湖南省2021届高三下学期4月联考数学试题 解析版

高三数学试卷 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 若复数 z 满足  2 2 1 1 z i i    ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 2. 已知集合    1 2 0A x x x    ，   ln 1 1B x x   ，则（ ） A. A B B B. A B B  C.    1, 1RA B e   ð D.  R A B R ð 【答案】C 3. 在 ABC 中，若 1 2DB BC  ，则 AD  （ ） A. 3 2 2 3AB AC  B. 1 1 2 2AB AC  C. 3 1 2 2AB AC  D. 2 1 3 2AB AC  【答案】C 4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.哥德巴赫猜想如下：每个大于 2 的偶 数都可以表示为两个素数的和，如 20 7 13  ，在不超过 20 的素数中，随机选取 2 个不同的数，则这 2 个 数的和是奇数的概率是（ ） A. 3 14 B. 1 4 C. 3 8 D. 5 14 【答案】B 5. 若 3 n x x     展开式中所有项的系数和为 64，则展开式中第三项为（ ） A. 135 B. -540 C. 540 D. 135x 【答案】D 6. 过抛物线  2 2 0y px p  的焦点 F 作直线与抛物线交于 A ， B 两点，与抛物线的准线交于点 P ，且 2AP AF  ， 2BF  ，则 p  （ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 7. 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在半径为 R 的球面上，且 3BAC   ， 2BC  ，若三棱锥 P ABC 体积的最大值为 3 2 R ，则该球的表面积为（ ） A. 64 9  B. 32 9  C. 64 27  D. 16 9  【答案】A 8. 丹麦数学家琴生(Jensen)是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面 留下了很多宝贵的成果.设函数 ( )f x 在 ,a b 上的导函数为 ( )f x ， ( )f x 在 ,a b 上的导函数为 ( )f x ，若 在 ,a b 上 ( ) 0f x  恒成立，则称函数 ( )f x 在 ,a b 上为“凹函数”.已知 ( ) (ln ) xef x t x xx    在 0,2 上为“凹函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A.  , 1  B.  , e  C.  ,e  D.  1,  【答案】C 二､多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 若 p 是 q的充分不必要条件， q是 s 的必要条件，t 是 q的必要条件，t 是 s 的充分条件，则（ ） A. t 是 p 的必要不充分条件 B. t 是 q的充要条件 C. p 是 s 的充要条件 D. q是 s 的充要条件 【答案】ABD 10. 已知函数 1 , 0( ) , 0 x x e xf x xe x     ，若关于 x 的方程 ( )f x a 有且仅有一个实数解，且幂函数 ( ) ag x x 在  0,  上单调递增，则实数 a 的取值可能是（ ） A. 1 B. 1 e C. 2 D. e 【答案】AD 11. 日本导演竹内亮拍摄的记录片《后疫情时代》是继《南京抗疫现场》､《好久不见，武汉》之后，又一 部以中国抗疫为主题的记录片力作.该片以南京马拉松比赛､无人配送､网络直播等为切入点，真实记录了中 国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先 恢复增长，成为世界经济体中的亮点”.片中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网 上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效益.2020 年全年总收入与 2019 年全年总收入相比增 长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该公司这两年不同运 营成本占全年总成本的比例.已知该公司这两年的年利润率相同，注：年利润率=(全年总收入-全年总成本)/ 全年总收入. 下列说法错误的是（ ） A. 该公司 2020 年原材料费用等于 2019 年工资金额与研发费用的总和 B. 该公司 2020 年研发费用是 2019 年工资金额､原材料费用､其他费用三项的总和 C. 该公司 2020 年其他费用占 2019 年工资金额的 1 4 D. 该公司 2020 年设备费用是 2019 年原材料费用的两倍 【答案】ACD 12. 如图，矩形 BDEF 所在平面与正方形 ABCD 所在平面互相垂直， 2AD DE  ，G 为线段 AE 上的 动点，则（ ） A. AE CF B. 多面体 ABCDEF 的体积为 8 3 C. 若G 为线段 AE 的中点，则 //GB 平面CEF D. 2 2BG CG 的最小值为 11 【答案】ACD 三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 写出一个圆心在直线3 4 0x y  上，且与 x 轴相切的圆的标准方程：___________. 