2021 年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科）（4 月份）（晋
城二模）
一、选择题（共 12 小题）.
1．若 i 是虚数单位，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|2x≤4}，B＝{x|x（3﹣x）≤0}，则
∁
U（A∪B）＝（ ）
A．（3，+∞） B．（2，3） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
3．在等比数列{an}中，若 a3＝1，a11＝25，则 a7＝（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．±25
4．如图所示的是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王
与小张成绩的样本平均数分别为 和 ，方差分别为 s2A 和 s2B，则（ ）
A． ＜ ，s2A＞s2B B． ＜ ，s2A＜s2B
C． ＞ ，s2A＞s2B D． ＞ ，s2A＜s2B
5．已知直线 l 过抛物线 C：y2＝4x 的焦点且与 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点关于 y 轴
的对称点在直线 x＝﹣2 上，则|AB|＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ）
A．27 B．48 C．75 D．76
7．（2﹣ ）（1﹣2x）4 的展开式中 x3 项的系数是﹣70，则 a 的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
8．若 A，B，C 为△ABC 的内角，则“tanAtanB＞1 是“△ABC 是锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 ，点 P 在正方形 A1B1C1D1 上，且 A1，C 到
P 的距离分别为 2， ，则直线 CP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线 C： ＝1（a＞0）的离心率为 2，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，
点 A 在 C 的右支上，若△AF1F2 的周长为 10a，则△AF2F1 的面积是（ ）
A．6 B．3 C．90 D．45
11．设函数 f（x）＝|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|，则下列结论错误的是（ ）
A．函数 f（x）为偶函数
B．函数 f（x）的图象关于直线 x＝ 对称
C．函数 f（x）的最小值为
D．函数 f（x）的单调递增区间为[﹣ +k
π
，k
π
]（k
∈
Z）
12．已知实数 a，b，c，d 满足 a＞b＞c，且 a+b+c＝0，ad2+2bd﹣b＝0，则 d 的取值范围是
（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣ ， ） D．（﹣1﹣ ，﹣1+ ）
二、填空题（共 4 小题）.
13．设向量 ＝（2，1）， ＝（m，﹣4），若（ + ）∥（ ﹣ ），则实数 m＝ ．
14．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的体积为 36
π
，AA1＝2 ，则矩形 ABCD 面积的
最大值为 ．
15．已知 y＝f（x）为 R 上的奇函数，且其图象关于点（2，0）对称，若 f（1）＝1，则 f（2021）
＝ ．
16．在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，an＝ ，则数列{an}
的通项公式为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60 分。
17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2+c2﹣b2＝（4c2﹣2bc）cosA．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 AD⊥BC，垂足为 D，且 BC＝8，求 AD 的最大值．
18．如图，已知矩形 ABCD 所在的平面垂直于直角梯形 ABPE 所在的平面，且 EP＝ ，
BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥EP，AE∥BP，F，G 分别是 BC，BP 的中点．
（1）求证：平面 AFG∥平面 PEC；
（2）求二面角 D﹣BE﹣A 的余弦值．
19．某市为了增强市民的安全意识，由市安监局组织举办了一次安全知识网络竞赛，竞赛满
分为 100 分，得分不低于 85 分的为优秀．竞赛结束后，从参与者中随机抽取 100 个样本，
统计得样本平均数为 76，标准差为 9．假设该市共有 10 万人参加了此次竞赛活动，且得
分 X 服从正态分布 N（
μ
，σ2），若以所得样本的平均数和标准差分别作为
μ
，σ的近似
值．
（1）试估计该市参加这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？
（2）为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可
参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖
者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数的数字
相同，则可奖励 60 元电话费，否则奖励 15 元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参
加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？
参考数据：若 X～N（
μ
，σ2），则 P（
μ
﹣σ＜X＜
μ
+σ）≈0.68．
20．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭
圆 C 于 A，B 两点，且△ABF1 的周长为 8，|F1F2|＝2．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设过点 F1 且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 C 相交于 E，D 两点，试问在 x 轴上是否
存在点 M，使得直线 ME，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点 M 的坐
标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数 f（x）＝ex（x2+mx+m2），g（x）＝ax2+x+axlnx．
（1）若函数 f（x）在 x＝﹣1 处取极小值，求实数 m 的值；
（2）设 m＝0，若对任意 x
∈
（0，+∞），不等式 f（x）≥g（x）恒成立，求实数 a 的值．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数），以原点 O 为极点，x
轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为
ρ
2+2
ρ
sin
θ
﹣
3＝0．
（1）求圆 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；
（2）直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 M，求 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设 f（x）＝|x﹣2|+|x+3|．
（1）解不等式 f（x）＞7；
（2）若关于实数 x 的不等式 f（x）＜a﹣1 无解，求实数 a 的取值范围．
参考答案
一、选择题（共 12 小题）.
