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精选 09 导数及其应用（选择与填空）
1．导数运算及切线的理解应注意的问题：
（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
（2）直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一
定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公
共点．
2．解答比较函数值大小问题，常见的思路：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答．
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用．
3．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中
画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
4．恒（能）成立问题的解法：
若 ( )f x 在区间 D 上有最值，则
（1）恒成立： min, 0 0x D f x f x ； max, 0 0x D f x f x ；
（2）能成立： max, 0 0x D f x f x ； min, 0 0x D f x f x ．
若能分离常数，即将问题转化为 a f x （或 a f x ），则
（1）恒成立： maxa f x a f x ； mina f x a f x ；
（2）能成立： mina f x a f x ； maxa f x a f x ．
一、单选题
1．曲线 sin cosy x x 在 0x 处的切线的倾斜角是
A．
4
B．
4
C．
6
D．
3
【答案】B
【解析】因为 sin cosy x x ，所以 cos siny x x ，所以 0 cos0 1xy ，
所以曲线 sin cosy x x 在 0x 处的切线的倾斜角是
4
，故选 B.
2．已知函数 31 23f x x x ，则曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线的斜率是
A． 3
3
B．1
C． 3 D． 1
【答案】D
【解析】设切线的斜率为 k ，由 31 23f x x x ，则 2 2f x x ，
则有 1 1k f ．故选 D．
3．若函数 1( ) lnf x x ax x
在 1, 上是单调减函数，则 a 的取值范围是
A． 1, 4
B． 1, 4
C． 1, 2
D． 1, 2
【答案】A
【解析】由题意得， ( )f x 2
1 1ax x
，
因为 1lnf x x ax x
在[1，+∞）上是单调减函数，
所以 ( )f x ≤0 在[1，+∞）上恒成立，
当 ( )f x ≤0 时，则 2
1 1 0ax x
在[1，+∞）上恒成立，
即 a 2
1 1
x x
，设 g（x） 2
2
1 1 1 1 1( )2 4x x x
，
因为 x∈[1，+∞），所以 1
x
∈（0，1]，
3
当 1 1
2x
时，g（x）取到最大值是 1
4
，所以 a 1
4
，
所以数 a 的取值范围是（﹣∞， 1
4
]故选 A
【名师点睛】根据求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，将问题转化为恒成立问题，
利用分离常数法，求函数值域，属于中档题．
4．函数 2( ) 2 lnf x x x 的单调递减区间是
A． 1 1( , )2 2
B． 1( , )2
C． 1(0, )2 D． 1 1, ,2 2
【答案】C
【解析】因为函数 2( ) 2 lnf x x x ，
所以 2
1 141 4 1 2 2( ) 4
x xxf x x x x x
，
由 ( ) 0f x ，解得 10 2x ，所以函数的单调递减区间是 10, 2
，故选 C
5．对任意的 x∈R，函数 f(x)＝x3＋ax2＋7ax 不存在极值点的充要条件是
A．0≤a≤21 B．a＝0 或 a＝21
C．a21 D．0 时， 0g m ， g m 单增；
当 1m 时， 0g m ， g m 单减；
所以当 1m= ， g m 取得最小值 2
1 11 =ln1 =01 1g ，即 k b 的最小值为 0．故选 B
27．已知函数 f x 的定义域为 R ，且 2 xf x f x xe ，若 0 1f ，则函数
f x
f x
的取值范围为
17
A． 2,0 B． 1,0
C． 0,1 D． 0,2
【答案】A
【解析】由 2 xf x f x xe 得 2x xe f x e f x x ，即 2xe f x x ，
令 xg x e f x ，则 2g x x ， 2g x x C （C 为常数），
2 xx C e f x ，
2
x
x Cf x e
，又 0 1f ， 1C ，
2 1
x
xf x e
，则
22 1
x
x xf x e
，
2
2 2
2 1 2 11 1
f x x x x
f x x x
；当 0x 时，
1f x
f x
；
当 0x 时，
2 11
