2021 年安徽省黄山市高考数学第二次质检试卷（理科）（二模）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x（2﹣x）≤0}，则 A∩B＝（ ）
A．{2，3} B．{1，3} C．{1，2} D．{1，2，3}
2． 的实部为（ ）
A． B． C．﹣ D．
3．若 ，则 sin（2x+ ）＝（ ）
A． B． C． D．
4．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在
中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清
代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20 个字绕着茶壶成一圆
环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如 2020 年 02
月 02 日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日
期）．数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有 9 个（11，22，…，
99 ） ， 则 在 所 有 四 位 数 的 回 文 数 中 ， 出 现 奇 数 的 概 率 为 （ ）
A． B． C． D．
5．设函数 f（x）＝ ，若函数 y＝f（x）在区间（m，m+1]上单调递减，则
实数 m 的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．（2，3] D．[2，3）
6．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与抛物线 C
的一个交点，若|PF|＝3|FQ|，则|QF|＝（ ）
A．3 B．4 或 C． D． 或
7．下列命题：
①
在线性回归模型中，相关指数 R2 表示解释变量 x 对于预报变量 y 的贡献率，R2 越接近
于 0，表示回归效果越好；
②
两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1；
③
两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
④
对分类变量 X 与 Y，它们的随机变量 K2 的观测值 k 来说，k 越大，“X 与 Y 有关系”
的把握程度越大．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前三项和为 14，且 a5＝3a3+4a1，则 a2021＝（ ）
A．22020 B．22021 C．22022 D．22023
9．设 a＝ln ，b＝﹣e﹣1，c＝log3 ，则（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinBsinC＝sinA，△ABC 的面积
为 ，a+b＝3，则角 C＝（ ）
A．30° B．120° C．30°或 150° D．60°或 120°
11．棱长为 4 的正方体密闭容器内有一个半径为 1 的小球，小球可在正方体容器内任意运动，
则其能到达的空间的体积为（ ）
A． B． C． D．12+12
π
12．已知 a＞0，b＞0，且 a≠b，如果 a，b 是 的两个零点，则 ab 的范
围是（ ）
A．（e，+∞） B．（e2，+∞） C． D．
二、填空题（每小题 5 分）.
13．已知函数 ，若 ，则 x＝ ．
14．若（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯ +a2021x2021（x
∈
R），则 的值为 ．
15．已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 •
的最小值是 ．
16．已知 F1，F2 分别为双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F2 作圆 x2+y2
＝a2 的切线交双曲线左支于点 M，且∠F1MF2 ＝60°，则该双曲线的渐近线方程
为 ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请
在答题卷的相应区域答题.）
17．已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为 a、b、c，若（c+2b）cosA﹣acos
（A+B）＝0．
（1）求 A；
（2）若 a＝2 ，求△ABC 的面积的最大值．
18．四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，侧面 SAD 为正三角形，且平面 SAD⊥
平面 ABCD．已知 AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝4．
（1）试画出平面 SAB 与平面 SCD 的交线 m，并证明：BC⊥m；
（2）记棱 AD 中点为 O，BC 中点为 E，若点 F 为线段 OE 上动点，当满足 FA+FB 最小
时，求 SF 与平面 SBC 所成角的正弦值．
19．设 n 是给定的正整数（n＞2），现有 n 个外表相同的袋子，里面均装有 n 个除颜色外其
他无区别的小球，第 k（k＝1，2，3，⋯ ，n）个袋中有 k 个红球，n﹣k 个白球．现将这
些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若 n＝4，假设已知选中的恰为第 2 个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若 n＝4，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数 n（n＞2），求第三次取出为白球的概率．
20．已知椭圆 C1： ＝1（a＞b＞0），其短轴长为 2 ，离心率为 e1，双曲线 C2：
＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为 y＝± x，离心率为 e2，且 e1•e2＝1．
（1）求椭圆 C1 的方程；
（2）设椭圆 C1 的右焦点为 F，动直线 l（l 不垂直于坐标轴）交椭圆 C1 于 M，N 不同两
点，设直线 FM 和 FN 的斜率为 k1，k2，若 k1＝﹣k2，试探究该动直线 l 是否过 x 轴上的
定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
21．已知函数 f（x）＝alnx+x，函数 g（x）＝ex+bx2，
（1）记 h（x）＝f（x）+x2，试讨论函数 h（x）的单调性，并求出函数 h（x）的极值点；
（2）若已知曲线 y＝f（x）和曲线 y＝g（x）在 x＝1 处的切线都过点（0，1）．求证：
当 x＞0 时，xf（x）+g（x）﹣（e﹣1）x≥1．
考生注意：请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，
请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （其中
φ
为参数），曲线
C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l：
θ
＝
α（
ρ
≥0）与曲线 C1，C2 分别交于点 A，B（均异于原点 O）．
（1）求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
（2）当 0＜
α
＜ 时，求|OA|2+|OB|2 的最小值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当 a＝2 时，求不等式 f（x）＜2 的解集；
（2）若 a＞0，不等式 f（x）+3＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题 5 分）.