1．若 i 是虚数单位，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
解： ＝ ．
故选：C．
2．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|2x≤4}，B＝{x|x（3﹣x）≤0}，则
∁
U（A∪B）＝（ ）
A．（3，+∞） B．（2，3） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
解：全集 U＝R，集合 A＝{x|2x≤4}＝{x|x≤2}，
B＝{x|x（3﹣x）≤0}＝{x|x（x﹣3）≥0}＝{x|x≤0 或 x≥3}，
所以 A∪B＝{x|x≤2 或 x≥3}，
所以
∁
U（A∪B）＝{x|2＜x＜3}＝（2，3）．
故选：B．
3．在等比数列{an}中，若 a3＝1，a11＝25，则 a7＝（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．±25
解：根据题意，设等比数列{an}的公比为 q，
若 a3＝1，a11＝25，则 q8＝ ＝25，变形可得 q4＝5，
则 a7＝a3q4＝1×5＝5，
故选：A．
4．如图所示的是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王
与小张成绩的样本平均数分别为 和 ，方差分别为 s2A 和 s2B，则（ ）
A． ＜ ，s2A＞s2B B． ＜ ，s2A＜s2B
C． ＞ ，s2A＞s2B D． ＞ ，s2A＜s2B
解：由小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，
得到小王参加某射击比赛的预赛的五次中，
每次均不低于小张的预赛成绩，
但是小王各次成绩的波动大于小张的波动，
设小王与小张成绩的样本平均数分别为 和 ，方差分别为 s2A 和 s2B，
则 ＞ ，s2A＞s2B．
故选：C．
5．已知直线 l 过抛物线 C：y2＝4x 的焦点且与 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点关于 y 轴
的对称点在直线 x＝﹣2 上，则|AB|＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：因为抛物线为 y2＝4x，
所以 p＝2
设 A、B 两点横坐标分别为 x1，x2，
因为线段 AB 中点的横坐标为 2，
则 ＝2，即 x1+x2＝4，
故|AB|＝x1+x2+p＝4+2＝6．
故选：D．
6．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值是（ ）
A．27 B．48 C．75 D．76
解：第一次运行时，S＝0+3×1＝3，k＝3，
第二次运行时，S＝3+3×3＝12，k＝5，
第三次运行时，S＝12+3×5＝27，k＝7，
第四次运行时，S＝27+3×7＝48，k＝9，
第五次运行时，S＝48+3×9＝75，k＝11，
此时刚好满足 k＞10，故输出 S＝75，
故选：C．
7．（2﹣ ）（1﹣2x）4 的展开式中 x3 项的系数是﹣70，则 a 的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
解：∵（1﹣2x）4＝1﹣ •（2x）+ ﹣ +（2x）4．
∴（2﹣ ）（1﹣2x）4 的展开式中 x3 项的系数＝ ×2﹣ × ＝﹣70，
∴64+ ＝70，∴ ＝6．
解得 a＝4．
故选：D．
8．若 A，B，C 为△ABC 的内角，则“tanAtanB＞1 是“△ABC 是锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：因为 A，B，C
∈
（0，
π
），且 tanAtanB＞1，
所以 ，所以 A、B 为锐角；
又 tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣ ＝ ＞0，
所以 C 为锐角，△ABC 是锐角三角形，充分性成立；
若△ABC 为锐角三角形，则 ，
由 tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣ ＝ ＞0，
所以 tanAtanB﹣1＞0，即 tanAtanB＞1，必要性成立；
所以“tanAtanB＞1 是“△ABC 是锐角三角形”的充要条件．
故选：C．
