2021 届高三数学三轮复习精要（新高考地区专用）
专题 06 核心素养训练
1．2020 年 1 月 15 日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（ 也称“强
基计划”），《意见》宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划上要选
拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高
校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科
目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为 1
2
，该考生报考乙大学，
每门科目通过的概率依次为 1 2
6 3 m， , ，其中 0 1m .
（1）若 2
3m ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决
策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求 m 的范围.
【答案】（1） 3
8
， 7
18
；（2） 2 13 m .
（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件 A ，则
2
1
3
1 1 3( ) 2 2 8P A C
，
该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件 B ，则
21 1 5 2 1 21 7( ) 26 3 6 3 3 54 18P B
；
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为 X ，根据题意可知， 1~ 3, 2X B
，则 1 3( ) 3 2 2E X ，
报将乙大学通过的科目数为Y ，随机变量Y 满足概率为：
5 1 5( 0) (1 ) (1 )6 3 18P Y m m ，
1 1 5 2 5 1 11 1( 1) (1 ) (1 )6 3 6 3 6 3 18 3P Y m m m m ，
1 2 1 1 5 2 1 1( 2) (1 )6 3 6 3 6 3 9 2P Y m m m m ，
1 2 1( 3) 6 3 9P Y m m ，
随机变量Y 的分布列：
Y 0 1 2 3
P 5 118 m 11 1
18 3 m 1 1
9 2 m 1
9 m
11 1 2 1 5( ) 18 3 9 3 6E Y m m m m ，
因为该考生更希望通过乙大学的笔试， E Y E X ，则 5 3
6 2m ，
所以 m 的范围为： 2 13 m .
2．党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会
议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的
概率为 0 1p p .现有 4 例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合
在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再
逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：4
个样本逐个化验；方案二： 4 个样本混合在一起化验；方案三： 4 个样本均分为两组，分别混合在一起化
验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
（1）若 1
3p ，按方案一，求 4 例疑似病例中恰有 2 例呈阳性的概率；
（2）若 1
10p ，现将该 4 例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说明理由.
【答案】（1） 8
27
；（2）方案二最优，理由见解析.
1 用 X 表示 4 例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量 1~ 4, 3X B
由题意可知：
2
2
2
4
1 1 82 13 3 27P x C
.
2 方案一：若逐个检验，则检验次数为 4 .
方案二：混合一起检验，记检验次数为 ,X 则 1,5X .
41 81 81 65611 1 10 10000 10000P X
34395 1 1 10000P X P X
6561 3439 237561 510000 10000 10000E X
方案三：每组的两个样本混合在一起化验，若结果呈阴性，则检测次数为1，
其概率为
2 81
10
1
1001
,
若结果呈阳性，则检测次数为3, 其概率为 81 191 100 100
设方案三检测次数为随机变量 ,Y 则 2,4,6Y
81 81 65612 10000 1000
81 81
10 0100 0P Y
19 2 81 19 30784 2100 10000 10
81
100 000P Y
19 19 3616 100 100 10000P Y
则 81 81 2 81 19 19 19 276002 410000 10000 10000 10000E Y
由 4E X E Y ，
知方案二最优.
3．某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，
绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A，B．经调查得知，A 考生由于重
感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据
后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
42 42 42
1 1 1
4641, 3108, 350350,i i i i
i i i
x y x y
1 2
42
13814.5,
i
ix x
1 2
42
5250,
i
iy y
其中 xi，yi 分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩，i＝1，
2，…，42，y 与 x 的相关系数 r＝0.82．
（1）若不剔除 A，B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系数为 r0．试判断 r0
与 r 的大小关系，并说明理由；
（2）求 y 关于 x 的线性回归方程（系数精确到 0.01），并估计如果 B 考生加了这次物理考试（已知 B 考生
的数学成绩为 125 分），物理成绩是多少？（精确到个位）；
（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布 2,N ，以剔除后的物理成绩作为
样本，用样本平均数 y 作为μ的估计值，用样本方差 s2 作为σ2 的估计值．试求该地区 5000 名考生中，物理
成绩位于区间（62.8，85.2）的人数 Z 的数学期望．
附：①回归方程 y a bx 中： 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
a y bxb
x x
，
②若 2~ ,N ，则 ( ) 0.6826, ( 2 2 ) 0.9544P P
③ 125 11.2
【答案】（1）r0＜r，理由详见解析；（2） 0.50 18.64y x ，81 分；（3）3413．
（1）r0＜r．
理由如下：由图可知，y 与 x 成正相关关系，
①异常点 A，B 会降低变量之间的线性相关程度．
②44 个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小．
③42 个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．
④42 个数据点更贴近其回归直线 l．
⑤44 个数据点与其回归直线更离散．
（2）由题中数据可得：
42 42
1 1
1 110.5, 7442 i i
i i
x x y y
，
所以 42 42
1 1
42 350350 42 110.5 74 6916i i i i
i i
x x y y x y x y
，
又因为
42 2
1
13814.5i
i
x x
，所以
1
2
1
6916ˆ 0.50113814.5
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
，
74 0.501 110.5 18.64a y bx ，所以 0.50 18.64y x ，
将 125x 代入，得 0.50 125 18.64 62.5 18.64 81y ，
所以估计 B 同学的物理成绩约为 81 分.
