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江苏省南通学科基地 2021 届高三高考数学全真模拟试卷（二）
（满分：150 分，考试时间：120 分钟）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 若集合 }4|{},,3|{ 2 xxBNxxxA 且 ，则 BA （ ）
A. }2|{ xx B. }1{ C. }1,1{ D. }1,0{
【答案】D
2. 若复数 z 满足 iiz )2( ，其中 i 为虚数单位，则复数 z （ ）
A. i5
2
5
1 B. i5
2
5
1 C. i5
2
5
1 D. i5
2
5
1
【答案】B
3. 已知 bacba ,3
1log,2 2
5.0 ，则 cba ,, 的大小关系为（ ）
（ ）
A. bac B. abc C. bca D. cba
【答案】C
4. 八音是我国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类，每类又包括若干种乐器，
现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“士”包括“缶、埙”2 种乐器；“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4 种乐器；“竹”
包括“箭、笛、竿”3 种乐器，现从这三类乐器中各选 1 种乐器分配给甲、乙、丙三名同学演奏，则不同的分
配方案有（ ）
A. 24 种 B.72 种 C. 144 种 D. 288 种
【答案】C
5. 如图，点 C 在半径为 2 的 AB 上运动，∠AOB= 3
若 OBnOAmOC ，则 nm 的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C.
3
32 D. 3
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【答案】C
6. 已知 21, FF 分别为双曲线 154
22
yx 的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点，满足 21 MFMF ，则
△ 21MFF 的面积为（ ）
A. 5 B.10 C. 14 D. 142
【答案】A
7. 人的眼皮单双是由遗传基因决定的，其中显性基因记作 A，隐性基因记作 a.成对的基因中，只要出现了
显性基因，就一定是双眼皮，也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是 AA，aA 或 Aa”人的卷舌与平舌
（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用 B，b 表示显性基因、隐性基因，基因对中只要
出现了显性基因 B，就一定是卷舌的生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰，若有一对夫
妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是 AaBb，不考虑基因突变，那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的
概率为（ ）
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A. 16
1 B.16
3 C.16
7 D.16
9
【答案】D
8. 已知函数 )(xf 满足 )()( xfxf ，当 0x 时， xxxf 23)( ，则不等式 13)2( xf 的解集为（ ）
A. ),4()0,( B. )4,0( C. )2,0( D. ),2()0,(
【答案】B
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全
部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9. 为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活
动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等
高条形统计图，则下列说法中正确的有（ ）
附：
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadn
，其中 dcban .
A.被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
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B.被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C.若被调查的男女生均为 100 人，则有 99%的把握认为喜欢登山和性别有关
D.无论被调查的男女生人数为多少，都有 99%的把握认为喜欢登山和性别有关
【答案】AC
10. 已知函数 )0)(3sin()( xxf 在 ],0[ 上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（ ）
A.在 ),0( 上存在 21, xx ，使得 2|)()(| 21 xfxf
B. 的取值花围为 )3
10,3
7[
C. )(xf 在 )4,0( 上单调递增
D. )(xf 在 ),0( 上有且只有一个最大值点
【答案】ABC
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11. 如图，在直四棱柱 1111 DCBAABCD 中，四边形 ABCD 为正方形， ABAA 21 ，P 为面对角线 CB1 上
的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）
A. 1BD 平面 DCA 11
B. CB1 与 11CA 所成角的余弦值为
10
10
C.三棱锥 11DCAP 的体积为定值
D.平面 11AABB 内存在与 11DAC 和底面 ABCD 交线平行
【答案】BC
12. 关于曲线 yxyxC ||1: 22 ，下列说法中正确的有（ ）
A.曲线 C 关于 y 轴对称
B.曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2
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C.曲线 C 恰好经过 6 个整点
D.曲线 C 在直线 1x 和 1y 所围成的正方形区域内（包括边界）
【答案】ABC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 若
3
1)4sin( ，则 2sin .
【答案】 7
9
14. 2020 年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.根据中央对精准扶贫的要
求，某市决定派 5 名党员和 3 名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医
护人员各 1 名，则不同的分派方案共有 种.
【答案】900
15. 已知半径为 5 的球面上有 P，A，B，C 四点，满足∠ACB=90°，AC=7， 15BC ，则球心 O 到平面
ABC 的距离为 （2 分），三棱锥 P-ABC 体积的最大值为 （3 分）.
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【答案】 28 15
3
16. 已知 F 为抛物线 xy 22 的焦点， )2,(aA ，点 P 在抛物线上且满足 PF=PA.若这样的点 P 有且只有一
个，则实数 a 的值为 .
【答案】 1
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）
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在① 4, 2411 abab ,② 2211 3, abab ，③ 3,1 2211 abab 这三个条件中任选一个，补充到下
面的问题中并作答.
问题：已知数列 }{ na 满足 2
3
3
2
21
2222 naaaa
n
n ，数列 }{ nb 为等比数列，且 ， nS 为数列
}{
n
n
b
a 的前 n 项和.是否存在正整数 k，使得 2020kS 成立？若存在，求出 k 的最小值；若不存在，请说明
理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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18.（本小题满分 12 分）
已知函数 )30(2
3)3cos(sin2)( xxxf 在
12
x 处取得最大值.
（1）求函数 )(xf 的最小正周期；
（2）若△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2,2cos,2
1)( cacCbAf .求 a.
19.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 APB⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 直梯形，AB//CD，AB⊥BC，∠ABP=30°，
AP=BC=CD=1,AB=2.
（1）求证：AP⊥CP；
（2）求二面角 B-PC-D 的余弦值.
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20.（本小题满分 12 分）
网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货
或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据 2019 年中国消
费者信息研究，超过 40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越
来越多的消费者也首次通过第三方 APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了
2020 年 8 月 5 日至 9 日这 5 天到该专营店购物的人数 iy 和时间第 ix 天间的数据，列表如下：
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数 y 与时间 x 之间的关系？若可用，估计 8 月 10 日到
该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若 75.0|| r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型
拟合，计算 r 时精确到 0.01）.
参考数据： 88.654340 .
附：相关系数
2
1
_
2
1
_
_
1
_
)()(
))((
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
yyxx
yyxx
r ,回归直线方程的斜率 xbya
xx
yyxx
b n
i
i
i
n
i
i
截距,
)(
))((
2
1
_
_
1
_
（2）运用分层抽样的方法从第 1 天和第 5 天到该专营店购物的人中随机抽取 7 人，再从这 7 人中任取 3 人
进行奖励，求这 3 人取自不同天的概率.
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满 100 元可减 10 元；方案二，一
次性购物金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为
3
1 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 9 折，
中奖两次打 8 折，中奖三次打 6 折.某顾客计划在此专营店购买 1000 元的商品，请从实际付款金额的数学期
望的角度分析选哪种方案更优惠.
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21.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 )0,0(1: 2
2
2
2
bab
y
a
xC 的左、右焦点分别为 21, FF ，A 为椭圆 C 上一点△ 21FAF 的周长为
324 ， 21AFF 最大时的余弦值为
2
1 .
（1）求椭圆 C 的方程；
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（2）若 B 和 A 为 x 轴同侧的两点，且 1801221 FBFFAF ，求四边形 BFAF 21 面积的最大值及此时
直线 1AF 的方程.
22.（本小题满分 12 分）
已知函数 axxxf 1ln)( .
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（1）当 a>0 时，讨论函数 )1(2)()( 2 xax
axafxF 在（0，2）上的单调性；
（2）当 )2ln,0(a 时，求证：函数 )()( xfexg x （e 为自然对数的底数）存在唯一极值点 0x .且 0)( 0 xg .
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