浙江省2020-2021学年高三上学期五校联考数学试题（word版含答案）

浙江省 2020 至 2021 学年高三年级第一学期五校联考试题 数学试题卷 参考公式 柱体的体积公式：V＝Sh，其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高； 锥体的体积公式： 1 3V Sh ，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高； 台体的体积公式： 1 1 2 2 1 ( )3V h S S S S   ，其中 S1，S2 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高； 球的表面积公式：S＝4πR2，球的体积公式： 34 π3V R ，其中 R 表示球的半径； 第Ⅰ卷（选择题部分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 { | 1 }A x y x   ，B＝{x|0＜x＜2}，则 ( )A B R ð （ ） A．(1，2) B．(0，1) C．(0，+∞) D．(-∞，2) 2．“直线 l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线 l 与平面α垂直”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 3．若 x，y 满足约束条件 2 2 1 1 1, x y x y y          则 z＝2x-y 的最大值为 （ ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．已知 (1,2)a  ， (1, 7)b   ， 2c a b    ，则 c  在 a  方向上的投影为 （ ） A． 3 5 5  B． 3 2 10  C． 3 2 10 D． 3 5 5 5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2sin C＝tan A(1-2cos C)，c＝2b， 则 cos B 的值为 （ ） A． 2 3 B． 2 3 C． 3 4 D． 7 8 6．函数 2( ) x xe ef x x  的图象是下列图中的 （ ） A． B． C． D． 7．已知数列{an}的前 n 项的和为 Sn，且 Sn＝2an-3n(n∈N*)，则 （ ） A．{an}为等比数列 B．{an}为摆动数列 C．an＝3×2n+1-9 D．Sn＝6×2n-3n-6 8．已知 2+5cos 2α＝cos α， 4cos(2 ) 5    ， π(0, )2   ， 3π( ,2π)2   ，则 cos β的值为 （ ） A． 4 5  B． 44 125 C． 44 125  D． 4 5 9．已知抛物线 C：x2＝3y，过点 3( , )( )4P m m  R 作抛物线的切线 PA、PB，切点分别为 A、 B，则 A、B 两点到 x 轴距离之和的最小值为 （ ） A．3 B． 3 2 C． 3 3 2 D． 3 3 4 10．已知函数 1 1( ) | | | | ( )f x x a x ax a x       R ，g(x)＝p[f(x)]2-q(pq＞0)，给出下列四个 命题： ①函数 f(x)图象关于点(0，0)对称； ②对于任意 a∈R，存在实数 m，使得函数 f(x+m)为偶函数； ③对于任意 a∈R，函数 f(x)存在最小值； ④当 a＝1 时，关于 x 的方程 g(x)＝0 的解集可能为{-3，-1，1，2}， 其中正确命题为 （ ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 第Ⅱ卷（非选择题部分） 二、填空题 11．不等式 2 3 1 13 ( )3 x x x   的解集是_________；不等式 log2(2-x)＜log4x 的解集是_________． 12．函数 π( ) cos( )( 0)6f x x    在[-π，π]的图像如下图，则 f(x)的最小正周期为_________； f(π)＝_________． 13．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 3 ，点 P 为双曲线上一点，∠F1PF2＝120°，则双曲线的渐近线方程为_________；若双曲线 C 的 实轴长为 4，则△F1PF2 的面积为_________． 14．已知函数 1 3 2 e 4, 1( ) 3 , 1 x xf x x x x       （其中 e 是自然对数的底数），则 f(f(2))＝_________； 若 y＝f(x)与 y＝9x+b 的图象有两个不同的公共点，则实数 b 的取值范围是_________． 15．某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_________． 16．已知 a  ，b  ，c  是非零向量，| | 2 3a b   ，( ) ( ) 2c a c b        ，λ为任意实数，当 a b  与 a  的夹角为 π 3 时，| |c a  的最小值是_________． 17．