（3）
42 42
2 2
1 1
1 174, ( ) 5250 12542 42i i
i i
y y s y y
，
所以ξ～N（74，125），又因为 125 11.2
所以 (62.8 85.2) (74 11.2 74 11.2) 0.6826P P ，
因为 ~ (5000,0.6826)Z B ，所以 ( ) 5000 0.6826 3413E Z ，
即该地区本次考试物理成绩位于区间（62.8，85.2）的数学期望为 3413．
4．【河南省 2021 届普通高中毕业班高考适应性测试】直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用
主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某
贫困地区有统计数据显示，2020 年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图 1 所示，
一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图 2 所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（ 20 岁~39 岁）
和“非年轻人”（19岁及以下或者 40 岁及以上）两类，将一周内使用的次数为 6次或 6次以上的称为“经常使
用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”
中有 5
6
是“年轻人”．
（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个
容量为 200 的样本，请你根据图表中的数据，完成 2 2 列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为
经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表
年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
（2）某投资公司在 2021 年年初准备将1000 万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案
供选择：
方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15% ，也可能
不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 7 1 1,10 5 10
， ；
方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可
能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 3 3 1
5 10 10
， ， ．
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．
参考数据：独立性检验临界值表
2
0P K k
0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中，
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
．
【答案】（1） 2 2 列联表见解析，有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关；（2）选方案一，
理由见解析.
（1）由图 1 知，“年轻人”占比为 45.5% 34.5% 80% ，即有 200 80%=160 （人），“非年轻人”有
200 160 40 （人）
由图 2 知，“经常使用直播销售用户”占比为30.1% 19.2% 10.7% 60% ，即有 200 60%=120 （人），“不
常使用直播销售用户” 有 200 120 80 （人）.
“经常使用直播销售用户的年轻人”有中有 5120 1006
（人），“经常使用直播销售用户的非年轻人”有
120 100 20 （人）
补全的列联表如下：
年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用户 100 20 120
不常使用直播销售用户 60 20 80
合计 160 40 200
于是 100, 20, 60, 20a b c d .
2
2 200 (100 20 60 20) 25 2.083 2.072120 80 160 40 12K
，
即有85%的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关.
（2）若按方案一，设获利 1X 万元，则 1X 可取的值为行300 150,0， ， 1X 的分布列为：
1X 300 150 0
p 7
10
1
5
1
10
1
7 1 1300 ( 150) 0 18010 5 10E X （万元），
2 2 2
1
7 1 1(300 180) ( 150 180) (0 180)10 5 10D X
2 2 27 1 1120 330 180 3510010 5 10
若按方案二，设获利 2X 万元，则 2X 可取的值为500, 300,0 ， 2X 的分布列为：
2X 500 300 0
p 3
5
3
10
1
10
2
3 3 1500 ( 300) 0 2105 10 10E X （万元），
2 2 2
2
3 3 1(500 210) ( 300 210) (0 210)5 10 10D X
2 2 23 3 1290 510 210 1329005 10 10
1 2 1 2,E X E X D X D X Q ，
由方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一.
5．射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运
动.射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康.为了度过愉快
的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动.
（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有 k k N 发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为
0 1p p ，靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹
数量为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望.
（2）张三在休息之余用手机逛 B 站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合
会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪
里没有子弹”.由此，在接下来的射击体验中，张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为 M191
7，弹容为 6 发的左轮手枪，弹巢中有 m 发实弹，其余均为空包弹.现规定：每次射击后，都需要在下一次
射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行 n n N 次射击后，记弹巢中空包弹的
发数 nX .
（ⅰ）当 n N 时，探究数学期望 nE X 和 1nE X 之间的关系；
（ⅱ）若无论 m 取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的
数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望 1 时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最
小的射击次数 0n .（参考数据： lg2 0.301 、 lg3 0.477 ）
【答案】（1）分布列见详解；数学期望为
1
1
kp p
p
；（2）（ⅰ） 1
5 16 nn E XE X n N ；（ii）10.
（1）由题意， X 的所有可能取值为： 0 ，1， 2 ，…， 1k ， k ，
因为张三每次打靶的命中率均为 0 1p p ，
则 1 0,1,2,..., 1mP X m p p m k ， kP X k p ，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 ... 1k k
P 1 p (1 )p p 2 (1 )p p ...