1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x（2﹣x）≤0}，则 A∩B＝（ ）
A．{2，3} B．{1，3} C．{1，2} D．{1，2，3}
解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≤0 或 x≥2}，
∴A∩B＝{2，3}．
故选：A．
2． 的实部为（ ）
A． B． C．﹣ D．
解： ＝ ＝ ＝﹣ + i，
则 的实部为﹣ ，
故选：C．
3．若 ，则 sin（2x+ ）＝（ ）
A． B． C． D．
解：因为 ，
所以 sin（2x+ ）＝sin[2（x﹣ ）+ ]＝cos2（x﹣ ）
＝2cos2（x﹣ ）﹣1
＝2×（ ）2﹣1
＝﹣ ．
故选：D．
4．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在
中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清
代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20 个字绕着茶壶成一圆
环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如 2020 年 02
月 02 日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日
期）．数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有 9 个（11，22，…，
99 ） ， 则 在 所 有 四 位 数 的 回 文 数 中 ， 出 现 奇 数 的 概 率 为 （ ）
A． B． C． D．
解：4 位回文数只用排列前两位数字，后面数字可以确定，
但是第一位不能为 0，有 9 种情况，第二位有 10 种情况，
∴4 位回文数有：9×10＝90．
4 位回文数的第一位是奇数，有 5 种情况，第二位有 10 种情况，
∴四位数的回文数中奇数的个数为：5×10＝50，
∴在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为 P＝ ＝ ．
故选：C．
5．设函数 f（x）＝ ，若函数 y＝f（x）在区间（m，m+1]上单调递减，则
实数 m 的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．（2，3] D．[2，3）
解：函数 f（x）＝ 的图像如图所示，
函数 f（x）在（﹣∞，2]以及（4，+∞）上递增，在[2，4）上递减，
故若函数 y＝f（x）在区间（m，m+1]上单调递减，
需满足 2≤m 且 m+1≤4，
即 2≤m≤3，
故选：A．
6．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与抛物线 C
的一个交点，若|PF|＝3|FQ|，则|QF|＝（ ）
A．3 B．4 或 C． D． 或
解：当 Q 在 PF 的延长线时，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 Q′，根据已知条件，|PF|
＝3|FQ|，
结合抛物线的定义得 ＝ ，
∵|FF′|＝p＝2，∴|QQ′|＝ ，
∴|QF|＝ ．
当 Q 在 PF 之间时，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 Q′，根据已知条件，|PF|＝3|FQ|，
结合抛物线的定义得 ＝ ，
∵|FF′|＝p＝2，∴|QQ′|＝ ，
故选：D．
7．下列命题：
①
在线性回归模型中，相关指数 R2 表示解释变量 x 对于预报变量 y 的贡献率，R2 越接近
于 0，表示回归效果越好；
②
两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1；
③
两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
④
对分类变量 X 与 Y，它们的随机变量 K2 的观测值 k 来说，k 越大，“X 与 Y 有关系”
的把握程度越大．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解：
①
在线性回归模型中，相关指数 R2 表示解释变量 x 对于预报变量 y 的贡献率，R2
越接近于 0，表示回归效果越不好，A 错误；
②
两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1，B 正确；
