2021届辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷（三）（解析版）

2021 年辽宁省百校联盟高考数学全程精炼试卷（三） 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1．若复数 z 满足 ，则 z 的共轭复数 为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合 A＝{x| ＜x＜2}，B＝{x|log2x＜ }，则 A∩B＝（ ） A．{x| ＜x＜ } B．{x| ＜x＜ } C．{x|0＜x＜4} D．{x| ＜x＜4} 3．已知向量 与 ，| |＝3，| |＝2，| + |＝ ，则已知向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．某养老院一楼有六个房间，现有 6 位男住户和 4 位女住户，要求安排其中 2 位女住户人 住中间四个房间中的两个，安排其中 4 位男住户入住剩下的 4 个房间，则不同的安排方 式有（ ） A．25920 种 B．26890 种 C．27650 种 D．28640 种 5．中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载： ① “堑堵”，即底 面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱； ② “阳马”，即底面为矩形，且有一侧 棱垂直于底面的四棱锥．现有一“堑堵”ABC﹣A1B1C1，如图所示，AC⊥BC，AA1＝3， AC＝2，则其中“阳马”B﹣A1ACC1 与三棱锥 B1﹣A1C1B 的体积之比为（ ） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：1 6．已知幂函数 f（x）＝xa 满足 2f（2）＝f（16），若 a＝f（log42），b＝f（ln2），c＝f（ ）， 则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a 7．某工厂生产了 10000 根钢管，其钢管内径（单位：mm）近似服从正态分布 N（20，σ2） （σ＞0），工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于 20.05mm 的占钢管总数的 ， 则这批钢管中，内径在 19.95mm 到 20mm 之间的钢管数约为（ ） A．4200 根 B．4500 根 C．4800 根 D．5200 根 8．已知函数 f（x）＝ +x|x|+2，且 f（﹣a）+f（2a﹣3）＞4，则实数 a 的取值范围是 （ ） A．（1，+∞） B．（ ，+∞） C．（3，+∞） D．（4，+∞） 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分） 9．下列命题为真命题的是（ ） A． ∃ x0 ∈ R，x02+4x0+6≤0 B．正切函数 y＝tanx 的定义域为 R C．函数 的单调递减区间为（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．矩形的对角线相等且互相平分 10．设函数 f（x）＝sin（2x+ ），则下列结论正确的是（ ） A．f（x）的一个周期为﹣4 πB．y＝f（x）的图象关于直线 x＝ 对称 C．函数 f（x）向左平移 后所得函数为奇函数 D．f（x）在区间（ ， ）上单调递增 11．设 x＞0，y＞0，则下列结论正确的是（ ） A．不等式 恒成立 B．函数 f（x）＝3x+3﹣x 的是小值为 2 C．函数 的最大值为 D．若 x+y＝2，则 的最小值为 12．已知双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，则下列说法 正确的是（ ） A．若 a＝b，F1（﹣6，0），则它的方程是 ＝1 B．若 b＝3，一条渐近线方程为 3x﹣2y＝0，则 F2（4，0） C．P 为双曲线右支上一点，|PF1|2+a|PF2|＝18a2，则离心率 e 的取值范围为（1，3] D．