1(1 )kp p kp
所以 X 的数学期望为 2 3 11 2 1 3 1 ... 1 1k kE X p p p p p p k p p kp ，
令 2 3 12 3 ... 1 kM p p p k p ①，
则 2 3 42 3 ... 1 kpM p p p k p ②，
所以① ②可得，
1
2 3 1 1
1 ... 1 11
k
k k kp p
p M p p p p k p k pp
，
则
1
1 11 1
k k
k k kp p p pE X M p kp k p kpp p
；
（2）（ⅰ）第 n 次射击后，可能包含两种情况：第 n 次射出空包弹或第 n 次射出实弹；
因为第 n 次射击前，剩余空包弹的期望为 1nE X ，
若第 n 次射出空包弹，则此时对应的概率为 1
6
nE X ，因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的
数量为 1 11 1n nE X E X ；
若第 n 次射出实弹，则此时对应的概率为 11 6
nE X ，所以此时空包弹的数量为 1 1nE X ；
综上， 1 1
1 1 1
51 1 16 6 6
n n
n n n n
E X E XE X E X E XE X
；
（ⅱ）因为当 0n 时，弹夹中有 6 m 发空包弹，则 0 6E X m ；
由（i）可知： 1
5 16 nn E XE X *n N ，则 1
56 66n nE X XE n N ，所以
6nE X n N 是首项为 m ，公比为 5
6
的等比数列，
则 5
66n
n
E X m
，即 5
66n
n
E mX
n N ，
因此弹巢中实弹的发数的期望为 5
66
n
nX mE
，
为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于1，只需 5 16
n
m
，则 6
5
n
m
，所以 6
5
log m n ，
为使 6
5
log m n 恒成立，只需 6
5 max
log m n
，
而 6 6
5 5max
lg6 lg6 lg 2 lg3 lg 2 lg3log log 6 6 lg6 lg5 lg 2 lg3 l lg 2 2lg 2 lg3 llg 5
m
0.301 0.477 9.8480.602 0.477 1
，
又 n N ，所以最小的射击次数 0 10n .
6．【2021 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试】北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯
曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的
曲率等于 2 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多
面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个
顶点有 3 个面角，每个面角是
3
，所以正四面体在各顶点的曲率为 2 3 3
，故其总曲率为 4 ．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数 2 ，证明：这类多面体的总曲率是常数．
【答案】（1） 4 ；（2）证明见解析.
（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.
可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：
四棱锥共有 5 个顶点，5 个面，其中 4 个为三角形，1 个为四边形.
所以四棱锥的表面内角和由 4 个为三角形，1 个为四边形组成，
则其总曲率为： 2 5 4 2 4 .
（2）设顶点数、棱数、面数分别为 n 、 l 、 m ，所以有 2n l m
设第i个面的棱数为 ix ，所以 1 2 2mx x x l
所以总曲率为：
1 22 2 2 2mn x x x
2 2 2n l m
2 4n l m
所以这类多面体的总曲率是常数.
7．如图所示，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点 E ，F 分别在棱 1AA ， 1CC 上，
且满足 1
1
3AE AA ， 1
1
3CF CC ，平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l .
（1）证明：直线 l 平面 1BDD ；
（2）已知 2EF ， 1 4BD ，设 BF 与平面 1BDD 所成的角为 ，求 sin 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2） 5 3,5 5
.
（1）如图，连接 AC ，与 BD交于点 O .
由条件可知 //AE CF ，且 AE CF ，所以 //AC EF ，
因为 EF 平面 BEF ，所以 //AC 平面 BEF .
因为平面 BEF I 平面 ABC l ，所以 //AC l .
因为四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，
所以 AC BD ， 1AC BB ，
又 1BD BB B ，所以 AC 平面 1BDD ，
所以 l 平面 1BDD .
（2）如图所示，以 O 为坐标原点，分别以OB
，OC
的方向为 x ， y 轴的正方向建立空间直角坐标系.
设 2BD a ，因为 1BD BD ，所以 0 2a .
则OB a ， 2 2 2
1 1 2 4DD BD BD a .
所以 ( ,0,0)B a ， (0,1,0)C ， 220,1, 43F a .
由（1）可知 (0,1,0)OC 是平面 1BDD 的一个法向量，
而 22,1, 43BF a a
，
所以 sin cos ,
OC BF
OC BF
OC BF
2
2 2
1 3
4 25 51 49
aa a
，
当 0 2a 时，
2
5 3 3
5 525 5a
，
即 5 3sin ,
5 5
.
8．已知梯形 BFEC 如图 1 所示，其中 //BF EC ， 3EC ， 2BF ，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，
沿 AD 将四边形 EDAF 折起，使得平面 EDAF 平面 ABCD ，得到如图 2 所示的几何体.
（1）求证：平面 AEC 平面 BDE ；
（2）若点 H 在线段 BD上，且 EH 与平面 BEF 所成角的正弦值为 6
9
，求线段 DH 的长度.
【答案】（1）证明见解析；（2） 2
2
.
（1）∵平面 EDAF 平面 ABCD ， DE 平面 EDAF
平面 EDAF 平面 ABCD AD ， DE AD
∴ DE 平面 ABCD
∵ AC 平面 ABCD ，∴ DE AC
∵四边形 ABCD 是正方形∴ AC BD
∵ DE 、 BD 平面 BDE ， DE BD D ，∴ AC 平面 BDE
∵ AC 平面 ACE ∴平面 AEC 平面 BDE
（2）建系如图
设平面 BEF 的法向量 , ,n x y z ， 0,0,2E ， 1,0,1F ， 1,1,0B
0
0
EF n
BF n
，则 1,1,1n
设 , ,0H a a ， , , 2aH aE
uuur
2
2 2 6cos , 93 2 4
aEH n
a
解得 1
2a 或 7
4a （舍）
1 1, ,02 2H
，∴ 2
2DH
9．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 内接于半径为 2 的圆 O ， AB 为圆 O 的直径， //AB CD ，
2DC AB ， E 为 AB 上一点，且 PE 平面 ABCD ， 3ED .
