2021 年湖北省华大新高考联盟高考数学教学质量测评试卷（文
科）（3 月份）
一.选择题（共 12 小题）.
1．设集合 A＝{（x，y）|y＝2x﹣3}，B＝{（x，y）|4x﹣2y+5＝0}，则 A∩B＝（ ）
A．
∅
B．{（ ， ）} C．{（ ，﹣ ）} D．{（﹣ ，﹣ ）}
2．若在复平面内，复数 所对应的点为（3，﹣4），则 z 的共轭复数为（ ）
A．﹣18﹣i B．﹣18+i C．18﹣i D．18+i
3．根据国家统计局数据显示，我国 2010～2019 年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，
则下列说法错误的是（ ）
A．2010～2019 年，我国研究生在校女生人数逐渐增加
B．可以预测 2020 年，我国研究生在校女生人数将不低于 144 万
C．2017 年我国研究生在校女生人数少于男生人数
D．2019 年我国研究生在校总人数不超过 285 万
4．若 a＝log2021 ，b＝（ ）2021，c＝2021 ，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
5．小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物人手，抽象出数学图形，在学生
正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辨认所学图形；例如在小学数学课本中
有这样一个 2×1 的方格表（如图所示），它由 2 个单位小方格组成，其中每个小方格均
为正方形；若在这 2×1 方格表的 6 个顶点中任取 2 个顶点，则这 2 个顶点构成的线段长
度不超过 的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．运行如图所示的程序框图，若为了输出第一个大于 50 的 S 的值，则判断框中可以填（ ）
A．b＜13？ B．b＜21？ C．b＜33？ D．b＜34？
7．已知 ＝（0，2），| |＝2 ，若 • ＝4，则 sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
8．若
λ
sin170°+tan10°＝ ，则实数
λ
的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过双曲线 C
上的一点 M 作两条渐近线
的垂线，垂足分别为 A，B，若|F1F2|2＝16|MA|•|MB|，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a10＝32，S5＝55，则（ ）
A．an＝4n﹣8 B．an＝2n+12
C．Sn＝ n2+ n D．Sn＝ n2+ n
11．已知函数 f（x）＝sin（
ω
x+ ）（
ω
＞0）在[0，2
π
]上有且仅有 6 个零点，则实数
ω
的
取值范围为（ ）
A．[ ，+∞） B．（ ，+∞） C．[ ， ） D．（ ， ）
12．已知△ABC 中，AB＝2BC＝4，AC＝2 ，点 M 在线段 AC 上除 A，C 的位置运动，现
沿 BM 进行翻折，使得线段 AB 上存在一点 N，满足 CN⊥平面 ABM；若 NB＞
λ
恒成立，
则实数
λ
的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（共 4 小题）.
13．若实数 x、y 满足 则 z＝2x+y 的最大值为 ．
14．已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 2f（x）＝3f（﹣x）﹣4ex，则曲线 y＝f（x）在（0，
f（0））处的切线方程为 ．
15．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 27，点 E．F 分别是线段 BC，CC1 的中点，点
G 在四边形 BCC1B1 内运动（含边界），若直线 A1G 与平面 AEF 无交点，则线段 CG 的
取值范围为 ．
16．已知点 M 在抛物线 C：y2＝4x 上运动，圆 C′过点（5，0），（2， ），（3，﹣2），
过点 M 引直线 l1，l2 与圆 C′
相切，切点分别为 P，Q，则|PQ|的取值范围为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共 60 分。
17．已知等比数列{an）的前 n 项和为 Sn，且 a3＝ ，S3＝ ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 an＞0，求数列{ }的前 n 项和 Tn．