若过 F2 的直线 l 与 x 轴垂直且与渐近线交于 A、B 两点，∠AF1O＝ ，则双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±2 x 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知{an}为等差数列，公差 d＝2，a2+a4+a6＝18，则 a5+a7＝ ． 14．某中学为了了解学生学习物理的情况，抽取了 100 名物理成绩在 60～90 分（满分为 100 分）之间的学生进行调查，将这 100 名学生的物理成绩分成了六段：[60，65），[65，70）， [70，75），[75，80），[80，85），[85，90]，绘成频率分布直方图，如图所示．从成绩 在[70，80）的学生中任抽取 2 人，则成绩在[75，80）的学生恰好有一人的概率为 ． 15．已知抛物线 y2＝2px（p＞0）上一点（5，m）到焦点的距离为 6，准线为 l，若 l 与双曲 线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线所围成的三角形面积为 2 ，双曲线 C 的离心率为 ． 16．已知函数 f（x）＝x•ex﹣ex，若 f（x）＜a 有且仅有两个不同的整数解，则函数 f（x） 的最小值为 ；实数 a 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 q＞0，a1＝1，a3＝a2+2．若数列{bn}的前 n 项 和为 Tn，an+1＝bnSn+1Sn，求： （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 18．已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 所对的边，且满足 a（sinA﹣ sinB）＝（sinC+sinB） （c﹣b），若 P 为边 AB 上靠近 B 的三等分点，CP＝ ，求： （1）求 cosC 的值； （2）求 b+2a 的最大值． 19．从 2020 年 1 月起，我国爆发了以武汉为中心的新型冠状病毒肺炎疫情，湖北某市疫情 监控机构统计了 2 月 10 日到 15 日每天新增病例的情况，统计数据如表（1）所示，其中 2 月 11 日这一天的 25 人中有男性 15 人，女性 10 人． 表（1） 2 月 x 日 10 11 12 13 14 15 新增病例 y 人 23 25 26 29 28 31 （1）工作人员根据疫情监控需要，对 2 月 11 日这一天的 25 人按性别分层抽取 5 人，再 从这 5 人中抽取 2 人了解病毒传染情况，求抽取的这 2 人中至少有 1 名女性的概率； （2）2 月 10，11 日这两天的 48 人中，最多经过三个阶段的治疗都痊愈出院了，其中病 症轻微的无需治疗仅凭自身免疫能力就能痊愈．医院整理了 48 人各自经历的治疗次数， 数据如表（2），以这 48 人治疗次数的频率代替 1 人治疗次数发生的概率．从全省的新 型冠状病毒肺炎患者中随机抽取 2 名患者，用 X 表示抽取的 2 名总共需要的治疗次数， 求治疗次数 X 的分布列及数学期望． 治疗次数 0 1 2 3 人数 24 12 8 4 20．如图所示，在多面体 ABCDPQ 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为直角梯形， AD⊥CD，BC⊥CD，AD＝2CD＝2BC＝2a（a 为大于零的常数），△PAD 为等腰直角三 角形，PA＝PD，E 为 AD 的中点，PQ∥BE． （1）当 DQ⊥EC 时，求 PQ 的长； （2）在（1）的条件下，求二面角 B﹣AQ﹣D 的大小． 21．已知 F1、F2 分别为椭圆 C： （a＞b＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点， 满足 PF1⊥x 轴，|PF1|＝ ，且椭圆上的点到左焦点 F1 的距离的最大值为 3． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点 M（0，t）（t＞0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点， • ＝﹣3（其中 O 为坐标原点），与直线 l 平行且与椭圆 C 相切的两条直线分别为 l1、l2，若 l1 与 l2 两直线 间的距离 ，求直线 l 的方程． 22．