f x
f x x x
， 1 , 2 2,x x
，
1 1 1,0 0,1 2 2x x
，则 2 1 2, 1 1,01x x
，
即
2, 1 1,0f x
f x
；综上所述：
2,0f x
f x
．故选 A．
【名师点睛】本题考查导数在函数中的应用问题，解题关键是能够根据已知等式构造出函数
g x ，从而利用 2g x x 构造出等量关系求得 f x 的解析式．
28．若存在一个实数 t，使得 F（t）＝t 成立，则称 t 为函数 F（x）的一个不动点，设函数 g
（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a（a∈R），定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（﹣x）+f（x）＝x2，
且当 x≤0 时，f′（x）＜x．若存在 x0∈{x|f（x）≥f（1﹣x）+x}，且 x0 为函数 g（x）的一个不
动点，则实数 a 的取值范围为
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．[0，+∞）
C．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞） D．R
【答案】C
【解析】因为函数 f（x）满足 f（﹣x）+f（x）＝x2，且当 x≤0 时，f′（x）＜x．
不妨令 f（x）＝ 1
2 x2﹣x，
则 f（x）+ 1
2 ≥f（1﹣x）+x 可化为 1
2 x2﹣x+ 1
2 ≥ 1
2
（1﹣x）2﹣（1﹣x）+x，解得 x 1
2
，
即 g（x）＝x2+（1﹣a）x﹣a＝x 存在不大于 1
2
的不动点，即
2
1
x
x
＝a 存在不大于 1
2
的解，
令 h（x）＝
2
1
x
x
，则 h′（x）＝
2
2
2
( 1)
x x
x
，
当 x＜﹣2 时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当﹣2＜x＜﹣1 时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当﹣1＜x＜0 时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当 0＜x＜ 1
2
时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
由 h（﹣2）＝﹣4，h（0）＝0，故 h（x）∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞），
即 a∈（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）故选 C．
【名师点睛】理解题中定义，通过构造函数利用导数进行求解是解题的关键．
29 ． 已 知 函 数
2
( 1)( )
8 6( 1)
xe e xf x x
ax x x
是 定 义 在 R 上 的 单 调 递 增 函 数 ，
1( ) ( ln 1)e eg x x a x x e ，当 1x 时， ( ) ( )f x g x 恒成立，则 a 的取值范围是
A． 4,0 B． 4, 2
C． 4, e D． , 2e
【答案】C
【解析】令
xek x ex
，则
2
1 0
x xek x x
，所以 k x 在[1, ) 上递增，
因为函数
2
( 1)
8 6( 1)
xe e xf x x
ax x x
是定义在 R 上的单调递增函数，所以
0
4 1
2 0
a
a
a
，
解得 4 2a ．又当 1x 时， ( ) ( )f x g x 恒成立，
即 1( ln 1)
x
e ee e x a x x ex
，即 ln 1e xa x x e x ，
19
当 1x 时， 2 0e ，显然成立；
当 1x 时，化简可得
ln ln1 1 1
ln ln ln
ee x x x x e xx e x e e x e xa x x x
．
令 1xh x e x ，则 1xh x e ，当 0x 时， 0h x ，当 0x 时， 0h x ，
所以当 0x 时， h x 取得最小值 0，所以 1 0xh x e x ，即 1xe x ，
所以
ln 1 ln 1 1
ln ln
x xe x x e x x ex x
，当且仅当 ln 0x e x ，
即 x e 时等号成立，所以 a e ．综上可知 4 a e ．故选 C．
30．曲线 sin 1( 0)x
xy xe
的一条切线的斜率为 1，则该切线的方程为
A． 1y x B． y x
C． 1y x D． 2y x
【答案】C
【解析】由题得 2
cos sin cos sinx x
xx
x e x e x xy ee
，设切点为 0 0,x y ，
则
00
0 0cos sin
xx x
x xy e
，而
0
1( 0)x xy x ，则 0
0 0cos sinxe x x ，
令 ( ) cos sinxf x e x x ，则 ( ) sin cos 2 sin( )4
x xf x e x x e x ，
02x xe e a ，即证 1 2+ >2a axx a ，
因为 >a e ，所以需证 1 2+ >2x x ．