【答案】   2 24 3 9x y    (答案不唯一) 14. 已知偶函数   cos cos 0, 0,6 3 2f x x x                                的最小正周期为 ，则  ___________；  ___________. 【答案】 (1). 1 (2). 5 12  15. 若函数  2 2 2( ) log 3 2f x x ax a   的单调递减区间是 2,a ，则 a ___________. 【答案】0 或 1 16. 已知双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左､右焦点分别为 1F ， 2F ，过 1F 作直线分别与双曲线C 及 其一条渐近线交于 A ， B 两点，且 1BA AF  ，若 1 2BF F△ 是等腰三角形，且 1 2 cAF  ，则双曲线C 的离 心率为___________. 【答案】 2 6 3 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 在正项数列 na 中， 1 1a  ， 2 2a  ，且 1 1 1 1 ( 2)n n n n n n n n a a a a na a a a         . （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 1 3 n na a       的前 n 项和 nS . 【答案】（1） 3 2na n  ；（2） 3 1 1nS n   . 18. 在 ABC 中， 90ACB   ， 30ABC  ， 2AC  ， D 为 BC 的中点， E 在线段 AB 上. （1）若 BDE 的面积为 3 4 ，求 cos CED ； （2）当 CDE△ 的周长最小时，求 AE BE . 【答案】（1） 5 7 14 ；（2）1. 19. 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是等腰梯形， 1AB BC  ， 2AD  ，四边形 ADEF 是直角梯形，且 1AF  ， 2DE  ， AF AD ， //AF DE ，平面 ABCD  平面 ADEF . （1）证明：平面 BDE  平面 ABE . （2）线段 EF 上是否存在一点 P ，使平面 PAB 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值为 3 4 ？若存在，请说 明 P 点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， P 为 EF 的中点. 20. 2021 年 3 月 24 日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部 发言人 25 日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了 100 名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的 100 名群众的年龄频率分布直方图如图所示. （1）求这 100 名受访群众年龄的平均数 x 和方差 2s (同一组数据用该区间的中点值代替). （2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄 X 服从正态分布  2,N   ，其中  近似为 x ， 2 近 似为 2s . ①求  33.2 46.6P X  ； ②从年龄在 45,55 ， 65,75 的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出 7 人参加访谈节目录制，再从这 7 人中随机抽出 3 人作为代表发言，设这 3 位发言人的年龄落在 45,55 内的人数为Y ，求变量Y 的分布列 和数学期望. 参考数据：取 180 13.4 ，若  2~ ,X N   ，则   0.6827P X        ，  2 2 0.9545P X        . 【答案】（1） 60x  ， 2 180s  ；（2）① 0.1359 ；②分布列答案见解析，数学期望： 9 7 . 21. 如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另 一个焦点.已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左､右焦点分别为 1F ， 2F ，左､右顶点分别为 A ， B ，一 光线从点  1 1,0F  射出经椭圆C 上 P 点反射，法线(与椭圆C 在 P 处的切线垂直的直线)与 x 轴交于点Q ， 已知 1 1PF  ， 1 1 2FQ  . （1）求椭圆C 的方程. （2）过 2F 的直线与椭圆C 交于 M ，N 两点(均不与 A ，B 重合)，直线 MB 与直线 4x  交于G 点，证明： A ， N ，G 三点共线. 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2）证明见解析. 22. 已知函数 2( ) 2ln 3f x x ax x    . （1）讨论 ( )f x 的单调性. （2）若对任意的  1,2a ，总存在 1x ， 2x ，使得    1 2 0f x f x  ，证明： 1 2 4x x  . 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.