已知函数 f（x）＝ex﹣a﹣ln（x+b）． （1）若 b＝0，函数 g（x）＝a（x﹣1）2+ex﹣a﹣f（x），且函数 g（x）在区间[2，3]上是 减函数，求实数 a 的取值范围； （2）若 b＝a，此时函数 f（x）区间（0，+∞）上的最小值为 1，求实数 a 的值． 参考答案 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1．若复数 z 满足 ，则 z 的共轭复数 为（ ） A． B． C． D． 解： ＝ ， 所以 ． 故选：D． 2．已知集合 A＝{x| ＜x＜2}，B＝{x|log2x＜ }，则 A∩B＝（ ） A．{x| ＜x＜ } B．{x| ＜x＜ } C．{x|0＜x＜4} D．{x| ＜x＜4} 解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 3．已知向量 与 ，| |＝3，| |＝2，| + |＝ ，则已知向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 解：向量 与 ，| |＝3，| |＝2，| + |＝ ， ， 所以 9+4+2 ＝19， 所以 ＝3， 向量 与 的夹角为 θ∈ [0， π ]， cos θ ＝ ＝ ＝ ， 所以 θ ＝ ． 故选：B． 4．某养老院一楼有六个房间，现有 6 位男住户和 4 位女住户，要求安排其中 2 位女住户人 住中间四个房间中的两个，安排其中 4 位男住户入住剩下的 4 个房间，则不同的安排方 式有（ ） A．25920 种 B．26890 种 C．27650 种 D．28640 种 解：先安排其中 2 位女住户人住中间四个房间中的两个，有 种方法； 再安排其中 4 位男住户入住剩下的 4 个房间，有 种方法． 由乘法原理可得： • ＝25920 种方法． 故选：A． 5．中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载： ① “堑堵”，即底 面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱； ② “阳马”，即底面为矩形，且有一侧 棱垂直于底面的四棱锥．现有一“堑堵”ABC﹣A1B1C1，如图所示，AC⊥BC，AA1＝3， AC＝2，则其中“阳马”B﹣A1ACC1 与三棱锥 B1﹣A1C1B 的体积之比为（ ） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：1 解：设 BC＝h，由“阳马”的定义知，“阳马”B﹣A1ACC1 的体积 ， 而“堑堵”ABC﹣A1B1C1 的体积 ， 故三棱锥 B1﹣A1C1B 的体积 V2＝V﹣V1＝3h﹣2h＝h， 于是“阳马”B﹣A1ACC1 与三棱锥 B1﹣A1C1B 的体积之比为 V1：V2＝2：1． 故选：A． 6．已知幂函数 f（x）＝xa 满足 2f（2）＝f（16），若 a＝f（log42），b＝f（ln2），c＝f（ ）， 则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a 解：幂函数 f（x）＝xa 中，2f（2）＝f（16）， 所以 2×2a＝16a，即 2a+1＝24a， 所以 a+1＝4a，解得 a＝ ， 所以 f（x）＝ ， 所以 f（x）是定义域为 R 上的单调增函数； 又 a＝f（log42），b＝f（ln2），c＝f（ ）， 且 log42＝ ，ln2＞ln ＝ ， ＝ ＜ ， 所以 ＜log42＜ln2， 即 f（ ）＜f（log42）＜f（ln2）， 所以 b＞a＞c． 故选：C． 7．某工厂生产了 10000 根钢管，其钢管内径（单位：mm）近似服从正态分布 N（20，σ2） （σ＞0），工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于 20.05mm 的占钢管总数的 ， 则这批钢管中，内径在 19.95mm 到 20mm 之间的钢管数约为（ ） A．4200 根 B．4500 根 C．4800 根 D．5200 根 解：钢管内径在 19.95mm 到 20mm 之间的概率 P＝ ＝ ， 因此内径在 19.95mm 到 20mm 之间的钢管数约＝10000× ＝4800 根． 故选：C． 8．