2021年新高考数学 高三冲刺模拟卷02（江苏专用）（解析版）

第 1 页 共 18 页 绝密★启用前 2021 年新高考数学 高三冲刺模拟卷 02（江苏专用）数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设集合 A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，则 A∩B＝（ ） A． )1,2 3( B． )1,2 3(  C． )2,1( D． )1,2( 【答案】A 【解析】∵ }2 3|{},12|{  xxBxxA ，∴ )1,2 3(BA 故选：A． 2．棣莫弗公式 )sin,(cos)]sin(cos[  ninrir nn  （i 为虚数单位，r＞0）是由法国数学家棣莫弗（1667 ﹣1754）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内复数 15)]7sin7(cos2[  i 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由题意得， )7sin,7(cos2)7 15sin,7 15(cos2)]7sin7(cos2[ 151515  iii  其对应的点位 于第一象限．故选：A． 3．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型（a，b 为待定系数）中，最能反映 x，y 函数关系的是 A． y a bx  B． by a x   C． logby a x  D． xy a b  【答案】D 【解析】由于 x 可以取负数，排除 C，再根据 1 3 (1) (3)( )2 2 f ff   ，可确定 A，B 均错误，故选 D． 4.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上 等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐 第 2 页 共 18 页 王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比 赛三场．每场比赛中胜者得 1 分，否则得 0 分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结 束时，田忌得 2 分的概率（ ） A． 3 1 B． 3 2 C． 6 1 D． 2 1 【答案】C 【解析】由于每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得 1 分，否则 得 0 分．设田忌的上等马、中等马、下等马分别为 A，B，C， 齐王的上等马、中等马、下等马分别为 a，b，c， 所有的基本事件有 6 种，分别为：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cb），（Ab，Bc， Cb），（Ac，Bb，ca），（Ac，Ba，Cb）， 比赛结束时，田忌得 2 分的基本事件为：（Ab，Bc，Ca），只有 1 种， ∴比赛结束时，田忌得 2 分的概率 P＝ 6 1 ．故选：C． 5.函数 xx ee xxy   sin 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 )(sin)( xfee xxxf xx    ，则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 C， 01sin1)1( 1   eef 排除 A， 当 x→+∞时，y→0，排除 D， 故选：B． 6．函数 ,0(3   aay x 且 1a ）的图象恒过定点 A，若点 A 在椭圆 )0,0(1 22  nmn y m x 上 ，则 nm  的最小值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解析】由题意可知 A（3，1），∴ 113 22  nm ，即 119  nm ， 第 3 页 共 18 页 ∴ 169210910)19()(  n m m n n m m n nmnmnm ，当且仅当 n m m n 9 ，即 m＝3n＝12 时取到等号．故选：C． 7．定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（2+x）＝f（2﹣x），当 x∈[﹣2，0]时，f（x）＝x+2，设函数 h（x） ＝e﹣|x﹣2|（﹣2＜x＜6）（e 为自然对数的底数），则 f（x）与 h（x）的图象所有交点的横坐标之和为 （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】由 f（2+x）＝f（2﹣x）且 f（x）是偶函数，可知函数 f（x）的周期为 4， 由题意可知 f（x）和 h（x）的图象都是关于 x＝2 对称，因此四个交点的横坐标也都关于直线 x＝2 对称， 所以四个交点的横坐标之和为 8， 故选：D． 