1
精选 17 椭 圆（选择与填空）
1．椭圆问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以椭圆的标准方程和离心率为主，注
意椭圆的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不
等关系列方程或者不等式，进而求离心率的取值或取值范围．求椭圆的离心率(或离心率
的取值范围)，常见有两种方法：
（1）求出 a ， c ，代入公式 ce a
；
（2）只需要根据一个条件得到关于 a ，b ，c 的齐次式，结合 2 2 2b a c＝ － 转化为 a ，c 的
齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 2a 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不
等式)即可得 e ( e 的取值范围)．
2．以椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上一点 0 0( ),P x y 0( 0)y 和焦点 F1 (－c，0)，F2 (c，0)
为顶点的 1 2PF F△ 中，若 1 2F PF ，注意以下公式的灵活运用：
（1） 1 2| | 2PF PF a ；
（2） 2 2 2
1 2 1 24 2| | | | cos| || |c PF PF PF PF － ；
（3）
1 2 1 2
1 ·sin2 | || |PF FS PF PF △ ．
一、单选题
1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的 1
4
，则该椭
圆的离心率为
A． 1
4 B． 1
3
C． 1
2 D． 3
4
【答案】C
【解析】设椭圆的方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
则直线方程为 1x y
c b
，椭圆中心到l 的距离为其短轴长的 1
4
，可得
2 2
1
21 1
b
c b
，
2
2 2
1 14 b c b
，
2
2 3b
c
2 2
2 3a c
c
， 1
2
ce a
故选 C．
2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的
面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点 1F 、
2F 在 x 轴上，椭圆C 的面积为 2 3 ，且离心率为 1
2
，则C 的标准方程为
A．
2 2
14 3
x y B．
2
2 112
x y
C．
2 2
13 4
x y D．
2 2
116 3
x y
【答案】A
【解析】由题意可知，椭圆C 的面积为 2 3ab ，且 a 、b 、 c 均为正数，
由题意可得
2 2 2
2 3
1
2
ab
c
a
a b c
，解得
2
3
1
a
b
c
，
由于椭圆C 的焦点在 x 轴上，因此，椭圆C 的标准方程为
2 2
14 3
x y ．故选 A．
3．若椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，线段 F1F2 被抛物线
2 2 ( 0)y bx b 的焦点分成 5:3的两段，则此椭圆的离心率为
A．16
17 B． 4 17
17
C． 4
5 D． 2 5
5
【答案】D
【解析】由题意，椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的焦点坐标分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，
3
抛物线 2 2 ( 0)y bx b 的焦点坐标为 ( ,0)2
bF ，
因为线段 F1F2 被抛物线 2 2y bx 的焦点分成5:3的两段，可得 52
3
2
bc
bc
，解得 2c b ，
又由 2 2 2a b c ，可得 2 25 4c a ，所以 2 2 5
55
ce a
．故选 D．
4．已知 F 是椭圆 2 25 9 45x y 的左焦点，P 是此椭圆上的动点， 1,1A 是一定点，则
3
2PA PF 的最小值为
A． 7
2 B． 9
2
C．11
2 D． 13
2
【答案】C
【 解 析 】 由 椭 圆 2 25 9 45x y 可 得
2 2
19 5
x y ， 2 9 5 4c ， 2
3
ce a
，
3 1| | | | | | | |2PA PF PA PFe
，根据椭圆的第二定义：过 A 作左准线的垂线，交与 B
点，如图，则 3| | | |2PA PF 的最小值为| |AB ， 9 11| | 1 2 2AB ，
3
2PA PF 的最小值为 11
2
，故选 C．
5．椭圆
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
的上、下焦点分别为 1F 、 2F ，过椭圆上的点 M 作向量 MN
使得 1 2MN F F ，且 1 2 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为
A． 2
2
B． 2 1
2
C． 3
2
D． 3 1
2
【答案】D
【解析】 1 2 F F N 为正三角形，点 N 必在 x 轴上，且 1 2 60NF F ，
1tan60 3ON OF c ，又 1 2MN F F ， 3 ,2M c c ，
又 点 M 在椭圆上， 2
2
2 2
3(2 ) 1
cc
a b
，化简得 4 24 8 1 0e e ，
解得 2 8 64 16 2 3
8 2e ，又 0 1e Q ， 3 1
2e ．故选 D．
6．已知椭圆 C 的焦点为 1 1,0F ， 2 1,0F ，过 2F 的直线与 C 交于 A，B 两点．若
2 2
3
2AF BF ， 1 22BF BF ，则椭圆 C 的方程为
A．
2
2 12
x y B．
2 2
13 2
x y
C．
2 2
14 3
x y D．
2 2
15 4
x y
【答案】D
【 解 析 】 设 2| | 2BF m ， 则 2| | 3AF m ， 1| | 4BF m ， 由 椭 圆 定 义 知
1 2 1 2| | | | | | | | 6BF BF AF AF m ，所以 1| | 6 3 3AF m m m ，所以 1 2| | | |AF AF ，
故点 A为椭圆的上（下）顶点，设 0,A b ，由 2 2
3
2AF F B ，得 5 2,3 3B b
，
点 B 在椭圆上，故
2
2 2
25 4
9 9 1
b
a b
，解得 2 5a ，又由 1c ，可得 2b ，
故椭圆方程为
2 2
15 4
x y ．故选 D．
5
7．椭圆
2 2
149 24
x y 的焦点为 1F 、 2F ，点 P 在椭圆上，若 1 6PF ，则 1 2PF F△ 的面积为
A．24 B．28
C．40 D．48
【答案】A
【解析】因为椭圆方程为
2 2
149 24
x y ，所以由椭圆的定义可知， 1 2 2 14PF PF a ，
因为 1 6PF ，所以 2| | 8PF ，因为 2 2
1 2 2 2 10F F c a b ，所以 1 2PF F△ 为直角
三角形，则 1 2
1 242S PF PF ，故选 A．
8．如图，已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左､右焦点分别为 1 2,F F ， P 为椭圆C 上一
点， 2 1 2PF F F ，直线 1PF 与 y 轴交于点Q ，若| | 4
bOQ ，则椭圆C 的离心率为
A． 2
2
B． 3
2
C． 1
2 D． 2
3
【答案】B
【解析】设 2F 的坐标为 ( ,0)c ，由 2/ /OQ PF ，可得 2
1
2OQ PF ，
代入点 P 的横坐标 x c ，有
2 2
2 2 1c y
a b
，可得
2by a
，则有
2
2 4
b b
a
，得 2a b ，
则椭圆 C 的离心率为
2 2 2 24 3
2 2
c a b b be a a b
．故选 B．
9．已知 1F ， 2F 分别是椭圆
2 2
2 2 1( 0)9
x y aa a
的左、右两焦点，过点 2F 的直线交椭圆
于点 A， B ，若 1ABF 为等边三角形，则 a 的值为
A．3 B．3 3
C．3 2 D． 9 3
2
【答案】B
【解析】由题意可得， 2 2 2( 9) 9c a a ，则 3c ．
又 1ABF 为等边三角形，得直线 AB 与 x 轴垂直， 1 2 30AF F ，则 1 22AF AF ，
1 2| | | | 2AF AF a ，则 2
2
3
aAF ，可得 1 2 23F F AF ，
即 2 36 3 a ，求得 3 3a ．故选 B.
