2021届高考三诊数学（理科）试卷（三） （解析版）

2021 年高考数学三诊试卷（理科）（三） 一、选择题（每小题 5 分）. 1．已知集合 A＝{x|x2+x≤0}，B＝{x|y＝ln（2x+1）}，则 A∪B＝（ ） A．（﹣ ，0] B．[﹣1，+∞） C．（ ，0] D．[﹣1，﹣ ] 2．已知 a，b ∈ R，复数 ，则 a+b＝（ ） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 3．若点 在角 α 的终边上，则 sin α 的值为（ ） A． B． C． D． 4．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： ，其中 C 为最大数 据传输速率，单位为 bit/s；W 为信道带宽，单位为 Hz； 为信噪比．香农公式在 5G 技 术中发挥着举足轻重的作用．当 ＝99，W＝2000Hz 时，最大数据传输速率记为 C1；当 ＝9999，W＝3000Hz 时，最大数据传输速率记为 C2，则 为（ ） A．1 B． C． D．3 5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．过点 P（2，2）的直线 l1 与圆（x﹣1）2+y2＝1 相切，则直线 l1 的方程为（ ） A．3x﹣4y+2＝0 B．4x﹣3y﹣2＝0 C．3x﹣4y+2＝0 或 x＝2 D．4x﹣3y﹣2＝0 或 x＝2 7．把函数 f（x）＝2sinxcosx 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g（x），若 g（x）在[0， a]上是增函数，则 a 的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．在△ABC 中，AB＝4，AC＝2，点 O 满足 ＝ ，则 • 的值为（ ） A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8 9．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年 级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班 排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A．240 种 B．120 种 C．188 种 D．156 种 10．在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0），B（0，﹣3），点 M 满足 ，x+y ＝1，点 N 为曲线 y＝ 上的动点，则|MN|的最小值为（ ） A． ﹣1 B． C． D． ﹣1 11．双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点和虚轴的一个端点分别为 F，A，点 P 为 C 右支上一动点，若△APF 周长的最小值为 4b，则 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．已知正方体棱长为 6，如图，有一球的球心是 AC1 的中点，半径为 2，平面 B1D1C 截此 球所得的截面面积是（ ） A． π B．7 π C．4 π D．3 π二、填空题（每小题 5 分）. 13．已知（3x﹣1）6＝a0+a1x+…+a6x6，则 a1+a2+…+a6＝ ． 14．已知等比数列{an}满足 a1﹣a3＝﹣ ，a2﹣a4＝﹣ ，则使得 a1a2…an 取得最小值的 n 为 ． 15．过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 的直线与该抛物线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若|AF| ＝6，则△BOF 的面积为 ． 16．已知不等式（2ax﹣lnx）[x2﹣（a+1）x+1]≥0 对任意 x＞0 恒成立，则实数 a 的取值范 围是 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ． （1）求 的值； （2）若点 D 为边 AB 的中点，AB＝10，CD＝5，求 BC 的值． 18．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在 其辖区内某一个县的 27 个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、 铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、 轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图． （1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取 6 个，求在轻 度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数； （2）规定：轻度污染记污染度为 1，中度污染记污染度为 2，重度污染记污染度为 3．