③
两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，C 正确；
④
对分类变量 X 与 Y，它们的随机变量 K2 的观测值 k 来说，k 越大，“X 与 Y 有关系”
的把握程度越大，D 正确．
故选：C．
8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前三项和为 14，且 a5＝3a3+4a1，则 a2021＝（ ）
A．22020 B．22021 C．22022 D．22023
解：各项均为正数的等比数列{an}的前三项和 ＝14，a5＝3a3+4a1，
所以 ，
因为 q＞0，
解得 q＝2，a1＝2，
则 a2021＝22021．
故选：B．
9．设 a＝ln ，b＝﹣e﹣1，c＝log3 ，则（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解：a＝ln ＜ln ＝﹣1，
∵log3 ＜c＝log3 ＜log3 ＝log3 ＝﹣ ，∴﹣1＜c＜﹣ ，
∵b＝﹣e﹣1＞﹣ ，
∴b＞c＞a，
故选：B．
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sinBsinC＝sinA，△ABC 的面积
为 ，a+b＝3，则角 C＝（ ）
A．30° B．120° C．30°或 150° D．60°或 120°
解：因为 sinBsinC＝sinA，
由正弦定理得 sinC＝ ＝ ，
因为△ABC 的面积 S＝ ＝ ＝ ，
所以 a＝1，
因为 a+b＝3，
所以 b＝2，sinC＝ ，
故 C＝30°或 150°．
故选：C．
11．棱长为 4 的正方体密闭容器内有一个半径为 1 的小球，小球可在正方体容器内任意运动，
则其能到达的空间的体积为（ ）
A． B． C． D．12+12
π解：在正方体的 8 个顶点处的单位立方体空间内，
小球不能到达的空间为：8[13﹣ （ ×13）]＝8﹣ ，
除此之外，在以正方体的棱为一条棱的 12 个 1×1×2 的正四棱柱空间内，
小球不能到达的空间共为 12×[1×1×2﹣ （
π
×12）×2]＝24﹣6
π
．
其他空间小球均能到达．
故小球不能到达的空间体积为：（8﹣
π
）+24﹣6
π
＝32﹣
π
．
∴小球可以经过的空间的体积：
V＝43﹣（12﹣ ×12）×2×12﹣（8﹣
π
）＝32+ ．
故选：A．
12．已知 a＞0，b＞0，且 a≠b，如果 a，b 是 的两个零点，则 ab 的范
围是（ ）
A．（e，+∞） B．（e2，+∞） C． D．
解：f′（x）＝ ﹣ ，
易知 f′（x）在（0，+∞）上单调递减，且 f′（2021）＝0，
故 x
∈
（0，2021）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x
∈
（2021，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
∵a＞0，b＞0，且 a≠b，∴不妨设 a＜b，则 0＜a＜b，
而 f（e2）＝lne2﹣ ＞0，f（1）＝ln1﹣ ＜0，
∴1＜a＜e2，又 f（e100）＝lne100﹣ ＝100﹣ ，
由 e＞2，则 e100＞2100，100﹣ ＜100﹣ ＝100﹣ ＝100﹣ ＜0，
故 e2＜b＜e100，故 e2＜ab＜e102，
故选：B．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请在答题卷的相应区域答题.）
13．已知函数 ，若 ，则 x＝ ．
解：当 0＜x≤2 时， ，解得 ，
当﹣2＜x≤0 时，f（x）＝|2x+1|＝ ，方程无解．
故 ．
故答案为： ．
14．若（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯ +a2021x2021（x
∈
R），则 的值为 ﹣1 ．
解：∵（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯ +a2021x2021（x
∈
R ），
∴令 x＝0，可得 a0＝1，
再令 x＝ ，则 1+ ＝0，故 ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 •
的最小值是 ﹣6 ．
解：以 BC 为中点，建立如图所示的直角坐标系，
则 A（0，2 ），B（﹣2，0），C（2，0），
设 P（x，y），则 ＝（﹣x，2 ），
＝（﹣x，2 ）， ＝（﹣2﹣x，﹣y）， ＝（2﹣x，﹣y），
所以 • ＝ •（ ）＝﹣x•（﹣2x）+（2 ）（﹣2y）＝2[x2+2