令 xax e ，则
xea x
，令
xeg x x
，
则点 A、B 是 y a 与 ex
y x
的两个交点，令 2 0 1G x g x g x x ，
所以 2
'
2
21
2
x xe
x x
x eG x
，令 2 >0
xe
xh x x ，则 '
3
2xe xh xx
，
所以当 0,2x 时， ' 0h x ， h x 单调递减，
而 0 1x ， 0 1 2 2x x ，所以 > 2h x h x ，
所以 0 1x 时， ' 0G x ，所以 G x 单调递减，所以 > 1 0G x G ，
即 1 12 >0g x g x ，又 1 2g x g x a ，所以 2 1> 2g x g x ，
而
2
' 1 xxg e
xx
，所以当 >1x 时， ' >0g x ， g x 单调递增，
又 2 >1x ， 12 >1x ，所以 2 1>2x x ，即 1 2+ >2x x ，故 C 正确；
对于 D：设直线 AM 交 x 轴于 C，直线 BM 交 x 轴于点 D，作 ME x 轴于点 E．若
135AMB ，则 45AMD ，即 45MDE MCD ，
所以 tan tantan 11 tan tan 1
BM AM
AM BM
k kMDE MCDMDE MCD + MDE MCD +k k
，
化简得 1BM AM AM BMk k +k k ，即 2 1 1 2 1 211x x x x x +xe e e e ++ e ，
所以 2 1 1 21ax ax +ax ax ，即 2 1 1 2 1a x x x x ，
令 2 1 1 2m x x x x ，则 2 1 1 2 1 21 1 1m x x x x x x + + ，
又 1 20 1x x ，所以 2 1 1 2 1 21 1 1 1m x x x x x x + + > ，
而 a e ，所以方程 2 1 1 2 1a x x x x 无解，
所以不存在 a ，使得 135AMB ，故 D 不正确，故选 ABC．
【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，
常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式
45
证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
55．已知函数 ln xf x x
，则．
A． 2 5f f
B．若 f x m 有两个不相等的实根 1x 、 2x ，则 2
1 2x x e
C． 2ln 2 e
D．若 2 3x y ， x ， y 均为正数，则 2 3x y
【答案】AD
【解析】 对于 A： 51 2 ln52 ln 2, 5 ln 52 5
nf f ，
又 10 52 2 32 ， 105 5 25 ，32 25 ，所以 52 5 ，
则有 2 5f f ，A 正确；
对于 B：若 f x m 有两个不相等的实根 1x 、 2x ，则 2
1 2x x e ，故 B 不正确；
证明如下：函数 ln xf x x
，定义域为 0, ，则 2
1 ln' xf x x
，
当 ' 0f x 时， 0 x e ；当 ' 0f x 时， x e ；，
所以 f x 在 0,e 上单调递增，在 ,e 上单调递减，则 max
1f x e
且 x e 时，
有 0f x ，所以 若 f x m 有两个不相等的实根 1x 、 2x ，有 10 m e
，
不妨设 1x 2x ，有 10 x e 2x ，要证 2
1 2x x e ，只需证
2
2
1
ex x
，且
2
2
1
ex ex
，
又 1 2f x f x ，所以只需证
2
1
1
ef x f x
，令
2eF x f x f x
(0 )x e
则有
2
2 2 4
1 1 1' ' ' 1 lneF x f x f xx x x e
当 0 x e 时，1 ln 0x ， 2 4
1 1 0x e
，所以有 ' 0F x ，即 F x 在 (0, )e 上单调
递增，且 0F e ，所以 0F x 恒成立，即
2
1
1
ef x f x
，即
2
2
1
ef x f x
，即
2
1 2x x e ．
对于 C：由 B 可知， f x 在 0,e 上单调递增，则有 2f f e ，即1 2 ln
2
n e
e
，则有
2 2ln 2 e e
，故 C 不正确；
对 于 D ： 令 2 3x y m ， x ， y 均 为 正 数 ， 则 1m > ， 解 得 2
lnlog ln 2
mx m ，
3
lnlog ln3
my m ， 2ln 3ln 2 3lnln 2 ln3 ln 2 l2 n33 m mx my
，
由 B 可知， f x 在 0,e 上单调递增，则有 2 3f f ，即 ln 2 ln30 2 3
，
即 2 3
ln 2 ln 3
，所以 2 3 0x y ，故 D 正确．故选 AD．
三、填空题
56 ． 若 函 数 21( ) ln2f x x x a x 有 两 个 不 同 的 极 值 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
___________．
【答案】(0， 1