10．设 1F 、 2F 分别是椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左、右焦点，点 P 在椭圆C 上，线
段 1PF 的中点在 y 轴上，若 1 2 30PF F ，则椭圆 C 的离心率为
A． 3
3
B． 3
6
C． 1
3 D． 1
6
【答案】A
【解析】设点 P 坐标为 1 1,x y ，因为线段 1PF 的中点在 y 轴上， 1 ,0F c ， 2 ,0F c ，
所以 1 0c x- + = ， 1 x c ，点 P 与 2F 横坐标相等， 2PF x 轴，
7
因为 1 2 30PF F ，所以 2 1
1
2PF PF ，因为 1 2 2PF PF a ，所以 2
2
3PF a ，
则 2
1 2
1 2
2
33tan 2 3
a
PFPF F F F c
，化简得 3a
c
= ，故 3
3
ce a
，故选 A．
11．已知 A、B 是椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )长轴的两个端点，P 、Q 是椭圆上关于
x 轴对称的两点，直线 AP 、 BQ 的斜率分别为 1k 、 2k ，若
1 2
1 1
k k
的最小值为 4 ，则椭
圆的离心率为
A． 1
2 B． 3
3
C． 6
3
D． 3
2
【答案】D
【解析】如图所示：
设 0 0,P x y ，则
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
， 0 0, , ,0 , ,0Q x y A a B a ，
所以
2 2
0 0 0
1 2 2 2 2
0 0 0
y y y bk k x a x a x a a
，所以
1 2 1 2
1 1 1 22 | | | |
a
k k k k b
，当且仅
当 1 2k k 时取等号，因为
1 2
1 1
k k
的最小值为 4 ，所以 2 4a
b
，设 2a ，则 1b ，
所以 3c ，所以 3
2
ce a
，故选 D．
12．椭圆
2 2
116 4
x y 的焦点为 1 2,F F ，P 为椭圆上的一点，已知 1 2 0PF PF ，则
△
1 2F PF
的面积为
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】A
【解析】 2 216, 4a b ，则 2 2 2 16 4 12c a b ，所以 4, 2, 2 3a b c ，
由椭圆的定义，可得 1 2 2 8aPF PF ，平方得 1 2 2
2
1
2 2 64PF PF PF PF ，
因为 1 2 0PF PF ，所以 1 2PF PF ，则 2 2
1 2
2
21 48PF PF F F ，
所以 1 248 2 64PF PF ，解得 1 2 8PF PF ，
所以
△
1 2F PF 的面积为 1 2
1 1 8 42 2S PF PF ．故选 A．
13．已知椭圆G ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的右焦点为 3,0F ，过点 F 的直线交椭圆于 A，
B 两点．若 AB 的中点坐标为 1, 1 ，则G 的方程为
A．
2 2
145 36
x y B．
2 2
136 27
x y
C．
2 2
127 18
x y D．
2 2
118 9
x y
【答案】D
【解析】设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
x y
a b
x y
a b
，两式相减并化简得
9
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
y y y yb
a x x x x
，又过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点，AB 的中点坐标为 1, 1 ，
所以 1 2
1 2
2
2
x x
y y
， 1 2
1 2
0 1
3 1AB
y y kx x
，
即 2 2
2 2
2 2
0 11 1 1 21 3 1 2 2
b b a ba a
，
由于 2 2 2a b c 且 3c ，由此可解得 2 18a ， 2 9b ，
故椭圆 E 的方程为
2 2
118 9
x y ．故选 D．
14．设 F 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的一个焦点，P 是C 上的点，圆
2
2 2
9
ax y 与
直线 PF 交于 A， B 两点，若 A， B 是线段 PF 的两个三等分点，则C 的离心率为
A． 3
3
B． 5
3
C． 10
4
D． 17
5
【答案】D
【解析】如图，取 AB 中点 H ，椭圆另一个焦点为 E ，连结 PE ．
A 、 B 三等分线段 PF ， H 也是 AB 中点，即 OH AB
设OH d ，则 2PE d ， 2 2PF a d ，
3
a dAH ，
在 Rt OHA 中， 2 2 2OA OH AH ，解得 5a d ．
在 Rt OHF 中， 4
5FH a ，
5
aOH ，OF c ，由 2 2 2OF OH FH ，
化简得 2 217 25a c ， 17
5
c
a
．即C 的离心率为 17
5
．故选 D ．
15．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 A 是椭圆短轴的一个
顶点，且 1 2
3cos 4F AF ，则椭圆的离心率 e
A． 1
2 B． 2
2
C． 1
4 D． 2
4
【答案】D
【解析】设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的焦距为 2 ( 0)c c ，
则椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点 1F 的坐标为 0c ， ，右焦点 2F 的坐标为 0c， ，
依题意，不妨设点 A 的坐标为 0 b， ，在 1 2F AF 中，由余弦定理得
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | | 2 cosF F AF AF AF AF F AF ， 1 2
3cos 4F AF ，
2 2 2 23 14 2 2 4 2c a a a ，
2
2
2
1
8
ce a
，解得 2
4e ．故选 D．
16．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右焦点为 2F ，O 为坐标原点，M 为 y 轴上一点，
点 A是直线 2MF 与椭圆C 的一个交点，且 2| | | | 2 | |OA OF OM ，则椭圆C 的离心率为
A． 1
3 B． 2
5
C． 5
5
D． 5
3
【答案】D
11
【解析】设椭圆C 的左焦点为 1F ，连接 1AF ，因为 2 1OA OF OF ，所以 1 2 90F AF ，
如图所示，所以 2 1
2
1tan 2
OMAF F OF
，设 1AF m ， 2AF n ，则 : : 2 1: 2: 5m n c ，
所以 2 2 5
2 3
c ce a m n
，故选 D．
17．设椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的两个焦点分别为 1 2,F F ， 1 2| | 2 2F F ，P 是 C 上
一点，若 1 2PF PF a ，且 1 2
1sin 3PF F ，则椭圆 C 的方程为
A．
2 2
14 3
x y B．
2 2
16 3
x y
C．
2 2
16 4
x y D．
2 2
14 2
x y
【答案】D
【解析】因为 1 2| | 2 2F F ，所以 2c ，P 是 C 上一点，由椭圆的定义得 1 2 2PF PF a ，
又 1 2PF PF a ，所以 1 2
3 , 22
aPF PFa ，又 1 2
1sin 3PF F ，则 1 2
2 2cos 3PF F ，
所以在 1 2PF F△ 中，由余弦定理得 2 2 2
2 1 1 2 1 1 2 1 22 cosPF PF F F PF F F PF F ，
即
2 23 3 2 28 2 22 2 2 3
a a a
，整理得 2 4 4 0a a ，
解得 2a ，则 2 2 2 2b a c ，所以椭圆 C 的方程为
2 2
14 2
x y ，故选 D.