若 a，b 为实数，且 1≤a≤3，2≤b≤4，则 3 2 4a b ab  的取值范围是_________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知 ( ) sin (sin 3cos )f x x x x  ，△ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c． （Ⅰ）求 f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）若 3( ) 2f A  ，a＝2，求△ABC 周长的取值范围． 19．已知四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形，PA⊥面 ABCD，PA＝AD＝2， 2 2AB  ． （Ⅰ）作 AM⊥PB 于 M，AN⊥PC 于 N，求证：PC⊥平面 AMN； （Ⅱ）求二面角 D-PC-A 的正切值． 20．已知数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1＝(-3)n+1， 2, 1, n nb n    为奇数 为偶数 ，n∈N*，且 a1＝2． （Ⅰ）设 cn＝a2n+1-a2n-1，n∈N*，求 c1，并证明：数列{cn}是等比数列； （Ⅱ）设 Sn 为{an}的前 n 项和，求 S2n． 21．已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ，短轴长为 2 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，M 为 AB 中点，N(-1，0)，当 △AOB（点 O 为坐标原点）的面积 S 最大时，求|MN|的取值范围． 22．已知函数 f(x)＝asin x+sin 2x，a∈R． （Ⅰ）若 a＝2，求函数 f(x)在(0，π)上的单调区间； （Ⅱ）若 a＝1，不等式 f(x)≥bxcos x 对任意 2π(0, )3x 恒成立，求满足条件的最大整数 b． 浙江省 2020 至 2021 学年高三年级第一学期五校联考试题 参考答案 1-10.CBCADCDBBA 11.{ | 1}x x  ，{ |1 2}x x  12. 4 3  ， 1 2 13. 2y x  ， 8 3 3 14. 5 4e  ， ( 12, 11]  15. 4 3 16. 1 2 17. 3 35[ , ]4 12 18.解： 3 1 cos2 3( ) sin (sin cos ) sin 22 2 2    xf x x x x x 1sin(2 )6 2   x ……3 分 由 32 2 22 6 2        k x k ， k Z 得 5 3 6      k x k ， k Z ∴ ( )f x 的单调递减区间为 5[ , ]3 6k k k Z     ……………6 分 （2）∵ 1 3( ) sin(2 )6 2 2    f A A ，则sin(2 ) 16  A ， ∵ 0  A ，∴ 1126 6 6      A ， 2 6 2   A ，解得 3 A . ……………8 分 法一： ∵ 2a ， 3 A ， 由余弦定理得， 2 2 2 2 cos 3a b c bc    ，即 2 2 4b c bc   ……10 分 ∴ 2( ) 4 3b c bc   ，则 2 2( ) 4 3( )2 b cb c    …………12 分 又∵ 2b c  ，∴ 2 4b c   …………13 分 ∴△ABC 周长的范围是 (6,8] …………14 分 法二： 由正弦定理得 42 3sin 3 sin sin a b cR A B C     ∴ 4 3(sin sin )3b c B C   …………10 分 ∵ 2 3 3sin sin sin sin( ) sin cos 3sin( )3 2 2 6B C B B B B B         ………12 分 又∵ 2(0, )3B  ，∴ 1sin( ) ( ,1]6 2B   ，∴ (4,6]b c  …………13 分 ∴△ABC 周长的范围是 (6,8] …………14 分 19．（1） BC AB AM PBPA ABCD BC PA BC PAB AM BC AM PBC BC ABCD AB PA A PB BC BAM PAB PC PBC                               面 面 面 面 面 面 = PC AM PC AN PC AMN AM AN A        面 ………7 分 （2）方法一：作 DE AC E 于 ， EF PC F 于 ， 连 DF ， PA ABCD 面 ， PAC ABCD 面 面 ， DE PAC  面 ， DE PC  ， EF PC ， EF DE E ， PC DEF  面 ， DF PC  ， DFE 是二面角 D PC A  的平面角，………11 分 2PA AD  ， 2 2AB  ， 2 3AC  ， 30PCA   2 6 3DE  ， 4 3 3CE  ， 2 3 3EF  ， tan 2DEDFE EF     ， DFE 是二面角 D PC A  的正切值为 2 . ………15 分 方法二：建立坐标系（以 AD 为 x 轴，以 AB 为 y 轴，以 AP 为 z 轴）. (0,0,0), (0,2 2,0), (2,2 2,0), (2,0,0), (0,0,2 )A B C D P (0,2 2,0), (2,2 2, 2), (0,0,2)DC PC AP      平面 DPC 的法向量 1 (1,0,1)n  ，平面 APC 的法向量 2 ( 2, 1,0)n   设二面角 D PC A  的平面角为 ， 1 2 3cos | cos , | 3n n     ， tan 2  20. （1）证明： 1 22 2a a ＝ ， 2 32 10a a ＝ ，两式作差得 1 12c  …………3 分 对任意 *n N ， 2 1 2 1 22 3 1n n na a    ＝ ①， 2 2 2 12 3 1n n na a  ＝ ＋ ② …………2 分 ②－①，得 2 1 2 1 2 1 34 n n na a      ，即 2 134 n nc  ， 于是 1 4n n c c   .