浙江省2021届高三下学期水球高考命题研究组方向性测试Ⅱ数学试题 含答案

绝密★启用前 2021 届浙江省水球高考命题研究组方向性测试Ⅱ 数学 姓名___________ 准考证号__________________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。 满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定 的位置上。 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作 答一律无效。 参考公式： 若事件 A ， B 互斥，则 柱体的体积公式      P A B P A P B   V Sh 若事件 A ， B 相互独立，则 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高      P AB P A P B 锥体的体积公式 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，则 n 次 1 3V Sh 独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高      1 0,1,2, ,n kk k n nP k C p p k n    球的表面积公式 台体的体积公式 24S R  1 1 2 2 1 3V S S S S h   球的体积公式 其中 1S ， 2S 分别表示台体的上、下底面积， 34 3V R h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合  0,1,2A  ，  1,2,3,4B  ，则  A B A ð A. 1,2 B. 3,4 C. 0,1,2 D. 0,3,4 2.抛物线 2 1y x  的准线方程是 A. 3 4x  B. 5 4x  C. 3 4y  D. 5 4y  3.已知半径为  0r r  的圆被直线 2y x  和 2 5y x   所截得的弦长均为 2，则 r  A. 5 4 B. 2 C. 3 2 D. 3 4.若函数   sin 4f x x      在区间 ,012     内单调，且 ,08P      是  f x 的一个对称中心，则 的值 是 A.6 B. 10 C.9 D. 2 5.函数  3log 0 1ay x ax a    的图像可能是 A. B. C. D. 6.己知 , , ,a b c d R ，则“    max , max , 0a b c d  ”是“  max , 0a c b d   ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 注：  max ,p q 表示 p ， q 之间的较大者. 7.已知实数 a ，b ， c 成公差不为 0 的等差数列，若函数  f x 满足  f a ，  f b ，  f c 成等比数列，则  f x 的解析式可以是 A.   2f x x B.   2 1f x x  C.   2f x x D.   2 1f x x  8.设随机变量  ~ ,X B n p ，若二项式  2 0 1 3 2 2 n n nx p a x x a x      ，则 A.   3E X  ，   2D X  B.   4E X  ，   2D X  C.   2E X  ，   1D X  D.   3E X  ，   1D X  9.已知非零平面向量 a  ，b  满足 a b a b      ，则 a b  的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，在大小为 1 的锐二面角 l   中， A  ， B  ， ,M N l ， ,AM BN l ， C ， D 分别 为 AB ， MN 的中点.记直线 AN 与半平面  的夹角为 2 ，直线 CD 与半平面  的夹角为 3 .若 AM MN BN  ，则 A. 1 22  ， 1 32  B. 1 22  ， 1 32  C. 1 22  ， 1 32  D. 1 22  ， 1 32  非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11.设i 是虚数单位，复数 1 2 2 1 iz i    ，则 z 的虚部是______， z  _______. 12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位： 3cm ）是______，表面积（单位： 2cm ）是_________. 13.三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出 了巨大贡献，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一 倍角的和来化简.注意到sin36 cos54   ，化简并整理可得 sin18  _________. 14.已知平面区域 1 0 : 3 1 0 0 x y x y xy          ，则  的面积是______， 2x y 的取值范围是______. 15.从 1，2，3，4，5，6 中选出五个数字组成五位数，要求有且仅有两个奇数相邻，则所有满足条件的五位 数的个数是___________.（用数字作答） 16.已知双曲线 2 2 : 19 7 x yC   ，  3,0A ，  4,0F ，O 是坐标原点，过点 F 的直线l 交双曲线C 于 M ，N 两点，若直线l 上存在点 P 满足 4AP OP   ，则 MN 的最小值是_____. 17.已知数列 na 的各项均不相同， 1 0a  ， 2021ka  ，  1 2,3i ia a    （ 2 i k  ， *i N ），则正 整数 k 的最小值是________，最大值是______. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（本题满分 14 分）在 ABC△ 中，  tan tan 2 tan tancos cos A B A BB A    .设角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ， b ， c . （Ⅰ）求 a b c  的值； （Ⅱ）若 ABC△ 的面积 21 4S c ，求 sinC 的值. 19.（本题满分 15 分）如图，E ，F 分别是矩形 ABCD 边 AD ，BC 上的点，沿 EF 将矩形 ABCD 翻折成 多面体 1 1A B CDEF ， 3AD AB ， 1 3AE CF BC  . （Ⅰ）证明： 1EF B D ； （Ⅱ）当 1B D CD 时，求二面角 1 1A B D C  大小的余弦值. 