2021年安徽省示范高中皖北协作区第23届高考数学联考试卷（理科）（2021.04）（解析版）

2021 年安徽省示范高中皖北协作区第 23 届高考数学联考试卷 （理科）（4 月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1．已知集合 A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，集合 B＝{x| ≤4}，则 A∩B＝（ ） A．[1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞） 2．设复数 z 满足 z•i＝﹣1+i，则 ＝（ ） A．1 B． C． D． 3．已知 a＝e﹣1.5，b＝eln2，c＝1.5e，则（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 4．函数 f（x）＝ 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 f（x）＝log3x，将函数 y＝f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，再将所得的函 数图象上的点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，然后将所得的图象上的点的纵坐 标伸长为原来的 3 倍，横坐标不变，得到函数 y＝g（x）的图象，则函数 g（x）的解析 式为（ ） A．g（x）＝3log3（ x﹣1） B．g（x）＝ log3（ x﹣ ） C．g（x）＝3log3（2x﹣1） D．g（x）＝3log3（2x﹣2） 6．已知向量 ＝（1，0），| |＝ ，且 ⊥（ ﹣ ），则| +2 |＝（ ） A．2 B． C． D．5 7．已知函数 f（x）＝sin（2x+ φ ）+ sin（2x+ + φ ）为奇函数，其中| φ |＜ ，则曲线 y ＝f（x）在点（ ，f（ ））处的切线方程为（ ） A．4x﹣y+ ﹣ ＝0 B．2x﹣y+ ﹣ ＝0 C．2 x﹣y+1﹣ ＝0 D．2x﹣y+1﹣ ＝0 8．在四面体 ABCD 中，△BCD 是边长为 2 的等边三角形，△ABD 是以 BD 为斜边的等腰直 角三角形，平面 ABD⊥平面 ABC，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为（ ） A．8 π B． π C．6 π D．2 π9．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ n2+ n，函数 f（x）＝ ，则“m＞ ”是“数 列{f（an）}为递减数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设抛物线 E：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，已知 B（﹣ ，3p），C（﹣ ，y0）且 y0 ＞0，抛物线 E 上一点 A 满足 AB⊥BC，若线段 AC 的垂直平分线 l 过点 F，则直线 l 的斜率为（ ） A． B． C． D． 11．如图所示，在平面四边形 ABCD 中，△BCD 是等边三角形，AD＝1，BD＝ ，∠BAD ＝ ，则△ABC 的面积为（ ） A． B． C． D． 12．已知双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0），圆 E：（x﹣4）2+y2＝1，若双曲线 C 的 渐近线上存在点 P，过点 P 作直线 l，l 与圆 E 交于 A，B 两点，满足 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A．[ ，+∞） B．（1， ] C．（1， ] D．[ ，+∞） 二、填空题（每小题 5 分）. 13．已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x﹣2y 的最大值为 ． 14．（x﹣4+ ）3 的展开式中常数项是 （用数字作答）． 15．已知直线 2x+y+1＝0 的倾斜角为 θ ，则 ＝ ． 16．为提高学生的动手能力，学校的学科拓展中心建立了 3D 打印中心和陶瓷 DIY 工作坊．一 名同学在 3D 打印中心用橡胶打印了如图（1）所示的模具，该模具是棱长为 2 的正方体 截去两个三棱锥后剩下的部分．该同学又在陶瓷 DIY 工作坊做了 5 个异形瓶，其瓶口形 状如图（2）中 ①②③④⑤ 所示，则此橡胶七面体模具能作为图（2）中哪种异形瓶的 瓶塞？答： （写出所有满足条件的编号）． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 共 60 分． 17．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 2S3＝a4﹣a1，且 a1+2，2a2，a3 成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 18．