（1）求证： PA DE ；
（2）若直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为
4
，求二面角C PB D 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 3 105
35
.
解：（1）连接 CO ，
∵ //AB CD ， 2DC AB ，
//AO CD ，且 AO CD ，
∴四边形 ADCO 是平行四边形.
连接 DO ，
∵圆 O 的半径为 2，
∴ 2AO OC DC AD DO ，
∴ AOD△ 为等边三角形，
∴在 AOD△ 中， AO 边上的高为 sin 2sin 33 3AD .
∵ 3ED ，
∴ DE 为 AO 边上高，
∴ DE AO .
∵ PE 平面 ABCD ，
DE 平面 ABCD ，
∴ PE DE ，
又 DE AE ，
AE ， PE 平面 PAE ，且 AE PE E ，
∴ DE 平面 PAE .
∵ PA 平面 PAE ，
∴ PA DE .
（2）由 PE 平面 ABCD 可知，
PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，
∴
4PBE ，
∵ 3PE EB .
又由（1）知， ED ， EB ， EP 两两垂直，
如图，可以以 E 为坐标原点，以 ED ，EB ，EP 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系 E xyz .
则 0,3,0B ， 3,2,0C ， 3,0,0D ， 0,0,3P ，
∴ 3, 3,0BD
， 0,3, 3PB ， 3, 1,0BC
.
设平面 PBD 的法向量为 1 1 1 1, ,n x y z ，
则 1
1
0,
0,
BD n
PB n
，
得 1 1
1 1
3 3 0,
3 3 0,
x y
y z
，
得 1 1
1 1
3 ,
,
x y
y z
，
令 1 1y ，
则 1 3,1,1n
.
设平面 PBC 的法向量为 2 2 2 2, ,n x y z ，
则 2
2
0,
0,
BD n
PB n
，
得 2 2
2 2
3 0,
3 3 0,
x y
y z
，
令 2 1x ，
则 2 3y ， 2 3z ，
∴ 2 1, 3, 3n
uur
.
∴ 1 2
1 2
1 2
3 3 3 105cos , 355 7
n nn n
n n
.
易知二面角C PB D 为锐二面角，
∴二面角 C PB D 的余弦值为 3 105
35
.
10．如图，BE，CD 为圆柱的母线， ABC 是底面圆的内接正三角形，M 为 BC 的中点.
（1）证明：平面 AEM⊥平面 BCDE；
（2）设 BC=BE，圆柱的体积为8 3 ，求四棱锥 A-BCDE 的体积.
【答案】（1）证明见详解；（2）12
（1）根据题意可得， AM BC .
又 BE 为圆柱的母线， BE 平面 ABC .
BE AM ， BC BE BQ I ，
AM 平面 BCDE .
又 AM 平面 AEM ，
平面 AEM 平面 BCDE ．
（2）由题可设 BC BE t ，
由 ABC 是底面圆的内接正三角形易得
3
2AM t ，底面圆的半径 3
3r t ．
2 31 8 33V r BE t 圆柱 ． 2 3t
由（1）可知， AM 平面 BCDE ．
21 1 123 3A BCDEV BC BE AM t AM ．
11．【河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测】已知函数 ln x af x x
.
（1）若函数 f x 的图象在 1x 处的切线为 1y ，求 f x 的极值；
（2）若 2 1xf x e x
恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） f x 的极大值为1，不存在极小值；（2） 3a .
（1） 2
1 lna xf x x
，
由题意可得： 2
11 0af x
，解得： 1a
此时函数 1 1f a ，
函数 f x 的图象在 1x 处的切线为 1y 成立
所以 ln 1xf x x
， 2
ln xf x x
，
由 0f x 可得 0 1x ，由 0f x 可得 1x ，
所以 f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减.
所以 f x 的极大值为 1 1f ，不存在极小值.
2 由 2 1xf x e x
可得 ln 2 1xx a ex x
分离 a 可得： 1 ln 2xa x e x 0x
令 1 ln 2, 0xF x x e x x
1 11 1 11 , 0x x x xxF x e xe e x x e xx xx
1 , 0.xh x e xx
令 2
1' 0xh x e x
所以 h x 在 0, 上单调递增
1 2 0, 1 1 0,2h e h e
存在唯一的 0
1 ,12x
，使得 0
0
0
1 0xh x e x
当 00 x x 时， 0h x ，即 0F x ，
当 0x x 时， 0h x ，即 0F x ，
故 F x 在 00, x 上单调递减，在 0 ,x 上单调递增.