20.（本题满分 15 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，记集合   1, *n n nT a S a n N   . （Ⅰ）若等比数列 nb 的首项 1b b ，公比为 b ，且 nb T ，求 b 的取值范围； （Ⅱ）若等差数列 nc 的首项 1c c ，公差为 d ，且 nc n T  ，证明： 2 0c d   . 21.（本题满分 15 分）如图，椭圆   2 2 2 2: 1 0x y a ba b      的离心率为 e ， 1F ， 2F 分别是其左、右焦点， 过 2F 的直线l 交椭圆于点 A ， B ， P 是椭圆上不与 A ， B 重合的动点，O 是坐标原点. （Ⅰ）若O 是 PAB△ 的外心， 4PAB   ，求 e 的值； （Ⅱ）若 1F 是 PAB△ 的重心，求 e 的取值范围. 22.（本题满分 15 分）已知实数 0a  ，设函数   ln a af x x x e   . （Ⅰ）若函数  f x 有唯一零点 ax ，且 1ax  ，证明： ax 随着 a 的增大而增大； （ Ⅱ ） 设 0x 是 函 数  f x 的 极 值 点 ， 若 对 任 意 满 足    1 2f x f x 的 正 实 数  1 2 1 2,x x x x 均 有 1 2 0 1 1 2 x x x   ，求 a 的取值范围. 命题&审核：水球高考命题研究组 2021 届浙江省水球高考命题研究组方向性测试Ⅱ参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，共 40 分。 1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 7.D 8.C 9.D 10.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11. 1 2  ； 10 2 12.6；14 4 2 13. 5 1 4  14. 2 3 ；   2,0 0,1  15.360 16.6 17.678；2028 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。 18.本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养。满分 14 分。 （Ⅰ）通分并化简得  sin sin 2sinA B A B   ， 由 A B C    得  sin sinA B C  ， 由正弦定理得 2a b c   . （Ⅱ）由 1 sin2S ab C 得 2 2sinc Cab  ， 由余弦定理得  2 22 2 2 23cos 1 12 2 2 a b ca b c cC ab ab ab        ， 两式比对可得 3sin 1 cosC C  ， 解得 3sin 5C  . 19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查直观想象和数学运算等素养。满 分 15 分。 （Ⅰ）连接 BD 交 EF 于点 H . 由 3AD AB ， 1 3AE CF BC  知 1sin cos 2CBD BFE    ，因此 BD EF . 由翻折知 1B H EF ，所以 EF  平面 1BB D . 又因为 1B D  平面 1BB D ，所以 1EF B D . （Ⅱ）方法一： 由（Ⅰ）知 1 1CD B D B H DH   ，故 1B DH△ 是等边三角形.由对称性知 1 1 1B CD B A D△ △ .过点C 作 1CM B D 于 M ，过点 1A 作 1 1A N B D 于 N ，则 CM  与 1A N  所成的角即为所求. 不妨设 1AE  ，计算得 1 3 2 2B C  ， 1 3 5 4CM A N  ， 3 2MN  ，则 1 57 4CN A M  . 由余弦定理计算得 1 1cos 8B FC  ，因此 1 39 2AC  . 所以 2 2 2 2 1 1 1 1 3cos cos , 2 5 CN A M CA MNCM A N CM A N          . （Ⅱ）方法二： 由（Ⅰ）知 1 1CD B D B H DH   ，故 1B DH△ 是等边三角形，延长 BA ，FE 交于点 P ，则 P ， 1A ， 1B 三点共线。如图，以点 D 为原点，以射线 DC 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 D xyz . 不妨设 1AE  ，则  0,0,0D ，  3, 3,0P   ， 1 3 3 3, ,4 4 2B      ，  3,0,0C . 因此  3, 3,0DP    ， 1 3 3 3, ,4 4 2DB        ，  3,0,0DC  . 设平面 1 1B DA 的法向量  1 1 1 1, ,n x y z 由 1 1 1 0 0 DB n DP n          得 1 1 1 1 1 3 3 3 04 4 2 3 3 0 x y z x y         ； 设平面 1B DC 的法向量  2 2 2 2, ,n x y z . 由 1 2 2 0 0 DB n DC n          得 2 2 2 2 3 3 3 04 4 2 3 0 x y z x       . 取  1 3, 1, 1n    ，  2 0, 2, 1n    ， 则 1 2 1 2 1 2 3cos cos , 5 n n n n n n             . 注意到二面角 1 1A B D C  是钝二面角，因此，二面角 1 1A B D C  大小的余弦值为 3 5  . 20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养。满分 15 分。 （1）记 nP 为数列 nb 的前 n 项和. 当 1b  时， 1nb  ， nP n ，则 1n  . 因此 1b  符合题意. 当 1b  时， n nb b ，  1 1 n n b b P b    ，则   11 1 n nb b bb   . 由 1 2P b 解得 0 1b  ，此时    1 11 1 1 n n n n nb b b b b b bb b        . 因此 0 1b  符合题意. 综上所述，b 的取值范围是  0,1 . （Ⅱ）记 nQ 为数列 nc n 的前 n 项和， 由题意，  1nc n d n c d     ，  1 1 2 12nQ n d n c d       ，则    1 1 2 1 1 12 n d n c d d n c          ， 即    21 2 3 1 2 2 0d n c d n c       ， 故 1d   . 