5 月 18 日 集合与常用逻辑用语 …………………………………………01
5 月 19 日 函数的概念、性质、图象(基本初等函数)……………………14
5 月 20 日 导数及其简单应用(选择题、填空题) …… ……………………43
5 月 21 日 导数及其应用(解答题) …………………………………………60
5 月 22 日 三角函数的图象与性质、三角恒等变换 ……………………60
5 月 23 日 解三角形 ………………………………………………………82
目 录 / contents
5 月 24 日 平面向量………………………………………………………124
1
时间：5 月 18 日
核心考点解读——集合与常用逻辑用语
考 纲 解 读 里 的 I， II 的含义如下：
I： 对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.
II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综
合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)
考纲解读
集 合 间 的 基 本 关 系 （II）
集合的交、并、补集的混合运算（II）
四种命题及其关系（I）
充分条件、必要条件（II）
简单的逻辑联结词（I）
全称量词与存在量词（II）
高考预测
1.涉及本单元的题目一般考查集合间的基本关系及运算，四种命题及其关系，结合概念考
查充分条件、必要条件及全称命题、特称命题的否定及真假的判断等.
2.从考查形式来看，涉及本单元知识的考题通常以选择题、填空题的形式出现，考查集合
之间的关系以及概念、定理、公式的逻辑推理等.
3.从考查难度来看，考查集合的内容相对比较单一，试题难度相对容易，以通过解不等式，
考查集合的运算为主，而常用逻辑用语则重点考查概念的理解及推理能力．
4.从考查热点来看，不等式的解法和概念、定理、公式之间的相互推理是本单元主要考查
的内容，其要求不高，重在理解．
1.集合间的基本关系及运算
(1)理解子集、真子集的概念，知道由“若 x A ，有 x B ”得 A 是 B 的子集，记作 A B ；
上述条件下，若“ 0x B ， 0x A ”得 A 是 B 的真子集，记作 A BÞ .注意子集表示符
号“ ”与元素和集合关系符号“”的区别.
(2)给定一个集合，能够写出其子集、真子集、非空子集的个数，如给定集合的元素个数为
2
应试技巧
n ，则其子集、真子集、非空子集的个数分别为 2 ,2 1,2 2n n n .
(3)交集： |A B x x A x B 且 ，取两个集合的公共元素组成集合；
并集： |A B x x A x B 或 ，取两个集合所有元素组成集合；
补集： |U A x x U x A 或ð ，取全集中不属于集合 A 的元素组成集合.
注意集合的运算顺序，如 U A Bð 表示先计算 A 的补集，再进行并集计算； U A Bð
则表示先进行 A 与 B 的并集计算，再进行补集计算.
2.四种命题及其关系
(1)能够根据给定命题写出其逆命题、否命题和逆否命题；
(2)知道四种命题的互为关系：
(3)能判断命题的真假，知道原命题与逆否命题的真假相同，原命题与逆命题、否命题的真
假不相关.
3.充分条件、必要条件
掌握判断充分条件、必要条件的方法：
(1)定义法：寻找 ,p q 之间的推理关系，即对“若 p 则 q ”的真假进行判断，获得结论；
(2)集合法：借助集合间的基本关系进行充分性与必要性的判断；
(3)等价法：借助原命题与逆否命题的真假等价性进行判断.
4.简单逻辑联结词与全称量词、特称量词
(1)知道“或”、“且”、“非”，并能区分简单命题与复杂命题；
(2)能够利用真值表判断命题的真假；
p q 非 p p 且 q p 或 q
真 真 假 真 真
真 假 假 假 真
假 真 真 假 真
假 假 真 假 假
(3)知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；
3
(4)能够对全称命题、特称命题进行否定.
1．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合 2{ | 3 4 0}, { 4,1,3,5}A x x x B ，则 A B
A．{ 4,1} B．{1,5}
C．{3,5} D．{1,3}
【答案】D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合 A，之后利用交集中元素的特征求得 A B ，得到结果.