9．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 ，点 P 在正方形 A1B1C1D1 上，且 A1，C 到
P 的距离分别为 2， ，则直线 CP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
解：设正方体的边长为 a，则 a3＝16 ，故 a＝2 ，
∴A1C1＝ a＝4，
∵CP＝ ＝2 ，∴C1P＝2，
又 A1P＝2，
∴P 为线段 A1C1 的中点，
设 AC∩BD＝O，则 OC⊥平面 BDD1B1，故∠CPO 为直线 CP 与平面 BDD1B1 所成角，
∴tan∠CPO＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
10．已知双曲线 C： ＝1（a＞0）的离心率为 2，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，
点 A 在 C 的右支上，若△AF1F2 的周长为 10a，则△AF2F1 的面积是（ ）
A．6 B．3 C．90 D．45
解：设双曲线的半焦距为 c，
由 e＝ ＝2，又 c2﹣a2＝9，解得 a＝ ，c＝2 ，
因为△AF1F2 的周长为 10a，设|AF1|＝m，|AF2|＝n，
可得 m+n+2c＝m+n+4 ＝10 ，即 m+n＝6 ，
由双曲线的定义可得 m﹣n＝2a＝2 ，
解得 m＝4 ，n＝2 ，
cos∠F1AF2＝ ＝ ＝ ，
所以 sin∠F1AF2＝ ＝ ，
则△AF2F1 的面积是 mnsin∠F1AF2＝ ×4 ×2 × ＝3 ．
故选：B．
11．设函数 f（x）＝|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|，则下列结论错误的是（ ）
A．函数 f（x）为偶函数
B．函数 f（x）的图象关于直线 x＝ 对称
C．函数 f（x）的最小值为
D．函数 f（x）的单调递增区间为[﹣ +k
π
，k
π
]（k
∈
Z）
解：函数 f（x）＝|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|＝ ，
对于 A：由于函数 f（﹣x）＝f（x），故函数 f（x）为偶函数，故 A 正确；
对于 B：函数 f（x）＝f（
π
﹣x）故函数 f（x）关于 x＝ 对称，故 B 正确；
对于 C：令 x+ ＝t，则 f（t）＝ ，该函数的最小正周期为 ，
在 x 时，f（t）＝ ，
所以函数 f（t）在 x 上的最小值为 ，故 C 正确；
对于 D：由于函数 f（x）的图象向右平移 个单位得到 g（x）＝
的图象，
所以函数在 x 上时，g（x）＝ ，则函数在[0， ]上单调递增，
在[ ]上单调递减，由于函数 g（x）的最小正周期为 ，
所以函数的单调递增区间为[ ]（k
∈
Z），故 D 错误；
故选：D．
12．已知实数 a，b，c，d 满足 a＞b＞c，且 a+b+c＝0，ad2+2bd﹣b＝0，则 d 的取值范围是
（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣ ， ） D．（﹣1﹣ ，﹣1+ ）
解：由题意可知，a≠0，因为关于 d 的方程为 ad2+2bd﹣b＝0，
所以 且 4b2+4ab≥0，
因为实数 a，b，c，d 满足 a＞b＞c，且 a+b+c＝0，
所以 a＞0，c＜0，
若 b≥0，则 a＞b＝|b|，
若 b＜0，则 a＝﹣b﹣c＞|b|，所以 a＞|b|，
所以 ，
设 ，由 a＞|b|，可得﹣1＜t ＜1，
则 且 t2+t≥0，可得 t≥0 或 t≤﹣1，
所以 0≤t＜1，
设 f（t）＝ ，
因为 在 t
∈
[0，1）上恒成立，
所以函数 f（t）在[0，1）上单调递减，
所以对任意的 t
∈
[0，1）， ，
所以此时 f（t）在 t
∈
[0，1）的值域为 ，即此时 ，
设 g（t）＝ ，t
∈
[0，1），
因为
＝
＝ 在 t
∈
[0，1）上恒成立，
所以函数 g（t）在[0，1）上单调递增，
所以对任意的 t
∈
[0，1）， ，
所以 g（t）在 t
∈
[0，1）的值域为 ，即 ，
所以 ．
故选：D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．设向量 ＝（2，1）， ＝（m，﹣4），若（ + ）∥（ ﹣ ），则实数 m＝ ﹣8 ．
解：向量 ＝（2，1）， ＝（m，﹣4），
所以 + ＝（2+m，﹣3），
﹣ ＝（2﹣m，5），
