对《基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径》一文的若干解读与例题分析

数学新高考命题改革解读 第 1 页（共 6 页） 对《基于高考评价体系的数学科考试内容改革 实施路径》一文的若干解读与例题分析 根据教育部考试中心任子朝研究员和赵轩助理研究员在《中国考试》2019 年第 12 期上发 表的《基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径》一文，现对数学新高考命题改革做 一简要解读。 一、原文摘录 （一）数学科考查要求 高考数学的基础性强调数学的通用性和工具性，关注学生未来工作、学习必须具备的知识 基础和学科主干内容，通过全面系统地考查核心概念、基本原理、基本方法，使学生形成牢固 的知识根基，掌握解决问题的工具。 高考数学的综合性强调融会贯通，强调各分支内容和学科之间的联系，既包括学科知识的 内部联系，也包括与其他学科的紧密结合，促进学生从整体上建构知识框架，形成合理的认知 结构。 高考数学的应用性强调学以致用，将抽象的数学概念与实际生活相结合，运用数学知识、 思想和方法对实际问题进行分析与研究，进而解决问题，通过联系生产生活实际的试题情境设 计，考查学生有效解决实际问题的方法和能力。 高考数学的创新性强调对知识的灵活运用，通过命制开放性试题、结构不良试题，发挥选 拔功能。 为落实“四翼”考查要求，高考数学科的考试设计应：①注意学科间的渗透和交叉，适当 增加具有自然科学和社会人文学科情境的试题，促进学科间的融合以及对核心素养的有效考查； ②关注探究能力、数学学习能力的考查，通过创新题型，对学生的创新能力进行考查；③通过 调整试卷结构，打破固有模式，探索试题排列新方式，努力破除复习备考中题海战术和套路训 练的影响。 （二）数学科考查载体 数学课程学习情境包括数学概念建构、数学原理习得、数学运算学习、数学推理学习等问 题情境，关注已有知识的基础和准备程度；数学探索创新情境包括推演数学命题、数学探究、 数据分析、数学实验等问题情境，关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索：这 2 类情境是考查学生数学基础和数学抽象的重要载体，指向考查学生理性思维素养和数学探究 素养，为高校选才提供关于学生应对大学数学学习准备程度的依据。生活实践情境是需要考生 将问题情境与学科知识、方法建立联系，应用学科工具解决问题；生活实践情境关注与其他学 科和社会实践的关联，是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体。 以课程学习情境为检验基础的量尺，以探索创新情境为区分甄选的手段，以生活实践情境 为拓展应用的渠道。在保持课程学习情境试题占一定比例的前提下，增加探索创新情境和生活 实践情境试题的比例，以更好实现学科素养和关键能力的考查目标。 数学新高考命题改革解读 第 2 页（共 6 页） 二、例题解读 （一）学科知识内部联系 （等六校 2021 届高三第四次适应性考试，15）已知数列{ }na 为正项数列， 1 1a  ， nS 为 na 的前 n项和，且满足 2 11 n n nS a S   ，则分别以1， nS ， 1na  为三边边长的三角形 有一内角为定值__________，{ }na 的通项公式为__________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．） 答案 π 3 ； 2 2 3 π 14sin [ ( ) ]3 2 n n a    本题为朱振东所命，是一道角度新颖、区分度较高的好题。试题将正余弦 定理与数列有机结合，第一空给予考生思路上的提示，即构造三角形，由余弦定理求出定角， 再由正弦定理推出数列的通项公式，水到渠成。要求考生具备完整的知识脉络，将数学各分支 知识融会贯通。 （二）数学课程学习情境 （等六校 2021 届高三第四次适应性考试，16）在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 13AB  ， 5AD  ， 1 12AA  ，过点 A 且与直线CD 平行的平面 将长方体分成两部分．现同 时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，这两个球的半径之和的最 大值为__________． 答案 165 38 本题为江苏省兴化中学姚楷所命，命题比较巧妙，并未给出具体图形，考查学生的逻辑推 理能力和直观想象能力，需要将图形语言转化为函数语言。需要注意的是，本题有两个易错点， 一是没有注意到放入小球并不等价于内切球，而是一个实际的物体，不能超过长方体的任一边， 应将函数写成分段函数；二是没有注意到自变量的取值范围，使用基本不等式以致出错。 （三）学科之间交叉渗透 （等六校 2021 届高三第四次适应性考试，4）用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是 化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法．根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机 溶剂和水中的物质的量浓度（单位： mol/L ）之比为常数 K ，并称 K 为该溶质在水和有机溶剂 中的分配常数．现用一定体积的有机溶剂进行 n 次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量 为原物质的量的 10 10 K 倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为 1.0 mol/L ，该溶质在水和 有机溶剂中的分配常数为 20 ，则至少经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于 5 1.0 10 mol/L ？（假设萃取过程中水溶液的体积不变．参考数据： ln 3 1.099≈ ， ln10 2.303≈ ．） A．9 次 B．10次 C．11次 D．12次 答案 C 本题为江苏省赵嘉钰所命，以化学中的萃取后溶质的残留量为背景，利用 等比数列、指数与对数的运算来解决自然科学中的问题，考查了信息提取能力、数学建模能力 数学新高考命题改革解读 第 3 页（共 6 页） 和求解运算能力，体现了数学学科的基础性作用，落实了综合性、应用性的考查要求。 （四）逻辑思维创新探索 （2021 年八省市新高考适应性考试，20）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空 间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体 顶点的曲率等于 π2 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角 度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲 率之和．例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 3 π ，所以正四面体在各顶点的曲 率为 π3 π3π2  ，故其总曲率为 π4 ． （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，证明：这 类多面体的总曲率是常数． 答案 略 本题为教育部考试中心所命，是一道基于逻辑思维能力的新定义立体几何题，由大兴机场 引入，提出了关于“曲率”的新定义，要求考生根据题目所给的条件，自主提炼与分析，完成 基于新概念下的证明与解答。 （等六校 2021 届高三第四次适应性考试，20）郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物 面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合．双 曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似．双 曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线、反射式天文 望远镜利用了其光学性质等等． （1）已知 A ， B 是在直线l 两侧且到直线l 距离不相等的两点， P 为 直线 l 上一点．试探究当点 P 的位置满足什么条件时，| |PA PB 取最大 值； （2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线 在入射点处的切线在该点处的垂线对称．证明：由双曲线一个焦点射出的 光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一 个焦点． 答案 略 本题为江苏省赵嘉钰所命，是一道集数学、物理、美术于一体的综合题， 试题以社会主义建设成果郑州中原福塔的曲面外形为背景，从平面几何的一个结论入手，引入 问题，需要利用双曲线的定义及其几何性质对双曲线的光学性质进行定量化的说明，逻辑性极 强，体现了理性思维、数学应用和数学探究的学科素养，考查了逻辑推理能力、直观想象能力 和语言表述能力，落实了综合性、应用性和创新性的考查要求。 （五）结构不良结论开放 （等四校 2021 届高三第三次适应性考试，17）在①B＝2C，②sin A＝sin B·sin C， 数学新高考命题改革解读 第 4 页（共 6 页） ③csin B＝3 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值； 若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的面积为 S，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b＝5， 8S＝(a＋b)2－c2，__________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案 选条件①，存在这样的三角形， 6 25c ；选条件②，存在这样的三角形， 17c ； 选条件③，不存在这样的三角形． 本题为江苏省赵嘉钰所命，是一道结构不良问题，意在引导学生的思维从 知识的学习与记忆转向问题的解决、决策的选择。选择不同条件，解决的方法、途径以及最后 得到的结果是完全不同的，而且三个条件中一般有一个条件得到的结果为“不存在……”。但 无论选择哪个条件，只要进行正确解答，都能得分，以此考查考生的思维系统性、灵活性、深 刻性和创造性。 （2021 年八省市新高考适应性考试，15）写出一个最小正周期为 2 的奇函数 )(xf ________． 答案 xπsin （答案不唯一） 本题为教育部考试中心所命，是一道开放型试题，题目的设问和解答均有一定的开放度， 但限于阅卷时评分标准把握的一致性、困难性，开放型试题的命制尚在研究阶段，本题难度不 大。考生可以根据自己的知识储备按照题目要求答题，有助于考生打破常规进行思考，跳出题 海训练的固定模式，对于降低机械刷题收益，选拔真正的创新性人才有较好的作用。 （六）生产生活实际情境 （2017 年全国Ⅱ卷理科数学，14）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的 成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的 成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 答案 D 本题为教育部考试中心所命，是一道逻辑题，其突破固有模式，融逻辑问题于生动的实际 情境中，体现了数学源于生活的思想，启发学生在日常生活中发现数学、学习数学，主动提出 问题，并通过思考得出答案，在提高学生学习数学兴趣、培养逻辑思维能力、提升解决实际问 题的能力方面有着很好的引导作用。 （徐州市（市区部分学校）2021 届高三 9 月学情调研考试，22）某中学开展劳动实习，组 织学生前往电子科技产业园学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作 的概率都是 p (0＜p＜1)，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测 k (k∈N*)个这样 的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这 k 个 电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这 k 个电子元件中必有一个或多 个电子元件不能正常工作，须再对这 k 个电子元件进行逐一检测． （1）记对电子元件总的检测次数为 X，求 X 的概率分布和数学期望； 数学新高考命题改革解读 第 5 页（共 6 页） （2）若 p＝0.99，利用(1－α)β (0＜α