（y﹣ ）2﹣3]，
＝ ，
＝2[ ]，
当 x＝0，y＝ 时， • 取得最小值﹣6．
故答案为：﹣6．
16．已知 F1，F2 分别为双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F2 作圆 x2+y2
＝a2 的切线交双曲线左支于点 M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为 y＝
±（1+ ）x ．
解：设切点为 A，过 F1 作 F1B⊥MF2，垂足为 B，
由题意可得|OA|＝a，|OF2|＝c，|AF2|＝ ＝b，
由 OA 为△BF1F2 的中位线，可得|BF1|＝2a，
|BF2|＝2b，
又∠F1MF2＝60°，可得|MF1|＝ ＝ ，|MB|＝ ，
|MF2|＝|MB|+|BF2|＝ +2b，
又|MF2|﹣|MF1|＝ +2b﹣ ＝2a，
所以 b＝（1+ ）a，
所以双曲线的渐近线方程为 y＝±（1+ ）x．
故答案为：y＝±（1+ ）x．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请
在答题卷的相应区域答题.）
17．已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为 a、b、c，若（c+2b）cosA﹣acos
（A+B）＝0．
（1）求 A；
（2）若 a＝2 ，求△ABC 的面积的最大值．
解：（1）因为（c+2b）cosA﹣acos（A+B）＝0，
由正弦定理得，sinCcosA+2sinBcosA+sinAcosC＝0，
即 sin（A+C）+2sinBcosA＝0，
所以 sinB+2sinBcosA＝0，
因为 sinB＞0，
所以 cosA＝﹣ ，
因为 A
∈
（0，
π
），
所以 A＝ ；
（2）由余弦定理得 a2＝12＝b2+c2+bc≥3bc，当且仅当 b＝c 时取等号，
所以 bc≤4，
△ABC 的面积 S＝ ＝ ≤ ，即面积的最大值 ．
18．四棱锥 S﹣ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，侧面 SAD 为正三角形，且平面 SAD⊥
平面 ABCD．已知 AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝4．
（1）试画出平面 SAB 与平面 SCD 的交线 m，并证明：BC⊥m；
（2）记棱 AD 中点为 O，BC 中点为 E，若点 F 为线段 OE 上动点，当满足 FA+FB 最小
时，求 SF 与平面 SBC 所成角的正弦值．
解：（1）延长 BA，CD 交于点 K，连结 SK，则 SK 即为平面 SAB 与平面 SCD 的交线 m，
如图所示，
取 AD 的中点 O，连结 KO 延长交 BC 于点 E，连结 SO，
因为△SAD 为正三角形，AO＝OD，
所以 SO⊥AD，
又因为平面 SAD⊥平面 ABCD，平面 SAD∩平面 ABCD＝AD，SO
⊂
平面 SAD，
所以 SO⊥平面 ABCD，又 BC
⊂
平面 ABCD，
所以 SO⊥BC，
因为 ABCD 为等腰梯形，
所以∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA，AO∥BC，
所以∠KAD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣∠COA＝∠KDA，
所以 KA＝KD，又 AO＝OD，所以∠AOK＝90°，
因为 AD∥BC，所以∠BEK＝∠AOK＝90°，
故 BC⊥KE，
因为 SO⊥BC，SO∩KE＝O，所以 BC⊥平面 KSE，
因为 m
⊂
平面 KSE，所以 BC⊥m；
（2）因为∠ABC＝∠DCB，所以 KB＝KC，因为 BC⊥KE，
所以 BE＝EC，所以 FB＝FC，所以 AF+FB＝AF+FC≥AC，
连结 AC 交 OE 于 F，此时 F 点满足 FA+FB 最小，
因为 AO∥BC，所以∠KAD＝∠KBC，∠KOA＝∠KEB，
所以△KAO∽△KBE，所以 ，
因为 AO＝2，所以 AO＝1，因为 BC＝4，所以 BE＝EC＝2，
所以 ，所以 KA＝AB，KO＝OE，
因为 AB＝2，所以 KA＝AB＝2，所以 KB＝4，
所以 KE＝ ，
所以 OE＝ ，
因为△SAO 为正三角，所以 SA＝AO＝2，因为 SO⊥AD，
所以 SA＝AD＝2，因为 SO⊥AD，
所以 SO＝ ，
因为 AO∥BC，
所以 ，因为 OF+FE＝OE＝ ，
所以 ，
因为 SO⊥面 ABCD，所以 SO⊥OE，
所以 SF＝ ，SE＝ ，