【详解】由 2 3 4 0x x 解得 1 4x ，
所以 | 1 4A x x ，
又因为 4,1,3,5B ，所以 1,3A B ，
故选 D．
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的
交运算，属于基础题目.
2．【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合 A={x||x|1，x∈Z}，则 A∩B=
A． B．{–3，–2，2，3）
C．{–2，0，2} D．{–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合 ,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 3, 2, 1,0,1,2A x x x Z ，
1, 1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，
所以 2, 2A B .
4
故选 D．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
3．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合 1 2 3 5 711A ，，，，， ， 3 15|B x x ，则 A∩B 中元素的个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出 A B 中元素的即可.
【详解】由题意， {5,7,11}A B ，
故 A B 中元素的个数为 3.
故选 B.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
4．【2020 年高考天津】设全集 { 3, 2, 1,0,1,2,3}U ，集合 { 1,0,1,2}, { 3,0,2,3}A B ，则
UA B ∩ ð
A．{ 3,3} B．{0,2}
C．{ 1,1} D．{ 3, 2, 1,1,3}
【答案】C
【解析】
【分析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知 2, 1,1U B ð ，则 U 1,1A B ð .
故选 C．
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
5．【2020 年高考北京】已知集合 { 1,0,1,2}A ， { | 0 3}B x x ，则 A B
A．{ 1,0,1} B．{0,1}
C．{ 1,1,2} D．{1,2}
【答案】D
5
【解析】
【分析】
根据交集定义直接得结果.
【详解】 { 1,0,1,2} (0,3) {1,2}A B I I ，
故选 D．
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．【2020 年高考天津】设 aR ，则“ 1a ”是“ 2a a ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式 2a a 可得： 1a 或 0a ，
据此可知： 1a 是 2a a 的充分不必要条件.
故选 A．
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
7．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】设集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|20；当 x>1 时，h'(x)-1 时， ( ) 0f x 恒成立，再分离参数求解；
79
(2)函数 ( )f x 存在两个极值点转化为函数
1
( ) 1
xeh x x
图象与直线 x=2a 有两个交点，再讨论 ( )h x 的图象
情况，利用函数性质等价转化推理即得解.
【详解】
(1)由题知 1( ) 2 2 0xf x e ax a 在 ( 1, ) 上恒成立，
即
1
2 1
xea x
在 ( 1, ) 上恒成立，令
1
( ) 1
xeh x x
， 1x ，
则
1
2( ) ( 1)
xe xh x x
， ( )h x 在 ( 1,0) 上单增，在 (0, ) 上单减， ( ) (0)h x h e ，
∴ 2a e ，即
2
ea ；
(2)由题知， 1 2,x x 是方程 ( ) 0f x 的两根，又 ( 1) 1 0f ，故 1 2,x x 是
1
21
xe ax
的两根，
令
1
( ) 1
xeh x x
，由(1)知， ( )h x 在 ( , 1) 和 ( 1,0) 上单增，在 (0, ) 上单减，
( , 1), ( ) 0h x ，当 1x 时，h(x)图象在 x 轴上方，
当 1x 时，h(x)图象在 x 轴下方，且 x=0 时 h(x)取得最大值 (0)h e ，
所以 2a e 时，方程 ( ) 2h x a 有两根 1 2,x x ，其中 1 21 0x x ，
若 1 ln 2 0x ，则 2 1 ln 2x x ，
2
ea ；
若 1 ln2 0x ，则 2 1 2 1 2 1ln 2 ln 2 ln 2x x x x h x h x ，
而 12 2h x h x a ，所以 1 11 ln2 1
1 1
1 1 1 1
1 2ln 2 1 ln 2 1 1 ln 2 1
x xe eh x h x x x x x
，即
1 ln2 1x ；故 11 ln2 1x ，∴ 1
2 12 (ln 2 1) ln 2 ln 2a h x h a ，
综上得 1
ln 2a .
【点睛】
可导函数 f(x)的导函数 ( )f x ，f(x)在区间 D 上单调递增，一定有 , ( ) 0x D f x ；f(x)在区间 D 上单调
递减，一定有 , ( ) 0x D f x .特别提醒，建立的不等式中必含“=”.