8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若 数列{xn}满足 xn+1＝xn﹣ )( )( ' n n xf xf ，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数 f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{xn}为牛顿数 列，设 1 2ln   n n n x xa 且 a1＝1，xn＞2，数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2021＝（ ） A． 122021  B． 222021  C．（ 2 1)2 1( 2021  ） D． 2)2 1( 2021  【答案】A 【解析】∵f（x）＝x2﹣x﹣2，∴f′（x）＝2x﹣1， 又∵xn+1＝xn﹣ )( )( ' n n xf xf ＝xn﹣ 12 22   n nn x xx ， ∴xn+1+1＝xn﹣ 12 22   n nn x xx +1＝ 12 )1( 2   n n x x ， 第 4 页 共 18 页 xn+1﹣2＝xn﹣2﹣ 12 22   n nn x xx ＝ 12 )2( 2   n n x x ， ∴ 2 2 2 1 1 )1 2()1( )2( 1 2       n n n n n n x x x x x x ， ∵ 1 2ln   n n n x xa 且 a1＝1，xn＞2， ∴ n n n n n n n n ax x x x x xa 21 2ln2)1 2ln(1 2ln 2 1 1 1        ， ∴数列{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， ∴S2021＝ 21 21 2021   ＝22021﹣1， 故选：A． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得 5 分。部分选对的特 2 分，有选错的得 0 分。 9．已知函数 ) sin(   xy 与 ) cos(   xy （ 2||,0   ）在 ]2 25,0[x 的图象恰有三个不同 的交点 P，M，N．若△PMN 为直角三角形，则（ ） A． 2 2  B．△PMN 的面积 S＝π C． ]4,4[   D．两函数图象必在   4 49 x 处有交点 【答案】ACD 【解析】∵两图象恰有三个交点 P，M，N，且△PMN 为直角三角形， 则△PMN 的高为 2 ，且是等腰直角三角形， ∴斜边长为 2 2 ，即周期 T＝2 2 ，∴  2 ＝2 2 ，解得ω＝ 2 2 π，故 A 正确． ∵△PMN 的面积为 S＝ 2 1 × 2 ×2 2 ＝2，故 B 错误． 第 5 页 共 18 页 当 ]2 25,0[x 时， ]2 5,[  x ， 由正弦，余弦函数的图象可得： 44 3   且 4 13 2 5 4 9   ， 又 2||   ，所以 ]4,4[   ，故 C 正确． 当   4 49 x 时， 4 9  x ，故 D 正确． 故选：ACD． 10．已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝a2＝1，an＝an﹣1+2an﹣2（n≥3），则下列结论正确的是（ ） A．数列{an+an+1}为等比数列 B．数列{an+1﹣2an}为等比数列 C． 3 )1(2 1 nn na   D． )14(3 2 10 20 S 【答案】ABD 【解析】an＝an﹣1+2an﹣2，an+an﹣1＝2an﹣1+2an﹣2＝2（an﹣1+an﹣2）（n≥3）， 因为 a1＝a2＝1，所以 a3＝a1+2a2＝3， a3+a2＝4＝2（a2+a1）， 所以数列{an+an+1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 an+an+1＝2•2n﹣1＝2n，故选项 A 正确； an＝an﹣1+2an﹣2， an﹣2an﹣1＝2an﹣2﹣an﹣1＝﹣（an﹣1﹣2an﹣2）， a3﹣2a2＝3﹣2＝1，a2﹣2a1＝1﹣2＝﹣1， 所以{an+1﹣2an}是首项为﹣1，公比为﹣1 的等比数列， an+1﹣2an＝﹣1•（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n，故选项 B 正确；        n nn n nn aa aa )1(2 2 1 1 ，所以 3 )1(2 nn na  ，故选项 C 错误； S20＝a1+a2+…+an＝ + +…+ ＝ 第 6 页 共 18 页 ＝ ×[ ﹣ ] ＝ （220﹣1）＝ （410﹣1），故选项 D 正确．故选：ABD． 11．已知实数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1，且 2 2 2 1x y z   ，则下列结论正确的是 A． 0xy yz xz   B．z 的最大值为 1 2 C．z 的最小值为 1 3  D．xyz 的最小值为 4 27  【答案】ACD 【解析】∵ 1x y z   ，∴ 2( ) 1x y z   ，又∵ 2 2 2 1x y z   ，∴ 0xy yz xz   ，A 正确； ∵ 1x y z   ， 2 2 21x y z   ，又 2 2 2 2 22( ) ( ) 2 2 (1 )x y x y z z       ，∴ 1 3  ≤z≤1，故 B 错误，C 正 确； 根据选项 A 得 xyz x y   ，又 1 ( )z x y   ，故 1 ( )xy x yx y     ， ∴ 2 2( ) ( ) ( )2 x yxy x y x y      ，∴0≤ x y ≤ 4 3 ， 2[( ) ( )][1 ( )]xyz x y x y x y      ，令 x y t  ，0≤ t ≤ 4 3 ， ∴ 3 22xyz t t t    ，求导后发现 1 3t  或 4 3 时，xyz 的最小值为 4 27  ，D 正确． 