过 F 作 FH⊥SE 于 H，因为 BC⊥面 KSE，
所以 BC⊥FH，所以 FH⊥面 SBC，
故∠FSH 为 SF 与面 SBC 所成的角，
由 FH•SE＝2S△SFE＝SO•FE，
解得 ，
所以 ，
故 SF 与平面 SBC 所成角的正弦值为 ．
19．设 n 是给定的正整数（n＞2），现有 n 个外表相同的袋子，里面均装有 n 个除颜色外其
他无区别的小球，第 k（k＝1，2，3，⋯ ，n）个袋中有 k 个红球，n﹣k 个白球．现将这
些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若 n＝4，假设已知选中的恰为第 2 个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若 n＝4，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数 n（n＞2），求第三次取出为白球的概率．
解：（1）n＝4 时，第二个袋中有 2 白 2 红 4 个球，
从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率 P＝ + + ＝ ．
（2）设选出的是第 k（k＝1，2，3，4）个袋，
连续三次取球的方法数为 4×3×2＝24
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白白白），取法数为（4﹣k）（3﹣k）（2﹣k），
（白红白），取法数为 k（4﹣k）（3﹣k），
（红白白），取法数为 k（4﹣k）（3﹣k），
（红红白），取法数为 k（k﹣1）（4﹣k），
从而第三次取出的是白球的种数为：
（4﹣k）（3﹣k）（2﹣k）+k（4﹣k）（3﹣k）+k（n﹣k）（3﹣k）+k（k﹣1）（4﹣k）
＝3×2（n﹣k），
则在第 k 个袋子中第三次取出的是白球的概率 pk＝ ，
而选到第 k 个袋子的概率为 ，故所求概率为：
p＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
（3）设选出的是第 k 个袋，连续三次取球的方法数为 n（n﹣1）（n﹣2），
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白白白），取法数为（n﹣k）（n﹣k﹣1）（n﹣k﹣2），
（白红白），取法数为 k（n﹣k）（n﹣k﹣1），
（红白白），取法数为 k（n﹣k）（n﹣k﹣1），
（红红白），取法数为 k（k﹣1）（n﹣k），
从而第三次取出的是白球的种数为：
（n﹣k）（n﹣k﹣1）（n﹣k﹣2）+k（n﹣k）（n﹣k﹣1）+k（n﹣k）（n﹣k﹣1）+k（k
﹣1）（n﹣k）＝（n﹣1）（n﹣2）（n﹣k），
则在第 k 个袋子中第三次取出的是白球的概率 pk＝ ，
而选到第 k 个袋子的概率为 ，故所求概率为：
p＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
20．已知椭圆 C1： ＝1（a＞b＞0），其短轴长为 2 ，离心率为 e1，双曲线 C2：
＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为 y＝± x，离心率为 e2，且 e1•e2＝1．
（1）求椭圆 C1 的方程；
（2）设椭圆 C1 的右焦点为 F，动直线 l（l 不垂直于坐标轴）交椭圆 C1 于 M，N 不同两
点，设直线 FM 和 FN 的斜率为 k1，k2，若 k1＝﹣k2，试探究该动直线 l 是否过 x 轴上的
定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
解：（1）由题意知椭圆 C1： ＝1（a＞b＞0），其短轴长为 2 ，可得 b＝ ，
椭圆的离心率为 e1，双曲线 C2： ＝1（p＞0，q＞0）的渐近线为 y＝± x，离
心率为 e2＝ ＝ ＝2，
且 e1•e2＝1．所以 e1＝ ＝ ＝ ＝ ，解得 a＝2，
所以椭圆方程 ，…………………………………………
（2）假设该直线过定点且在 x 轴上，设直线 l 的方程 y＝k（x﹣t），
联立 消去 y 整理得（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0，
设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 ………………
＝
＝
即 ，
所以﹣24+6t＝0，t＝4，即直线过定点（4，0）． ………………………………
21．已知函数 f（x）＝alnx+x，函数 g（x）＝ex+bx2，