又（ + ）∥（ ﹣ ），
所以（2+m）×5﹣（2﹣m）×（﹣3）＝0，
解得 m＝﹣8．
故答案为：﹣8．
14．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的体积为 36
π
，AA1＝2 ，则矩形 ABCD 面积的
最大值为 8 ．
解：设矩形 ABCD 的边长为 a，b，该长方体为外接球的半径为 r，则 ＝36
π
，解
得 r＝3，
所以 ＝2×3，可得 a2+b2＝16，所以 ab≤ ＝8，当且仅当 a＝
b＝2 时，等号成立，
所以矩形 ABCD 面积的最大值为 8．
故答案为：8．
15．已知 y＝f（x）为 R 上的奇函数，且其图象关于点（2，0）对称，若 f（1）＝1，则 f（2021）
＝ 1 ．
解：∵f（x）的图象关于点（2，0）对称，
∴f（x+2）的图象关于原点对称，
∴f（x+2）是奇函数，
∴f（2﹣x）＝﹣f（x+2），且 f（x）是 R 上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x+4）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝f（x），
∴f（x）的周期为 4，且 f（1）＝1，
∴f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝1．
故答案为：1．
16．在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，an＝ ，则数列{an}
的通项公式为 ．
解：由于数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，an＝ ，
①当 n＝2 时，a2＝a1＝1，
当 n≥3 时，
②
，
①
﹣
②
得： （n≥3），
整理得 （n≥3），
所以 ，
整理得 ，
所以 （n≥3），
当 n＝2 时，满足该通项公式，
当 n＝1 时，不满足通项，
故 ．
故答案为： ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60 分。
17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2+c2﹣b2＝（4c2﹣2bc）cosA．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 AD⊥BC，垂足为 D，且 BC＝8，求 AD 的最大值．
解：（1）因为 a2+c2﹣b2＝（4c2﹣2bc）cosA，
所以 2accosB＝（4c2﹣2bc）cosA，
由正弦定理得 sinAcosB＝（2sinC﹣sinB）cosA，
即 sin（A+B）＝2sinCcosA＝sinC，
因为 sinC＞0，
所以 cosA＝ ，
因为 A 为三角形内角，
故 A＝ ；
（2）因为 S△ABC＝ ＝ ，BC＝8，A＝ ，
所以 4AD＝ bc，即 AD＝ ，
由余弦定理得，64＝b2+c2﹣bc≥bc，当且仅当 b＝c 时取等号，
故 AD＝ ＝4 ，当且仅当 b＝c 时取等号，
故 AD 的最大值为 4 ．
18．如图，已知矩形 ABCD 所在的平面垂直于直角梯形 ABPE 所在的平面，且 EP＝ ，
BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥EP，AE∥BP，F，G 分别是 BC，BP 的中点．
（1）求证：平面 AFG∥平面 PEC；
（2）求二面角 D﹣BE﹣A 的余弦值．
【解答】（1）证明：因为 G 是 BP 的中点，所以 PG＝ BP＝1，
又因为 AE＝1，所以 AE＝PG，
又因为 AE∥PG，AE⊥EP，所以四边形 AEPG 是矩形，所以 AG∥EP，
又 AG
⊄
平面 PEC，PE
⊂
平面 PEC，所以 AG∥平面 PEC，
因为 F，G 分别是 BC，BP 的中点，所以 FG 是△BCP 的中位线，所以 FG∥PC，
又 FG
⊄
平面 PEC，PC
⊂
平面 PEC，所以 FG∥平面 PEC，
因为 AG∩FG＝G，AG，FG
⊂
平面 AFG，所以平面 AFG∥平面 PEC；
（2）解：平面 ABCD⊥平面 ABPE，平面 ABCD∩平面 ABPE＝AB，DA⊥AB，DA
⊂
平面
ABCD，
所以 AD⊥平面 ABPE，又 AE，AG
⊂
平面 ABPE，
所以 AD⊥AE，AD⊥AG，所以 AE，AG，AD 两两垂直，