0 0
0 0 0 0 0min 1 2 ln 2x xF x x e lnx x e x x ，
由于 0
0
0
1 0xh x e x
，得 0
0 1xx e ，
再对 0
0 1xx e 两边取对数可得： 0 0ln 0x x
所以 0
0 0 0min ln 2 1 0 2 3xF x x e x x ，
所以 3a
即实数 a 的取值范围 3a
12．已知函数 21 12f x x alnx a x ．
（1）讨论函数 f x 的单调性；
（2）若
2
2
af x 恒成立，求正实数 a 的取值范围、
【答案】（1）当 0a 时， f x 在定义域 (0, ) 上单调递增；当 0a 时， f x 在 0,a 上单调递减，
在 ( , )a 上单调递增；（2）0 1a ．
解： 1 定义域为 0, ，
2 1 11 x a x a x x aaf x x ax x x
当 0a 时，在 (0, ) 上 0,f x
所以 f x 在定义域 (0, ) 上单调递增；
当 0a 时，令 ' 0f x 有 ,x a
令 ' 0f x 有 0 ,x a
所以 f x 在 0,a 上单调递减，在 ( , )a 上单调递增.
2 令
2
2
ag x f x ，由 1 及 a 为正数知，
2
2
ag x f x 在 x a 处取最小值，
所以
2
2
af x 恒成立等价于 0g a ，
即 1 0alna a a ，
整理得 1 0lna a
令 1h x lnx x ，
易知 h x 为增函数，
且 1 0,h
所以 1 0lna a 的 a 的取值范围是 0 1a
13．已知函数 ln 1f x x ax a ，（ 0a ）．
（1）讨论函数 f x 的单调性；
（2）若函数 y f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） 10, e
.
（1） f x 定义域为 1, ， 1 1
1 1
ax af x ax x
，
令 0f x ，解得： 1 11ax a a
，
当 0a 时， 0f x 在 1, 上恒成立， f x 在 1, 上单调递增；
当 0a 时，若 11, ax a
时， 0f x ；若 1,ax a
时， 0f x ；
f x 在 11, a
a
上单调递增，在 1,a
a
上单调递减；
综上所述：当 0a 时， f x 在 1, 上单调递增；当 0a 时， f x 在 11, a
a
上单调递增，在
1,a
a
上单调递减.
（2）令 0f x ，则 ln 1 1x a x ，
过点 1,0 作 ln 1y x 的切线，设切点为 ,ln 1t t ，
则切线斜率 ln 1 01
1 1
tk t t
，解得： 1t e ，切线斜率 1k e
，
若 y f x 有两个零点，则 ln 1y x 与 1y a x 有两个不同的交点，如下图所示：
由图象可知：当 10,a e
时， ln 1y x 与 1y a x 有两个不同的交点，
即若函数 y f x 有两个零点， a 的取值范围为 10, e
.
14．【预测卷 01-2021 年高考数学金榜预测卷（山东、海南专用）】已知函数
2(ln ,) xf x x kx k R g x x e .
（1）若 f x 有唯一零点，求 k 的取值范围;
（2）若 1g x f x 恒成立，求 k 的取值范围.
【答案】（1） 1k e
或 0k ；（2） 1k ³ .
（1）由 lnf x x kx 有唯一零点，
可得方程 ln 0x kx ，即 lnxk x
有唯一实根，
令 lnxh x x
，则 2
1 ln ,xh x x
由 0h x ，得 0 ,x e 由 0h x ，得 ,x e
h x 在 0,e 上单调递增，在 ( , )e 上单调递减.
1h x h e e
，
又 1 0,h 所以当 0 1x 时， 0h x ;
又当 x e 时， ln 0,xh x x
由 lnxh x x
得图象可知， 1k e
或 0k .
（2） 2 ln 1( )xx e x kx 恒成立，且 0x ，
1 ln 2 ex
恒成立，
令 1 ln 2xxx ex
，则 2
2 2
2
1 ( l ln n1 )
x
x xx ex
x x ex x
，
令 2ln xx x x e ，则 21 1( ) (2 ) (2 ) 0x x xx xe x e xe xx x
( 0)x ，
x 在 (0, ) 单调递减，
又
1 21 1 0, 1 0ee ee
，
由零点存在性定理知，存在唯一零点 0
1 ,1x e
，使 0,ox 即 02
0 0ln xx x e ，
两边取对数可得 0 0 0ln ln 2ln ,x x x 即 0 0 0 0ln ln ln ln ,x x x x
由函数 lny x x 为单调增函数，可得 0 0lnx x ，
所以当 00 x x 时， ( ) 0x ， ( ) 0x ，当 0x x 时， ( ) 0x ， ( ) 0x ，
所以 x 在 00, x 上单调递增，在 0( , )x 上单调递减，
00 0
0
0 0 0
1 ln 1 12 2 1xx xx x ex x x
，
所以 1,ok x
即 k 的取值范围为 1k ³ .