已知函数 f（x）＝ +x|x|+2，且 f（﹣a）+f（2a﹣3）＞4，则实数 a 的取值范围是 （ ） A．（1，+∞） B．（ ，+∞） C．（3，+∞） D．（4，+∞） 解：因为 f（x）＝ +x|x|+2＝3﹣ +x|x|， 所以 f（﹣x）+f（x）＝3﹣ ﹣x|﹣x|+3﹣ +x|x|， ＝6﹣ ﹣ ＝6﹣2＝4， 因为 f（﹣a）+f（2a﹣3）＞4＝f（a）+f（﹣a）， 所以 f（2a﹣3）＞f（a）， 又 f（x）＝ +x|x|+2＝3﹣ +x|x|在 R 上单调递增， 所以 2a﹣3＞a， 解得 a＞3． 故选：C． 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分） 9．下列命题为真命题的是（ ） A． ∃ x0 ∈ R，x02+4x0+6≤0 B．正切函数 y＝tanx 的定义域为 R C．函数 的单调递减区间为（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．矩形的对角线相等且互相平分 解：对于 A，因为△＝42﹣4×1×6＝﹣8＜0，所以 x2+4x+6＞0 恒成立，所以 A 为假命题； 对于 B，正切函数 y＝tanx 的定义域为 ≠R．所以 B 为 假命题； 对于 C，函数 的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），所以 C 为假命题； 对于 D，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以证，所以 D 为真命题． 故选：D． 10．设函数 f（x）＝sin（2x+ ），则下列结论正确的是（ ） A．f（x）的一个周期为﹣4 πB．y＝f（x）的图象关于直线 x＝ 对称 C．函数 f（x）向左平移 后所得函数为奇函数 D．f（x）在区间（ ， ）上单调递增 解：函数 f（x）＝sin（2x+ ）， 对于 A：函数的最小正周期为 π ，所以﹣4 π 也为函数的周期，故 A 正确； 对于 B：当 x＝ 时，f（ ）＝sin ＝﹣1，故 B 正确； 对于 C：函数 f（x）的图象向左平移 ，得到 g（x）＝sin（2x+ ）＝cos2x 的图象， 故函数 g（x）为偶函数，故 C 错误； 对于 D：当 x ∈ （ ， ）时， ，故函数在该区间上单调 递增，故 D 正确． 故选：ABD． 11．设 x＞0，y＞0，则下列结论正确的是（ ） A．不等式 恒成立 B．函数 f（x）＝3x+3﹣x 的是小值为 2 C．函数 的最大值为 D．若 x+y＝2，则 的最小值为 解：因为 x＞0，y＞0， （x+y）（ ）＝2+ ≥4，当且仅当 时取等号，A 正确； 因为 3x＞1，则 f（x）＝3x+3﹣x ＝2，当且仅当 3x＝3﹣x，即 x＝0 时取等号， 但 x＞0，故 B 错误； ＝ ＝ ，当且仅当 x＝ ，即 x＝1 时取等号，C 正确； 因为 x+y＝2，所以 2x+2y＝4， 则 ＝ ＝ （ ） （ 2x+1+2y+2 ） ＝ （3+ + ） ， 当且仅当 ＝ 时取等号，D 错误． 故选：AC ． 12．已知双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，则下列说法 正确的是（ ） A．若 a＝b，F1（﹣6，0），则它的方程是 ＝1 B．若 b＝3，一条渐近线方程为 3x﹣2y＝0，则 F2（4，0） C．P 为双曲线右支上一点，|PF1|2+a|PF2|＝18a2，则离心率 e 的取值范围为（1，3] D．若过 F2 的直线 l 与 x 轴垂直且与渐近线交于 A、B 两点，∠AF1O＝ ，则双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±2 x 解：若 a＝b，F（﹣6，0），可得 c＝ a＝6，即有 a＝b＝3 ，双曲线的方程为 ﹣ ＝1，故 A 正确； 一条渐近线方程为 3x﹣2y＝0，可得 ＝ ， 又 b＝3，则 a＝2，c＝ ＝ ， 则 F2（ ，0），故 B 错误； 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得 m﹣n＝2a， 由|PF1|2+a|PF2|＝18a2，可得 m2+an＝18a2，即为（n+2a）2+an＝18a2， 解得 n＝2a，由 n≥c﹣a，可得 c≤3a， 即有 1＜e＝ ≤3，故 C 正确； 若过 F2（c，0）的直线 l 与 x 轴垂直且与渐近线交于 A（c， ），、B（c，﹣ ）两 点， 由∠AF1O＝ ，可得 k ＝ ＝ ，即为 b2＝2 ac， 则 b4＝12a2c2＝12a2（a2+b2）， 解得 b2＝（6+4 ）a2， 则双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± x，故 D 错误． 