18．已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 如图所示，其中平面 ABC⊥平面 ACA1，直线 AA1 与平面 ABC
所成角为 30°，∠AA1C＝∠ACB＝90°，AC＝2BC，点 M 在线段 A1B1 上．
（1）求证：AA1⊥A1B；
（2）若 BC＝2 ，三棱锥 A1﹣BCM 的体积为 6，求 的值．
19．在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会
成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费停车费．保险费、保养
费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主 5 年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧
感，研究人员作出相关调查，其中表（Ⅰ）为车主张先生买车以后每年的相关花费，表
（Ⅱ）为对 2016 年 A 地区购买新车的 400 名车主进行跟踪调查，对他们 5 年以来的新车
花费的统计．
第 x 年 1 2 3 4 5
花费 y（万元） 0.4 0.7 1 1.4 1.5
表（Ⅰ）
5 年花费（万
元）
[3，5） [5，7） [7，9） [9，11） [11，13） [13，15]
人数 60 100 120 40 60 20
表（Ⅱ）
（1）通过散点图可知，表（Ⅰ）中的数据可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关
于 x 的线性回归方程 ＝ x+ ；
（2）根据表（Ⅱ）中的数据，求这 400 名车主 5 年新车花费的平均数以及方差（同一区
间的新车花费用区间的中点值替代）；
参考公式：回归直线方程 ＝ x+ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
＝ ， ＝ ﹣ ．
20．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点（﹣ ， ），点 M
在圆 O：x2+y2＝5 上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 A，B 是圆 O 上异于 M 的两点，且直线 MA、MB 与椭圆 C 相切，求证：A，B
关于原点 O 对称．
21．已知函数 f（x）＝3（x﹣1）ex+x3．
（1）求函数 f（x）在[0，2]上的最值；
（2）求证：当 k≥0 时，关于 x 的方程 f（x）+ ＝3kx2 仅有 1 个实数解．
选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分。
[选修 4--4：坐标系与参数方程]
22．已知平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐
标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C′的极坐标方程为
ρ
2﹣
16
ρ
cos
α
+32＝0．
（1）求曲线 C 的普通方程以及曲线 C′的直角坐标方程；
（2）已知过原点的直线 l 与曲线 C 仅有 1 个交点 M，若 l 与曲线 C'也仅有 1 个交点 N，
求点 M 的极坐标．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|ax﹣3|+a|x﹣2|的图象关于原点对称．
（1）求不等式 f（x）＞x+2 的解集；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）≤mx2+ 恒成立，求实数 m 的取值范围．
参考答案
一.选择题（共 12 小题）.
1．设集合 A＝{（x，y）|y＝2x﹣3}，B＝{（x，y）|4x﹣2y+5＝0}，则 A∩B＝（ ）
A．
∅
B．{（ ， ）} C．{（ ，﹣ ）} D．{（﹣ ，﹣ ）}
解：集合 A＝{（x，y）|y＝2x﹣3}，B＝{（x，y）|4x﹣2y+5＝0}，
联立方程组 ，方程组无解，
故 A∩B＝
∅
．
故选：A．
2．若在复平面内，复数 所对应的点为（3，﹣4），则 z 的共轭复数为（ ）
A．﹣18﹣i B．﹣18+i C．18﹣i D．18+i
解：复数 所对应的点为（3，﹣4），
则 ＝3﹣4i，
则 z＝（3﹣4i）（2+3i）＝6﹣12i2+9i﹣8i＝18+i，