由 1 2 2Q c  解得 1d   ，因此 1d   . 于是  2 2 2 2 0c n c    ， 解得 1c   . 所以 2 0c d   . 21.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、数学运算与逻 辑推理等素养。满分 15 分。 （Ⅰ）由椭圆的对称性得 AB x 轴， AB PB ， 由 2 , bA c a      ， 4PAB   得 2b ca  ， 解得 5 1 2 ce a   . （Ⅱ）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  3 3,C x y ，直线l 的方程是 x my c  . 将直线l 的方程代入椭圆 2 2 2 2: 1x y a b    得    2 2 2 2 2 2 2 22 0a b m y b cmy b c a     ， 所以 2 1 2 2 2 2 2b cmy y a b m     ，   2 1 2 1 2 2 2 2 22 a cx x m y y c a b m       . 由  1 2 3 1 03 y y y   ，  1 2 3 1 3 x x x c    得 2 3 2 2 2 2b cmy a b m   ， 2 2 2 3 2 2 2 5 3a c b cmx a b m    . 将C 的坐标代入椭圆 2 2 2 2: 1x y a b    得     22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 5 3 4 a c b cm b c m a b ma     ， 令  2 2 0,b m t   ，则      2 2 2 2 2 49 1 34 2 25 1 0e t e a t e a      . 该方程在 0, 内有解，而 4 4256 0e a   ，因此    2 2 2 9 1 0 34 2 25 1 0 e e e       或 2 2 1 17 09 1 e e   或    2 2 2 2 1 17 09 1 9 1 25 1 0 e e e e         ， 解得 1 1 5 3e  . 22.本题主要考查函数的单调性、零点，导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、逻辑推理与数学运算等 素养。满分 15 分。 （Ⅰ）当 0a  时，  f x 单调递增. 注意到  1 0f  ，   0f e  ，则  f x 在 1,e 内有唯一零点 ax . 任取 1 20 a a  ，则有 2 2 1 1 1 1 1 1 ln ln 0a a a a a a a ax x e x x e      ， 故 2 2 1 1 2 2 ln lna a a a a ax x x x   ， 因此 1 2a ax x ，即 ax 随着 a 的增大而增大. 当 0a  时，   11 1 a a axf x axx x      ，所以 x 10, a a      1a a  1 ,a a        f x - 0 +  f x 单调递减 极小值 单调递增 若 1 0a   ，则 1 1a a   ，而  1 0f  ， 故若  f x 有零点 ax ，必有 1ax  ，舍去； 若 1a   ，则 1 1a a   ，而   1ln1 1 1 0 a aa aeaf x f ea a a a                 ， 故  f x 没有零点，舍去. 综上所述， ax 随着 a 的增大而增大. （Ⅱ）由（Ⅰ）知此时 0a  ， 0 1ax a   ，作换元 1 1 1t x  ， 2 2 1t x  ， 0m a   ，则 1 1 2 2ln lnm mt t t t b    ， 1 1 1 m a m a   . 令 1 2 1t kt   ，解得 1 ln 1 m m kt k k   ， 2 ln 1 m m kt k   . 记          1 2 1 21 2 1 ln 1 m m m mm mmg k k t t k k km m                 ，则      1 111 ln 2 m m m mkg k m k k kk       . 令       ln 2 11 11 m m kg k mk k kh k k kk          ，则     1 2 2ln 2 111 mm kh k k k kk              . 令      2 11 2ln 2 11 mk h k kk k km k           ，则       21 21 1 1 m m m m kk k k       . 由于  1 3 m   ，故 当 3m  时，  1 0  ，     2 2 2 2 8ln 2 1 ln 11 1 k kk k k k kk k              . 令          2 2 21 1 ln 1 8p k k k k k k k       ，则     2 12 1 ln 3 9 5p k k k k k k        ，   2 2 12ln 6 7p k k k x x       ，   2 3 2 1 3 6 02 4p k xx              . 故  p k 单调递增. 所以    1 0p k p   ，故  p k 单调递增. 所以    1 0p k p   ，故  p k 单调递增. 所以    1 0p k p  ，   0k  ，   0h k  ，故  h k 单调递增. 所以    1 0h k h  ，   0g k  ，故  g k 单调递增. 所以    1 0g k g  ，故 1 2 12 0 m m mt t m        ， 1 2 12mt t m   . 此即 1 2 0 1 1 2 x x x   ，因此 3 0a   符合题意. 当 3m  时，  1 0  ，故存在 1t  使得  k 在 1,t 内单调递减. 所以    1 0k   ，   0h k  ，故  h k 在 1,t 内单调递减. 所以    1 0h k h  ，   0g k  ，故  g k 在 1,t 内单调递减. 所以    1 0g k g  ，故 1 2 12 0 m m mt t m        ， 1 2 12mt t m   . 此即 1 2 0 1 1 2 x x x   ，因此 3a   不符合题意. 综上所述， a 的取值范围是 3,0 .