综上选 ACD． 12.透明塑料制成的正方体密闭容器 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 8，注入体积为 x（0＜x＜8）的液体．如图， 将容器下底面的顶点 A 置于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ） A．液面始终与地面平行 B．x＝4 时，液面始终呈平行四边形 C．当 x∈（0，1）时，有液体的部分可呈正三棱锥 D．当液面与正方体的对角线 AC1 垂直时，液面面积最大值为 33 第 7 页 共 18 页 【答案】ACD 【解析】液面始终是水平面，与场地是平行的，故选项 A 正确； 当 x＝4 时，体积是正方体的一半，如液面正好过棱 A1B1，B1B，BC，CD，DD1，D1A1 的中点，此时液 面是正六边形，不是平行四边形，故选项 B 错误； 液面过 AA1，AB，AD 的中点时，此时 ，有液体的部分是正三棱锥，故选项 C 正确； 当液面与正方体的对角线 AC 垂直时，液面面积的最大时就是选项 B 中所列举的正六边形（此时液体条 件是正方体体积的一半），面积为 ，故选项 D 正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. （x2+x+y）5 的展开式中，x5y2 的系数为 ． 【答案】30 【解析】 解法一：（x2+x+y）5 可看作 5 个（x2+x+y）相乘，从中选 2 个 y，有 种选法； 再从剩余的三个括号里边选出 2 个 x2，最后一个括号选出 x，有 • 种选法； ∴x5y2 的系数为 • ＝30； 解法二：∵（x2+x+y）5＝[（x2+x）+y]5，其展开式的通项公式为 Tr+1＝ •（x2+x）5﹣r•yr， 令 r＝2，得（x2+x）3 的通项公式为 •（x2）3﹣m•xm＝ •x6﹣m， 再令 6﹣m＝5，得 m＝1， ∴（x2+x+y）5 的展开式中，x5y2 的系数为 • ＝30． 故答案为：30． 14.如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AD＝3，BC＝4，E，F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角线 AC， BD 的中点，则 EFPQ 的值为 ． 第 8 页 共 18 页 【答案】 4 7 【解析】如图，连接 FP，FQ，EP，EQ， ∵E，F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角线 AC，BD 的中点， ∴四边形 EPFQ 为平行四边形， ∴ ＝ ， ，且 AD＝3，BC＝4， ∴ ． 故答案为： ． 15．已知函数 )3(13 3)( 1    aaxf x x ，若对任意 x1，x2，x3∈R，总有 f（x1），f（x2），f（x3）为某一个 三角形的边长，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】[3，6] 【解析】因为 f（x1），f（x2），f（x3）为某一个三角形的边长， 所以 f（x1）+f（x2）＞f（x3），对任意 x1，x2，x3∈R，恒成立， 函数 ＝ ＝3+ ， 当 a＝3 时，f（x）＝3，满足题意； 第 9 页 共 18 页 当 a＞3，f（x）在 R 上单调递减，所以函数的值域为（3，a）， 所以 f（x1）+f（x2）＞6 且 f（x3）＜a，所以 3＜a≤6， 综上可得，3≤a≤6，即实数 a 的取值范围是[3，6]．故答案为：[3，6]． 16.过抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点 F 的直线 l，交抛物线 C 的准线于点 A，与抛物线 C 的一个交点为 B，且 )2(  kBFkAB ，若 l 与双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的一条渐近线垂直，则该双曲线离 心率的取值范围是 ． 【答案】 ]2,1( 【解析】如图，∵k≥ ，且 ＝k ，∴ ， 要使 ，则 B 应在离 A 点较远的一端，过 B 作准线的垂线，垂足为 C， ∵ ，|BF|＝|BC|，∴|AB| |BC| ， 在△ABC 中，sinA＝ ，∴sinA ，∴0＜∠A≤45°，45°≤∠B＜90°， ∵直线 l 的斜率 k＝tanB，∴k≥1； ∵l 与双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线垂直， ∴ ，则 0＜ ，即 0＜ ，解得 1 ．故答案为：（1， ]． 第 10 页 共 18 页 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 10 分） 在平面四边形 ABCD 中，AB＝4，AD＝ 22 ，对角线 AC 与 BD 交于点 E，E 是 BD 的中点，且 ECAE 2 ． （1）若∠ABD＝ 4  ，求 BC 的长； （2）若 AC＝3，求 cos∠BAD． 