4 )
【解析】因为函数 21( ) ln2f x x x a x 有两个不同的极值点，
所以
2
' ( ) 1 0a x x af x x x x
在 (0, ) 有 2 个不同的零点，
所以方程 2 0x x a 在 (0, ) 上有两个不同的实根，
所以 1 4 0
0
a
a
，解得 10 4a ，
故答案为(0， 1
4 )
57 ． 若 函 数 2 lnxf x x e m x 在 点 1, 1f 处 的 切 线 过 点 0,0 ， 则 实 数
m ___________．
【答案】 2e
【解析】函数 2 lnxf x x e m x ，求导得 2 2 x mf x x x e x
，
47
所以 1 , 1 3f e f e m ，
所以函数 2 lnxf x x e m x 在点 1, 1f 处的切线方程为 3 1y e e m x ，
因为切线过点 0,0 ，所以 0 3 0 1e e m ，解得 2m e ．
故答案为 2e
【名师点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题．
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是
曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之
积．
58．已知函数 f(x)=xex﹣1，则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为___________．
【答案】y=2x﹣1
【解析】f′(x)=xex﹣1+ex﹣1，f′（1）=2，f（1）=1，故切线方程是 y﹣1=2(x﹣1)，
即 y=2x﹣1；故答案为 y=2x﹣1．
59．曲线 2 2 2x xy e 在点 0,3 处的切线方程为___________．
【答案】 2 3 0x y
【解析】 2 2 2 2x xy e x ，所以 0
0 2 2xy e ，
所以点 0,3 处的切线方程为 3 2 0y x ，即 2 3 0x y ．
故答案为 2 3 0x y
60．已知函数 g x 满足 1 211 e 0 2
xg x g g x x ，且存在正实数 0x 使得不等式
02 1m g x 成立，则 m 的取值范围为___________．
【答案】 1,
【解析】因为 1 211 e 0 2
xg x g g x x ，所以 11 e 0xg x g xg ，
所以 1 1 0 1g g g ，所以 0 1g ，
因为 10 1 eg g ，所以 e1g ，
因此 21e 2
x xg x x ， e 1x xg x ，
所以 e 1 0xg x ，当 0x 时， 0 0g x g ，
所以函数 g x 在区间 0, 上单调递增， 0 1g x g ，
由题意知 min2 1m g x ，即 2 1 1m ，所以 1m > ．
m 的取值范围为 1, ．故答案为 1,
【名师点睛】本题考查导数的运算，利用导数研究不等式能成立问题，考查运算求解能力，
化归转化思想，是中档题．本题解题的关键在于将问题转化为 min2 1 , 0xm g x ，进
而研究函数 g x 在区间 0, 的单调性，求最小值即可．
61 ． 已 知 函 数 2( ) 4 ( 2)cos sinf x x x x x x 在 x a 处 取 得 最 小 值 m ， 则
m a ___________．
【答案】 2 sin 2
【解析】因为 2 4 cos 2 sin cos 2 2 sinf x x x x x x x x ，
且 2 sin 0x ，
当 ,2x 时， 0f x ， f x 单调递减，
当 2,x 时， 0f x ， f x 单调递增，
所以 f x 在 2x 处取最小值 2 4 sin 2f ，所以 2, 4 sin 2a m ，
所以 2 sin 2m a ，
故答案为 2 sin 2 ．
【名师点睛】解答本题的关键在于对于导函数 f x 的化简，通过对 f x 进行因式分解
并结合三角函数的有界性能高效分析出 f x 的单调性和最值．
62．设函数 23 2( ) , ( )1
xxf x g x xex
(e 是自然对数的底数)，若 1 ( 1, )x ，使得
2 ( ,ln2]x ， 不 等 式 2
2 14mg x m f x 恒 成 立 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
___________．
49
【答案】 1( , 8ln2) ,e
【解析】 3 2 2( 1) 5 5( ) 21 1 1
x xf x x x x
，当 ( 1, )x 时， ( ) 2f x ，
由 2( ) xg x xe ，得 ' 2 2 2( ) 2 (2 1)x x xg x e xe e x ，
令 ' ( ) 0g x ，得 1
2x ，
当 1
2x 时， ' ( ) 0g x ，当 1
2x 时， ' ( ) 0g x ，
所以 2( ) xg x xe 在 1( , )2
上单调递减，在 1( , )2
上单调递增，
所以 min
1 1( ) ( )2 2g x g e
，
所以当 2 ( ,ln2]x 时， 2