如图所示，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD ＝ ，AC 与 BD 交于点 O，点 M 在线段 PA 上，且 PM＝3MA． （Ⅰ）证明：OM∥平面 PBC； （Ⅱ）求二面角 B﹣MD﹣C 的余弦值． 19．已知椭圆 B： ＝1，P 为椭圆 E 的右顶点，O 为坐标原点，过点 P 的直线 l1，l2 与椭圆 E 的另外一个交点分别为 A，B，线段 PA 的中点为 M，线段 PB 的中点为 N． （Ⅰ）若直线 OM 的斜率为 ，求直线 l1 的方程； （Ⅱ）若 OM⊥ON，证明：直线 AB 过定点． 20．“博弈”原指下棋，出自我国《论语•阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人、 团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下 进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程．生活中有很多游戏都蕴含着 博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲、乙约定若同时亮出正面，则甲付给 乙 3 元，若同时亮出反面，则甲付给乙 1 元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲 2 元． （Ⅰ）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望． （Ⅱ）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反 面的频率（假设进行多次游戏，频率可以代替概率），因此双方就面临竞争策略的博弈．甲、 乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望， 以收益的期望为决策依据，甲、乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果 对自己最有利？并分析游戏规则是否公平． 21．已知函数 f（x）＝x﹣aex，x≥0，a ∈ R． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）当 a＝1 时，不等式 f（x）≤（m+1）x﹣ x2+1﹣ m2 对任意 x≥0 恒成立，求实 数 m 的取值范围． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线 C1 与曲线 C2 交于两点 A，B，求 的值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．设函数 f（x）＝|2x+1|+|x+ |． （Ⅰ）求函数 f（x）的最小值； （Ⅱ）若函数 f（x）的最小值为 m，且正实数 a，b，c 满足 a+b+c＝m，证明： ． 参考答案 一、选择题（每小题 5 分）. 1．已知集合 A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，集合 B＝{x| ≤4}，则 A∩B＝（ ） A．[1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞） 解：∵集合 A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3 或 x≥1}， 集合 B＝{x| ≤4}＝{x|x≥﹣2}， ∴A∩B＝{x|x≥1}＝[1，+∞）． 故选：A． 2．设复数 z 满足 z•i＝﹣1+i，则 ＝（ ） A．1 B． C． D． 解：由 z•i＝﹣1+i，可得|z•i|＝|﹣1+i|， 即|z||i|＝|﹣1+i|，所以|z|＝ ， 则| |＝|z|＝ ， 故选：B． 3．已知 a＝e﹣1.5，b＝eln2，c＝1.5e，则（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解：∵0＜e﹣1.5＜e0＝1，∴0＜a＜1， ∵eln2＝2，∴b＝2， ∵1.5e＞1.52＝2.25，∴c＞2.25， ∴a＜b＜c， 故选：A． 4．函数 f（x）＝ 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∵f（﹣x）＝ ＝ ＝f（x）， ∴函数 f（x）为偶函数，故排除 CD； 由于 f（ ）＝0，f（1）＝（e﹣ ）cos1＞0， 故 B 不符合， 故选：A． 5．已知函数 f（x）＝log3x，将函数 y＝f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，再将所得的函 数图象上的点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，然后将所得的图象上的点的纵坐 标伸长为原来的 3 倍，横坐标不变，得到函数 y＝g（x）的图象，则函数 g（x）的解析 式为（ ） A．