所以{ }nc 是等比数列． …………7 分 （2）证明当 *n N 且 2n  时， 2 1 1 3 1 5 3 7 5 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a a a        － － － 2 2 13 1(1 9 ) 929 22 12 9 n n         …………10 分 由(1)得 1 1 2 3 39 32 192 2n n na        ，所以 2 1 9 4n n a  …………12 分 1 2 1 2 3 (1 9 )4 n n na a      ，得 2 3 9 1( )4 8 n nS n   …………15 分 21.解：（1）由已知 2 2 ce a   ， 2 2 2b  ， 2 2 2a b c  得 2, 2b a  ，故椭圆C 的 2 2 14 2 x y  ；……………………5 分 （2）设      1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y M x y ，则 由 2 22 4x y y kx m       得 2 2 22 1 4 2 4 0k x mkx m     2 1 2 1 22 2 4 2 4,2 1 2 1 mk mx x x xk k       ，点O 到直线l 的距离 2 1 md k   ， 2 2 2 2 22 1 1 4 2 41 42 2 2 1 2 11 m mk mS d AB k k kk                   2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 22 2 22 1 2 1 m k m m k m k k            S 取得最大值 2 ，当且仅当 2 2 24 2m k m   即 2 22 1m k  ，① ……………10 分 此时 2 1 2 0 0 02 2 2 2 1,2 2 1 x x mk k kx y kx m mk m m m            ， 法一：即 0 0 0 0 1 , 2 2 xmm k xy y      代入①式整理得   2 20 0 01 02 x y y   ， 即点 M 的轨迹为椭圆   2 2 1 : 1 02 xC y y   ………13 分 且点 N 恰为椭圆 1C 的左焦点，则 MN 的范围为 2 1, 2 1  ……………15 分 法二： 2 2 2 2 2 1 4 4 1( 1) 1k k kMN m m m m        由①得 2 2 2 2 2 4 4 21 2(1 ) 2 1k k m k k kMN m m m m         ………13 分 设 k tm  代入 2 22 1m k  得 2 2 22 1m m t  ，即 2 2(1 2 ) 1t m  ， 2 2 1 01 2m t   ∴ 2 2 2 2t   ，即 2 2 2 2 k m    ∴  2 1, 2 1MN    ……………15 分 22、解答：（Ⅰ）当 2a  时， ( ) 2sin sin 2f x x x  ，于是 ( ) 2cos 2cos2 2(1 cos )(2cos 1)f x x x x x      …………3 分 于是 ( ) 0f x  ，解得 (0, )3x  ； ( ) 0f x  ，解得 ( , )3x   即 (0, )3x  函数 ( )f x 单调递增， ( , )3x   函数 ( )f x 单调递减 …………6 分 （Ⅱ）当 1a  时， ( ) sin sin 2 cosf x x x bx x   对任意 2(0, )3x  恒成立 首先考察 (0, )2x  时，易得 0b  ∵ ( ) sin sin 2 sin (1 2cos ) cosf x x x x x bx x     ∴ 2( , )2 3x   时， ( ) 0 cosf x bx x  ，显然成立 …………9 分 于是只考察 ( ) sin sin 2 cosf x x x bx x   对任意 (0, )2x  恒成立 由 2 2( ) 14 2 4 2f b     ，于是 2 12 2 8 b    ，易知 2 12 3 2 8    ，所以 3b  …11 分 下证： ( ) sin sin 2 3 cosf x x x x x   对任意 (0, )2x  恒成立 考察函数 ( ) tan 2sin 3g x x x x   ， (0, )2x  3 2 2 2 2 2 1 2cos 3cos 1 (cos 1) (2cos 1)( ) 2cos 3 0cos cos cos x x x xg x xx x x           于是 ( )g x 在 (0, )2x  上单调递增，则 ( ) (0) 0g x g  即 tan 2sin 3 0x x x   ，则 sin sin 2 3 cosx x x x  综上可知， max 3b  ………15 分