1( ) ( ) (ln 2)2g g x g ，即 2
1 ( ) 4ln 22 g xe
因为 1 ( 1, )x ，使得 2 ( ,ln2]x ，不等式 2
2 14mg x m f x 恒成立，
①当 0m 时， 2
1 216 ln 2 4 ( ) 4 ( )2
mm mg x m e e
，
因为 2 2
1( ) 2m f x m ，所以 22 2m me
，
解得 0m （舍去）或 1m e
，
②当 0m 时， 2
216 ln 2 4 ( ) mm mg x e
，
因为 2 2
1( ) 2m f x m ，所以 22 16 ln 2 0m m ，
解得 0m （舍去）或 8ln 2m ，
综上所述， 8ln 2m 或 1m e
所以实数 m 的取值范围是 1( , 8ln2) ,e
，
故答案为 1( , 8ln2) ,e
【名师点睛】此题考查不等式恒成立问题，考查导数的应用，解题的关键是对 1 ( 1, )x ，
使得 2 ( ,ln2]x ，不等式 2
2 14mg x m f x 恒成立，转化为 24 ( )mg x 的最小值大
于 2
1( )m f x 的最小值，然后分 0m 和 0m 两种情况求 24 ( )mg x 和 2
1( )m f x 的最小值即
可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
63．若函数 5mxy e x 有极值点，则实数 m 的取值范围是___________．
【答案】 0m
【解析】因为 5mxy f x e x ，所以 5mxf x me ，
当 0m 时， 5 0mxme ，所以 0f x ，所以 f x 在 R 上单调递增，无极值点；
当 0m 时，令 0f x ，解得
5ln mx m
，
当
5ln
, mx m
时， 0f x ，当
5ln
,mx m
时， 0f x ，此时 f x
有极大值点
5ln mx m
，所以若 5mxy e x 有极值点，则 0m ，
故答案为 0m ．
【名师点睛】解答本题的关键是根据导函数 f x 的函数结构对 m 采用分类讨论的方法，
分类确定 f x 是否具有极值点．
64 ． 已 知 定 义 在 0, 上 的 函 数 0f x ， 且 满 足 2f xf x f x ， 若
1 2f k f ，则实数 k 的取值范围为___________．
【答案】 2
1 1ke e
【解析】设 ( )( ) x
f xg x e
，则 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
x x
x x
f x e f x e f x f xg x e e
，
因为 2f xf x f x ，所以 ( ) ( ) 0f x f x ，所以 ( ) 0g x ，
所以 ( )g x 在 (0, ) 上为增函数，所以 (1) (2)g g ，即 2
(1) (2)f f
e e
，
所以 (1) 1
(2)
f
f e
，即 1k e
，
51
设 2
( )( ) x
f xh x e
，则
2 2
2 2
( ) ( ) 2( ) ( )
x x
x
f x e f x eh x e
2
( ) 2 ( )
x
f x f x
e
，
因为 2f xf x f x ，所以 ( ) 2 ( ) 0f x f x ，所以 ( ) 0h x ，
所以 ( )h x 在 (0, ) 上为减函数，所以 (1) (2)h h ，即 2 4
(1) (2)f f
e e
，
所以 2
(1) 1
(2)
f
f e
，即 2
1k e
．综上所述： 2
1 1ke e
．
故答案为 2
1 1ke e
【名师点睛】构造函数 ( )( ) x
f xg x e
和 2
( )( ) x
f xh x e
求解是解题关键．
65．已知关于 x 的方程
2
2(ln )ln 04
xx ax x e
在 (1, ) 上有四个不同的实数解，则实数
a 的取值范围是___________．
【答案】 1 5, 4e e
【解析】 (1, )x ， ln 0x x ，方程两边同时除以 lnx x 得，2 ln 22 ln
e x x eax e x
，
令 2 lne xt x
， 1 2et at
， 1 ln2 xt e x
，当1 x e 时， 0t ；当 x e 时， 0t ，
则函数 2 lne xt x
在 1,e 上单调递增，在 ,e 上单调递减，
当 x e 时， max
2 ln 2e et e
，由 1x 得出 2 ln 0e x
x
，则 (0,2]t ，
设 1( )g t t t
，
2
2 2
1 1( ) 1 tg t t t
，
当 (0,1)x 时， ( ) 0g t ；当 1,2x 时， ( ) 0g t ，
则函数 ( )g t 在 (0,1) 上单调递减，在 1,2 上单调递增，
5(1) 2, (2) 2g g ，当 0, ( )t g t ，
则当 52 2 2ea ，即 1 5
4ae e
时，对应方程 1 2t eat
有两个解 1 2,t t ， 1 2, (0,2)t t ，
此时 1 2,t t 分别对应两个 x ，故方程
2
2(ln )ln 04
xx ax x e
有四解.
即 1 5, 4a e e
，故答案为 1 5, 4e e
.