18．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的焦距为 2，右顶点为 A，过原点与 x 轴不重合的
直线交C 于 M ， N 两点，线段 AM的中点为 B ，若直线 BN 经过C 的右焦点，则C 的方
程为
A．
2 2
14 3
x y B．
2 2
16 5
x y
C．
2 2
19 8
x y+ = D．
2 2
136 32
x y
【答案】C
【解析】由题知 1c ，设点 0 0 0 0, , ,M x y N x y ，则 0 0,2 2
x a yB
，
又右焦点 1,0F ，且有直线 BN 经过点 F ，所以 //BF NF
，
0 0
0 01 , , 1 ,2 2
x a yBF NF x y
，所以 0 0
0 01 12 2
x a yy x
，
解得 3a ，所以： 2 8b ，所以椭圆方程为
2 2
19 8
x y+ = ．故选 C.
19．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
，点 M 在椭圆上，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切与椭
圆的焦点，与 y 轴相交于 P ，Q ，若 MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为
A． 1
2 B． 1
3
C． 2
2
D． 3
3
【答案】D
【解析】不妨设 0 0,M x y 在第一象限，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆右焦点，则
0x c ，又 M 在椭圆上，则
2
0
by a
， 圆 M 的半径
2br a
， MPQ 为正三角形，
23 3
2 2
bc r a
， 2 23 3 2 0c a ac ，即 23 2 3 0e e ，解得 3
3e ．故
选 D．
20．椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）上一点 M 关于原点的对称点为 N ，F 为椭圆的一个焦
点，若 0MF NF ，且
3MNF ，则该椭圆的离心率为
13
A． 21 2
B． 2
2
C． 3
3
D． 3 1
【答案】D
【解析】如图， E 是另一个焦点，由对称性知 MENF 是平行四边形，
因为 0MF NF ，所以 MF NF ，所以 MENF 是矩形．
3MNF ，所以
3MEF ，
所以 1cos 23 2ME EF c c ， 2 sin 33MF c c ，
所以 ( 3 1) 2MF ME c a ，所以 2 3 1
3 1
ce a
．故选 D．
21．椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左､右焦点分别为 F1，F2，点 P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)
在椭圆 C 上，其中 x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|， 1
1
| | 3
| | 3
QF
PF
，则离心率的取值范围为
A． 6 10, 2
B．(0, 6 2]
C． 2 , 3 12
D． (0, 3 1]
【答案】C
【解析】设 1 2,PF n PF m ，由 2 10, 0x y ，知 m n ，
因为 1 1 1 1, , ,P x y Q x y ，在椭圆C 上， 22 2PQ OP OF ，
所以，四边形 1 2PFQF 为矩形， 1 2QF PF ；由 1
1
3
3
QF
PF
，可得 3 13
m
n
，
由椭圆定义可得 2 2 22 , 4m n a m n c ①；平方相减可得 2 22mn a c ②；
由①②得
2 2 2
2 2
4
2
c m n m n
mn n ma c
；
令 m nt n m
，令 3 ,13
mv n
，所以， 1 4 32, 3t v v
，
即
2
2 2
4 4 32 32
c
a c
，所以， 2 2 2 2 22 3
3a c c a c ，
所以， 2 2 22 31 13e e e ，所以， 21 4 2 32 e ，
解得 2 3 12 e ，故选 C.
22．已知 A､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点 P 为椭圆上一点，且 PF⊥x 轴，过点
A 的直线与线段 PF 交于 M 点，与 y 轴交于 E 点，若直线 BM 经过 OE 中点，则椭圆的离心
率为
A． 1
2 B． 3
2
C． 1
3 D． 6
3
【答案】C
【解析】由题意可设 ( ,0), ( ,0), ( ,0)F c A a B a ，设直线 AE 的方程（由题知斜率存在）为
( )y k x a ，令 x c ，可得 , ( )M c k a c ，令 0x ，可得 (0, )E ka ，设 OE 的中
点为 H ，可得 0, 2
kaH
，由 , ,B H M 三点共线，可得 BH BMk k ，即 ( )2
ka
k a c
a c a
，即
为 3a c ，可得 1
3
ce a
，故选 C．
23．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
，倾斜角为 45的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，
15
AB 的中点是 ( 4,1)M 则椭圆的离心率是
A． 5
5
B． 3
2
C． 2
2
D． 1
2
【答案】B
【解析】因为直线l 的倾斜角为 45，所以直线l 的斜率为 1，
又 AB 的中点是 4,1M ，所以直线l 的方程为 1 4y x ，即 5y x ．
联立 2 2
2 2
5
1
y x
x y
a b
，可得 2 2 2 2 2 2 210 25 0a b x a x a a b ．
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则
2
1 2 2 2
10 8ax x a b
，又 2 2 2b a c ，整理得 2 23 4a c ，
即
2
2
3
4
c
a
，可得 3
2
ce a
．故选 B．
24．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yG a ba b
的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两
点．若 AB 的中点坐标为（1， 1 ），则 G 的方程为
A．
2 2
145 36
x y B．
2 2
136 27
x y
C．
2 2
127 18
x y D．
2 2
118 9
x y
【答案】D
【解析】设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2x x =2， 1 2y y =－2，
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
， ①
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
， ②
①－②得 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y
a b
，所以 ABk = 1 2
1 2
y y
x x
=
2
1 2
2
1 2
( )
( )
b x x
a y y
=
2
2
b
a
，
又 ABk = 0 1
3 1
= 1
2
，所以
2
2
b
a
= 1
2
，又 9= 2c = 2 2a b ，解得 2b =9， 2a =18，
所以椭圆方程为
2 2
118 9
x y ，故选 D
25．已知直线 : 2 1 0l kx y k 与椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
交于 A、B 两点，与圆
2 2
2 :( 2) ( 1) 1C x y 交于 C、D 两点．若存在 [ 2, 1]k ，使得 AC DB ，则椭圆 1C
的离心率的取值范围是
A． 10, 2
B． 1 ,12
C． 20, 2
D． 2 ,12
【答案】C
【解析】直线 : 2 1 0l kx y k ，即为 ( 2) 1 0k x y ，可得直线恒过定点 (2,1) ，
圆 2 2
2 :( 2) ( 1) 1C x y 的圆心为 (2,1) ，半径为 1，且C ， D 为直径的端点，
由 AC DB ，可得 AB 的中点为 (2,1) ，设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，
则
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
，
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
，两式相减可得 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y
a b
，
由 1 2 4x x ． 1 2 2y y ，可得
2
1 2
2
1 2
2y y bk x x a
，由 2 1k ，即有
2
2
1 12
b
a ，
则椭圆的离心率
2
21 (0c be a a
， 2]2
．故选 C.