从 （1）中抽取的 6 个行政村中任选 3 个，污染度的得分之和记为 X，求 X 的数学期望． 19．如图，已知直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是边长为 2 的正方形，E，F 分别为 AA1， AB 的中点． （Ⅰ）求证：直线 D1E，CF，DA 交于一点； （Ⅱ）若直线 D1E 与平面 ABCD 所成的角为 ，求二面角 E﹣CD1﹣B 的余弦值． 20．设点 F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆 C： ＝1（a＞1）的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，且 • 的最小值为 0． （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，动直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，点 M，N 是直线 l 上的 两点，且 F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值． 21．已知函数 f（x）＝ 在 x＝2 时取到极大值 ． （1）求实数 a、b 的值； （2）用 min{m，n）表示 m，n 中的最小值，设函数 g（x）＝min{f（x），x﹣ }（x＞0）， 若函数 h（x）＝g（x）﹣tx2 为增函数，求实数 t 的取值范围． （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，动直线 l1：y＝ x（k ∈ R，且 k≠0）与动直线 l2：y＝﹣k（x ﹣4）（k ∈ R，且 k≠0）交点 P 的轨迹为曲线 C1．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C1 的极坐标方程； （2）若曲线 C2 的极坐标方程为 ρ sin（ θ + ）﹣ ＝0，求曲线 C1 与曲线 C2 的交点的 极坐标． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x﹣2|+|x+3|． （1）求不等式 f（x）≤7 的解集； （2）若 a，b，c 为正实数，函数 f（x）的最小值为 t，且 2a+b+c＝t，求 a2+b2+c2 的最小 值． 参考答案 一、选择题（每小题 5 分）. 1．已知集合 A＝{x|x2+x≤0}，B＝{x|y＝ln（2x+1）}，则 A∪B＝（ ） A．（﹣ ，0] B．[﹣1，+∞） C．（ ，0] D．[﹣1，﹣ ] 解：∵ ， ∴A∪B＝[﹣1，+∞）． 故选：B． 2．已知 a，b ∈ R，复数 ，则 a+b＝（ ） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 解：复数 ， ∴a+bi＝ ＝i+1， a＝b＝1， 则 a+b＝2． 故选：A． 3．若点 在角 α 的终边上，则 sin α 的值为（ ） A． B． C． D． 解：因为点 在角 α 的终边上，即点 在角 α 的终边上， 则 ， 故选：C． 4．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： ，其中 C 为最大数 据传输速率，单位为 bit/s；W 为信道带宽，单位为 Hz； 为信噪比．香农公式在 5G 技 术中发挥着举足轻重的作用．当 ＝99，W＝2000Hz 时，最大数据传输速率记为 C1；当 ＝9999，W＝3000Hz 时，最大数据传输速率记为 C2，则 为（ ） A．1 B． C． D．3 解：当 ＝99，W＝2000Hz 时，C1＝2000log2（1+99）＝2000log2100＝4000log210， 当 ＝9999，W＝3000Hz 时，C2＝3000log2（1+9999）＝3000log210000＝12000log210， ∴ ＝ ＝3， 故选：D． 5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 解：由题意可知几何体是一个 的圆锥与一个三棱锥的组合体， 圆锥的底面半径为 1，高为 1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为 1，高为 2；PA ＝ ，PO＝1，BO＝OC＝1，AC＝ ，PC＝ ，S△PAC＝ ＝ 所 以 几 何 体 的 表 面 积 为 ： + + ＝ 4+ ． 