【名师点睛】解决本题的关键在于由导数得出 2 lne xt x
的单调性从而得出t 的范围以及图
象，再由导数得出 1( )g t t t
的图象，数形结合得出实数 a 的取值范围．
66．已知定义在 R 上的函数 f x ，其导函数为 f x ，满足 2f x ， 2 4f ，则
不等式 21 2 2xf x x x 的解集为___________．
【答案】 ,0 3, U
【解析】构造函数 2g x f x x ，则 2 0g x f x ，即函数 g x 在 R 上为
增函数，且 2 2 2 2 0g f ．
53
①当 0x 时，由 21 2 2xf x x x 可得 1 2 1f x x ，即 1 2 1 0f x x ，
即 1 0 2g x g ，可得 1 2x ，解得 3x ，此时 0x ；
②当 0x 时，由 21 2 2xf x x x 可得 1 2 1f x x ，即 1 2 1 0f x x ．
即 1 0 2g x g ，可得 1 2x ，解得 3x ，此时 3x ．
综上所述，不等式 21 2 2xf x x x 的解集为 ,0 3, U ．
故答案为 ,0 3, U ．
【名师点睛】利用导数不等式求解函数不等式，思路如下：
（1）根据导数不等式的结构构造原函数 g x ；
（2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数 g x 的单调性；
（3）将所求不等式变形为 g a g b 或 g a g b （偶函数）；
（4）利用函数 g x 的单调性可得出关于 a 、b 的不等式进行求解．
67．已知 0x ， 2( ) xf x x e ， 2( ) 1 lng x m x x ，若 ( ) ( )f x g x 恒成立，则实
数 m 的取值范围是___________．
【答案】 ,e e
【解析】 ( ) ( )f x g x 等价于 2 ln1 ( 0)
xe xm x xx x
恒成立，
设 lnx xx eh x x x
，则
2
2
( 1) 1 lnxe x x x
xh x ，
令 2( ) ( 1) 1 lnxx e x x x ，则 1( ) 2 0xx xe xx
，所以 x 是增函数，
又 1 0 ，则当 0,1x 时， 0x ，即 0h x ，则 h x 单调递减；
当 1,x 时， 0x ，即 0h x ，则 h x 单调递增，
min 1 1h x h e ， 2 1 1m e ，解得 e m e ．
故答案为 ,e e ．
【名师点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是分离参数构造函数，利用导
数求出函数的最值．
68．已知定义在 R 上的可导函数 f x 的导函数为 ( )f x¢ ，满足 f x f x ，且
10 2f ，则不等式 1 e 02
xf x 的解集为___________．
【答案】( )0,+¥
【解析】设
ex
f xg x ，则
2
e e
e e
x x
x x
f x f x f x f xg x
，
因为 f x f x ，所以 0ex
f x f xg x
，故函数 g x 是 R 上的单调递减函
数，因为 10 2f ，所以
0
0 10 e 2
fg ，
则 1 e 02
xf x 可化为 1
e 2x
f x ，即 0g x g ，
根据函数 g x 的单调性，可得 0x ．故不等式 1 e 02
xf x 的解集为( )0,+¥ ．
故答案为( )0,+¥ ．
【名师点睛】本题考查导数的应用，解题的关键是构造函数
ex
f xg x ，利用导数求单
调性，将题中不等式转化为 0g x g ．
69．若曲线 3( ) 2f x x x 在点 P 处的切线与直线 2 0x y 平行，则点 P 的坐标为
___________．
【答案】 ( 1,1)
【解析】设 3
0 0 0, 2P x x x ， 23 2f x x ， 2
0 03 2f x x ，
在点 P 处的切线平行于直线l ： 2 0x y ， '
0 1f x ，即 2
03 2 1x ，解得 0 1x ，
当 0 1x 时， 1, 1P ，则切线方程为 1 1y x ，即 2 0x y ，与l 重合，不合题意；
当 0 1x 时， 1,1P ，则切线方程为 1 1y x ，即 +x y 2 0 ，与l 平行；
55
综上所述： 1,1P ．故答案为 1,1 ．
【名师点睛】本题容易忽视对所得直线是否与给定直线重合进行检验，从而导致增解．
70．已知函数
1
22 2
x
y kx k
的两个零点分别为 1x ， 2x 1 2x x ，函数 f x 是定义
在 R 上 的 单 调 递 增 函 数 ， 若 对 任 意 的 0,x ， 不 等 式
1 2
ln ln 1x xf x f f x fx x
恒成立，则实数 1x 的取值范围是___________．
【答案】 11 ,e
【解析】函数
1
22 2
x
y kx k
的图象关于直线 1
2x 对称，
结合函数 2y kx k ， 1
22
x
y
的图象知两函数有且仅有两个交点，
故函数
1
22 2
x
y kx k
有且仅有两个零点，且 1 2 1x x + ，
则 不 等 式 1 2
ln ln 1x xf x f f x fx x
， 可 化 为
1 1
ln ln1 1x xf x f f x fx x
，
即 1 1
ln ln1 1 1 1x xf x f x f fx x
．设函数 1g x f x f x ，
f x 为 R 上的增函数， 1 0g x f x f x ，
则函数 g x 单调递增，所以 1
ln 1xg x g x
