三边的垂线，垂足分别为 D ， E ， F ，
过O分别做 AB ， AC 的平行线 NO， MO ，
由题知
2 2 2 29 4cos60 72 12
AB AC BC BC BCAB AC
，
则外接圆半径 21
2 sin 60 3
BCr
，
因为 OD AB ，所以 2 2 21 2 319 3OD AO AD ，
又因为 60DMO ，所以 2 1
3 3DM AM ， 4
3MO AN ，
由题可知 AO xAB yAC AM AN ，
第 35 页 共 43 页
所以 1
6
AMx AB
， 4
9
ANy AC
，
所以 52 3 3x y .故选：B．
8．【答案】B
【详解】如图所示：
取 1AB 中点为O， AB 中点为 D .并连接 DM ,
则OD 平面 ABM , DA DB DM
所以 1OA OB OM OB
所以三棱锥 B1－ABM 的外接球球心为 1AB 中点O.
所以 1 2
2 2
ABR ,
所以三棱锥 B1－ABM 的外接球的表面积为 24 2S R .
故选:B
9．【答案】ACD
【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在 2 月，故 A 正确；
月跑步平均里程不是逐月增加的，故 B 不正确；
月跑步里程数从小到大排列分别是：2 月，8 月，3 月，4 月，1 月，5 月，7 月，6 月，11 月，9 月，10
月，故 5 月份对应的里程数为中位数，故 C 正确；
1 月到 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确.
故选：ACD
10．【答案】BC
【详解】对于 A 选项，因为 06f
， 32f
，所以 6 2f f
，
所以 f x 的图象不关于点 ,06
中心对称，故 A 错误；
对于 B 选项，当 ,2x
时， 3sin cos 2sin 6f x x x x
，
2 7,6 3 6x ，所以，函数 f x 在区间 ,2
上单调递减，B 选项正确；
第 36 页 共 43 页
对于 C 选项， 3 sin cos 3 sin cosf x x x x x 3 sin cosx x f x ，所以
为函数 f x 的周期.
当 0, 2x
时， 3 sin cos 2sin 6f x x x x
， ,6 6 3x
，
所以 f x 在区间 0, 2
上单调递增， min 0 1f x f ， max 32f x f
；
由 B 选项可知，函数 f x 在区间 ,2
上单调递减，
当 ,2x
时， max 32f x f
， min 1f x f .
所以，函数 f x 在 0,2 上有且只有1个最小值点，C 选项正确；
对于 D 选项，由 C 选项可知，函数 f x 的值域为 1, 3 ，D 选项错误.
故选：BC．
11．【答案】AD
【详解】求 DP 的最小值，即求 1DA B△ 底边 1A B 上的高，易知 1 1 5, 2A B A D BD ，所以 1A B 边上的
高为 3 55h ，连接 1 1 1,AC BC ，得 1 1A BCV ，以 1A B 所在直线为轴，将 1 1A BCV 所在平面旋转到平面 1 1ABB A ，
设点 1C 的新位置为C ，连接 AC ，则 AC 即为所求的最小值，易知 1 1 1
22, 2,cos 10AA AC AAC ，
所以 2 1704 2 2 2 2 ( )10 5AC .
故选：AD．
12．【答案】ABD
【详解】选项 A，当 1a 时， sinxf x e x ， ,x ，
所以 0 1f ，故切点为 0,1 ， cosxf x e x ，
所以切线斜率 0 2k f ，
故直线方程为： 1 2 0y x ，即切线方程为： 2 1y x ， 选项 A 正确.
选项 B，当 1a 时， sinxf x e x ， ,x ， cosxf x e x
sin 0xf x e x 恒成立，所以 f x 单调递增，
又 2 02f ,
3
4
3
4
3 3 1cos4 4
2
2f e
e
23 3
4 2 2e e e
,所以 3
4 2e
，即 3
4
1 2
2e
，所以 3 04f
第 37 页 共 43 页
所以存在 0
3 ,4 2x
，使得 0 0f x ，即 0
0cos 0xe x
则在 0，x 上， 0f x ，在 0x ， 上， 0f x ，
所以在 0，x 上， f x 单调递减，在 0x ， 上， f x 单调递增.
所以 f x 存在唯一的极小值点 0x .
0
0 0 0 0 0sin sin cos 2 sin 4
xf x e x x x x
0
3 ,4 2x ,则 0
3,4 4x
， 02 sin 1,04x
，所以 B 正确.
对于选项 C、D， sinxf x e a x ， ,x
令 0f x ，即 sin 0xe a x ，所以 1 sin
x
x
a e
, 则令 sin
x
xF x e
, ,x
2 sincos sin 4
x x
xx xF x e e
,令 0F x ,得 , 1,4x k k k Z
由函数 2 sin 4y x
的图像性质可知:
52 ,2 +4 4x k k
时， 2 sin 04x
， F x 单调递减.
5 2 ,2 + +24 4x k k
时， 2 sin 04x
， F x 单调递增.