【解析】（1）在△ABD 中，由余弦定理知，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD， ∴8＝16+BD2﹣2•4•BD•cos 4  ，化简得 BD2﹣4 BD+8＝0， 解得 BD＝2 ， ∵E 是 BD 的中点，∴BE＝ BD＝ ， 在△ABE 中，由余弦定理知，AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos∠ABD＝16+2﹣2×4× × ＝10， ∴AE＝ ， ∵ ＝2 ，∴AC＝ AE＝ ， 由余弦定理知，cos∠BAC＝ ＝ ＝ ， 在△ABC 中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝16+ ﹣2×4× × ＝ ， ∴BC＝ ． （2）∵AC＝3， ＝2 ，∴AE＝2， ∵∠AEB+∠AED＝π， ∴cos∠AEB＝﹣∠AED， 设 BE＝DE＝x， 第 11 页 共 18 页 则 ＝﹣ ，即 ＝﹣ ， 解得 x＝2 ， ∴BD＝2BE＝4 ， 在△ABD 中，由余弦定理知，cos∠BAD＝ ＝ ＝﹣ ． 18．（本题满分 12 分） 在①已知数列{an}满足：an+1﹣2an＝0，a3＝8，②等比数列{an}中，公比 q＝2，前 5 项和为 62，这两个条件 中任选一个，并解答下列问题． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 n n a nb  ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，若 2Tn＞m﹣2022 对 n∈N*恒成立，求正整数 m 的最大值． 【解析】（1）选①已知数列{an}满足：an+1﹣2an＝0，a3＝8， 设等比数列{an}的公比为 q， 由 an+1＝2an，可得 q＝2， 又 a3＝8，即 4a1＝8，解得 a1＝2， 所以 an＝2n； 选②等比数列{an}中，公比 q＝2，前 5 项和为 62， 则 q＝2， ＝62， 解得 a1＝q＝2， 所以 an＝2n； （2） ＝ ， Tn＝ + + +…+ ， Tn＝ + + +…+ ， 上面两式相减可得 Tn＝ + + +…+ ﹣ 第 12 页 共 18 页 ＝ ﹣ ， 化简可得 Tn＝2﹣ ， 因为 Tn+1﹣Tn＝2﹣ ﹣2+ ＝ ＞0， 所以{Tn}递增，T1 最小，且为 ，所以 2× ＞m﹣2022， 解得 m＜2023， 则 m 的最大值为 2022． 19.（本题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD 为梯形，AD∥BC，BM⊥AD 于 M，CN⊥AD 于 N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝ 2 ， 现沿 CN 将△CDN 折起使△ADN 为正三角形，且平面 ADN⊥平面 ABCN，过 BM 的平面与线段 DN、DC 分别交于 E、F． （1）求证：EF⊥DA； （2）在棱 DN 上（不含端点）是否存在点 E，使得直线 DB 与平面 BMEF 所成角的正弦值为 4 3 ，若存在， 请确定 E 点的位置；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN， 在四棱锥 D﹣ABCN 中，CN⊂平面 CDN， 第 13 页 共 18 页 BM⊄ 平面 CDN，∴BM∥平面 CDN， 又平面 BMEF∩平面 CDN＝EF， ∴BM∥EF， ∵平面 ADN⊥平面 ABCN 且交于 AN，BM⊥AN， ∴BM⊥平面 ADN，即 EF⊥平面 ADN， 又 DA⊂平面 ADN，∴EF⊥DA； （2）解：存在，E 为棱 DN 上靠近 N 点的四等分点． ∵DA＝DN，AM＝MN＝1， 连接 DM，∴DM⊥AN，又平面 ADN⊥平面 ABCN，且平面 ADN∩平面 ABCN＝AN， ∴DM⊥平面 ABCN． 如图，以 M 为坐标原点，分别以 MA，MB，MD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 D（0，0， ），B（0，1，0），M（0，0，0），N（﹣1，0，0）， ， ， ， 设 ，（0＜λ＜1），则 E（λ﹣1，0， ）， ＝（λ﹣1，0， ）， 设平面 BMEF 的一个法向量为 ，则 ， 不妨令 x＝ ，则 z＝1﹣λ， ， 设直线 DB 与平面 BMEF 所成角为α，则有 sinα＝|cos＜ ＞|＝ ＝ ， 解得 或 （舍）． ∴ ，即在棱 DN 上存在点 E，使得直线 DB 与平面 BMEF 所成角的正弦值为 ， E 为棱 DN 上靠近 N 点的四等分点． 第 14 页 共 18 页 20.（本题满分 12 分） 某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了 3000 名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图 所示的频率分布直方图． （1）按照分层抽样，从[40，50）和[80，90）中随机抽取了 9 名学生．