g（x）＝3log3（ x﹣1） B．g（x）＝ log3（ x﹣ ） C．g（x）＝3log3（2x﹣1） D．g（x）＝3log3（2x﹣2） 解：将函数 y＝f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，可得 y＝log3（x﹣1）， 再将所得的函数图象上的点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，可得 y＝log3（ x ﹣1）， 然后将所得的图象上的点的纵坐标伸长为原来的 3 倍，横坐标不变，可得 g（x）＝3log3 （ x﹣1）， 故选：A． 6．已知向量 ＝（1，0），| |＝ ，且 ⊥（ ﹣ ），则| +2 |＝（ ） A．2 B． C． D．5 解：向量 ＝（1，0），| |＝ ，且 ⊥（ ﹣ ）， ∴ •（ ﹣ ）＝ ﹣ ＝1﹣ • ＝0，即 ＝1． 则| +2 |＝ ＝ ＝ ＝5， 故选：D． 7．已知函数 f（x）＝sin（2x+ φ ）+ sin（2x+ + φ ）为奇函数，其中| φ |＜ ，则曲线 y ＝f（x）在点（ ，f（ ））处的切线方程为（ ） A．4x﹣y+ ﹣ ＝0 B．2x﹣y+ ﹣ ＝0 C．2 x﹣y+1﹣ ＝0 D．2x﹣y+1﹣ ＝0 解：∵f（x）＝sin（2x+ φ ）+ sin（2x+ + φ ）＝sin（2x+ φ ）+ cos（2x+ φ ） ＝2sin（2x+ φ + ）为奇函数， ∴f（0）＝2sin（ φ + ）＝0，则 φ + ＝k π ，k ∈ Z， ∵| φ |＜ ，∴ φ ＝﹣ ，验证此时 f（x）为奇函数， ∴f（x）＝2sin2x，f′（x）＝4cos2x， f′（ ）＝4cos ＝2，又 f（ ）＝2sin ＝ ， ∴曲线 y＝f（x）在点（ ，f（ ））处的切线方程为 y﹣ ＝2（x﹣ ）， 即 2x﹣y+ ﹣ ＝0． 故选：B． 8．在四面体 ABCD 中，△BCD 是边长为 2 的等边三角形，△ABD 是以 BD 为斜边的等腰直 角三角形，平面 ABD⊥平面 ABC，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为（ ） A．8 π B． π C．6 π D．2 π解：在四面体 ABCD 中，△BCD 是边长为 2 的等边三角形，△ABD 是以 BD 为斜边的等 腰直角三角形，AB＝AD＝ ， 平面 ABD⊥平面 ABC，如图，可知 AD⊥平面 ABC，可得 AD⊥AC，所以△BAC 是等腰 直角三角形，所以三棱锥 A﹣BCD 是正方体的一个角，如图： 外接球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以 2r＝ ，r＝ ， 四面体 ABCD 的外接球的表面积为：4 π r2＝6 π ． 故选：C． 9．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ n2+ n，函数 f（x）＝ ，则“m＞ ”是“数 列{f（an）}为递减数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：当 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝ n2+ n﹣ （n﹣1）2﹣ （n﹣1）＝n， 当 n＝1 时，a1＝S1＝1 满足上式，∴an＝n， ∴f（an）＝ ， 要使数列{f（an）}为递减数列，则 f（n+1）﹣f（n）＝ ﹣ ＜0， ∴m＞ 恒成立，∴m＞[ ]max，n ∈ N+， ∵y＝ 在 n ∈ N+时为减函数，∴[ ]max＝ ， ∴m＞ ， ∴m＞ 是数列{f（an）}为递减数列的充要条件． 故选：C． 10．设抛物线 E：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，已知 B（﹣ ，3p），C（﹣ ，y0）且 y0 ＞0，抛物线 E 上一点 A 满足 AB⊥BC，若线段 AC 的垂直平分线 l 过点 F，则直线 l 的斜率为（ ） A． B． C． D． 解：因为 AB⊥BC，且 BC⊥x 轴， 所以 yA＝yB＝3p，所以 2pxA＝（3p）2＝9p2，解得 x ， 所以点 A 的坐标为（ ）， 因为直线 l 垂直平分 AC，且点 F 在 l 上， 所以|CF|＝|AF|＝x ， 所以|CF|＝ ， 解得 y p，所以点 C 的坐标为（﹣ p）， 所以 k ， 所以 k ， 故选：D． 11．如图所示，在平面四边形 ABCD 中，△BCD 是等边三角形，AD＝1，BD＝ ，∠BAD ＝ ，则△ABC 的面积为（ ） A． B． C． D． 解：由△BCD 是等边三角形，AD＝1，BD＝ ，∠BAD＝ ， 在△ABD 中，由正弦定理得： ，即 ， 解得 ，易知∠ABD 为锐角，故 ． 