所以 52 , , 14x k k Z k 时， F x 取得极小值，
即当 3 5, ,4 4x 时 F x 取得极小值，
又
3 5
4 4
3 5sin sin4 4
e e
,即 3 5
4 4F F
又因为在 3, 4
上 F x 单调递减，所以
3
43 2
4 2F x F e
所以 2 , , 04x k k Z k 时， F x 取得极小值，
即当 9, ,4 4x 时 F x 取得极大值，
又
9
4 4
9sin sin4 4
e e
，即 9
4 4F F
所以
4
2
4 2
F x F
e
当 ,x 时，
3
4
4
2 2
2 2
e F x
e
第 38 页 共 43 页
所以当
3
41 2
2 ea
，即 3
4
2a
e
时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以 C 不正确.
当
4
1 2
2a e
，即 42a e
时， 1 y a
与 sin
x
xF x e
的图象只有一个交点
即存在 a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故 D 正确.
故选：ABD
13．【答案】 10 ．
【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第 1r 项为 5 5 5
2 3 2 6
1 5 5( 1) ( 1)
r r r
r r r r
rT C x C x
，令
5 5 02 6 r ，则 3r ，∴ 3 3
5 ( 1) 10A C ．
14．【答案】 35
72
【详解】记事件 :A 甲的稿件被录用，则
2 2
1
2
1 1 1 5
2 2 3 12P A C
,
因此，甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为 1
2
5 7 35
12 12 72P C .
故答案为： 35
72 .
15．【答案】 2
【详解】由 2y x a 得 1y ；由 1x by e 得 x by y e ；
因为直线 2y x a 与曲线 1x by e 相切，
令 1x be ，则可得 x b ，代入 1x by e 得 0y ；
所以切点为 ( ,0)b ．则 2 0b a ，所以 2a b ．
故 1 1 1 1 1( )( ) 1 1 2 22 2 2 2 2
b a a ba ba b a b a b b a
，
当且仅当 1a b 时等号成立，此时取得最小值 2．
故答案为： 2 ．
16．【答案】1 24 3
【详解】双曲线的方程为
2
2 18
yx ，则 1, 2 2, 1 8 3a b c .
设圆 M 分别与 1 2 1 2, ,PF PF F F 相切于 , ,B C A，
根据双曲线的定义可知 1 2 2PF PF ，根据内切圆的性质可知
1 2 1 2 1 2 1 2 2PF PF PB F B PC F C F B F C F A F A ①，
而 1 2 1 2 6F A F A F F ②. 由①②得： 1 24, 2F A F A ，所以 ( )1,0A ,
所以直线 MA 的方程为 1x ，即 M 的横坐标为1.
设 M 的坐标为 1, 0M r r ，则 1F 到圆 M 上点的最大距离为 1 4 3MF r ，
即 2 24 4 3r r ，解得 4 3
3r .
第 39 页 共 43 页
设直线 1PF 的方程为 3 0y k x k ，即 3 0kx y k .
M 到直线 1PF 的距离为
2
4 3 33 4 3
31
k k
k
，解得 3k .
所以线 1PF 的方程为 3 3y x .
由
2
2
3 3
18
y x
yx
且 P 在第一象限，解得 5,8 3P .
所以 22
1 5 3 8 3 16PF ， 2 1 2 14PF PF a .
所以△F1PF2 的面积为 1 2 1 2
1
2 PF PF F F r 1 4 316 14 62 3
24 3 .
故答案为：1； 24 3
17．【解析】（1）证明：∵ ，∴
∴ ，而 ，
∴ 是以 为首项，4 为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得 ，∴ .
∴
.
考点：等比数列的有关知识和综合运用．
18．【详解】
解：（1）在 ABC 中，由 cos 4a B ， sin 3b A ，
两式相除，有 4 cos cos cos 1
3 sin sin sin tan
a B a B b B
b A A b B b B
，所以 3tan 4B ，
又 cos 4a B ，故cos 0B ，则cos 4
5B ，所以 5a ；
（2）由（1）知 3sin 5B ，由 1 sin2S ac B ，得到 6c .
由 2 2 2 2 cosb a c ac B ，得 13b ，故 5 6 13 11 13l ，
即 ABC 的周长为11 13 .
19．【详解】
第 40 页 共 43 页
（1）取 EQ 中点 J ，连接 FJ ，则 ,PQ FJ FJ EQ .再取GQ 中点 R ，连接 ,HR RJ ，易得 / / ,HF RJ HF RJ ，
于是，四边形 RJFH 为平行四边形，得 / /RH JF ，从而 ,HR PQ HR EQ ，
那么 HR 平面 PGQ，又 HR 平面 HGQ ，故平面 PGQ 平面 HGQ .