专家押题
80
1．【答案】（1）单调增区间是 (0,e) ，单调减区间是(e, ) ；（2）详见解析
【解析】（1） ln( ) xf x x a
，
2
ln
( ) ( )
x a xxf x x a
，
2
e(e) (e )
a
f a
，
又曲线 ( )y f x 在点 (e, (e))f 处的切线方程为 1
ey ，则 (e) 0f ，即 0a ，
2
1 ln( ) xf x x
，
令 ( ) 0f x ，得1 ln 0x ，即 0 ex ；
令 ( ) 0f x ，得1 ln 0x ，即 ex ，
所以 ( )f x 的单调增区间是 (0,e) ，单调减区间是 (e, ) ．
（2）当 0x 时，要证 ( ) 1f x x 即证 2ln 0x x x ，
令 2( ) ln ( 0)g x x x x x ，
则
21 1 2 ( 1)(2 1)( ) 2 1 x x x xg x xx x x
，
当 0 1x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单调递增；
当 1x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单调递减，
所以 ( ) (1) 0g x g ，即当 0x 时， ( ) 1f x x ．
时间：5 月 22 日
核心考点解读——三角函数的图象与性质、三角恒等变换
81
考纲解读
三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系式与诱导公式（II）
三角恒等变换（II）
三角函数的图象（II）
三角函数的性质及其应用（II）
高考预测
1.涉及本单元的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关
计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角
函数的图象与性质的应用.
2.从考查难度来看，本单元试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为
主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.
3.从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能
够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换
去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合.
1.三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式
(1)首先要熟练掌握三角函数的定义，利用定义理解同角三角函数的基本关系式及诱
导公式，掌握同一个角的正弦、余弦、正切之间的互化.
(2)诱导公式的记忆可以从口诀“奇变偶不变，符号看象限”入手，理解“奇、偶”的对象
及看谁的符号.
(3)熟练记忆特殊角的角度制与弧度制之间的互化及特殊角的三角函数值.
(4)巧妙利用 2 2sin cos 1 进行化简、求值.
2.三角恒等变换
(1)熟练掌握两角和与差，二倍角的正弦、余弦、正切公式；
(2)熟练掌握辅助角公式；
(3)掌握给值求角、给角求值、给值求值、给角求角的计算方法.能够根据问题的特点
发现差异，寻找联系，合理转化.能够简单利用角的关系合理选择三角公式进行计
算.
3.三角函数的图象
(1)熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，能够利用三角函数的图象的变
82
应试技巧
换及“五点法作图”表示函数 sin( )( 0, 0, )y A x A 的部分图象.
(2)能够根据给出的函数图象，结合“五点法作图”及相关参数的范围求三角函数的解
析式.
4.三角函数的性质
(1)根据图象熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，能够利用整体代换的
方法考查函数 sin( )( 0, 0, )y A x A 的性质.
(2)能够利用三角恒等变换化简函数解析式，简单考查函数的周期、最值等.
(3)熟练利用整体代换法求解函数的单调性与单调区间，熟练利用整体代换求解函数
在给定区间的最值问题.
5.三角函数的应用问题分析
(1)对三角式求值是重要的考查内容，要注意对各类三角公式的灵活应用，能够观察
题中所给角的特点，寻找关系，选择合适的公式进行计算.
(2)对三角式求值时要注意由给出角的范围来确定相应三角函数值的符号，以便正确
进行计算.
(3)应用“五点法作图”处理函数图象问题是重要的解题手段，要注意结合参数的范围
进行判断求解，掌握函数图象平移、伸缩变换的原理，正确处理两个函数之间的变
换过程.
(4)整体代换法是三角函数处理性质问题的最有利武器，要注意求函数单调区间与在
给定区间求函数最值的区别与联系.