26．已知椭圆 x2+4y2=12 的左、右焦点分别为 F1､F2，点 P 在椭圆上，线段 PF1 的中点在 y
轴上，则∣PF1∣是∣PF2∣的
A．3 倍 B．4 倍
C．5 倍 D．7 倍
【答案】D
【解析】由椭圆 x2+4y2=12 得，
2 2
112 3
x y ， 2 2 2 2 212, 3, 9a b c a b ，
所以 1 (3,0)F F（-3,0), ，设 ( , )P x y ，则线段 1PF 的中点坐标为 3,2 2
x y
，
17
因为线段 PF1 的中点在 y 轴上，所以 3 02
x ，所以 3x ，所以
2 23 112 3
y ，
解得 3
2y ，当 33, 2P
，
2
2
1
3 7 3| | (3 3) 2 2PF
，
2
2
2
3 3| | (3 3) 2 2PF
，所以 1 2| | 7 | |PF PF ，
当 33, 2P
，
2
2
1
3 7 3| | (3 3) 2 2PF
，
2
2
2
3 3| | (3 3) 2 2PF
，所以 1 2| | 7 | |PF PF ，故选 D．
27．如图，设 1F 、 2F 分别是椭圆的左、右焦点，点 P 是以 1 2F F 为直径的圆与椭圆在第一象
限内的一个交点，延长 2PF 与椭圆交于点Q ，若 1 24PF QF ，则直线 2PF 的斜率为
A． 2 B． 1
C． 1
2
D．1
【答案】A
【解析】如下图，连接 1 1,PF QF ，设 2 0QF x x ，则 1 4PF x ，
因为 1 2 2PF PF a ， 1 2 2QF QF a ，所以 2 2 4PF a x ， 1 2QF a x ，
在
△
1PFQ 中， 1 2 90F PF ，所以 2 2 2
1 1 PF PQ QF ，
即 2 2 24 2 4 2x a x x a x ，整理得 3a x ，
所以 1
2 1
2
4 4tan 22 4 6 4
PF x xPF F PF a x x x
，
所以直线 2PF 的斜率为 2 1tan 180 2k PF F ．故选 A．
28．已知 1F ， 2F 分别是椭圆
2 2
: 14 3
x yC 的左、右焦点，点 P 、Q 是椭圆上位于 x 轴上
方的两点，且 1 2//PF QF ，则 1 2PF QF 的取值范围为
A． 2,4 B． 3,4
C． 1,4 D． 1.5,4
【答案】B
【解析】如图，延长射线 1PF 、 2QF 分别与椭圆C 相交于 M 、 N 两点，
由椭圆的对称性可知 1 2PF NF ， 1 2MF QF ，
设点 P 的坐标为 1 1,x y ，点 M 的坐标为 2 2,x y ，显然 1 22 2, 2 2x x
则点Q 的坐标为 2 2,x y ．
①若直线 1PF 的斜率不存在，则点 P 、Q 的坐标分别为 31, 2
、 31, 2
，
有 1 2 3PF QF
②若直线 1PF 的斜率存在，设直线 1PF 的方程为 1 0y k x k ，
19
联立方程
2 2
14 3
1
x y
y k x
，消去 y 后整理为 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k ，
有
2
1 2 2
8
4 3
kx x k
，
2
1 2 2
4 12
4 3
kx x k
，
2 22 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 11 1 3 2 4 2 24 4 2 2PF x y x x x x x x ，
1 2
12 2MF x ，
2 22
1 2 1 2 2 2 2
12 1 3 4 3 31 44 42 4 3 4 3 4 3
k kkPF QF x x k k k
，
2
33 4 3k
，因为 24 3 3k ，所以 2
33 3 44 3k
，
则 1 2PF QF 的取值范围为 3,4 ．故选 B.
29．已知椭圆
2
2: 12
xC y ，直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 且交椭圆于 A，B 两点， AB 的中
垂线交 x 轴于 M 点，则 2
| |
| |
FM
AB
的取值范围为
A． 1 1,16 4
B． 1 1,8 4
C． 1 1,16 2
D． 1 1,8 2
【答案】B
【解析】椭圆
2
2: 12
xC y 的左焦点为 1,0F ，
当 l： 0y 时， 2,0 , 2,0 , 0,0A B M ， 1, 2 2FM AB ，
所以 2
| | 1
| | 8
FM
AB
，设 : 1 0l x my m 与椭圆联立 2
2
1
12
x my
x y
，可得
2 22 2 1 0m y my ，由根与系数关系得
1 2 2
1 2 2
2
2
1
2
my y m
y y m
，
取 AB 中点为 2 2
2 ,2 2
mD m m
，所以 AB 的中垂线方程为
2 2
1 2: 2 2DM
ml x ym m m
，令 0y ，得 2
1 ,02M m
，
所以
2
2
1| | 2
mMF m
，又
22
2
1 2 1 2 22
2
2
8 11| | (1 )
2
4
m
AB y y y yk m
，
所以
2
2 2 2
| | 1 2 1 1 1 1= 1 ( , )| | 8 1 8 1 8 4
FM m
AB m m
，综上所述 2
| | 1 1,| | 8 4
FM
AB
，故选 B．
30．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左焦点为 F ，直线 3y x 与椭圆C 相交于 A，
B 两点，且 AF BF ，则椭圆C 的离心率为
A． 2 1
2
B． 2 1
C． 3 1
2
D． 3 1
【答案】D
【解析】由
2 2
2 2 1
3
x y
a b
y x
，消 y 可得得 2 2 2 2 2(3 )a b x a b ，解得 2 23
abx
a b
，
分别代入得
2 2
3
3
aby
a b
， 2 2
(
3
abA
a b
，
2 2
3 )
3
ab
a b
， 2 2
(
3
abB
a b
，
2 2
3 )
3
ab
a b
，
2 2
(
3
abAF c
a b
，
2 2
3 )
3
ab
a b
， 2 2
(
3
abBF c
a b
，
2 2
3 )
3
ab
a b
，
AF BF ，
2 2 2 2
2
2 2 2 2
3 03 3
a b a bAF BF c a b a b
，
2 2
2
2 2
4
3
a bc a b
， (*) ，
把 2 2 2b a c 代入 (*) 式并整理得 2 2 4 2 2 24 4 ( )a c c a a c ，
21
两边同除以 4a 并整理得 4 28 4 0e e ，解得 2 4 2 3e ， 3 1e ．故选 D.