故选：D． 6．过点 P（2，2）的直线 l1 与圆（x﹣1）2+y2＝1 相切，则直线 l1 的方程为（ ） A．3x﹣4y+2＝0 B．4x﹣3y﹣2＝0 C．3x﹣4y+2＝0 或 x＝2 D．4x﹣3y﹣2＝0 或 x＝2 解：根据题意，圆（x﹣1）2+y2＝1 的圆心为（1，0），半径 r＝1， 若直线 l1 的斜率不存在，则直线 l1 的方程为 x＝2，与圆相切，符合题意， 若直线 l1 的斜率存在，设直线 l1 的斜率为 k，则直线 l1 的方程为 y﹣2＝k（x﹣2），即 kx ﹣y﹣2k+2＝0， 此时有 d＝ ＝1，解可得 k＝ ， 则切线方程为 y﹣2＝ （x﹣2），变形可得 3x﹣4y+2＝0． 综合可得：要求直线方程是 x＝2 或 3x﹣4y+2＝0， 故选：C． 7．把函数 f（x）＝2sinxcosx 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g（x），若 g（x）在[0， a]上是增函数，则 a 的最大值为（ ） A． B． C． D． 解：把函数 f（x）＝2sinxcosx＝sin2x 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g（x）＝ sin（2x﹣ ）的图象， ∵g（x）在[0，a]上是增函数，2x﹣ ∈ [﹣ ，2a﹣ ]，∴a＞0，且 2a﹣ ≤ ， 求得 0＜a≤ ， 则 a 的最大值为 ， 故选：D． 8．在△ABC 中，AB＝4，AC＝2，点 O 满足 ＝ ，则 • 的值为（ ） A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8 解：△ABC 中，AB＝4，AC＝2，点 O 满足 ＝ ， 故 O 为 BC 的中点， ∴ • ＝ （ ）•（ ﹣ ）＝ （ ﹣ ） ＝ ×（22﹣42）＝﹣6， 故选：A． 9．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年 级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班 排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A．240 种 B．120 种 C．188 种 D．156 种 解：根据题意，甲班必须排在前三位，分 3 种情况讨论： ① ，甲班排在第一位，丙班、丁班排在一起的情况有 4A22＝8 种，将剩余的三个班级全 排列，安排到剩下的三个位置，有 A33＝6 种情况， 此时有 8×6＝48 种安排方案； ② ，甲班排在第二位，丙班、丁班排在一起的情况有 3A22＝6 种，将剩余的三个班级全 排列，安排到剩下的三个位置，有 A33＝6 种情况， 此时有 6×6＝36 种安排方案； ③ 、甲班排在第三位，丙班、丁班排在一起的情况有 3A22＝6 种，将剩余的三个班级全 排列，安排到剩下的三个位置，有 A33＝6 种情况， 此时有 6×6＝36 种安排方案； 则一共有 48+36+36＝120 种安排方案； 故选：B． 10．在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0），B（0，﹣3），点 M 满足 ，x+y ＝1，点 N 为曲线 y＝ 上的动点，则|MN|的最小值为（ ） A． ﹣1 B． C． D． ﹣1 解：因为 A（3，0），B（0，﹣3），所以直线 AB 的方程为 y＝x﹣3， 又因为点 M 满足 ，x+y＝1， 故点 M，A，B 三点共线，即 M 在直线 AB 上， 点 N 在曲线 y＝ 上，即点 N 在曲线：（x+1）2+y2＝1（y≥0）上， 作出图形如图所示， 所以|MN|的最小值为点 O 到直线 y＝x﹣3 的距离，故最小值为 ． 故选：C． 11．双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点和虚轴的一个端点分别为 F，A，点 P 为 C 右支上一动点，若△APF 周长的最小值为 4b，则 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 解：由题意可得 A（0，b），F（﹣c，0），设 F'（c，0）， 由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|＝2a， |PF|＝|PF'|+2a， |AF|＝|AF'|＝ ， 则△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|＝|PA|+|PF'|+2a+|AF'| ≥2|AF'|+2a， 当且仅当 A，P，F'共线，取得最小值，且为 2a+2 ， 由题意可得 4b＝2a+2 ， 即 b＝2a， ∴e＝ ． 