15．已知函数
2
2sin
x af x ax
R ．
（1）若曲线 y f x 在点 ,2 2f
处的切线经过坐标原点，求实数 a ；
（2）当 0a 时，判断函数 f x 在 (0, )x 上的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）
2
24a ；（2）答案不唯一，具体见解析．
（1） 2
2
2 sin cos
( ) ,sin 2
x x x a x
f x fx
，
所以 f x 在点 ,2 2f
处的切线方程为 y x ，
所以
2
2 2f
，即
2 2 2
2 , 24 2 4a a ；
（2）因为 0,x ，
所以 sin 0x ，
所以
2
2 0sin
x a
x
可转化为 2 2sin 0x a x ，
设 2( ) 2sing x x a x ，
则 ( ) 2 2cosg x x x
当 ,2x
时， ( ) 0g x ，
所以 ( )g x 在区间 ,2
上单调递增．
当 0, 2x
时，设 ( ) ( ) 2 2cosh x g x x x ，
此时 ( ) 2 2sin 0h x x ，
所以 ( )g x 在 0, 2x
时单调递增，
又 (0) 2 0g ， 02g
，
所以存在 0 0, 2x
使得 ( ) 0g x 且 00,x x 时 ( )g x 单调递减，
0 , 2x x
时 ( )g x 单调递增．
综上，对于连续函数 ( )g x ，在 00,x x 时， ( )g x 单调递减，
在 0 ,x x 时， ( )g x 单调递增．
又因为 (0) 0g a ，
所以当 2 0( )g a ，即 2a 时，函数 ( )g x 有唯一零点在区间 0( , )x 上，
当 2 0( )g a ，即 2a 时，函数 ( )g x 在区间 (0, ) 上无零点，
综上可知，当 20 a 时，函数 f x 在 (0, ) 上有1个零点；
当 2a 时，函数 f x 在 (0, ) 上没有零点．
16．已知椭圆
2 2
2 2 : 1 0x yC a ba b
的离心率 3
2e ，原点到过点 ,0A a ， 0,B b 的直线的距离
是 4 5
5
.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）如果直线 1 0y kx k 交椭圆 C 于不同的两点 E ， F ，且 E ， F 都在以 B 为圆心的圆上，求
k 的值.
【答案】（1）
2 2
116 4
x y ；（2） 2
4k .
解：（1）因为 3
2
c
a
， 2 22a cb ，所以 2a b .
因为原点到直线 1:B x
aA y
b
的距离
2 2
4 5
5
abd
a b
，解得 4a ， 2b .
故所求椭圆C 的方程为
2 2
116 4
x y .
（2）由题意 2 2
1
116 4
y kx
x y
消去 y ，整理得 2 21 4 8 12 0k x kx .可知 0 .
设 2 2,E x y ， 3 3,F x y ，EF 的中点是 ,M MM x y ，则 2
2
3 4
2 1 4M
x x kx k
， 2
11 1 4M My kx k
，
因为 E ， F 都在以 B 为圆心的圆上，且 0, 2B ，
所以 2 1M
M
y kx
，
所以 2 0M Mx ky k .即 2 2
4 2 01 4 1 4
k k kk k
.
又因为 0k ，所以 2 1
8k .所以 2
4k .
17．【陕西省榆林市 2020-2021 学年高三上学期第一次高考模拟】已知椭圆
2
2
2: 1( 1) yx aa
与抛物线
2: 2 ( 0)C x py p 有相同的焦点 F ，抛物线 C 的准线交椭圆 于 A ， B 两点，且 1AB .
（1）求椭圆 与抛物线 C 的方程；
（2）O 为坐标原点，若 P 为椭圆 上任意一点，以 P 为圆心，OP 为半径的圆 P 与椭圆 的焦点 F 为圆心，
以 5 为半径的圆 F 交于 M ， N 两点，求证： MN 为定值.
【答案】（1）椭圆 的方程为：
2
2 14
yx ，抛物线 C 的方程为： 2 4 3x y ；（2）证明见解析.
（1）椭圆
2
2
2: 1( 1) yx aa
可得焦点 20, 1a ，
抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点为 0, 2
p
，所以 2 1 2
pa ①，
由 2
2
2
2
1
py
yx a
可得
2
2
2 14
px a
，解得
2
21 4
px a
，
所以
2
22 11 4
pAB a
②，
由①②可得： 2 4a ， 2 3p ，
所以椭圆 的方程为：
2
2 14
yx ，抛物线 C 的方程为： 2 4 3x y ；
（2）设 ( , )P m n ，则
2
2 14
nm ，圆 P 的方程为： 2 2 2 2( ) ( ) x m y n m n ，
圆 F 的方程为： 2 2( 3) 5 x y ，
所以直线 MN 的方程为： ( 3) 1 0 mx n y ，
设点 F 到直线 MN 的距离为 d ，
则 22 2 2
2
| 3 4| | 3 4| 2| 3 4| 2
( 3) 3 8 3 161 ( 3)4
n n nd
nm n n nn
.
2| | 2 5 2MN d .
所以 MN 为定值.
18．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率为 2
2
，且过点 2,1A .
（1）求 C 的方程；
（2）点 ,M N 在 C 上，且 AM AN ，证明:直线 MN 过定点.