【名师点睛】求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出 ,a c 代入离心率的公式得解）；
（2）方程法（分析得到关于离心率 e 的方程解方程得解）．
二、多选题
31．点 1F ， 2F 为椭圆C 的两个焦点，椭圆C 上存在点 P ，使得 1 2 90F PF ，则椭圆C
的方程可以是
A．
2 2
125 9
x y B．
2 2
125 16
x y
C．
2 2
118 9
x y D．
2 2
116 8
x y
【答案】ACD
【解析】设椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
0a b ，
设椭圆上顶点为 B，椭圆C 上存在点 P ，使得 1 2 90F PF ，则需 1 2 90F BF ，
2 2
1 2 1 2BF BF F F ，即 2 2 24a a c ， 2 2 2c a b ，
则 2 22a b ，所以选项 ACD 满足．故选 ACD．
32．已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
的焦距为 6，短轴为长轴的 7
4
，直线l 与椭圆交于 A， B 两点，
弦 AB 的中点为 (2,1)M ，则直线 l 的方程为
A． 7 8 22 0x y B． 7 8 6 0x y
C．32 7 103 0x y D．32 7 71 0x y
【答案】AD
【解析】由已知可得椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
的 3c ，又长轴为短轴的 7
4
，
故椭圆方程为
2 2
116 7
x y 或
2 2
17 16
x y ，设弦的两端点为 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
当椭圆方程为
2 2
116 7
x y 时，则有
2 2
1 1
2 2
2 2
116 7
116 7
x y
x y
，
两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 016 7
x x x x y y y y ，整理得 1 2
1 2
7
8
y y
x x
，
所以弦所在的直线的斜率为 7
8
，其方程为 71 ( 2)8y x ，整理得 7 8 22 0x y ；
当椭圆方程为
2 2
17 16
x y 时，则有
2 2
1 1
2 2
2 2
17 16
17 16
x y
x y
，
两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 07 16
x x x x y y y y ，整理得 1 2
1 2
32
7
y y
x x
，
所 以 弦 所 在 的 直 线 的 斜 率 为 32
7
， 其 方 程 为 321 ( 2)7y x ， 整 理 得
32 7 71 0x y ．故选 AD．
33．在平面直角坐标系 xoy 中，F1，F2 分别为椭圆
2 2
14 2
x y 的左、右焦点，点 A 在椭
圆上．若
△
AF1F2 为直角三角形，则 AF1 的长度可以为
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】由椭圆
2 2
14 2
x y 可知， 2, 2, 2,a b c
焦点坐标为 ( 2,0) ，通径为
22 2b
a
，因为
△
AF1F2 为直角三角形，
所以 A 为直角顶点时，A 在短轴端点，此时 AF1 的长为 2； 1F 为直角顶点时，A 在 y 轴左侧，
此时 AF1 的长为 1； 2F 为直角顶点时，A 在 y 轴右侧，此时 AF1 的长为 3；故选 ABC．
34．设 1F ， 2F 为椭圆 C ：
2 2
116 7
x y 的左、右焦点， M 为 C 上一点且在第一象限，若
23
1 2MF F△ 为等腰三角形，则下列结论正确的是
A． 1 2MF B． 2 2MF
C．点 M 的横坐标为 8
3 D．
1 2
35MF FS △
【答案】BCD
【解析】因为椭圆C ：
2 2
116 7
x y ，所以 4, 7, 3a b c ，
因为 M 为C 上一点且在第一象限，且 1 2MF F△ 为等腰三角形，
所以 1 2 1 1 2, 2 6MF MF MF F F c ，且 2 2MF ，
在 1 2MF F△ 中，由余弦定理得
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
1 2
1 1 2
6 6 2 17cos 2 2 6 6 18
MF F F MFMF F MF F F
，
所以 1 1 2
17 8cos 6 318 3Mx MF MF F c ，所以
2
1 2
17 35sin 1 18 18MF F
，
所以
1 1 1 2 1
1 1 35sin 6 6 352 2 18MF FS MF F F MF F
，故选 BCD.
35．设椭圆
2 2
19 3
x y 的右焦点为 F，直线 (0 3)y m m 与椭圆交于 A， B 两点，
则下述结论正确的是
A．AF+BF 为定值 B．
△
ABF 的周长的取值范围是[6，12]
C．当 2m 时，
△
ABF 为直角三角形 D．当 m=1 时，
△
ABF 的面积为 6
【答案】AD
【解析】设椭圆的左焦点为 F，则 AF BF ，
所以 =6AF BF AF AF 为定值，A 正确；
ABF 的周长为 AB AF BF ，因为 AF BF 为定值 6，
所以 AB 的范围是 0,6 ，所以 ABF 的周长的范围是 6,12 ，B 错误；
将 2y 与椭圆方程联立，可解得 3, 2A ， 3, 2B ，
因为 6,0F ，所以 2 3,0 · 6 3, 2 6 6 2 0BA BF ，
所以 ABF 不是直角三角形，C 不正确；
将 1y 与椭圆方程联立，解得 6,1A ， 6,1B ，
所以 1 2 6 1 62ABFS ，D 正确．故选 AD.
36．已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
， P 是该椭圆在第一象限内的点， 1F ， 2F 分别
为椭圆的左右焦点， 1 2F PF 的角平分线交 x 轴于点 M ，且满足 2 4MF OM ，则该椭圆
的离心率可能是
A． 1
8 B． 1
4
C． 1
2 D． 3
4
【答案】BCD
【解析】 2 2
44 5MF OM MF c ， ，可得 1
6
5MF c ，所以 2
1
2
3
MF
MF
，
PM 是 1 2F PF 的平分线， 2
1
2
3
PF
PF
，又 1 2 2PF PF a ，
2
1
4
5
6
5
PF a
PF a
，
2 2
2
1 2
6 4 45 5cos 6 42 5 5
a a c
F PF
a a
213 25
12 12 e ， 213 251 112 12 e ，可得 1 15 e ，
故 1 1 3, ,4 2 4
都有可能，故选 BCD．
【名师点睛】求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时
25
也要联想到图形，求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关
系构造出关于 e 的方程或不等式，从而求出 e 的值或范围．
37．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的两个焦点分别为 1F ， 2F ，若椭圆上存在点 P 使得
1 2F PF 是直角，则满足条件的一个 e 的值可以是
A． 1
2 B． 2
2
C． 3
3
D． 4
5
【答案】BD
【解析】 1F ， 2F 是椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的两个焦点，
1 ,0F c ， 2 ,0F c ， 2 2 2c a b ，
设点 ,P x y ，因为椭圆上存在点 P 使得 1 2F PF 是直角，所以 1 2PF PF ，
所以 , , 0x c y x c y ，化简得 2 2 2x y c ，
联立方程组
2 2 2
2 2
2 2 1
x y c
x y
a b
，整理，得 2
2 2 2
22 0ax c a c
，所以 2 22 0c a ，
解得 2
2e ，又 0 1e ， 2 12 e ．故选 BD．
38．已知椭圆 C：
2 2
14 8
x y 内一点 M(1，2)，直线l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 M 为线
段 AB 的中点，则下列结论正确的是
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0） B．椭圆 C 的长轴长为 2 2
C．直线l 的方程为 3 0x y D． 4 3
3AB
【答案】CD
【解析】由椭圆方程
2 2
14 8
x y 可得焦点在 y 轴上，且 2 2, 2, 2a b c ，