故选：D． 12．已知正方体棱长为 6，如图，有一球的球心是 AC1 的中点，半径为 2，平面 B1D1C 截此 球所得的截面面积是（ ） A． π B．7 π C．4 π D．3 π解：∵正方体棱长为 6，∴正方体的对角线长为 ， 三棱锥 C1﹣B1CD1 的侧棱长为 6，底面边长为 6 ，则高为 h＝ ， ∴球心到平面 B1D1C 的距离为 d＝ ， 又球的半径为 2，∴球面被面 B1D1C 所截圆的半径为 ， ∴截面圆的面积为 π ×12＝ π ． 故选：A． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题纸上） 13．已知（3x﹣1）6＝a0+a1x+…+a6x6，则 a1+a2+…+a6＝ 63 ． 解：∵（3x﹣1）6＝a0+a1x+…+a6x6， 令 x＝0 可得：a0＝1， 令 x＝1，可得（3﹣1）6＝a0+a1+a2+a3+…+a6＝26＝64， 即 a1+a2+a3+…+a6＝63， 故答案为：63． 14．已知等比数列{an}满足 a1﹣a3＝﹣ ，a2﹣a4＝﹣ ，则使得 a1a2…an 取得最小值的 n 为 3 ． 解：因为等比数列{an}满足 a1﹣a3＝﹣ ，a2﹣a4＝（a1﹣a3）q＝﹣ ， 所以 q＝3，a1＝ ， 令 An＝a1a2…an ， 当 An 取得最小值时， ， 即 a1a2…an≤a1a2…an﹣1，a1a2…an≤a1a2…an+1， 所以 an≤1，an+1≥1， 所以 an＝ ＝3n﹣4≤1， ＝3n﹣3≥1， 即 ，解得，3≤n≤4， 故 a1a2…an 取得最小值的 n＝3． 故答案为：3． 15．过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 的直线与该抛物线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若|AF| ＝6，则△BOF 的面积为 2 ． 解：由抛物线的准线方程为：x＝﹣2，焦点 F（2，0）， 设 A 在 x 轴上方，设 A 的横坐标为 x1， 因为|AF|＝6，所以 x1+2＝6， 所以 x1＝4，代入抛物线的方程中，y12＝8×4，所以 y1＝4 ， 即 A（4，4 ），所以 kAB＝ ＝2 ， 所以直线 AB 的方程为：y＝2 （x﹣2）， 整理可得 x2﹣5x+4＝0， 可得：xB＝1，xA＝4， 将 B 的横坐标 1 代入抛物线中，yB＝﹣ ＝﹣2 ， 所以 S△BOF＝ |OF|•yB＝ ×2× ＝2 ， 故答案为：2 ． 16．已知不等式（2ax﹣lnx）[x2﹣（a+1）x+1]≥0 对任意 x＞0 恒成立，则实数 a 的取值范 围是 ． 解：令 f（x）＝2ax﹣lnx，x ∈ （0，+∞），g（x）＝x2﹣（a+1）x+1， 函数 g（x）的对称轴 x＝﹣ ＝ ． f′（x）＝2a﹣ ＝ ， ① a≤0 时，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减． f（1）＝2a≤0，x ∈ （1，+∞），f（x）＜0； 而 g（x）在 x ∈ （1，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（1）＝1﹣a＞0． 因此 a≤0 时不符合题意，舍去． ② a＞0 时，f′（x）＝ ， 可得函数 f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增． ∴x＝ 时，函数 f（x）取得极小值，即最小值，f（ ）＝1+ln（2a）， （i）若 f（ ）＝1+ln（2a）＜0，则 a＜ ； 而 g（ ）＝ ﹣ +1＝ ＞0， 不满足 f（x）g（x）]≥0 对任意 x＞0 恒成立，舍去． （ii）若 f（ ）＝1+ln（2a）≥0，则 a≥ ； 而函数 g（x）的对称轴 x＝﹣ ＝ ＞0， g（ ）＝ ﹣（a+1）• +1＝1﹣ ≥0， 解得 ≤a≤1， ∴ ≤a≤1 时，满足不等式（2ax﹣lnx）[x2﹣（a+1）x+1]≥0 对任意 x＞0 恒成立， 因此实数 a 的取值范围是[ ，1]． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 ． （1）求 的值； （2）若点 D 为边 AB 的中点，AB＝10，CD＝5，求 BC 的值． 