【答案】（1）
2 2
16 3
x y ；（2）证明见解析.
（1）由题意得：
2 2 2
2 2
2
2
4 1 1
a b c
ce a
a b
，解得：
2
2
6
3
a
b
，
椭圆 C 的方程为：
2 2
16 3
x y .
（2）设点 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
AM AN ， 1 2 1 22 2 1 1 0AM AN x x y y ，
整理可得： 1 2 1 2 1 2 1 21 2 4y y y y x x x x …①
当直线 MN 斜率 k 不存在时，显然 AM AN 不成立，
则可设 :MN y kx m ，
联立 2 22 6
y kx m
x y
得： 2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m ，
由 2 2 2 216 4 1 2 2 6 0k m k m 得： 2 26 3 0k m ，
则 1 2 2
4
1 2
kmx x k
，
2
1 2 2
2 6
1 2
mx x k
，
1 2 1 2 2
22 1 2
my y k x x m k
，
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 2
6
1 2
m ky y k x x km x x m k
，
代入①式化简可得： 24 8 1 3 1 0k km m m ，
即 2 1 2 3 1 0k m k m ， 1 2m k 或 2 1
3
km
则直线方程为 1 2 2 1y kx k x k 或 2 1 2 1
3 3 3
ky kx x k
，
直线过定点 2,1 或 2 1,3 3
，又 2,1 和 A 点重合，故舍去，
直线 MN 过定点 2 1,3 3
.
19．【 2021 届高三下学期月考】已知椭圆
2 2
2 2 1 0x yC a ba b
： ＞ ＞ 的焦距为 2 2 ，
且过点 ( 2,1) ．
（1）求 C 的方程；
（2）若直线 l 与 C 有且只有一个公共点，l 与圆 x2+y2＝6 交于 A，B 两点，直线 OA，OB 的斜率分别记为 k
1，k2．试判断 k1∙k2 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．
【答案】（1）
2 2
14 2
x y ；（2）k1k2 为定值 1
2
．
（1）由题意，得 2 2
2 2 2
2 2 2
2 1 1
c
a b
c a b
，
解得 2, 2a b .
∴椭圆 C 的方程为
2 2
14 2
x y .
（2）k1k2 为定值 1
2
理由如下：
①当过点 P 的直线斜率不存在时，直线的方程为 x＝±2；
当 x＝2 时， (2, 2), (2, 2)A B ，则 1 2
2 2 1
2 2 2k k
，
当 2x 时， ( 2, 2), ( 2, 2)A B ，则 1 2
2 2 1
2 2 2k k .
②当过 P 的直线斜率存在时，设其方程为 1 1 2 2, , , ,y kx m A x y B x y ，
联立 2 2
14 2
y kx m
x y
，得 2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m
由题意 2 2 2(4 ) 4 1 2 2 4 0km k m ，得 2 24 2m k ，
联立 2 2 6
y kx m
x y
，得 2 2 21 2 6 0k x kmx m
则
2
1 2 1 22 2
2 6,1 1
km mx x x xk k
所以 1 21 2
1 2
1 2 1 2
kx m kx my yk k x x x x
2 2
1 2 1 2
1 2
k x x km x x m
x x
2
2 2
2 2
2
2
6 2
1 1
6
1
m kmk km mk k
m
k
2 2
2
6
6
m k
m
2 2
2
4 2 6 1
4 2 6 2
k k
k
综上， 1 2k k 为定值 1
2
．
20．【宁夏大学附属中学 2021 届高三第一次模拟】已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 2 5
5
，
且焦距为 8．
（1）求 C 的方程；
（2）设直线 l 的倾斜角为
3
，且与 C 交于 A，B 两点，求 AOB （O 为坐标原点）面积的最大值．
【答案】（1）
2 2
120 4
x y ；（2） 2 5 ．
解：（1）依题意可知：
2
2
2 2 2
2 51 5
2 8
be a
c
a b c
，
解得：
2
2
20
4
a
b
，
故 C 的方程为：
2 2
120 4
x y ；
（2）依题意可设直线 l 的方程为： 3y x m ，
联立： 2 2
3
120 4
y x m
x y
，
整理得： 2 216 10 3 5 20 0x mx m ，
则 2 2300 64(5 20) 0m m ，
解得： 8 8m ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
则 1 2
5 3
8
mx x ，
2
1 2
5 20
16
mx x ，
2
1 2 1 2| | 1 3 4AB x x x x
2 2 275 5 20 5 3202 64 4 4
m m m
原点到直线 l 的距离 | | | |
21 3
m nd
，
则 AOB 的面积
222 5 32 51201 1 | | 5 320| |2 2 2 4 16
mm mS d AB
，
当且仅当“ 2 32m ”，即“ 4 2m ”时， AOB 的面积有最大值，且最大值为 2 5 ．
21．已知各项都为正数的数列 na 满足 2 12 3n n na a a ．
（1）证明：数列 1n na a 为等比数列；
（2）若 1 2
1 3,2 2a a ，求 na 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
13
2
n
na
（ n N ）
（1）由 2 12 3n n na a a 可得： 2 1 1 13 3 3n n n n n na a a a a a
因为各项都为正数，所以 1 2 0a a ，
所以 1n na a 是公比为 3 的等比数列.
