安徽省五校联盟2021届高三下学期第二次联考文科数学试题 解析版

颍上一中 涡阳一中 蒙城一中 怀远一中 2021 届高三 “五校联盟”第二次联考文科数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合  2 6A x x   N ，  2log ( 1) 2B x x   ，则 A B  （ ） A. {2,3,4,5} B. { 2 5}x x ∣ C. {3,4} D. {3,4,5} 【答案】C 2. 已知 aR ，若   2 2ai a i  为纯虚数（i 为虚数单位），则 a 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 2 【答案】A 3. 某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的 1000 名学生编号：1 到 1000， 再用系统抽样的方法随机抽取 50 位同学了解他们的学习状况，若编号为 253 的同学被抽到，则下列几个编 号中，可能被抽到的是 （ ） A. 83 B. 343 C. 103 D. 213 【答案】D 4. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷（qūn）盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了 由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 2h1 L36V  ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周 率π近似取为 3，那么近似公式 2h1 L38V  ，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A. 25 8 B. 37 12 C. 19 6 D. 76 25 【答案】C 5. 已知平面向量 1e  ， 2e  ，满足 1 22 5e e   ，设向量 1 2a e e    ，向量 1 23b e e    ，则| |a b   （ ） A. 2 B. 2 C. 5 D. 2 5 【答案】D 6. 已知 1 37a   ， 7 7log 2 2log 3b   ， 1 21 7c      ，则下列关系正确的是 （ ） A. a b c  B. b a c  C. c b a  D. b c a  【答案】D 7. 在数列 na 中， 1 1 2a  且  12 n nn a na  ，则它的前 30 项和 30S  （ ） A. 30 31 B. 29 30 C. 28 29 D. 19 29 【答案】A 8. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与直线 1 3y x 重合，则1 cos2 sin 22    的值为 （ ） A. 3 2 B. 1 5 C. 3 2  D. 1 5  【答案】A 9. “开车不喝酒，喝酒不开车．”公安部交通管理局下发《关于 2019 年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意 见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆 驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤 酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，且该图表示的函数模型   0.5 40sin 13,0 23 90 14, 2x x xf x e x                 ，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）小时才可以驾车？（参考数 据： ln15 2.71 ， ln30 3.40 ） 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒后驾车 20 ， 80 醉酒后驾车 80 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 10. 圆 2 2: 10 0C x y y   上有且仅有三点到双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yE a ba b     一条渐近线的距离为 2 ，双曲线的焦距为10，则下列说法错误的是 （ ） A. 双曲线 E 的离心率为 5 3 B. 直线 4: 13l y x  与双曲线 E 的两支各有一个交点 C. 双曲线 E 与双曲线 2 2 116 9 y x  有相同的渐近线 D. 过点  1,2P 至少能作两条直线与双曲线 E 仅有一个交点 【答案】B 11. ABC 中，sin( ) sin sinA B C B   ，D 是边 BC 上的一个三等分点（靠近 B 点）， 1BD  ，O 为 ABC 外接圆的圆心，则 OD 的长为（ ） A. 3 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 【答案】B 12. 将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥.建立适当的 坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为 ( ) cosh xf x a a  ，其中 a 为悬链线系数，cosh x 为双曲余弦函数， 其函数表达式为 e ecosh 2 x x x  ，相应地双曲正弦函数表达式为 e esinh 2 x x x  .若直线 x m 与双曲余弦 函数 1C 和双曲正弦函数 2C 分别相交于点 A，B，曲线 1C 在点 A 处的切线与曲线 2C 在点 B 处的切线相交于 点 P，则下列说法正确的个数 （ ） ① sinh coshy x x  是奇函数；② cosh( ) cosh cosh sinh sinhx y x y x y     ；③ PAB△ 的面积随 m 的 增大而减小；④ BP 随 m 的减小而增大 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若变量 x 、 y 满足线性约束条件 1 0 2 1 0 4 0 x y x y x y            ，则目标函数 2z x y  的最小值___________. 【答案】 5 14. 已知函数 3( 1) 2 1f x x x    ，曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程为____________. 【答案】 2 0x y   15. 已知点  1, 1M  和抛物线 2: 4C x y ，过C 的焦点且斜率为 k 的直线 l 与C 交于 A 、B 两点，N 为 AB 的中点，且 2 MN AB ，则 k 的值为__________. 【答案】 1 2 16. 已知 ABC 为等腰直角三角形， 2A  ，D 为 BC 中点，现将 ABC 沿 AD 翻折，使得 2 3BDC   ， 已知三棱锥 A BCD 的体积为 4 6 3 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为___________. 【答案】 40 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 数列 na 中， nS 是 na 的前 n 项和， 2 1n nS a  ， nb 是等差数列 2 6 4b b a  ， 5 4 62a b b  ， （1）求 na 和 nb 的通项公式； （2）设 n n nc b S  求 nc 的前 n 项和 nT . 【答案】（1） 12n na -= ， nb n ；（2） 1 ( 1)( 1)2 2 2 n n n nT n      . 18. 网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了 100 名市民，统计了不同年龄的 人群网购的人数如下表： 年龄段（岁） （0，20） ［20，40） ［40，60） ［60，100） 网购人数 26 32 34 8 男性人数 15 10 10 5 （1）若把年龄在［20，60）的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的 2×2 列联表， 并判断能否有 99％把握认为网购与性别有关？ 网购迷 非网购迷 总计 男性 女性 总计 （2）若从年龄小于 40 岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从中抽取两人，求两人年龄都小于 20 岁的概率. 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d       2 0P K k… 0.10 0.05 0.01 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2） 3 10 . 19. 如图，在三棱锥 P ABC 中， 3AB BC  ， 3 2PA PB PC AC    ，O 为 AC 中点. （1）证明： PO  平面 ABC （2）若点 M 在棱 BC 上，且 2 3MC CB ，求点 C 到平面 POM 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 10 5 . 20. 已知函数   ln 1af x x x    . （1）若函数  f x 在 1,e 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）讨论函数  f x 零点的个数. 【答案】（1） ,1 ；（2）答案见解析. 21. A，B 为椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左右顶点，| | 4AB  ，E 为椭圆 C 上任意一点（异于左右顶点）， 设 AE，BE 的斜率分别为 k1 和 k2， 1 2 3 4k k   ， （1）求椭圆 C 的方程； （2）设动直线 :l y kx m  与椭圆 C 有且只有一个公共点 P，且与直线 4x   相交于点 Q，试探究：在坐 标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明 理由. 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2）存在， ( 1,0)M  . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 选修 4—4：坐标系与参数方程 22. 已知曲线C 的极坐标方程是 4cos  .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是: 2 2  2 2 x m t y t      （t 是参数）.  1 若直线l 与曲线C 相交于 A 、 B 两点，且 14AB  ，试求实数 m 值.  2 设  ,M x y 为曲线C 上任意一点，求 x y 的取值范围. 【答案】  1 1m  或 3m  ； 2 2 2 2,2 2 2    . 选修 4—5：不等式选讲 23. 已知函数   2 1 1f x x x    . （1）求不等式   2f x  的解集； （2）若关于 x 的不等式   2 2 af x a  有解，求 a 的取值范围. 【答案】（1） 2 ,43     ；（2） 1,3 .