（2）以与 EF 垂直的直线为 x 轴， EF 为 y 轴， EM 为 z 轴建立坐标系，则，
( 3,1,0), (0,0,4), (0,2,2), ( 3,1,6), (0,2,6)Q G H P N ，
设平面GQH 的法向量 ( , , ), ( 3,1, 4), (0,2, 2)m x y z GQ GH ，由 ,m GQ m GH 得：
3 4 0
2 2 0
x y z
y z
，取 1y z ，得 3x ，
所以平面GQH 的法向量 ( 3,1,1)m .
同理可得：平面GPN 的法向量 3 ,1, 13n
，
则 2
2 2 2 2 2
33 1 1 1 ( 1) 1053cos 353( 3) 1 1 1 ( 1)3
，
所以平面GPN 与平面GQH 所成二面角的余弦值为 105
35 .
20．【详解】（1）由散点图可以判断， dxy ce 更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归类型，
对 dxy ce 两边取自然对数得ln lny c dx ，令 lnz y ， lna c ，b d ，则 z a bx .
因为
7
1
7 2
1
40.182 0.272147.714
i i
i
i
i
x x z z
b
x x
， 3.612 0.272 27.429 3.849a z bx ，
所以， z 关于 x 的回归方程为 0.272 3.849z x ，
所以， y 关于 x 的回归方程为 0.272 3.849xy e ；
（2）①由 22 2 1 n
nf p C p p ，
2 3 32 2 2 22 1 2 1 1 2 1 2n n n
n n nf p C p p n C p p C p p p n p
32 1 2n
nC p p np ，
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3n 且 n N ，当 20 p n
时， 0f p ；当 2 1pn
时， 0f p .
所以，函数 f p 在区间 20, n
上单调递增，在区间 2 ,1n
上单调递减，
所以，函数 f p 在 2p n
处取得极大值，亦即最大值， 0
2p n
；
②由①可知，当 2p n
时， f p 取最大值，
又 6n ，则 1
3p ，由题意可知 16, 3X
， 16 23E X ， 1 2 46 3 3 3D X .
21．【详解】（1）设 0 0 1 1,, ,M x y P x y ，则 0 0,N x y .
由
2 2
0 0
2 2
2 2
1 1
2 2
1
1
x y
a b
x y
a b
得 0 1 0 1 0 1 0 1
2 2 0x x x x y y y y
a b
即
2
0 1 0 1
2
0 1 0 1
( )( )
( )( )
y y y y b
x x x x a
，所以
2
1 2 2
bk k a
1
2
，
∴ 2 22a b ，又 2 2 1a b ，∴ 2 2a ， 2 1b ，
故椭圆 C 的标准方程为：
2
2 12
x y .
（2）设直线 PQ 的方程为：. 1x ty ，则直线 MN 的方程为 x ty
由 2
2
1
12
x ty
x y
得 2 22 2 1 0t y ty ，
设 2 2,Q x y ，则 2 2 24 4 2 8 1 0t t t ，
1 2 2
2
2
ty y t
， 1 2 2
1
2y y t
所以 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) ( ) ( )PQ x x y y t y y y y
2 2
1 2 1 21 ( ) 4t y y y y 2 2
2 2
2 41 ( )2 2
tt t t
2
2
2 2( 1)
2
t
t
由
0 0
2
20
0 12
x ty
x y
，得 2
0 2
2
2y t
，
∴ 2
2 2 2 2
0 0 0 2
2 1
| | 2 2 1 2 2
t
MN x y t y t
故
2| | 2 2| |
MN
PQ
为常数，得证.
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22．【详解】（1）函数 ,g x h x 的图象存在唯一的公切线等价于 ,g x h x 的图象有唯一的公共点 P ，
且在 P 处的切线重合，设 0 0,P x y ，所以
0
0
0
0
ln 1 ,
,
x
x
be c x
cbe x
所以 0 1x ， c eb
.
（2）证明：关于 x 的不等式 1g x xh x ke 在 1 ,2
上有解 关于 x 的不等式 lnxk e x x x 在
1 ,2
上有解.
令 lnxf x e x x x ， 1 ,2x
，
则 ln 2xf x e x ， 1 ,2x
，
所以 1 1x
x xef x e x x
， 1 ,2x
，
因为 0x ， 0xe ，且 y x ， xy e 在 1 ,2x
时单调递增，
所以 1xxe 在 1 ,2x
时单调递增，
因为
1
1 2
21 21 02 2
ee ， 11 1 0e ，
所以存在唯一 0
1 ,12x
，使得 0
0 1 0xx e ，
即 0 0f x ，且 0
0
xx e .
所以 f x 在 0x 取得最小值
0 0 0 0
1
2
0 0 0
1 3 9ln 2 ln 2 2 2 02 2 4
x x x xf x e x e e e x e e e ，
所以 lnxf x e x x x 在 1 ,2x
上单调递增，
所以 1 ln2 1
2 2f x f e
，
即 f x 的值域为 ln2 1,2e
，
所以当 ln2 1
2k e 时，
关于 x 的不等式 lnxk e x x x 在 1 ,2
上有解，
即证得，当 1b ， ln2 1
2k e 时，关于 x 的不等式 1g x xh x ke 在 1 ,2
上有解.
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