椭圆的焦点坐标为 0, 2 , 0, 2 ，故 A 错误；
椭圆 C 的长轴长为 2 4 2a ，故 B 错误；
可知直线l 的斜率存在，设斜率为 k ， 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
则
2 2
1 1
2 2
2 2
14 8
14 8
x y
x y
，两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 04 8
x x x x y y y y ，
1 2 1 22 4 04 8
x x y y ，解得 1 2
1 2
1y yk x x
，
则直线l 的方程为 2 1y x ，即 3 0x y ，故 C 正确；
联立直线与椭圆 2 2
3 0
14 8
x y
x y
，整理得 23 6 1 0x x ， 1 2 1 2
12, 3x x x x ，
2 2 1 4 31 1 2 4 3 3AB ，故 D 正确．故选 CD．
39．已知 1 2,F F 为椭圆
2 2
14 3
x y 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则下面四个结论正
确的是
A． 2MF 的最大值大于 3
B． 1 2MF MF 的最大值为 4
C． 1 2F MF 的最大值为 60°
D．若动直线 l 垂直于 y 轴，且交椭圆于 A B、 两点， P 为 l 上满足| | | | 2PA PB 的点，则
点 P 的轨迹方程为
2 22 12 3
x y 或
2 22 16 9
x y
【答案】BCD
【解析】由椭圆方程得 2 2 24, 3, 1a b c ，因此 1 2( 1,0), (1,0)F F ．
选项 A 中， 2 max 3 MF a c ，A 错误；
27
选项 B 中，
2
1 2
1 2 42
MF MFMF MF ，当且仅当 1 2MF MF 时取等号，B 正
确；选项 C 中，当点 M 为短轴的端点时， 1 2F MF 取得最大值，取 (0, 3)M ，则
1 2 1 23tan , 302 3 2
F MF F MF ， 1 2F MF 的最大值为 60°，C 正确；
选项 D 中，设 1 1( , ), , , ,P x y A x y B x y ． 1 1| | | | 2, 2 PA PB x x x x ，
2 2
1 2 x x ，即 2 2
1 2 x x 或 2 2
1 2 x x ．
又由题意知
2 2
1 14 3
x y ，
2 22 14 3
x y 或
2 22 14 3
x y ，
化简得
2 22 16 9
x y 或
2 22 12 3
x y ，D 正确．故选 BCD．
40．已知点 P 是椭圆
2
2: 16
xC y 上的动点， Q 是圆 2 2( 5
1: 1)D x y 上的动点，点
1 1( , )2 3M ，则
A．椭圆C 的离心率为 30
6
B．椭圆C 中以 M 为中点的弦所在直线方程为 6 24 11 0x y
C．圆 D 在椭圆C 的内部
D． PQ 的最小值为 2 5
5
【答案】ABC
【解析】对于 A，由椭圆
2
2: 16
xC y 得 6, 1a b ， 6 1 5c ，则离心率为
5 30
66
c
a
，故 A 正确；
对应 B，设以 M 为中点的弦交椭圆于 1 1 2 2, , ,x y x y ，则 1 2 1
2 2
x x ， 1 2 1
2 3
y y ，
2
21
1 16
x y ，
2
22
2 16
x y ，两式相减得 1 2 1 2
1 2 1 2 06
x x x x y y y y
，则可
得 1 2
1 2
1
4
y y
x x
， 即 斜 率 为 1
4
， 则 直 线 方 程 为 1 1 1
3 4 2y x
， 整 理 得
6 24 11 0x y ，故 B 正确；
对 于 C ， 设 , 6 6P x y x ， 则
2
2 2 221 1 1 6
xPD x y x
25 6 4 1
6 5 5 5x
，所以圆 D 在椭圆C 的内部，
故 C 正确；
对于 D，由 C 选项可得 PQ 的最小值为 4 1 5
5 5 5
，故 D 错误．故选 ABC．
三、填空题
41．设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左右焦点分别为 1 2, ,F F 右顶点为 A，上顶点为 B，已
知， 1 2
3 ,2AB F F 椭圆的离心率为__________．
【答案】 2
2
【解析】由题意知 2 2 2| |AB a b ， 2 2
1 2| | 4F F c ， 1 2
3| | | |2AB F F ， 2 2 23·44a b c ，
即 2 2 2 23a a c c ，即 2 22a c ，故 2
2
ce a
．
42．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，左焦点 ( ,0)F c ，右顶点 ( ,0)A a ，上顶点 (0, )B b ，
满足 0FB AB
，则椭圆的离心率为__________．
【答案】 5-1
2
【解析】由 0FB AB
可得， , , 0c b a b ，即 2 2 2ac b a c ，
则 2 1 0e e ，解得 5 1
2e 或 5 1
2
（舍），故答案为 5-1
2
.
43．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
过点 3(1, ),2P 离心率为
29
1 ,2
则椭圆 C 的方程为__________．
【答案】
2 2
14 3
x y
【解析】 1
2
ce a
，
2 2
2
1
4
a b
a
，则 2 23
4b a ，将点 3(1, )2P 代入方程得 2
2
9
1 4 13
4
a a
，
解得 2 4a ，则 2 3b ，故椭圆 C 的方程为
2 2
14 3
x y ．
44．已知 1F 、 2F 是椭圆
2 2
1100 64
x y 上的两个焦点， P 是椭圆上一点，且 1 2PF PF ，则
1 2F PF△ 的面积为__________．
【答案】 64
【解析】由
2 2
1100 64
x y 得 2 100a ， 2 64b ，所以 10a ， 2 2 100 64 6c a b ，
所以 1 2| | 2 12F F c ，设 1 1| |PF r ， 2 2| |PF r ，所以 1 2 2 20r r a ，
所以 2 2
1 2 1 22 400r r rr ，因为 1 2PF PF ，所以 2 2 2
1 2 4 144r r c
所以 1 2144 2 400rr ，所以 1 2 128rr ，所以 1 2F PF△ 的面积为 1 2
1 1 128 642 2rr ．
故答案为 64 ．
45．若 A、 B 为椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )长轴的两个端点，垂直于 x 轴的直线与椭
圆交于点 M 、 N ，且 1
4AM BNk k ，则椭圆 C 的离心率为__________．
【答案】 3
2
【解析】设 ( )M x y， 、 ( )N x y， ，因为 ( 1,0)A ， ( ,0)B a ，
所以
2 2
2
2 22
2 2 2 2 2
1
4AM BN
b x by y y bak k x a x a x a x a a
，
所以
2 2 2 2
2
2 2 2
31 4
c a b be a a a
，所以 3
2e ．故答案为 3
2
【名师点睛】求椭圆离心率的关键是得到关于 , ,a b c 的等量关系式，根据 1
4AM BNk k 以
及斜率公式可得到所要的等量关系式．
46．椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
上一点 A 关于原点的对称点为 B ， F 为其右焦点，若
AF BF ，设 ABF ，且 5,4 12
，则该椭圆离心率的取值范围为__________．
【答案】 2 6,2 3
【解析】记椭圆C 的左焦点为 F，连 AF ， BF ，
由椭圆的对称性和性质知 BF AF ，
2AF B AFB ，由 2AF BF a ，可得
2 cos 2 sin 2c c a ，得
1 1
sin cos 2 sin 4
ce a
，由 5,4 12
，
可得 2,4 2 3
，则 3 sin 12 4
，所以 2 6
2 3e ．
47．已知椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的离心率为 3
3
，若以原点为圆心、椭圆短半轴
长为半径的圆与直线 2y x 相切，则椭圆的标准方程为__________．
【答案】
2 2
13 2
x y
【解析】圆方程为 2 2 2x y b ，与直线 2y x 相切，所以 2 2
2
1 +1
b ，则 2 2
2
b ，
所以
22 2= 2 +
, 33
3
a c
ace a
，故椭圆方程为
2 2
13 2
x y ．故答案为
2 2
13 2
x y ．
31