，即 1
ln 1xx x
．
令 ln 1xh x x
，则 2
1 ln xh x x
，
当 0,x e 时， 0h x ；当 ,x e 时， 0h x ，
则 h x 在 0,e 上单调递增，在 ,e 上单调递减， max
11h x h e e
，
1
11 ex ，即 1x 的取值范围为 11 ,e
．
【名师点睛】本题考查根据函数不等式求解参数范围的问题，解题关键是能够根据函数图象
的对称性，将不等式转化为同一函数的函数值之间大小关系的比较，由此构造函数，通过单
调性确定自变量的大小关系．
71．若 0m ，不等式 22 1 ln
0mxx x
me mx
恒成立，则 m 的取值范围是___________．
【答案】 2 ,e
【解析】由 22 1 ln
0mxx x
me mx
得 22 1 ln 1mxx x mx e ，
设 2lnmx t ，则 21 2 1 lnmxmx e t t ， 2 22 1 ln 2 1 lnx x t t ；
令 22 1 lnf x x x ，则 2 2 22 1 4 ln 2 24 ln
x x x xf x x x x x
，
令 2 24 ln 2 2g x x x x ，则 8 ln 4 4 8 ln 1g x x x x x x x ，
令 0g x ，解得 1x e
，
当 10, ex
时， 0g x ；当 1 ,x e
时， 0g x ；
g x 在 10, e
上单调递减，在 1 ,e
上单调递增，
2 2 2 2min
1 4 2 2 12 2 2 1 0g x g e e e e e
， 0f x ，
f x 在 0, 上单调递增， x t ，即 2
mx
x e ， 2ln xm x
，
57
令 2ln xh x x
，则 2
2 2ln xh x x
，
当 0,x e 时， 0h x ；当 ,x e 时， 0h x ；
h x 在 0,e 上单调递增，在 ,e 上单调递减， max
2h x h e e
，
2m e
，即 m 的取值范围为 2 ,e
．
【名师点睛】本题考查利用导数求解不等式恒成立问题，解题关键是能够将恒成立的不等式
构造成同一函数不同函数值之间大小关系的问题，由函数单调性可得自变量之间大小关系，
进而利用分离变量法求得参数范围．
72．对于定义域为 R 的函数 f x ，若满足（1） 0 0f ；（2）当 xR ，且 0x 时，
都有 ( ) 0xf x ；（3）当 1 20x x ，且 1 2x x 时，都有 1 2f x f x ，则称 ( )f x 为“偏
对 称 函 数 ” ． 现 给 出 四 个 函 数 ： ① 1( ) sinf x x x ； ② 2
2 ( ) ln 1 f x x x ； ③
3
, 0( ) ln( 1), 0
x xf x x x
；④ 4 ( ) 1 xf x e x 则“偏对称函数”有___________个．
【答案】1
【解析】由（2）可知当 0x 时， ( ) 0f x ，当 0x 时， ( ) 0f x ，
( )f x 在 ( ,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增，
1 1
5( ) ( ) 02 2f f ， 1( )f x 在 (0, ) 上不单调，故 1( )f x 不满足条件（2），
1( )f x 不是“偏对称函数”；
又 2
2 2
1( ) ( 1 )
1
f x ln x x ln
x x
， 2 ( )f x 在 R 上单调递减，不满足条件（2），
2 ( )f x 不是“偏对称函数”；
对于 3
, 0( ) ( 1), 0
x xf x ln x x
，作出图象如图：
根据图象，满足②；且当 1 20x x ，且 1 2| | | |x x 时，都有 1 2( ) ( )f x f x ，故其不满足
（3）， 3 ( )f x 不是“偏对称函数”； 4 ( ) 1 xf x e x ，显然满足 0 0f ．，
当 0x 时， e 1x ， 4 ( ) 0f x ，当 0x 时， 0 1xe ， 4 ( ) 0f x ，
则当 0x 时，都有 4 ( ) 0xf x ，符合条件（2），
因为 4 ( ) 1xf x e ，函数 4 ( ) 1 xf x e x 在 ( ,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递
增，由 4 ( )f x 的单调性知，当 2 1 1 20x x x x 时， 24 1 4( ) ( )f x f x ，
2 2
1 2 2 24 4 4 4 2( ) ( ) ( ) ( ) 2x xf x f x f x f x e e x ，
令 ( ) 2x xF x e e x ， 0x ， ( ) 2 2 2 0x x x xF x e e e e ，
当且仅当 x xe e 即 0x 时，“ “成立， ( )F x 在[0 ， ) 上是减函数，
2( ) (0) 0F x F ，即 4 41 2( ) ( )f x f x ，符合条件（3），故 4 ( )f x 是“偏对称函数”．
故答案为 1
【名师点睛】解答本题的关键是判断函数 4 ( )f x 是否是“偏对称函数”，关键是判断函数
4 ( )f x 是否满足条件（3）． 要构造函数，结合导数和基本不等式的知识分析解答．
73．函数 22 xf x x e 在 2 2 , 有___________个零点．
【答案】 2
【解析】函数 f x 的定义域为 2 2 , ， 2 22 2x xf x x e x e f x ，
所以，函数 f x 在 2 2 , 上为偶函数．
当 0 2x 时， 22 xf x x e ， 4 xf x x e ，