故选：AC． 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知{an}为等差数列，公差 d＝2，a2+a4+a6＝18，则 a5+a7＝ 20 ． 解：{an}为等差数列，公差 d＝2，a2+a4+a6＝18， ∴3a4＝18， ∴a4＝6， ∴a6＝a4+2d＝10， ∴a5+a7＝2a6＝20， 故答案为：20． 14．某中学为了了解学生学习物理的情况，抽取了 100 名物理成绩在 60～90 分（满分为 100 分）之间的学生进行调查，将这 100 名学生的物理成绩分成了六段：[60，65），[65，70）， [70，75），[75，80），[80，85），[85，90]，绘成频率分布直方图，如图所示．从成绩 在[70，80）的学生中任抽取 2 人，则成绩在[75，80）的学生恰好有一人的概率为 ． 解：由频率分布直方图可知，成绩在[70，75）的人数为 0.04×5×100＝20 人， 成绩在[75，80）的人数为 0.06×5×100＝30 人， 所以成绩在[75，80）的学生恰好有一人的概率为 ． 故答案为： ． 15．已知抛物线 y2＝2px（p＞0）上一点（5，m）到焦点的距离为 6，准线为 l，若 l 与双曲 线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线所围成的三角形面积为 2 ，双曲线 C 的离心率为 3 ． 解：由题意，5+ ＝6，得 ＝1，即 p＝2，则抛物线 y2＝4x 的准线方程为 x＝﹣1， 双曲线的渐近线方程为 y＝ x 和 y＝﹣ x， 当 x＝﹣1 时，y＝﹣ 和 y＝ ，即交点坐标为（﹣1， ），（﹣1，﹣ ）， 则围成三角形的面积 S＝ ×1×[ ﹣（﹣ ）]＝ 2× ＝ ， 由 ＝2 ，得 b＝2 a，b2＝8a2＝c2﹣a2， 得 c2＝9a2，得 c＝3a， 即离心率 e＝ ＝3， 即双曲线的离心率为 3， 故答案为：3． 16．已知函数 f（x）＝x•ex﹣ex，若 f（x）＜a 有且仅有两个不同的整数解，则函数 f（x） 的最小值为 ﹣1 ；实数 a 的取值范围是 （﹣ ，﹣ ] ． 解：∵f（x）＝x•ex﹣ex， ∴f′（x）＝（1+x）ex﹣ex＝xex， 当 x＜0 时，f′（x）＜0，故 f（x）在（﹣∞，0）上单调递减； 当 x＞0 时，f′（x）＞0，故 f（x）在（0，+∞）上单调递增； ∴当 x＝0 时，f（x）取到极小值 f（0）＝﹣1，也是最小值． 又 f（1）＝0，f（0）＝﹣1， 当 x→﹣∞时，f（x）→0，当 x→∞时，f（x）→+∞， ∵f（x）＜a 有且仅有两个不同的整数解， ∴这两个整数解只能是﹣1 和 0， ∴f（﹣1）＜a≤f（﹣2）， 即﹣ ＜a≤﹣ ， 故答案为：﹣1；（﹣ ，﹣ ]． 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 q＞0，a1＝1，a3＝a2+2．若数列{bn}的前 n 项 和为 Tn，an+1＝bnSn+1Sn，求： （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 解：（1）由等比数列{an}的公比 q＞0，a1＝1，a3＝a2+2， ∴q2＝q+2，解得 q＝2． ∴an＝2n﹣1． （2）由（1）可得：Sn＝ ＝2n﹣1． 又 an+1＝bnSn+1Sn， ∴2n＝bn×（2n+1﹣1）（2n﹣1）， 可得：bn＝ ＝ ﹣ ， ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ ﹣ + ﹣ +……+ ﹣ ＝1﹣ ． 18．已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 所对的边，且满足 a（sinA﹣ sinB）＝（sinC+sinB） （c﹣b），若 P 为边 AB 上靠近 B 的三等分点，CP＝ ，求： （1）求 cosC 的值； （2）求 b+2a 的最大值． 