48．已知 1F 、 2F 是椭圆
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
的两个焦点，点 A 在椭圆 E 上，且
1 2 120F AF ， 1 22AF AF ，则椭圆离心率是__________．
【答案】 7
3
【解析】因为点 A在椭圆
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
上，所以 1 2 2AF AF a ，
又 1 22AF AF ，所以
1
2
4
3
2
3
AF a
AF a
，因为 1 2 2F F c ，在 1 2AF F△ 中，由 1 2 120F AF ，
根据余弦定理可得
2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2cos 2
AF AFF A F F
AF F AF
2 2 2
2
2
16 4 49 9
16
5 9 1
4
9
4 2
a a
e
c
a
，解得 7
3e （负值舍去），故答案为 7
3
．
49．椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为椭圆的右焦点，若
AF BF ，设 ABF ，且 ,12 4
，则该椭圆离心率的最大值为__________．
【答案】 6
3
【解析】因为 ,B A 关于原点对称，所以 B 也在椭圆上，设左焦点为 F，根据椭圆的定义：
| | 2AF AF a ，因为| |BF AF ，所以| | | | 2AF BF a ，O 是直角三角形 ABF 斜
边的中点，所以| | 2 ,| | 2 sin ,| | 2 cosAB c AF c BF c ，
所以 2 (sin cos ) 2c a ，所以
1 1
sin cos 2 sin 4
c
a
，
由于 ,12 4
，所以当
12
时，离心率的最大值为 6
3
，故答案为 6
3
．
50．已知 1F ， 2F 分别为椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右焦点，且离心率 2
3e ，点 P
是椭圆上位于第二象限内的一点，若 1 2PF F△ 是腰长为 4 的等腰三角形，则 1 2PF F△ 的面积
为__________．
【答案】 15
【解析】由题意知 2 4c ，则 2c ，
又 2
3
ce a
，所以 3a ，由椭圆的定义得 1 2 2 6PF PF a ，
又 1 2PF F△ 是腰长为 4 的等腰三角形，且点 P 在第二象限，所以 2 4PF ， 1 2PF ，
过 2F 作 2 1F D PF 于点 D ，则 1PD ， 2 15DF ，
所以 1 2PF F△ 的面积为 1 2 15 152
，故答案为 15 ．
51．如图所示，椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的左右焦点分别为 1F 、 2F ，上顶点为 A，
离心率为 1
2
，点 P 为第一象限内椭圆上的一点，若 1 1 2
2 :1PF A PF FS S : ，则直线 1PF 的斜
率为__________．
【答案】 3
5
【解析】 1
2
ce a
，即 2a c ，设 2a ，则 1c ，设直线 1PF 的斜率为 k ( 0k )，
则 直 线 1PF 的 方 程 为 ( 1)y k x ， 即 0kx y k ， 又 1 1 2
2 :1PF A PF FS S : ， 则
1 1 2
2PF A PF FS S△ △ ，即 1 12 2
1 | | 1 | 2 || | 2 | |2 21 1
b k kPF PF
k k
，则| | | 4 |b k k ，
解得 3b k (舍去)或 5b k ，又 2 2 2a b c ，则 24 25 1k ，解得 2 3
25k ，
33
则 3
5k ．故答案为 3
5
.
52．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点，直线
2
by
与椭圆交于 B，C 两点，且 90BFC ，则该椭圆的离心率是__________．
【答案】 6
3
【解析】
2
2
2
1 4 2
2 3 3
ce a
由
2 2
2 2 1
2
x y
a b
by
得
3
2
2
x a
by
，所以 3 ,2 2
bB a
，
3 ,2 2
bC a
，由题意可知 ,0F c ，所以 3 ,2 2
bBF c a
， 3 ,2 2
bCF c a
，
因为 90BFC ，所以 BF CF ，所以 0BF CF ，
即 3 3 02 2 2 2
b bc a c a
，所以 2 2 23 1 04 4c a b ，
所以 2 2 2 23 1 1 04 4 4c a a c ，即 2 23 1
4 2c a ，所以
2
2
2
2
3
ce a
，所以 6
3e .
53．已知椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
与圆 2 2 2
2 : ,C x y b 若在椭圆 1C 上存在点 P，
过 P 作圆的切线 PA，PB，切点为 A，B 使得 ,3BPA 则椭圆 1C 的离心率的取值范围是
__________．
【答案】 3 12 e
【解析】因为
3BPA ，所以
6BPO （O 为坐标原点），所以| | 2 | | 2OP OB b ，
因为 | |b OP a ，所以 2b a ，所以 2 24 0a b ，又 2 2 2b a c ，
所以 2 2 24 3 0a a c ，即 2 23 4a c ，所以 3
2
ce a
，又 0 1e ，
所以 3 12 e ．故答案为 3 12 e
【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率的取值范围，解题关键是找到关于 , ,a b c 的不等关
系．本题中根据圆的切线的夹角求出| | 2 | | 2OP OB b ，根据 | |b OP a 得到所要求的
不等关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
54 ． 设 1F ､ 2F 分 别 是 椭 圆
2
2 14
x y 的 左 ､ 右 焦 点 ， 若 椭 圆 上 存 在 一 点 P ， 使
2( )OP OF uuur uuur
2 0PF uuur
(O 为坐标原点)，则
△
1 2F PF 的面积是__________．
【答案】1
【解析】如图所示：记 2PF 的中点为 M ，
因为 2 2( ) 0OP OF PF ，所以 22 0OM PF ，所以 2OM PF ，
因为 ,O M 为 1 2 2,F F PF 的中点，所以 1/ /OM PF ，所以 1 2PF PF ，
所以
2 2 2
1 2 1 2
1 2
12
2 4
PF PF F F
PF PF a
，
所以 2 2 2
1 2 1 2
1 2 22
PF PF PF PF
PF PF
，所以
1 2
1 2 12F PF
PF PFS
．
55．已知 1F 、 2F 为椭圆C ：
2 2
2 116
x y
a
的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且 1 2MF F△ 内
切圆的周长等于3 ，若满足条件的点 M 恰好有两个，则 a __________．
【答案】 5
【解析】由题意得内切圆的半径 3 3
2 2r
，设 1 2| | 2F F c ，
35
因此 1 2MF F△ 的面积为 3( )1 3 (2 2 )2 2 2
a ca c
，
设 ( , )M MM x y ，则 3( ) 1 22 2 M
a c y c
，
因为满足条件的点 M 恰好有两个，所以 M 为椭圆短轴端点，即| | 4My ，
所以3 5a c ，而 2 2 16a c ，所以 2 25a ，所以 5a ．故答案为 5 ．
56．椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此
椭圆的离心率 e __________，当此三角形的面积是 4 3 ，则 2b __________．
【答案】 3 1 8 3
【解析】如图，由 OPF△ 为正三角形，可得 (2
cP ， 3 )2 c ，
代入椭圆方程，可得
2 2
2 2
3 14 4
c c
a b
，又 2 2 2b a c ，得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3 4 ( )a c c a c a a c ，
解得 3 1ce a
，若 1 3 4 32 2OPFS c c △ ，则 4c ，
2
2
2
16 16 8 3
( 3 1) 4 2 3
ca
，则 2 2 2 8 3b a c ．故答案为 3 1 ；8 3 ．
57．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
经过函数
3 1
xy x
图象的对称中心，若椭圆 C 的
离心率 1 3,2 3e