则 z 的共轭复数为 18﹣i，
故选：C．
3．根据国家统计局数据显示，我国 2010～2019 年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，
则下列说法错误的是（ ）
A．2010～2019 年，我国研究生在校女生人数逐渐增加
B．可以预测 2020 年，我国研究生在校女生人数将不低于 144 万
C．2017 年我国研究生在校女生人数少于男生人数
D．2019 年我国研究生在校总人数不超过 285 万
解：对于 A，通过统计图可以得到女生人数从 2010 年的 73.6 万人增长到了 2019 年的 144.8
万人，每年都在逐渐增加，故选项 A 正确；
对于 B，根据统计图中增长的趋势，预测 2020 年人数比 2019 年多，也就是说会高于 144，
8 万人，故不低于 144 万人，故选项 B 正确；
由统计图可知，2017 年女生所占比例为 48.4%，小于 50%，即女生的人数少于男生的人
数，故选项 C 正确；
对于 D，2019 年女生总数为 144.8 万人，占比例为 50.6%，故总人数为 286.2
万人，超过 285 万人，故选项 D 错误．
故选：D．
4．若 a＝log2021 ，b＝（ ）2021，c＝2021 ，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
解：因为 a＝log ＜0，
b＝（ ）2021
∈
（0，1），c＝2021 ＞20210＝1，
所以 a，b，c 的大小关系为：c＞b＞a，
故选：A．
5．小学数学在“认识图形”这一章节中，一般从生活实物人手，抽象出数学图形，在学生
正确认识图形特征的基础上，通过习题帮助学生辨认所学图形；例如在小学数学课本中
有这样一个 2×1 的方格表（如图所示），它由 2 个单位小方格组成，其中每个小方格均
为正方形；若在这 2×1 方格表的 6 个顶点中任取 2 个顶点，则这 2 个顶点构成的线段长
度不超过 的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：作出图形如图所示，因为小正方形的边长为 1，则 AE＝BF＝EC＝BD＝ ，
6 个顶点中任取 2 个顶点的取法为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，
CE，CF，DE，DF，EF 共 15 种，
其中 AB，BC，CD，DE，EF，AF，BE 的长度为 1，AE，BF，EC，BD 的长度为 ，
所以线段长度不超过 的取法共有 7+4＝11 种，
所以所求的概率为 ．
故选：B．
6．运行如图所示的程序框图，若为了输出第一个大于 50 的 S 的值，则判断框中可以填（ ）
A．b＜13？ B．b＜21？ C．b＜33？ D．b＜34？
解：模拟程序的运行，可得：
a＝1，b＝1，i＝3，
S＝2，c＝2，S＝4，a＝1，b＝2
满足循环的条件，i＝4，c＝3，S＝7，a＝2，b＝3
满足循环的条件，i＝5，c＝5，S＝12，a＝3，b＝5
满足循环的条件，i＝6，c＝8，S＝20，a＝5，b＝8
满足循环的条件，i＝7，c＝13，S＝33，a＝8，b＝13
满足循环的条件，i＝8，c＝21，S＝54，a＝13，b＝21
由题意，此时应该不满足循环的条件，退出循环输出 S 的值为 54，
可得判断框内的条件为 b＜21？．
故选：B．
7．已知 ＝（0，2），| |＝2 ，若 • ＝4，则 sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
解：设 A（0，0），C（m，n）， ＝（0，2），| |＝2 ， • ＝4，
可得 ＝2 ，2（n﹣2）＝4，解得 n＝4，所以 m＝±2 ，
＝2× cos∠BAC＝（0，2）•（±2 ，4）＝8，
所以 cos∠BAC＝ ，
sin∠BAC＝ ＝ ．
故选：D．
8．若
λ
sin170°+tan10°＝ ，则实数
λ
的值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵
λ
sin170°+tan10°＝ ，
∴
λ
sin10°+ ＝ ，
∴
λ
sin10°cos10°＝ cos10°﹣sin10°＝ （ cos10°﹣ sin10°）＝ sin（30°
﹣10°）＝ sin20°，
∴
λ
sin20°＝ sin20°，
∴
λ
＝ ．
故选：D．
9．已知双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过双曲线 C
上的一点 M 作两条渐近线