解：（1）由题意及正弦定理得到 a（a﹣ b）＝（c+b）（c﹣b）， 即 a2+b2﹣c2＝ ab， 由余弦定理可得 cosC＝ ＝ ＝ ． （2）作 AD∥BC 角 CP 延长线于 D， 所以△APD∽△BPC，相似比 ＝ ，则 DP＝ ，DC＝1， 因为 AD＝2a，可得 DC2＝AD2+AC2﹣2AD•AC•cos（A+B）， 所以 1＝4a2+b2+2×2ab•cosC， 所以 4a2+b2＝1﹣ab，可得（2a+b）2＝1+3ab， 所以 4a2+b+ab≥2 +ab＝5ab，可得 ab≤ ，当且仅当 4a2＝b2 时取等号， 所以（2a+b）2＝1+3ab≤ ， 所以 2a+b≤ ，即 b+2a 的最大值为 ． 19．从 2020 年 1 月起，我国爆发了以武汉为中心的新型冠状病毒肺炎疫情，湖北某市疫情 监控机构统计了 2 月 10 日到 15 日每天新增病例的情况，统计数据如表（1）所示，其中 2 月 11 日这一天的 25 人中有男性 15 人，女性 10 人． 表（1） 2 月 x 日 10 11 12 13 14 15 新增病例 y 人 23 25 26 29 28 31 （1）工作人员根据疫情监控需要，对 2 月 11 日这一天的 25 人按性别分层抽取 5 人，再 从这 5 人中抽取 2 人了解病毒传染情况，求抽取的这 2 人中至少有 1 名女性的概率； （2）2 月 10，11 日这两天的 48 人中，最多经过三个阶段的治疗都痊愈出院了，其中病 症轻微的无需治疗仅凭自身免疫能力就能痊愈．医院整理了 48 人各自经历的治疗次数， 数据如表（2），以这 48 人治疗次数的频率代替 1 人治疗次数发生的概率．从全省的新 型冠状病毒肺炎患者中随机抽取 2 名患者，用 X 表示抽取的 2 名总共需要的治疗次数， 求治疗次数 X 的分布列及数学期望． 治疗次数 0 1 2 3 人数 24 12 8 4 解：（1）对 2 月 11 日这一天的 25 人按性别分层抽取 5 人， 可知抽取的男生为 3 人，女生为 2 人， 则所求事件的概率为 P＝ ； （2）设“1 人治疗次数”为事件 Y， 则 P（Y＝0）＝ ，P（Y＝1）＝ ，P（Y＝2）＝ ，P（Y＝3）＝ ， 由题意可知：X＝0，1，2，3，4，5，6， 则 P（X＝0）＝ ，P（X＝1）＝2× ， P（X＝2）＝ ，P（x＝3）＝2× ， p（X＝4）＝ ，P（X＝5）＝2× ， P（X＝6）＝ ， 所以 X 的分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 6 P E（X）＝0× 5× ＝ ． 20．如图所示，在多面体 ABCDPQ 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为直角梯形， AD⊥CD，BC⊥CD，AD＝2CD＝2BC＝2a（a 为大于零的常数），△PAD 为等腰直角三 角形，PA＝PD，E 为 AD 的中点，PQ∥BE． （1）当 DQ⊥EC 时，求 PQ 的长； （2）在（1）的条件下，求二面角 B﹣AQ﹣D 的大小． 解：（1）因为△PAD 为等腰直角三角形，PA＝PD，E 为 AD 的中点，所以 PE⊥AD， 又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PE ⊂ 平面 PAD， 则 PE⊥平面 ABCD，又 AE，BE ⊂ 平面 ABCD，所以 PE⊥AE，PE⊥BE， 又 DC∥BE，AD⊥CD，所以 BE⊥AD， 以 EA，EB，EP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 则 A（a，0，0），D（﹣a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，a，0），P（0，0，a）， Q（0，t，a）， 故 ， 因为 DQ⊥EC，所以 ， 故﹣a2+at＝0，解得 t＝a， 故 Q（0，a，a）， 所以四边形 PQBE 为矩形，故 PQ＝a； （2）设点 F 为 AB 的中点，连结 EF， 因为 QB⊥平面 ABCD，EF ⊂ 平面 ABCD，所以 QB⊥EF， 又△AEB 为等腰直角三角形，所以 EF⊥AB， 又 QB∩AB＝B，QB，AB ⊂ 平面 ABQ， 所以 EF⊥平面 ABQ， 故 为平面 ABQ 的一个法向量，且 ， 设平面 ADQ 的法向量为 ， 又 ， 所以 ，即 ， 令 z＝﹣1，则 x＝0，y＝1，故 ， 所以 ， 由图可知二面角 B﹣AQ﹣D 是锐二面角， 故二面角 B﹣AQ﹣D 的平面角为 60°． 