，则 C 的长轴长的取值范围是__________．
【答案】 2 21 10,9 3
【解析】因为
3 1
xy x
可化为
1 1
13 9 3
y
x
，所以曲线
3 1
xy x
的对称中心为
1 1,3 3
， 把 1 1,3 3
代 入 方 程
2 2
2 2 1x y
a b
， 得 2 2
1 1 19 9a b
， 整 理 得
2 2
2
2 2 2
2 19 1 1
a ca a c e
． 因 为 1 3,2 3e
， 所 以 2 7 59 ,3 2a
， 从 而
2 21 102 ,9 3a
．故答案为 2 21 10,9 3
．
【名师点睛】本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长 a 与离心率 e 的关系
式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用 2 2 2b a c 进行转化是是解题的基本方法．
58．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的半焦距为 c ，点 (8 ,0)Q c ，
若椭圆上存在一点 P ，使得3PO PQ ，则椭圆的离心率 e 的取值范围为__________．
【答案】 1 1,4 2
．
【解析】设 ( , )P x y ，由 3PO PQ 可得 2 2 22 8 0x y cx c ，即 2 2 2( ) 9x c y c ，
即 P 在圆心为 ,0c ，半径为 3c 的圆上，
故只需圆 2 2 2( ) 9x c y c 与椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
有公共点，
如图所示，可得 3a c c a c ，所以 1 1
4 2e ．故答案为 1 1,4 2
．
【名师点睛】对于求双曲线的离心率或范围，常见有两种方法：①求出 a 和 c ，代入公式
37
ce a
；②只需要根据一个条件得到关于 , ,a b c 的齐次式，转化为 a 和 c 的齐次式，然后转
化为关于 e 的方程，即可得 e 的值(范围)．
59．设 F 为椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b
的左焦点， P 为 C 上第一象限的一点．若
6FPO ，
3PF OF ，则椭圆C 的离心率为__________．
【答案】 3 1
【解析】设 ,0F c ，椭圆的右焦点 1 ,0F c ，连接 1PF ，如图，
因为
6FPO ， 3PF OF ，
所以
2 2 2 2 22 3cos 2 22 3
PF OP OF OP OFFPO PF OP OP OF
，
所以 OP OF ，所以 1OP OF ， 1 3POF ，
所以 1POFV 为等边三角形， 1 1PF OF ，
所以 1 13 3 1 2PF PF OF OF c a ，
所以离心率
1 3 1
3 1
2
ce a
．故答案为 3 1 ．
60．已知焦点在 x 轴上的椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，直
线 l 过 2F ，且和椭圆 C 交于 A，B 两点， 1
1
| | 3
| | 5
AF
BF
， 1 2AF F△ 与 1 2BF F△ 的面积之比为 3：
1，则椭圆 C 的离心率为__________．
【答案】 2
2
【解析】 1
1
| | 3
| | 5
AF
BF
，不妨设 1 3AF x ， 1 5BF x ，由点 B 作 BP x 轴，同时也过点
A向 x 轴引垂线， 1 2 1 2
: 3:1AF F BF FS S ，且 2 2AOF BPF ， 2 2: 3:1AF BF ，
设 2 3AF y ， 2BF y ， 由 1 2 1 2 2AF AF BF BF a ， 3 3 5x y x y ，
x y ，所以 1 2 5 5 6AF AF x y x x x ，所以 2 3AF x ， 1 2AF F 为等腰三
角形， 3 4AB x x x ， 1 5BF x ， 2 2 2
1 1AF AB BF ， 1AF B 为直角三角
形， 1 2AF AF ， 1 2AF F△ 为等腰直角三角形， 1 1
2
2OF OA AF ，
1 1,OF c AF a ，即 2
2
ce a
．故答案为 2
2
．
61．在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为 1,2 ，且 0OM ON ，动点 P 与 ,M N
连线的斜率之积为 1
2
，则动点 P 的轨迹方程为__________， PMN 面积的取值范围是
__________．
【答案】
2 22 1 19 9
x y x 9 20, 2
【解析】因为 M 的坐标为 1,2 ，且 0OM ON ，可得 (1, 2)N ，设 ( , )P x y ，
所以 2
1MP
yK x
， 2
1NP
yK x
（ 1x ），由题意得 2 2 1
1 1 2
y y
x x
，
整理可得动点 P 的轨迹方程为
2 22 1 19 9
x y x ；
39
直线 MN 的斜率 2 ( 2) 21 1K
，设平行与 MN 的椭圆切线方程为 2y x b ，
与椭圆联立可得 2 2
2
2 19 9
y x b
x y
（ 1x ），即 2 29 8 2 9 0x bx b ，
2 2( 8 ) 4 9 (2 9) 0b b ，解得 9 2
2b ，
所以该切线与直线 MN 的距离
2 2
9 2
2 9 10
102 1
d
， 2 5MN ，
所以 PMN 面积的最大值 1 1 9 10 9 22 52 2 10 2S MN d ，
所以随着 P 在椭圆上运动， PMN 的面积取值范围为 9 20, 2
．
故答案为
2 22 1 19 9
x y x ； 9 20, 2
．
62．椭圆
2 2
14 2
x y 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过焦点 1F 的直线交椭圆于 A，B 两点，
则 2ABF 的周长为__________；若 A ， B 两点的坐标分别为 1 1,x y 和 2 2,x y ，且
2 1 2y y ，则 2ABF 的内切圆半径为__________．
【答案】8 2
2
【解析】由
2 2
14 2
x y 知 2 4a ， 2 2b ，所以 2, 2a b ， 2 2 2 2c a b ， 2c ，
所以 1( 2,0)F ， 2 ( 2,0)F ，
根据椭圆的定义可得 1 2| | | | 2 4AF AF a ， 1 2| | | | 2 4BF BF a ，
所以 2ABF 的周长为 2 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | | | | |AB AF BF AF AF BF BF 4 8a ．
因为 2 1 2 1 2ABF AF F BF FS S S 1 2 1 1 2 2
1 1| | | | | | | |2 2F F y F F y
1 2 1 2
1 2 2(| | | |) 2 | |2 y y y y 2 2 ，
设 2ABF 的内切圆半径为 r ，则 2ABFS △ 2 2
1 (| | | | | |)2 r AB AF BF 1 8 42 r r ，
所以 4 2 2r ，解得 2
2r = ．故答案为8 ； 2
2
．
63．椭圆 2 2 1mx ny 与直线 1 0x y 相交于 ,A B 两点， C 是线段 AB 的中点，若
2 2AB ，OC 的斜率为 2 ，则 m n __________，离心率 e __________．
【答案】 3
11
2
2
【解析】设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，代入椭圆方程并作差得
1 2 1 2 1 2 1 2 0m x x x x n y y y y ，即 1 2 1 2
1 2 1 2
y y y ym n x x x x
，
将 1 2
1 2
1y y
x x
， 1 2
1 2
2OC
y y kx x
代入上式得 2m n ．
由
2 2 1
1 0
max ny
x y
消去 y 得 2( ) 2 1 0m n x nx n ，
所以 1 2 1 2
2 1,x x xn n
m n mx n
，因为 2
1 2 1 2| | 1 2 2 2AB k x x x x ，
所以 1 2 2x x 即 2
1 2 1 22 2x x x x ，所以
22 14 4n n
m n m n
，
将 2m n 代入，得 ,6 3
11 11m n ，所以 6 3 3
11 11 11m n ，此时椭圆 2 2 1mx ny 为
2 2
111 11
6 3
x y ，椭圆的离心率
2 2 2 2
2 2 2
11 3 21 1 6 11 2
c c a b be a a a a
，
故答案为 3
11
； 2
2
.
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