以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为 ，
则 ，
则 ，
设平面 EDB 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 x＝3，则 z＝3， ，故 ，
又平面 ABE 的一个法向量为 ，
所以 ＝ ，
由图可知，二面角 D﹣BE﹣A 为锐二面角，
所以二面角 D﹣BE﹣A 的余弦值为 ．
19．某市为了增强市民的安全意识，由市安监局组织举办了一次安全知识网络竞赛，竞赛满
分为 100 分，得分不低于 85 分的为优秀．竞赛结束后，从参与者中随机抽取 100 个样本，
统计得样本平均数为 76，标准差为 9．假设该市共有 10 万人参加了此次竞赛活动，且得
分 X 服从正态分布 N（
μ
，σ2），若以所得样本的平均数和标准差分别作为
μ
，σ的近似
值．
（1）试估计该市参加这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？
（2）为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可
参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖
者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，…，99），若产生的两位数的数字
相同，则可奖励 60 元电话费，否则奖励 15 元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参
加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？
参考数据：若 X～N（
μ
，σ2），则 P（
μ
﹣σ＜X＜
μ
+σ）≈0.68．
解：（1）由题意知 X～N（76，81），所以优秀者得分 X≥76+9＝
μ
+σ，
由 P（
μ
﹣σ＜X＜
μ
+σ）≈0.68，得 P（X≥85）≈ ＝0.16，
所以估计该市参加这次竞赛活动得分优秀者的人数是 10×0.16＝1.6（万人）．
（2）设抽奖 1 次获得话费为 Y 元，则 Y 的可能取值为 60，15；
在 10，11，…，99 共 90 个数中，两位数数字相同的概率为 ＝ ，
所以 P（Y＝60）＝ ，P（Y＝15）＝ ，
所以抽奖 1 次获得电话费的期望值为 E（Y）＝60× +15× ＝19.5（元）；
设抽奖次数为 Z，则 Z 的取值为 1，2，
计算 P（Z＝1）＝1﹣0.16＝0.84，
P（Z＝2）＝0.16，
所以参加活动的每个人抽奖次数的数学期望为 E（Z）＝1×0.84+2×0.16＝1.16，
所以估计这次活动奖励的电话费总额为 10×1.16×19.5＝226.2（万元）．
20．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭
圆 C 于 A，B 两点，且△ABF1 的周长为 8，|F1F2|＝2．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设过点 F1 且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 C 相交于 E，D 两点，试问在 x 轴上是否
存在点 M，使得直线 ME，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点 M 的坐
标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设椭圆 C 的焦距为 2c，
由题意可得 2c＝2，4a＝8，
所以 c＝1，a＝2，
所以椭圆 C 的方程为 + ＝1．
（2）由（1）知 F1（﹣1，0），设点 E（x1，y1），D（x2，y2），M（m，0），
因为直线 l 不与 x 轴重合，
所以设直线 l 的方程为 x＝ny﹣1，
联立 ，得（3n2+4）y2﹣6ny﹣9＝0，
则△＝36n2+36（3n2+4）＞0，
所 y1+y2＝ ，y1y2＝﹣ ，
又 x1x2＝（ny1﹣1）（ny2﹣1）＝n2y1y2﹣n（y1+y2）+1
＝﹣ ﹣ +1＝﹣ ，
x1+x2＝n（y1+y2）﹣2＝ ﹣2＝﹣ ，
直线 ME，MD 的斜率分别为 kME＝ ，kMD＝ ，
所以 kME•kMD＝ • ＝ ＝
＝ ＝
＝﹣ ，
要使得直线 ME，MD 的斜率之积恒为定值，只需 3m2﹣12＝0，解得 m＝±2，