现从已抽取的 9 名学生中随机推 荐 3 名学生参加体能测试．记推荐的 3 名学生来自[40，50）的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间 t 服从正态分布 N（μ，σ2），其中，μ为周末运动时间的 平均数t ，σ近似为样本的标准差 s，并已求得 s≈14.6．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市 所有初中生中随机抽取 12 名学生，记周末运动时间在（43.9，87.7]之外的人数为 Y，求 P（Y＝3）（精 确到 0.001）． 参考数据 1：当 t～N（（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜t≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜t≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ ﹣3σ＜t≤μ+3σ）＝0.9974； 参考数据 2：0.81859＝0.1649；0.18153＝0.0060． 【解析】（1）根据分层抽样，从[40，50）中抽取 6 人，在[80，90）中抽取 3 人， 随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3， 第 15 页 共 18 页 P（X＝0）＝ ＝ ， P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ， P（X＝3）＝ ＝ ， 则 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（X）＝0× +1× +2× +3× ＝2． （2）μ＝ ＝35×0.01×10+45×0.02×10+55×0.03×10+65×0.015×10+75×0.015×10+85×0.01×10＝58.5， 又因为 43.9＝58.5﹣14.6＝μ﹣σ，87.7＝58.5+2×14.6＝μ+2σ， 所以 P（43.9＜t≤87.7）＝P（μ﹣σ＜t≤μ+2σ）＝ ＝0.8185， 所以 P（t≤43.9 或 t＞87.7）＝1﹣0.8185＝0.1815， 则 Y～B（12，0.1815）， 所以 P（Y＝3）＝ ×0.18153×0.81859＝220×0.0060×0.1649≈0.218． 21.（本题满分 12 分） 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2 1  bab y a xC 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 )2 1,3(A 在椭圆上；直线 AF1 交 y 轴 于点 B，且 OBAF 22  ，其中 O 为坐标原点． （1）求椭圆 C1 的方程； （2）直线 l 斜率存在，与椭圆 C1 交于 D，E 两点，且与椭圆 )10(: 2 2 2 2 2   b y a xC 有公共点，求 △DOE 面积的最大值． 【解析】（1）由 ＝﹣2 ，可得 F2（ ，0），即 c＝ ， 第 16 页 共 18 页 因为 A（ ， ）在椭圆上， 所以 + ＝1， 即 + ＝1，解得 a2＝4 或 a2＝ （舍去）， 所以椭圆 C1 的方程为 +y2＝1． （2）设直线 l 的方程为 y＝kx+m， 原点到直线 l 的距离为 d＝ ， 联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0， 设 D（x1，y1），E（x2，y2）， 则 x1+x2＝ ，x1x2＝ ， 所以|DE|＝ ＝ ， 所以 S△DOE＝ d•|DE|＝ |m| ＝ ＝2 ， 由 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4λ＝0， 所以（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4λ）≥0，即λ≥ ， 故①当 0＜λ＜ 时，则 ≤λ＜ ，故 ＝λ＜ ， 第 17 页 共 18 页 即直线与椭圆 C2： + ＝λ相切时，面积最大为 2 ， ②当 ≤λ＜1 时， ＝ 时，△DOE 的面积最大为 1， 综上可得（S△DOE）max＝ ． 22．（本题满分 12 分） 已知函数 2 ( ) 2sin x af x x   (aR)． （1）若曲线 ( )y f x 在点( 2  ， ( )2f  )处的切线经过坐标原点，求实数 a； （2）当 a＞0 时，判断函数 ( )f x 在 x(0， )上的零点个数，并说明理由． 【解析】（1） 所以 在点 处的切线方程为 ， 所以 ，即 （2）因为 ，所以 ， 所以 可转化为 ， 设 ，则 ， 当 时， ， 所以 在区间 上单调递增， 当 时，设 ， 此时 ， 所以 在 时单调递增， 又 ， 所以存在 使得 且 时 单调递减， 时 单调递增， 第 18 页 共 18 页 综上，对于连续函数 ，在 时， 单调递减， 在 时， 单调递增， 又因为 ， 所以当 ，即 时，函数 有唯一零点在区间 上， 当 ，即 时，函数 在区间 上无零点， 综上可知，当 时，函数 在 上有 1 个零点； 当 时，函数 在 上没有零点．