解：（1）由正弦定理知， ＝ ＝ ， ∵ ， ∴sinAcosB﹣sinBcosA＝ sinC＝ sin（A+B）＝ （sinAcosB+cosAsinB）， 化简得， sinAcosB＝ cosAsinB， ∴tanA＝4tanB，即 ＝4． （2）作 CE⊥AB 于 E， ∵ ，∴ ＝4，即 BE＝4AE， ∵点 D 为边 AB 的中点，且 AB＝10， ∴BD＝AD＝5，AE＝2，DE＝3， 在 Rt△CDE 中，CE＝ ＝ ＝4， 在 Rt△BCE 中，BE＝BD+DE＝8，∴BC＝ ＝ ＝4 ． 18．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在 其辖区内某一个县的 27 个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、 铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、 轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图． （1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取 6 个，求在轻 度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数； （2）规定：轻度污染记污染度为 1，中度污染记污染度为 2，重度污染记污染度为 3．从 （1）中抽取的 6 个行政村中任选 3 个，污染度的得分之和记为 X，求 X 的数学期望． 解：（1）轻度污染以上的行政村共 9+6+3＝18 个， 所以抽样比为： ＝ ， 所以从轻度污染的行政村中抽取 ＝3 个，中度污染的行政村抽取 ＝2 个， 重度污染的行政村抽取 ＝1 个． （2）X 的所有可能取值为 3，4，5，6，7， P（X＝3）＝ ， P（X＝4）＝ ＝ ， P（X＝5）＝ ＝ ， P（X＝6）＝ ＝ ， P（X＝7）＝ ＝ ， ∴X 的分布列为： X 3 4 5 6 7 P ∴E（X）＝3× ＝5． 19．如图，已知直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是边长为 2 的正方形，E，F 分别为 AA1， AB 的中点． （Ⅰ）求证：直线 D1E，CF，DA 交于一点； （Ⅱ）若直线 D1E 与平面 ABCD 所成的角为 ，求二面角 E﹣CD1﹣B 的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：连结 EF，A1B，因为 E，F 分别为 AA1，AB 的中点，所以 EF∥A1B， 且 EF＝ ， 因为 ABCD﹣A1B1C1D1 是直四棱柱，且底面是正方形， 所以 BC∥AD∥A1D1，且 BC＝AD＝A1D1，即四边形 A1BCD1 是平行四边形， 所以 A1B∥D1C，且 A1B＝D1C，所以 EF∥DC1，且 EF≠DC1，即四边形 EFCD1 为梯形， 所以 D1E 与 CF 交于一点，记为 P， 因为 P ∈ 平面 ABCD，P ∈ 平面 ADD1A1，所以 P 在平面 ABCD 与平面 ADD1A1 的交线上， 又因为平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝AD，所以 P ∈ AD， 故直线 D1E，CF，DA 交于一点； （Ⅱ）解：因为直线 D1E 与平面 ABCD 所成的角为 ，即直线 D1E 与平面 A1B1C1D1 所 成的角为 ， 故∠ED1A1＝ ，所以 A1E＝A1D1＝2，所以 AA1＝4， 以 D 为坐标原点，分别以 AD1，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系如 图所示， 则 D（0，0，0），D1（0，0，4），C（0，2，0），B（2，2，0），F（2，1，0）， 所以 ， 设平面 PCD1 的法向量为 ，则有 ， 令 x＝1，则 y＝2，z＝1，故 ， 设平面 BCD1A1 的法向量为 ，则有 ， 令 c＝1，则 b＝2，故 ， 所以 ， 故二面角 E﹣CD1﹣B 的余弦值为 ． 20．设点 F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆 C： ＝1（a＞1）的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，且 • 的最小值为 0． （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，动直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，点 M，N 是直线 l 上的 两点，且 F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值． 