当 m＝2 时，存在点 M（2，0），使得 kME•kMD＝﹣ ＝﹣ ＝
﹣ ，
当 m＝﹣2 时，存在点 M（﹣2，0），使得 kME•kMD＝﹣ ＝﹣ ，
综上所述，在 x 轴上存在点 M，使得直线 ME，MD 的斜率之积恒为定值，
当点 M 的坐标为（2，0）时，直线 ME，MD 的斜率之积恒为定值﹣ ，
当点 M 的坐标为（﹣2，0）时，直线 ME，MD 的斜率之积恒为定值﹣ ．
21．已知函数 f（x）＝ex（x2+mx+m2），g（x）＝ax2+x+axlnx．
（1）若函数 f（x）在 x＝﹣1 处取极小值，求实数 m 的值；
（2）设 m＝0，若对任意 x
∈
（0，+∞），不等式 f（x）≥g（x）恒成立，求实数 a 的值．
解：（1）f′（x）＝ex[x2+（m+2）x+m2+m]，
由题意得 f′（﹣1）＝0，即 m＝±1，
当 m＝1 时，f′（x）＝ex（x+1）（x+2），
此时 f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，符合题意；
当 m＝﹣1 时，f′（x）＝ex（x+1）x，
此时 f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，不符合题意．
综上可得，m＝1．
（2）由 f（x）≥g（x）得 xex﹣1﹣a（x+lnx）≥0，指数化得不等式 ex+lnx﹣1﹣a（x+lnx）
≥0 恒成立，
令 t＝x+lnx，则
∀
t
∈
R，不等式 et﹣at﹣1≥0 恒成立，
令 h（t）＝et﹣at﹣1，t
∈
R，则 h′（t）＝et﹣a，
当 a≤0 时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，h（﹣1）＝ +a﹣1＜0，不符合题意；
当 a＞0 时，令 h′（t）＝0，得 x＝lna，当 x
∈
（﹣∞，lna）时，h′（t）＜0，h（t）单
调递减，
当 x
∈
（lna，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，
所以 h（t）min＝h（lna）＝a﹣alna﹣1，
所以 a﹣alna﹣1≥0，即 lna+ ﹣1≤0，
令
φ
（a）＝lna+ ﹣1，则
φ
′（a）＝ ，所以
φ
（a）在（0，1）上单调递减，在（1，
+∞）上单调递增，
又
φ
（1）＝0，所以 a＝1．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数），以原点 O 为极点，x
轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为
ρ
2+2
ρ
sin
θ
﹣
3＝0．
（1）求圆 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；
（2）直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 M，求 的值．
解：（1）圆 C 的极坐标方程为
ρ
2+2
ρ
sin
θ
﹣3＝0，根据 ，转换为直角坐
标方程为 x2+（y+1）2＝4．
直线 l 的参数方程是 （t 为参数），转换为普通方程为 2x+y﹣2＝0．
（2）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），转换为标准式为 （t 为参
数），代入圆的方程为 ，
所以 ，t1t2＝﹣2，
故 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设 f（x）＝|x﹣2|+|x+3|．
（1）解不等式 f（x）＞7；
（2）若关于实数 x 的不等式 f（x）＜a﹣1 无解，求实数 a 的取值范围．
解：（1）由已知得|x﹣2|+|x+3|＞7，
①
当 x≤﹣3 时，2﹣x﹣（x+3）＞7，∴x＜﹣4，
②
当﹣3＜x＜2 时，2﹣x+（x+3）＞7，∴无解，
③
当 x≥2 时，x﹣2+（x+3）＞7，∴x＞3，
故所求不等式的解集为（3，+∞）∪（﹣∞，﹣4）．
（2）∵|x﹣2|+|x+3|＝|2﹣x|+|x+3|≥|2﹣x+x+3|＝5，
∴（|x﹣2|+|x+3|）min＝5，
要使|x﹣2|+|x+3|＜a﹣1 无解，只需 a﹣1≤5，∴a≤6，
故 a 的取值范围为（﹣∞，6]．
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