的垂线，垂足分别为 A，B，若|F1F2|2＝16|MA|•|MB|，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解：设 M（m，n），则 ﹣ ＝1，即 b2m2﹣a2n2＝a2b2，
故|MA|•|MB|＝ • ＝ ＝ ，
∵|F1F2|2＝16|MA|•|MB|，∴|MA|•|MB|＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，∴c4＝4a2b2，即 c4＝4a2（c2﹣a2），
∴c4﹣4a2c2+4a4＝0，即 e4﹣4e2+4＝0，
∴e2＝2，e＝ ，
故选：B．
10．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a10＝32，S5＝55，则（ ）
A．an＝4n﹣8 B．an＝2n+12
C．Sn＝ n2+ n D．Sn＝ n2+ n
解：设等差数列{an}的公差为 d，
因为等差数列{an}中，a10＝32，S5＝55，
，解得 d＝3，a1＝5，
则 an＝5+3（n﹣1）＝3n+2，Sn＝5n+ ＝ ．
故选：C．
11．已知函数 f（x）＝sin（
ω
x+ ）（
ω
＞0）在[0，2
π
]上有且仅有 6 个零点，则实数
ω
的
取值范围为（ ）
A．[ ，+∞） B．（ ，+∞） C．[ ， ） D．（ ， ）
解：根据函数的图像，
函数 f（x）＝sin（
ω
x+ ），
当 x
∈
[0，2
π
]时，
ω
x+ ，
由于函数 f（x）在[0，2
π
]上有且仅有 6 个零点，
所以 ，
整理得 ．
故选：C．
12．已知△ABC 中，AB＝2BC＝4，AC＝2 ，点 M 在线段 AC 上除 A，C 的位置运动，现
沿 BM 进行翻折，使得线段 AB 上存在一点 N，满足 CN⊥平面 ABM；若 NB＞
λ
恒成立，
则实数
λ
的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
解：因为 AB＝2BC＝4，AC＝2 ，
且点 M 在线段 AB 上除 A、C 的位置运动，
要使 AB 上存在一点 N，满足 CN⊥平面 ABM，使 NB＞
λ
恒成立，
则当 M 恰好为 C 点时，为临界条件（M 不可为 C 点，但可用来计算），
即 CN⊥AB，且 NB＝
λ
，
因为 AB＝4，
可得 CN2＝4﹣
λ
2，CN2＝（2 ）2﹣（4﹣
λ
）2，
所以 4﹣
λ
2＝12﹣（4﹣
λ
）2，
解得
λ
＝1，
所以
λ
的最大值为 1．
故选：A．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．若实数 x、y 满足 则 z＝2x+y 的最大值为 5 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
联立 ，解得 A（2，1），
由 z＝2x+y，得 y＝﹣2x+z，由图可知，当直线 y＝﹣2x+z 过 A 时，
直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 5．
故答案为：5．
14．已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 2f（x）＝3f（﹣x）﹣4ex，则曲线 y＝f（x）在（0，
f（0））处的切线方程为 y＝﹣ x+4 ．
解：由 2f（x）＝3f（﹣x）﹣4ex，
①可将其中的 x 换为﹣x，可得 2f（﹣x）＝3f（x）﹣4e﹣x，
②由
①②
可得，f（x）＝ e﹣x+ ex，
则 f′（x）＝﹣ e﹣x+ ex，
可得曲线 y＝f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为 k＝f′（0）＝﹣ + ＝﹣ ，
又 f（0）＝4，
则切线的方程为 y＝﹣ x+4．
故答案为：y＝﹣ x+4．
15．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 27，点 E．F 分别是线段 BC，CC1 的中点，点
G 在四边形 BCC1B1 内运动（含边界），若直线 A1G 与平面 AEF 无交点，则线段 CG 的
取值范围为 ．
解：正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 27，所以正方体的棱长为 3，
分别取线段 B1C1，B1B 的中点 P，Q，连结 A1P，A1Q，PQ，
则有 PQ∥EF，又 PQ
⊄
平面 AEF，EF
⊂