（2）构造 2 1 13 3n n n na a k a a ，整理得： 2 13 3n n na k a ka
所以 1k ，即 2 1 13 3n n n na a a a
所以 1 13 0 3n n n na a a a ，所以 na 是以 1
1
2a 为首项，3 为公比的等比数列.
所以
13
2
n
na
（ n N ）
22．已知数列 na 是等差数列， nS 是数列 na 的前 n 项和， 3 5a ， 7 49S .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）数列 nb 满足 1 1( 1)n
n n n nb S S a ，求数列 nb 的前 2n 项和 2nT .
【答案】（1） 2 1na n ；（2） 2
2
2 1n
nT n
.
解析：（1）因为 7 47 49 S a ，所以 4 7a ，
而 3 5a ，设数列 na 的公差为 d ，
则 4 3 24 3
a ad
， 1 3 2 1a a d ，
1 2( 1) 2 1na a n n ；
（2） 2
1
1
2
n nS n a a n ，
1
1
( 1) ( 1) (2 1) 1 1( 1)( 1) 1
n n
nn
n
n n
a nb S S n n n n
， 2
1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2 2 1nT n n
1 212 1 2 1
n
n n
.
23．已知等差数列 na 满足 12 3 5n na a n .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）记数列
1
1
n na a
的前 n 项和为 nS .若 *n N ， 2 4nS ( 为偶数)，求 的值.
【答案】（1） 1na n ；（2） 2 .
（1）设等差数列 na 的公差为 d，
因为 12 3 5n na a n ，所以 1 2
2 3
2 8,
2 11,
a a
a a
即 1
1
3 2 8,
3 5 11,
a d
a d
解得 1 2, 1a d ，所以 2 ( 1) 1na n n .
经检验， 1na n 符合题设，
所以数列 na 的通项公式为 1na n .
（2）由（1）得，
1
1 1 1 1
( 1)( 2) 1 2n na a n n n n
，
所以 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 1 2 2 2
nS n n n .
*n N ，∴ 1
2nS ，
因为 *n N ， 2 4nS ，
所以 2 14 2
，即 2 7( 2) 2
.
因为 为偶数，所以 2 .
24．已知数列 na 的前 n 项和为 2 1
1, 6, 12n n nS a S a ．
（1）证明：数列{ }1nS - 为等比数列，并求出 nS ．
（2）求数列 1
na
的前 n 项和 nT ．
【答案】（1）证明见解析； 3 1n
nS ；（2） 1
1 1
2 4 3n nT
．
（1）由已知 1
1 12n n nS S S ，
整理得 1 3 2n nS S ，
所以 1 1 3 1n nS S ，
令 1n ，得 1 2
1 1 42S a ，所以 1 1 3S ，
所以{ }1nS - 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 1
11 1 3 3n n
nS S ，
所以 3 1n
nS ；
（2）由（1）知， 3 1n
nS ，
当 2n
时， 1 1
1 3 1 3 1 2 3n n n
n n na S S
，
当 1n 时， 11 4a S ，
所以 1
4, 1,
2 3 , 2,n n
na n
所以 1
1 , 1,41
1 1 , 2,2 3
n
n
n
a n
所以
1
1
1 2
1 111 1 1 1 1 16 3
14 2 4 31 3
n
n n
n
T a a a
．
25．【河南省焦作市 2021 届高三第三次大联考】已知数列 na 满足
31 2
1 2 3
1 12 1 2 1 2 1 2 1 2
n
n n
a aa a L ， n N ．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）设等差数列 nb 的前 n 项和为 nS ，且 21 1
2 2nS n n k ，令 2
n n nc b a kn ，求数列 nc 的前 n
项和 nT ．
【答案】（1） 11 2n na ；（2） 1 112 2n n
n nT ．
（1）当 1n 时， 1 1 13 2
a ， 1
3
2a ；
当 2n 时，由 31 2
1 2 3
1 12 1 2 1 2 1 2 1 2
n
n n
a aa a L ，①
得 3 11 2
1 2 3 1 1
1 12 1 2 1 2 1 2 1 2
n
n n
a aa a
L ，②
① ②得， 1
1 1 1
2 1 2 2 2
n
n n n n
a
， 11 2n na ， 1
3
2
a 也符合，
因此，数列 na 的通项公式为 11 2n na ；
（2）由题意，设等差数列 nb 的公差为 d ，
则 2 2
1 1
1 1 1
2 2 2 2 2n
n n d d dS nb n b n n n k
，
1
1
2 2
1
2 2
0
d
db
k
，解得，
1 0
1
0
b
d
k
， 1 1 1nb b n d n ；
由（1）知， 2 1
2n n n nc b a kn n ，
故 1 2 3 2 3
1 1 1 11 2 3 2 2 2 2n n nT c c c c n L L L
1 111 1 12 2 112 2 21 2
n
n
n n n n
．
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