（1）记 h（x）＝f（x）+x2，试讨论函数 h（x）的单调性，并求出函数 h（x）的极值点；
（2）若已知曲线 y＝f（x）和曲线 y＝g（x）在 x＝1 处的切线都过点（0，1）．求证：
当 x＞0 时，xf（x）+g（x）﹣（e﹣1）x≥1．
解：（1）h（x）＝alnx+x+x2，h′（x）＝ （x＞0），
记
φ
（x）＝2x2+x+a（x＞0），
当 a≥0 时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增，无极值点，
当 a＜0 时，△＝1﹣8a＞0，
φ
（x）有异号的两根 x1＝ （＜0），x2＝
（＞0），
∴x
∈
（0， ），
φ
（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（0， ）单调
递减，
x
∈
（ ，+∞），
φ
（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）在（ ，+∞）单
调递减，
∴h（x）有极小值点 x＝ ；
（2）证明：∵f′（x）＝ （x＞0），g′（x）＝ex+2bx，
∴f′（1）＝a+1，f（x）在 x＝1 处的切线方程为 y﹣1＝（a+1）（x﹣1），过点（0，1）
得：a＝﹣1，
g′（1）＝e+2b，g（x）在 x＝1 处的切线方程为 y﹣e﹣b＝（e+2b）（x﹣1），过点（0，
1）得：b＝﹣1，
∴f（x）＝﹣lnx+x，g（x）＝ex﹣x2，
要证：xf（x）+g（x）﹣（e﹣1）x≥1，即证：ex﹣xlnx﹣（e﹣1）x﹣1≥0，
即证： ﹣lnx﹣ （e﹣1）≥0，
构造函数 K（x）＝ ﹣lnx﹣ （e﹣1），则 K′（x）＝ ，
∵x＞0 时，ex﹣1＞0，
∴x
∈
（0，1）时，K′（x）＜0，K（x）在（0，1）单调递减，
∴x
∈
（1，+∞）时，K′（x）＞0，K（x）在（1，+∞）单调递增，
∴K（x）≥K（1）＝0，故原不等式成立．
考生注意：请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，
请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （其中
φ
为参数），曲线
C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l：
θ
＝
α（
ρ
≥0）与曲线 C1，C2 分别交于点 A，B（均异于原点 O）．
（1）求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
（2）当 0＜
α
＜ 时，求|OA|2+|OB|2 的最小值．
解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （其中
φ
为参数），转换为直角坐标法方
程 为 ， 根 据 ， 转 换 为 极 坐 标 方 程 为
，
整理得 ．
曲线 C2：x2+y2﹣2y＝0，根据 ，转换为极坐标方程为
ρ
＝2sin
θ
．
（2）根据（1）的结论，
|OA|2+|OB|2＝ ＝ ，
由于 0＜
α
＜ ，故 1＜1+2sin2
θ
＜3，
故
∈
（1，7），
故没有最小值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|．
（1）当 a＝2 时，求不等式 f（x）＜2 的解集；
（2）若 a＞0，不等式 f（x）+3＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
解：（1）当 a＝2 时，f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|＜2，
①
当 x≤﹣1 时，则 2﹣2x+（x+1）＜2，∴x＞1，∴无解，
②
当﹣1＜x＜1 时，则 2﹣2x﹣（x+1）＜2，∴﹣ ＜x＜1，
③
当 x≥1 时，则 2x﹣2﹣（x+1）＜2，∴1≤x＜5，
∴不等式 f（x）＜2 的解集为（﹣ ，5）．
（2）若 a＞0，
①
当 x≤﹣1 时，则 f（x）＝a+1﹣x，
②
当﹣1＜x＜ 时，f（x）＝a﹣1﹣3x，
③
当 x≥ 时，f（x）＝x﹣a﹣1，
∵f（x）在（﹣∞， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（ ）＝﹣ ﹣1，
∵f（x）+3＞0 恒成立，∴f（x）min＞﹣3，
即﹣ ﹣1＞﹣3，解得 a＜4，又∵a＞0，
∴a 的取值范围为（0，4）．
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