平面 AEF，所以 PQ∥平面 AEF，
A1P∥AE，又 A1P
⊄
平面 AEF，AE
⊂
平面 AEF，所以 A1P∥平面 AEF，
又 PQ∩A1P＝P，PQ，A1P
⊂
平面 A1PQ，
所以平面 A1PQ∥平面 AEF，
故点 G 在线段 PQ 上运动（含端点位置），
当 G 与 Q 重合时，CG 最大，此时 CG＝CQ＝ ，
当 CG⊥PQ 时，CG 最小，此时 ，
所以 CG 的取值范围为 ．
故答案为： ．
16．已知点 M 在抛物线 C：y2＝4x 上运动，圆 C′过点（5，0），（2， ），（3，﹣2），
过点 M 引直线 l1，l2 与圆 C′
相切，切点分别为 P，Q，则|PQ|的取值范围为 [2 ，4） ．
解：设圆 C'的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题意可得 ，解得： ，
所以圆的方程：x2+y2﹣6x+5＝0，即（x﹣3）2+y2＝4，
易知 PC'⊥PM，C'Q⊥MQ，MC'⊥PQ，\PC'|＝2
所以 S 四边形 PC'QM＝2S△PC'M＝2• |PC'||PM|＝ |C'M|•|PQ|，
所以|PQ|＝ ＝ ＝4 ，
|C'M|的最小值时|PQ|最小，
设 M（（x，y），则|C'M|＝ ＝ ，当 x＝1 时，|C'M|＝2 ，
当 x→+∞时|PQ|趋近圆的直径，
所以|PQ|
∈
[2 ，4）．
故答案为：[2 ，4）．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共 60 分。
17．已知等比数列{an）的前 n 项和为 Sn，且 a3＝ ，S3＝ ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 an＞0，求数列{ }的前 n 项和 Tn．
解：（1）由题意可得 ，解得 或 ，
故通项公式为 an＝（ ）n﹣1，或 an＝ ×（﹣ ）n﹣1；
（2）由 an＞0，则 an＝（ ）n﹣1，
∴ ＝n•2n﹣1，
∴Tn＝1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1，
①
，
2Tn＝1×21+2×22+3×23+…+n•2n，
①
，
∴﹣Tn＝1+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n＝ ﹣n•2n＝（1﹣n）2n﹣1，
∴Tn＝（n﹣1）2n+1．
18．已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 如图所示，其中平面 ABC⊥平面 ACA1，直线 AA1 与平面 ABC
所成角为 30°，∠AA1C＝∠ACB＝90°，AC＝2BC，点 M 在线段 A1B1 上．
（1）求证：AA1⊥A1B；
（2）若 BC＝2 ，三棱锥 A1﹣BCM 的体积为 6，求 的值．
【解答】（1）证明：∵平面 ABC⊥平面 ACA1，平面 ABC∩平面 ACA1＝AC，
BC⊥AC，BC
⊂
平面 ABC，∴BC⊥平面 CA1，
而 A1C
⊂
平面 AA1C1C，∴BC⊥A1C，得∠A1CB＝90°，
设 BC＝x，则 AC＝2x，又∠AA1C＝90°，∠A1AC＝30°，
∴A1C＝x， ， ，AB＝ ，
而 ，
∴AA1⊥A1B；
（2）解：过 M 作 MN⊥A1B 交 A1B 于 N，
若 BC＝2 ，由（1）得， ，AA1＝BB1＝6，
∴ ＝ MN ，即 ，
解得 MN＝3，又∵∠AA1B＝∠A1BB1＝90°，∴ ＝ ，
∴ ，则 A1M＝MB1，得 ＝1．
19．在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会
成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费停车费．保险费、保养
费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主 5 年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧
感，研究人员作出相关调查，其中表（Ⅰ）为车主张先生买车以后每年的相关花费，表
（Ⅱ）为对 2016 年 A 地区购买新车的 400 名车主进行跟踪调查，对他们 5 年以来的新车
花费的统计．
第 x 年 1 2 3 4 5
花费 y（万元） 0.4 0.7 1 1.4 1.5
表（Ⅰ）
5 年花费（万
元）
[3，5） [5，7） [7，9） [9，11） [11，13） [13，15]
人数 60 100 120 40 60 20