21．已知 F1、F2 分别为椭圆 C： （a＞b＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点， 满足 PF1⊥x 轴，|PF1|＝ ，且椭圆上的点到左焦点 F1 的距离的最大值为 3． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点 M（0，t）（t＞0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点， • ＝﹣3（其中 O 为坐标原点），与直线 l 平行且与椭圆 C 相切的两条直线分别为 l1、l2，若 l1 与 l2 两直线 间的距离 ，求直线 l 的方程． 解：（1）由题意可得|PF1|＝ ＝ ，即 b2＝ a， ①由于椭圆上的点到左焦点 F1 的距离最大值为 3， 所以 a+c＝3， ②又因为 a2＝b2+c2， ③由 ①②③ ，解得 a＝2，b2＝3， 所以椭圆的方程为 + ＝1． （2）当直线 l 垂直于 x 轴时，A，B 为椭圆的上，下顶点， 此时 l1 与 l2 距离为长轴长 4，不满足条件， 所以直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y＝kx+t， 联立 ，整理得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0， 则 x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ， 又 • ＝x1 x2+y1y2＝x1x2+（kx1+t）（kx2+t）＝（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2＝﹣3， 所以（1+k2） +kt（﹣ ）+t2＝﹣3， 解得 t＝ 或 t＝﹣ （负值舍去）， 设直线 l1，l2 的方程为 y＝kx+m， 联立 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0， 令△＝（8km）2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0，解得 m2＝4k2+3， 所以直线 l1，l2 的距离为 d＝ ＝2 ＝2 ＝ ， 解得 k＝±2， 所以直线 l 的方程为 y＝2x+ 或 y＝﹣2x+ ． 22．已知函数 f（x）＝ex﹣a﹣ln（x+b）． （1）若 b＝0，函数 g（x）＝a（x﹣1）2+ex﹣a﹣f（x），且函数 g（x）在区间[2，3]上是 减函数，求实数 a 的取值范围； （2）若 b＝a，此时函数 f（x）区间（0，+∞）上的最小值为 1，求实数 a 的值． 解：（1）函数 f（x）＝ex﹣a﹣ln（x+b），当 b＝0 时，g（x）＝a（x﹣1）2+ex﹣a﹣f（x） ＝a（x﹣1）2+lnx，则 g'（x）＝2a（x﹣1）+ ， 因为 g（x）在[2，3]上为减函数，所以 g'（x）≤0 在[2，3]上恒成立，即 对 x ∈ [2，3]恒成立， 因为 y＝2x（x﹣1）＝2x2﹣2x＝ ，所以函数 y＝2x（x﹣1）在[2，3]上单调 递增， 则函数 y 的最小值为 2×2×（2﹣1）＝4，则函数 在[2，3]上的最大值为 ， 故 a≤ ； （2）当 b＝a 时，f（x）＝ex﹣a﹣ln（x+a），则 f'（x）＝ex﹣a﹣ ， 令 f'（x0）＝0，即 ① ， 又 f''（x）＝ex﹣a+ ≥0 在（0，+∞）上恒成立，则 f'（x）在（0，+∞）上单调递 增， 所以当 x ∈ （0，x0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当 x ∈ （x0，+∞）时，f'（x）＞0， f（x）单调递增， 则 f（x）的最小值为 f（x0）＝ ， 由题意可知，函数 f（x）区间（0，+∞）上的最小值为 1，所以 ＝1 ② ， 由 ①② 解得 ．