令 4 xg x f x x e ，则 4 xg x e ．
59
当 0 2ln2x 时， 0g x ，此时函数 g x 单调递增；
当 2ln 2 2x 时， 0g x ，此时函数 g x 单调递减．
所以， max 2ln 2 8ln 2 4 0g x g ，
又 0 1 0g ， 22 8 0g e ， 1 4 0g e ，
所以，存在 1 0,1x ，使得 1 0g x ，
当 10 x x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递减；
当 1 2x x 时， 0f x ，此时函数 f x 单调递增．
0 1 0f ， 1 0 0f x f ， 22 8 0f e ，
所以，函数 f x 在区间 1,2x 上有一个零点，在区间 10, x 上没有零点，
则函数 f x 在区间 0,2 上只有一个零点，
因此，函数 f x 在区间 2 2 , 上只有两个零点．故答案为 2 ．
74．已知对任意的 1 ,1x e
，总存在唯一的 [ 1,1]y ，使得 2ln 1 yx x a y e 成立( e
为自然对数的底数)，则实数 a 的取值范围是___________．
【答案】 2 ,ee
【解析】令 ln 1f x x x a ， 1 ,1x e
， 2 , 1,1xg x x e x ．
当 1 ,1x e
时， 1 11 0xf x x x
，故 f x 在 1 ,1e
为增函数，
故 f x 在 1 ,1e
上的值域为 1 ,a ae
，
又当 1,0x 时， 2 2 0xg x x x e ，当 0,1x 时， 2 2 0xg x x x e ，
所以 g x 在 1,0 上为减函数，在 0,1 上为增函数．
令 t f x ， 因 为 对 任 意 的 1 ,1x e
， 总 存 在 唯 一 的 1,1y ， 使 得
2ln 1 yx x a y e 成立，
故对直线 s t 与函数 s g y 的图象有且只要一个公共点，
而 11 , 0 0, 1g g g ee
，且 g x 在 1,0 上为减函数，在 0,1 上为增函数，
故 1 t ee
，所以
1 1a e e
a e
，即 2 a ee
．故答案为 2 ,ee
．
【名师点睛】本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决
问题的过程中，关键把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系．
75．已知函数 2 3( ) ln ( ) 1 2 f x x x a a
的两个极值点为 1x ， 2x ，且 1 2x x ，则
1 2f x f x 的取值范围是___________．
【答案】 3 ln2,4
【解析】因为
21 2 2 12 , 0,x axf x x a xx x
，且 1x ， 2x 是两个极值
点，所以 1x ， 2x 是 22 2 1 0x ax 的两个根，所以 1 2 1 2
1, 2x x a x x ， 24 8 0a
满足，因为 2 2
1 2 1 1 2 2ln 1 ln 1f x f x x x a x x a ，
所以 2 21 1
1 2 1 2 1 2 2 1
2 2
ln 2 lnx xf x f x x x x x a x xx x
且 1 2
1
2x x ，
所以
2 2
1 2 1
1 2
2 1 2
ln 2
x x xf x f x x x x
，所以 1 2 1
1 2
2 1 2
1 1ln 2 2
x x xf x f x x x x
，
因为 1 2 1 2
1, 2x x a x x ，所以
2 2
1 2
1 2
9
4
1
2
x x a
x x
，
61
所以 2
1 2 1 2
1 2 2 1
9+ +2 2
x x x x
x x x x
，所以 1 2 1
2 1 2
5 , 12
x x x
x x x
，所以解得 1
2
10, 2
x
x
，
令 1
2
x tx
，设 1 1 1ln , 0,2 2 2g t t t tt
，所以 2
2 2
11 1 1 02 2 2
tg t t t t
，
所以 g t 在 10, 2
上单调递减，所以 1 3 ln 22 4g t g
，
所以 1 2
3 ln 24f x f x ，所以 1 2f x f x 的取值范围是 3 ln2,4
，
故答案为 3 ln2,4
．
【名师点睛】导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量 1 2,x x 满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于 1 2,x x 的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有
两种可行的方法：①通过将所有涉及 1 2,x x 的式子转化为关于 1
2
x
x 的式子，将问题转化为关于
自变量 1
2
x
x （ 2
1
x
x 亦可）的函数问题；②通过 1 2,x x 的乘积关系，用 1x 表示 2x （用 2x 表示 1x 亦
可），将双变量问题替换为 1x （或 2x ）的单变量问题；
（3）构造关于 1
2
x
x 或 1x 的新函数，同时根据已知条件确定出 1
2
x
x 或 1x 的范围即为新函数定义
域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解．
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