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绝密★启用前
2021 届天府名校 4 月高三诊断性考试
理数
本试卷共 4 页，23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡，上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题
卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第 I 卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.已知集合 M＝{x|2x0)的焦点为 F，准线为 l，M(5，y0)为抛物线 C 上一点，以 M 为圆
心的圆 M 与准线 l 相切，且过点 E(9，0)，则抛物线的方程为
A.y2＝4x B.y2＝2x C.y2＝36x D.y2＝4x 或 y2＝36x
6.已知 a，b 为不同直线，α，β为不同平面，则下列结论不正确的是
A.若 a⊥α，b//α，则 b⊥a B.若 a α，α//β，则直线 a//平面β
C.若 a//α，b⊥β，a//b，则α⊥β D.若α∩β＝b，a α，a⊥b，则α⊥β
7.设 a＝log74，b＝ 1
7
2log 3
，c＝
2
32 ，则 a，b，c 的大小关系是
A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a
8.若变量 x，y 满足约束条件
y 2x
x y 1
y a
，且 z＝x＋2y 的最小值是－2，则 a 的值为
A.－ 4
5 B.－2 C.－ 2
3 D.－1
9.函数 f(x)＝sin2x＋ 3 sinxcosx 的图象在[0，m)上恰有两个极大值点，则 sin m 的取值范围
为
A.[－ 3
2
， 3
2 ] B.[－ 3
2
， 3
2 ) C.[－1， 3
2 ) D.[－1， 3
2 ]
3
10.在△ABC 中，∠BAC＝ 2
3
，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，且 AD＝2，则△ABC 的面积
的最小值为
A.3 B.4 3 C.4 D.6 3
11.已知三棱锥 D－ABC 的棱长均为 1，现将三棱锥 D－ABC 绕着 DA 旋转，则 D－ABC 所
经过的区域构成的几何体的体积为
A.
2
B.
4
C. 3
4
D.π
12.定义函数 F(x)＝ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x f x g x
g x f x g x
，若函数 f(x)＝x2－2x＋1，g(x)＝x2－ax＋b，且对任
意的 x∈R，都有 F(x)＝F(4－x)成立，函数 y＝F(x)的图象与 y＝m 自左向右有四个交点 A、
B、C、D，则|BC|·m 的范围为
A.(0， 8
27 ] B.(0， 2
3 ) C.(0，1) D.( 1
2
， 2
3 )
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
13.若(2－mx)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，若 a3＝－40，则 m＝ 。
14.在边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 是线段 AC 的三等分点，则
AD (BE BF) ＝ 。
15.等边△ABC 的边长为 2，点 D 为 AC 的中点，将△ABD 沿 BD 折起到△A'BD，使得∠A'DC
＝ 2
3
，若该三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。
16.已知点 F1，F2 是椭圆 C1：
2 2
2 2
1 1
1x y
a b
(a1>b1>0)与双曲线 C2：
2 2
2 2
2 2
1x y
a b
(a2>0，b2>0)
的公共焦点，e1，e2 分别是 C1 和 C2 的离心率，点 M 是 C1 和 C2 在第一象限的公共点，且∠
F1MF2＝60°，若 e1＝ 2
2
时，则 e2＝ 。
4
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)
在正项等比数列{an}中，a1＝1，且 2a3，a5，3a4 是等差数列{bn}的前三项。
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设 cn＝ 2n-1
2n
b
a
，求数列{cn}的前 n 项和 Tn。
18.(本小题满分 12 分)
某地盛产橙子，但橙子的品质与当地的气象相关指数λ有关，气象相关指数入λ越高，橙
子品质越高，售价同时也会越高。某合作社统计了近 10 年的当地的气象相关指数λ，得到了
如下频率分布直方图。
(1)求 a 的值；
(2)从近 10 年中任意抽取 3 年研究气象指数λ对橙子品质的影响，求这 3 年的气象相关指数λ
在[0.9，1]之间的个数 X 的数学期望；
(3)根据往年数据，该合作社的利润 y(单位：千元，利润＝收入－投入)与每亩地的投入 x∈[4，
8](单位：千元)和气象相关指数λ的关系如下：y＝100λ－ 200
x 2
－4x－40，x∈[4，8]，气象
相关指数λ取何值时，能使对于任意的 x∈[4，8]时该合作社都不亏损。
19.(本小题满分 12 分)
如图所示，几何体 ABCDEFG 中，四边形 ABCD 为菱形，ED⊥平面 ABCD，FA//GC//ED，
FA＝GC＝ 1
3 ED，FG＝2，BE＝4，平面 BFG 与平面 ABCD 的交线为 l。
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(1)证明：直线 l⊥平面 BDE；
(2)求直线 BG 与平面 BDE 所成角的正弦值的范围。
20.(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点为 F1，过点 F1 作 x 轴的垂线与椭圆在第二象
限的交点为 M。椭圆的左、右顶点分别为 A，B，已知△MAB 的面积为 3， 1
1AF AB4
。
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)直线 MB 与 y 轴交于点 N，过点 N 作直线与椭圆交于 P，Q 两点，若 NB NP 6NM NQ 。
求直线 PQ 的方程。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝lnx－ax＋a(a≠0)。
(1)讨论函数 f(x)的零点的个数；
(2)当 a>0 时，若 f(x)≤b＋2a 恒成立，证明： b
a
≥－2。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
1x m 2m
1y m m
(m 为参数)。
(1)求曲线 C 的普通方程；
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(2)过点 A(3 2 ，0)且斜率为 3 的直线与 C 的交点分别为点 M，N，求 1 1
AM AN
的值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|x－2|＋|x－4|。
(1)求不等式 f(x)≤2x＋2 的解集；
(2)若函数 f(x)的最小值为 m，正数 a，b 满足 a＋b＝m，求 1 a
a b
的最小值。
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