表（Ⅱ）
（1）通过散点图可知，表（Ⅰ）中的数据可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关
于 x 的线性回归方程 ＝ x+ ；
（2）根据表（Ⅱ）中的数据，求这 400 名车主 5 年新车花费的平均数以及方差（同一区
间的新车花费用区间的中点值替代）；
参考公式：回归直线方程 ＝ x+ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
＝ ， ＝ ﹣ ．
解：（1）由题意可得， ＝1，
所 以 ， ， 故 ＝
，
则 ＝ ﹣ ＝1﹣0.29×3＝0.13，
故 y 关于 x 的线性回归方程为 y＝0.29x+0.13；
（2）由题意，新车花费：
5 年花费
（万元）
[3，5） [5，7） [7，9） [9，11） [11，13） [13，15]
人数 60 100 120 40 60 20
频率 0.15 0.25 0.3 0.1 0.15 0.05
所以 ＝4×0.15+6×0.25+8×0.3+10×0.1+12×0.15+14×0.05＝8，
方差 s2＝0.15×（﹣4）2+0.25×（﹣2）2+0.1×22+0.15×42+0.05×62＝8．
20．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点（﹣ ， ），点 M
在圆 O：x2+y2＝5 上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 A，B 是圆 O 上异于 M 的两点，且直线 MA、MB 与椭圆 C 相切，求证：A，B
关于原点 O 对称．
解：（1）由题可得 ，
解得 a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为 +y2＝1．
（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），点 M（x0，y0）在圆 x2+y2＝5 上运动，
当过点 M 且与椭圆 C 相切的直线斜率存在时，
设切线的方程为 y＝k（x﹣x0）+y0，
由 ，得（1+4k2）x2+8k（y0﹣kx0）x+4（y0﹣kx0）2﹣4＝0，
则△＝64k2（y0﹣kx0）2﹣4（1+4k2）[4（y0﹣kx0）2﹣4]＝0，
整理得（4﹣x02）k2+2x0y0k+1﹣y02＝0，
设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2＝ ，
故 k1k2＝﹣1，
即直线 AB 为圆 x2+y2＝5 的直径，
故此时 A，B 关于原点 O 对称，
当直线 MA 的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 x＝2 或 x＝﹣2，
当直线 MA 的方程为 x＝2 时，不妨设 M（2，1），则 A（2，﹣1），B（﹣2，1），
此时 A，B 关于原点 O 对称，
当直线 MA 的方程为 x＝﹣2 时，不妨设 M（﹣2，1），则 A（﹣2，﹣1），B（2，1），
此时 A，B 关于原点 O 对称，
同理可得，当直线 MB 的斜率不存在时，A，B 关于原点 O 对称，
综上所述，A，B 关于原点 O 对称．
21．已知函数 f（x）＝3（x﹣1）ex+x3．
（1）求函数 f（x）在[0，2]上的最值；
（2）求证：当 k≥0 时，关于 x 的方程 f（x）+ ＝3kx2 仅有 1 个实数解．
解：（1）f′（x）＝3xex+3x2＝3x（ex+x），
令 u（x）＝ex+x，u′（x）＝ex+1＞0，
∴函数 u（x）在[0，2]上单调递增，∴u（x）≥u（0）＝1＞0，
∴f′（x）≥0，即函数 f（x）在[0，2]上单调递增，
∴函数 f（x）在[0，2]上的最大值与最小值分别为：f（2）＝3e3+8，f（0）＝﹣3．
（2）证明：f（x）+ ＝3kx2 即 3（x﹣1）ex+x3+ ＝3kx2，则（x﹣1）ex+ x3+ ﹣kx2＝0，
令 g（x）＝（x﹣1）ex+ x3+ ﹣kx2，则 g′（x）＝xex+x2﹣2kx＝x（ex+x﹣2k）．
当 k＝ 时，g′（x）＝x（ex+x﹣1）≥0，故函数 g（x）在 R 上单调递增．
∵g（0）＝﹣1+ ＝﹣ ＜0，g（1）＝ ＞0，故 k＝ 时，f（x）恰有 1 个零点．
当 k＞ 时，令 h（x）＝ex+x﹣2k，则 h（x）在 R 上单调递增，
又 h（0）＝1﹣2k＜0，h（k）＝ek﹣k＞k﹣k＝0，
∴存在唯一实数 x1
∈
（0，k），使得 h（x1）＝0，即 g′（x1）＝0，