所以 sin∠ABC＝sin（∠ABD+∠DBC） ＝sin∠ABD•cos∠DBC+cos∠ABD•sin∠DBC ＝ ＝ ． 在△ABD 中，由余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2•AB•AD•cos∠BAD， 即 ，解得：x＝2，或﹣3（舍）． 故 AB＝2． 所以 ＝ ＝ ． 故选：D． 12．已知双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0），圆 E：（x﹣4）2+y2＝1，若双曲线 C 的 渐近线上存在点 P，过点 P 作直线 l，l 与圆 E 交于 A，B 两点，满足 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A．[ ，+∞） B．（1， ] C．（1， ] D．[ ，+∞） 解：如图所示： 由已知可得存在 ，则| ， 又因为存在点 P 满足 ，则一定有| ， 过圆心 E 作 PB 垂直直线 y＝ ，则| ， 所以| ，所以| ， 所以|OP| ， 所以 ， 所以双曲线的离心率 e＝ ，又因为 e＞1， 所以双曲线的离心率的取值范围为（1， ]， 故选：B． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x﹣2y 的最大值为 2 ． 解：由约束条件作出可行域如图， A（2，0）， 化目标函数 z＝x﹣2y 为 y＝ ，由图可知，当直线 y＝ 过 A 时， z 有最大值为 2． 故答案为：2． 14．（x﹣4+ ）3 的展开式中常数项是 ﹣160 （用数字作答）． 解：由题设可得：（x﹣4+ ）3＝ ， 又（x﹣2）6 的展开式的通项公式为 Tr+1＝ •（﹣2）rx6﹣r，r＝0，1，…，6， 令 6﹣r＝3，可得 r＝3， ∴（x﹣4+ ）3 的展开式中常数项是 ＝﹣160， 故答案为：﹣160． 15．已知直线 2x+y+1＝0 的倾斜角为 θ ，则 ＝ ﹣ ． 解：直线 2x+y+1＝0 的倾斜角为 θ ，则 tan θ ＝k＝﹣2， θ∈ （ ， π ）， 即 ＝﹣2，所以 sin θ ＝2cos θ ， 所以 sin2 θ +cos2 θ ＝4cos2 θ +cos2 θ ＝5cos2 θ ＝1， 解得 cos2 θ ＝ ，即 cos θ ＝﹣ ； 所以 ＝ ＝ ＝ ＝2cos θ ＝2×（﹣ ） ＝﹣ ． 故答案为：﹣ ． 16．为提高学生的动手能力，学校的学科拓展中心建立了 3D 打印中心和陶瓷 DIY 工作坊．一 名同学在 3D 打印中心用橡胶打印了如图（1）所示的模具，该模具是棱长为 2 的正方体 截去两个三棱锥后剩下的部分．该同学又在陶瓷 DIY 工作坊做了 5 个异形瓶，其瓶口形 状如图（2）中 ①②③④⑤ 所示，则此橡胶七面体模具能作为图（2）中哪种异形瓶的 瓶塞？答： ①②⑤ （写出所有满足条件的编号）． 解：由题意，只需在图（1）的七面体中找到截面与图（2）的瓶口对应，即可将其作为 对应异形瓶的瓶塞， 通过作图可知， ①②⑤ 均可以在图（1）中找到对应的截面，入下图的 1、2、3， 而 ③④ 无法找到对应的截面． 故答案为： ①②⑤ ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 共 60 分． 17．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 2S3＝a4﹣a1，且 a1+2，2a2，a3 成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为 q， 由 2S3＝a4﹣a1，可得 2（a1+a1q+a1q2）＝a1q3﹣a1＝a1（q﹣1）（1+q+q2）， 化为 2＝q﹣1，即 q＝3； 由 a1+2，2a2，a3 成等差数列，可得 4a2＝a1+2+a3， 即有 12a1＝a1+2+9a1，解得 a1＝1， 所以 an＝a1qn﹣1＝3n﹣1； （Ⅱ）bn＝ ＝ ＝ ﹣ ， 所以 Tn＝ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ＝ ﹣ ＝ ﹣1 ＝ ﹣1＝ ﹣1． 18．如图所示，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD ＝ ，AC 与 BD 交于点 O，点 M 在线段 PA 上，且 PM＝3MA． （Ⅰ）证明：OM∥平面 PBC； （Ⅱ）求二面角 B﹣MD﹣C 的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：因为 PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ ，AC 与 BD 交于点 O， 所以 AO＝ ＝ ＝ ，OC＝BC•sin60°＝2sin60°＝ ，OC＝3AO， 又因为 PM＝3MA，所以 ，于是 OM∥PC， 又因为 PC ⊂ 平面 PBC，OM ⊄ 平面 PBC，所以 OM∥平面 PBC； （Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 PM＝3MA，PA＝2，所以 AM＝PA• ＝ ，又因为 PA⊥底面 ABCD， 所以 M（0，﹣ ， ）， ＝（1，﹣ ， ）， ＝（2，0，0）， （1， ， 0）， 设平面 BDM 和平面 CDM 的法向量分别为 ＝（x，y，z）， ＝（u，v，w）， ，令 z＝2， ＝（0， ，2）， ，令 v＝ ， ＝（﹣3， ，8）， 所以二面角 B﹣MD﹣C 的余弦值为 ＝ ＝ ． 