解：（1）设 P（x，y），则 ＝（x+c，y）， ＝（x﹣c，y）， ∴ • ＝x2+y2﹣c2＝ x2+1﹣c2，x ∈ [﹣a，a]， 由题意得，1﹣c2＝0 ⇒ c＝1 ⇒ a2＝2， ∴椭圆 C 的方程为 ； （2）将直线 l 的方程 y＝kx+m 代入椭圆 C 的方程 x2+2y2＝2 中，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2 ﹣2＝0． 由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知，△＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝0， 化简得：m2＝2k2+1． 设 d1＝|F1M|＝ ，d2＝|F2N|＝ ， 当 k≠0 时，设直线 l 的倾斜角为 θ ， 则|d1﹣d2|＝|MN|×|tan θ |， ∴|MN|＝ •|d1﹣d2|， ∴S＝ • •d1﹣d2|•（d1+d2）＝ ＝ ＝ ， ∵m2＝2k2+1，∴当 k≠0 时，|m|＞1，|m|+ ＞2， ∴S＜2． 当 k＝0 时，四边形 F1MNF2 是矩形，S＝2． 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2． 21．已知函数 f（x）＝ 在 x＝2 时取到极大值 ． （1）求实数 a、b 的值； （2）用 min{m，n）表示 m，n 中的最小值，设函数 g（x）＝min{f（x），x﹣ }（x＞0）， 若函数 h（x）＝g（x）﹣tx2 为增函数，求实数 t 的取值范围． 解：（1）∵ ， ∵f（x）在 x＝2 时取得极大值 ， ∴ ， 解得 a＝1，b＝0． （2）设 ， 当 x≥2 时，F'（x）＜0 恒成立． ， ∴F'（x）＜0 在（0，+∞）上恒成立， 故 y＝F（x）在（0，+∞）上单调递减． ∵ 不间断， 故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的 x0 ∈ （1，2），使得 F（x0）＝0， ∴当 x ∈ （0，x0）时，F（x）＞0，当 x ∈ （x0，+∞）时，F（x）＜0． ∴ ， ∴ ， 故 ； 由于函数 h（x）＝g（x）﹣tx2 为增函数，且曲线 y＝h（x）在（0，+∞）上连续不间断， ∴h'（x）≥0 在（0，x0）和（x0，+∞）上恒成立． ① x＞x0 时， 在（x0，+∞）上恒成立，即 2t≤ 在（x0，+∞）上恒 成立， 令 u（x）＝ ，x ∈ （x0，+∞）， 则 ， 当 x0＜x＜3 时，u′（x）＜0，u（x）单调递减，当 x＞3 时，u′（x）＞0，u（x）单调 递增， 所以 u（x）min＝u（3）＝﹣ ， 故 2t≤＝﹣ ， 即 t ， ② 当 ． 综合 ① 、 ② 知，t 的范围（﹣∞，﹣ ]． （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，动直线 l1：y＝ x（k ∈ R，且 k≠0）与动直线 l2：y＝﹣k（x ﹣4）（k ∈ R，且 k≠0）交点 P 的轨迹为曲线 C1．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C1 的极坐标方程； （2）若曲线 C2 的极坐标方程为 ρ sin（ θ + ）﹣ ＝0，求曲线 C1 与曲线 C2 的交点的 极坐标． 解：（1）直线 l1：y＝ x（k ∈ R，且 k≠0）与动直线 l2：y＝﹣k（x﹣4）的交点为 P（x0， y0）， 所以： 和 y0＝k（x0﹣4）， 消去参数 k 得到 ， 根据 转换为极坐标方程为 ρ ＝4cos θ （ ρ ≠0 且 ρ ≠4）． （2）把 ρ ＝4cos θ 代入 ρ sin（ θ + ）﹣ ＝0， 得到 ，整理得 ， 解得： 或﹣ ， 所以曲线 C1 与曲线 C2 的交点的极坐标为（ ）或（2 ）． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x﹣2|+|x+3|． （1）求不等式 f（x）≤7 的解集； （2）若 a，b，c 为正实数，函数 f（x）的最小值为 t，且 2a+b+c＝t，求 a2+b2+c2 的最小 值． 解：（1）有不等式 f（x）≤7，可得|x﹣2|+|x+3|≤7， 可化为 或 或 ， 解得﹣4≤x＜﹣3 或﹣3≤x≤2 或 2＜x≤3， 所以﹣4≤x≤3， 即不等式的解集为[﹣4，3]． （2）因为 f（x）＝|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5， 所以 f（x）的最小值 t＝5， 即 2a+b+c＝5， 由柯西不等式得（a2+b2+c2）（22+12+12）≥（2a+b+c）2＝25， 当且仅当 b＝c＝ a，即 a＝ ，b＝c＝ 时等号成立， 所以 a2+b2+c2 的最小值为 ．