故 g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递
增，
∵g（x1）＜g（0）＝﹣ ＜0，g（3k）＝（3k﹣1）e3k+ （3k）3﹣k•（3k）2+ ＝（3k
﹣1）e3k+ ＞0，
故当 k＞ 时，g（x）恰有 1 个零点．
当 0≤k 时，h（x）＝ex+x﹣2k，h（x）在 R 上单调递增，
又 h（0）＝1﹣2k＞0，h（﹣1）＝ ﹣1﹣2k＜0，
∴存在唯一实数 x2
∈
（﹣1，0），使得 h（x2）＝0，即 g′（x2）＝0，
∴g（x）在（﹣∞，x2）上单调递增，在（x2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递
增，
∵g（0）＝﹣ ＜0，g（1）＝ ﹣k+ ＞0，
故当 x
∈
（0，+∞）时，函数 g（x）只有 1 个零点．
当 x
∈
（﹣∞，0）时，g（x）max＝g（x2）＝（x2﹣1） + ﹣k + ，
由 g′（x2）＝0，解得 k＝ ，
∴g（x2）＝（x2﹣1） + ﹣ • + ＝﹣ [（ ﹣2x2+2）） +
﹣1]，
令 t（x）＝（x2﹣2x+2）ex+ x3﹣1，x
∈
（﹣1，0），∵t′（x）＝x2（ex+1）＞0，
因此 t（x）在 x
∈
（﹣1，0）上单调递增，
∴t（x）＞t（﹣1）＝ ﹣ ＞0，
∴g（x2）＜0，当 x
∈
（﹣∞，0）时，函数 g（x）无零点．
因此当 0≤k 时，函数 f（x）只有一个零点．
当 k≥0 时，关于 x 的方程 f（x）+ ＝3kx2 仅有 1 个实数解．
选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分。
[选修 4--4：坐标系与参数方程]
22．已知平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐
标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C′的极坐标方程为
ρ
2﹣
16
ρ
cos
α
+32＝0．
（1）求曲线 C 的普通方程以及曲线 C′的直角坐标方程；
（2）已知过原点的直线 l 与曲线 C 仅有 1 个交点 M，若 l 与曲线 C'也仅有 1 个交点 N，
求点 M 的极坐标．
解：（1）曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），转换为普通方程为 y＝x2
﹣2（x≥2 或 x≤﹣2）；
曲线 C′的极坐标方程为
ρ
2﹣16
ρ
cos
α
+32＝0，根据 ，转换为直角坐标方
程为（x﹣8）2+y2＝32；
（2）设直线 l 的方程为 y＝kx，
所以 ，整理得（1+k2）x2﹣16x+32＝0，
利用△＝0，
解得 k＝1 或﹣1，
故直线的方程为 y＝x 或 y＝﹣x；
直线 ly＝x 和 y＝﹣x 与 y＝x2﹣2（x≥2 或 x≤﹣2）；
构建方程组： 或 ，
得到 M（2，2）或 M（﹣2，2）
转换为极坐标为 或 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|ax﹣3|+a|x﹣2|的图象关于原点对称．
（1）求不等式 f（x）＞x+2 的解集；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）≤mx2+ 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解：（1）函数 f（x）＝|ax﹣3|+a|x﹣2|的图象关于原点对称，
可得 f（x）为 R 上的奇函数，即有 f（0）＝0，即 3+2a＝0，
解得 a＝﹣ ，
不等式 （|x+2|﹣|x﹣2|）＞x+2，
等价为 或 或 ，
解得 x＜﹣8 或 1＜x＜2 或 2≤x＜4，
则原不等式的解集为（﹣∞，﹣8）∪（1，4）；
（2）若关于 x 的不等式 f（x）≤mx2+ 恒成立，
可得 （|x+2|﹣|x﹣2|）≤mx2+ 恒成立，
当 x≤﹣2 时，﹣6≤mx2+ ，即 m≥﹣ ，
由 x2≥4，0＜ ≤ ，可得 m≥﹣ ；
①当 x≥2 时，6≤mx2+ ，即 m≥ 恒成立，
由 x2≥4，0＜ ≤ ，可得 m≥ ；
②由
①②
可得 m≥ ．
又﹣2＜x＜2 时，3x≤mx2+ 恒成立，
当﹣2＜x≤0 时，原不等式显然成立；
当 0＜x＜2 时，m≥ ﹣ 恒成立，
由 y＝ ﹣ ＝﹣（ ﹣1）2+1，当 x＝ 时，y 取得最大值 1，
所以 m≥1，
综上可得，m 的取值范围是[1，+∞）．
微信/支付宝扫码支付