19．已知椭圆 B： ＝1，P 为椭圆 E 的右顶点，O 为坐标原点，过点 P 的直线 l1，l2 与椭圆 E 的另外一个交点分别为 A，B，线段 PA 的中点为 M，线段 PB 的中点为 N． （Ⅰ）若直线 OM 的斜率为 ，求直线 l1 的方程； （Ⅱ）若 OM⊥ON，证明：直线 AB 过定点． 解：（Ⅰ）设直线 AP 的方程为 x＝ty+3（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 ，得（3+t2）y2+6ty＝0， 所以 y1+y2＝ ， 所以 yM＝ ＝ ， xM＝tyM+3＝ ， 所以 M（ ， ）， 因为 kOM＝﹣ ， 所以 ＝﹣ ，解得 t＝1， 所以直线 l1 的方程为 x﹣y﹣3＝0． （Ⅱ） ① 当直线 AB 的斜率不存在时，设 A（x0，y0），B（x0，﹣y0），﹣3＜x0＜3， 则 M（ ， ），N（ ，﹣ ）， 由 OM⊥ON，有 kOM•kON＝﹣1， 所以 • ＝﹣1， 所以﹣ ＝﹣1， 因为 + ＝1， 所以 x0＝﹣ ， 所以直线 AB 的方程为 x＝﹣ ． ② 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx+m， 联立椭圆的方程得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣9＝0， 所以△＝12（9k2﹣m2+3）＞0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则由 x1+x2＝ ，x1x2＝ ， 由 kOM•kON＝﹣1，可得 ＝﹣1， 即（1+k2）x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9＝0， 所以（1+k2）• +（km+3）• +m2+9＝0， 所以 9k2﹣9km+2m2＝0， 即（3k﹣2m）（3k﹣m）＝0， 当 m＝3k 时，直线 AB 过椭圆的左顶点，不满足题意， 当 m＝ k 时，直线 AB 过定点（﹣ ，0），且满足△＝12（9k2﹣m2+3）＞0， 综上所述，直线 AB 过定点（﹣ ，0）． 20．“博弈”原指下棋，出自我国《论语•阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人、 团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下 进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程．生活中有很多游戏都蕴含着 博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲、乙约定若同时亮出正面，则甲付给 乙 3 元，若同时亮出反面，则甲付给乙 1 元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲 2 元． （Ⅰ）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望． （Ⅱ）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反 面的频率（假设进行多次游戏，频率可以代替概率），因此双方就面临竞争策略的博弈．甲、 乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望， 以收益的期望为决策依据，甲、乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果 对自己最有利？并分析游戏规则是否公平． 解：（Ⅰ）因为是各自随机“亮”出正反面， 所以甲、乙“亮”出正面的概率均可认为是 ， 设乙在此游戏中的收益为随机变量 X，则 X 的可能取值为﹣2，1，3，所以可得乙的收益 的分布列为： X ﹣2 1 3 P 故乙收益的期望 E（X）＝﹣2× +1× +3× ＝0； （Ⅱ）假设甲以 p（0≤p≤1）的概率“亮”出正面，乙以 q（0≤q≤1）的概率“亮”出 正面， 甲收益的随机变量为 Y，乙收益的随机变量为 Z， 则此时甲的收益的分布列为： Y 2 ﹣1 ﹣3 P p（1﹣q）+q（1 ﹣p） （1﹣p）（1﹣q）pq 所以甲的收益期望为 E（Y）＝2[p（1﹣q）+q（1﹣p）]﹣（1﹣p）（1﹣q）﹣3pq＝（3 ﹣8q）+3q﹣1， 同理可得乙的收益的分布列为： Z ﹣2 1 3 P p（1﹣q）+q（1 ﹣p） （1﹣p）（1﹣q）pq 所以乙的收益期望为 E（Z）＝﹣2[p（1﹣q）+q（1﹣p）]+（1﹣p）（1﹣q）+3pq＝（8p ﹣3）q﹣3p+1， 根据甲的收益期望高，可知乙的最优策略师“亮”出正面的概率为 ， 否则若 ，则甲的收益期望 E（Y）＝（3﹣8q）p+3q﹣1，甲利益选项都“亮” 反面的策略，即 p＝0，达到预期收益最大，此时 E（Y）＝3q﹣1＞ ， 若 ，则甲选择都“亮”出正面的策略，即 p＝1，达到预期收益最大，E（Y） ＝2﹣5q＞ ， 同理，可知甲的最优策略是“亮”出正面的概率为 ，所以最终两人的决策为保持“亮” 出正面的概率都为 ， 而当 p＝q＝ 时，E（Y）＝ ，E（Z）＝﹣ ， 所以此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平． 21．已知函数 f（x）＝x﹣aex，x≥0，a ∈ R． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）当 a＝1 时，不等式 f（x）≤（m+1）x﹣ x2+1﹣ m2 对任意 x≥0 恒成立，求实 数 m 的取值范围． 解：（Ⅰ）∵f（x）＝x﹣aex，x≥0， ∴f′（x）＝1﹣aex， ① 当 a≤0 时，f′（x）＞0，f（x）在[0，+∞）单调递增， ② 当 a＞0 时，令 f′（x）＝0，解得：x＝ln ， 当 a≥1 时，ln ≤0，f′（x）≤0，f（x）在[0，+∞）单调递减， 当 0＜a＜1 时，ln ＞0，当 x ∈ （0，ln ）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当 x ∈ （ln ，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 综上：当 a≤0 时，f（x）在[0，+∞）单调递增， 当 a≥1 时，f（x）在[0，+∞）单调递减， 当 0＜a＜1 时，f（x）在（0，ln ）单调递增，在（ln ，+∞）时，单调递减； （Ⅱ）当 a＝1 时，不等式 f（x）≤（m+1）x﹣ x2+1﹣ m2， 即 2ex﹣x2+2mx+2﹣m2≥0， 设 g（x）＝2ex﹣x2+2mx+2﹣m2，（x≥0）， 则 g′（x）＝2ex﹣2x+2m＝2（ex﹣x+m）， 设 h（x）＝ex﹣x+m，则 h′（x）＝ex﹣1≥0， 故 h（x）在[0，+∞）上单调递增，又 h（0）＝1+m， ① 当 m≥﹣1 时，h（x）≥h（0）≥0，故 g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上单调递增， 故 g（x）≥g（0）＝4﹣m2≥0，故﹣1≤m≤2， ② 当 m＜﹣1 时，h（0）＝1+m＜0， 由（Ⅰ）知，a＝ 时，可得当 x≥0 时，ex＞2x， 故 h（﹣m）＝e﹣m+2m＞﹣2m+2m＝0， 故存在 x0 ∈ （0，﹣m），使得 h（x0）＝0，即 ﹣x0+m＝0， 当 x ∈ （0，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当 x ∈ （x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 故 g（x）≥g（x0）＝2 ﹣ +2mx0+2﹣m2 ＝2 ﹣ +2x0（x0﹣ ）+2﹣（x0﹣ ）2 ＝﹣ +2 +2， 由﹣ +2 +2≥0，解得：0＜x0≤ln（ +1）， ∵m＝x0﹣ ， 由（Ⅰ）得：a＝1 时，可得当 x≥0 时，f（x）＝x﹣ex 单调递减， 故 ln（ +1）﹣（ +1）≤m＜﹣1， 综上：ln（ +1）﹣（ +1）≤m≤2． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线 C1 与曲线 C2 交于两点 A，B，求 的值． 解：（Ⅰ）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），转换为 t＝ ，代入 x＝4t2﹣ 1，得到直角坐标方程为 y2＝4x+4． 根据 ，转换为极坐标方程为 ρ 2sin2 θ ＝4 ρ cos θ +4． 曲线 C2 的极坐标方程为 ，转换为直角坐标方程为 ． （Ⅱ ）把 曲线 C2 的极 坐标 方程 为 ，代 入 ρ 2sin2 θ ＝4 ρ cos θ +4 得到 ， 所以 ， ρ 1 ρ 2＝﹣16， 所以 ． [选修 4-5：不等式选讲] 23．设函数 f（x）＝|2x+1|+|x+ |． （Ⅰ）求函数 f（x）的最小值； （Ⅱ）若函数 f（x）的最小值为 m，且正实数 a，b，c 满足 a+b+c＝m，证明： ． 解：（Ⅰ） 当 x≤﹣ ，f（x）单调递减；当﹣ ＜x，f（x）单调递增； 所以函数 f（x）的最小值为 1． （Ⅱ）证明：由于 a+b+c＝1， 所以 ， 即 ，当且仅当 a＝ ，b＝c＝ 时取等号．