1．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】已知 πsin sin =3
（ ）1，则 πsin =6
（ ）
A． 1
2 B． 3
3
C． 2
3 D． 2
2
【答案】B
【解析】由题意可得： 1 3sin sin cos 12 2
，
83
则： 3 3sin cos 12 2
， 3 1 3sin cos2 2 3
，
从而有： 3sin cos cos sin6 6 3
，
即 3sin 6 3
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
2．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】设函数 π( ) cos( )6f x x 在[−π，π]的图像大致如下图，则 f（x）的最小
正周期为
A． 10π
9 B． 7π
6
C． 4π
3 D． 3π
2
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点 4 ,09
，
将它代入函数 f x 可得： 4cos 09 6
，
又 4 ,09
是函数 f x 图象与 x 轴负半轴的第一个交点，
所以 4
9 6 2
，解得 3
2
.
所以函数 f x 的最小正周期为
2 2 4
3 3
2
T
故选 C.
84
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
3．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数 f(x)=sinx+ 1
sin x
，则
A．f(x)的最小值为 2 B．f(x)的图像关于 y 轴对称
C．f(x)的图像关于直线 x 对称 D．f(x)的图像关于直线
2x 对称
【答案】D
【解析】 sin x 可以为负，所以 A 错；
1sin 0 ( ) ( ) sin ( )sinx x k k Z f x x f xx
Q Q ( )f x 关于原点对称；
1 1(2 ) sin ( ), ( ) sin ( ),sin sinf x x f x f x x f xx x
Q 故 B 错；
( )f x 关于直线
2x 对称，故 C 错，D 对
故选：D
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
4．【2020 年高考天津】已知函数 π( ) sin( )3f x x ．给出下列结论：
① ( )f x 的最小正周期为 2π；
② π( )2f 是 ( )f x 的最大值；
③把函数 siny x 的图象上所有点向左平移 π
3
个单位长度，可得到函数 ( )y f x 的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】因为 ( ) sin( )3f x x ，所以周期 2 2T ，故①正确；
5 1( ) sin( ) sin 12 2 3 6 2f ，故②不正确；
将函数 siny x 的图象上所有点向左平移
3
个单位长度，得到 sin( )3y x 的图象，
故③正确.
故选：B.
【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，
是一道容易题.
85
5．【2020 年高考北京】2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方
法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算
单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术
平均数作为 2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是
A. 30 303 sin tann n n
B. 30 306 sin tann n n
C. 60 603 sin tann n n
D. 60 606 sin tann n n
【答案】A
【解析】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为 360 60
6n n
，每条边长为 302sin n
，
所以，单位圆的内接正 6n 边形的周长为 3012 sinn n
，
单位圆的外切正 6n 边形的每条边长为 302 tan n
，其周长为 3012 tann n
，
30 3012 sin 12 tan 30 302 6 sin tan2
n nn n n n n
，
则 30 303 sin tann n n
.
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的
周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)=
A． πsin( 3x ） B． πsin( 2 )3 x C． πcos(2 6x ） D． 5πcos( 2 )6 x
【答案】BC
86
【解析】由函数图像可知： 2
2 3 6 2
T ，则 2 2 2T
，所以不选 A,
当
2
53 6
2 12x
时， 1y 5 32 212 2 k k Z ，
解得： 22 3k k Z ，
即函数的解析式为：
2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x .
而 5cos 2 cos( 2 )6 6x x
故选：BC.
【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的
是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 2
T
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，
则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，
若对 A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
7．（2019 年高考全国Ⅰ卷文数）函数 f(x)= 2
sin
cos
x x
x x
在[ , ] 的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 2 2
sin( ) ( ) sin( ) ( )cos( ) ( ) cos
x x x xf x f xx x x x
，得 ( )f x 是奇函数，其图象关于原点对称，
87
排除 A．又 2
2
π1π 4 2π2( ) 1,π2 π( )2
f
2
π(π) 01 πf
，排除 B，C，故选 D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或
赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得 ( )f x 是奇函数，排除 A，再注
意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
8．（2019 年高考全国Ⅰ卷文数）tan255°=
A．−2− 3 B．−2+ 3
C．2− 3 D．2+ 3
【答案】D
【解析】 tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 ) = tan 45 tan30
1 tan 45 tan30
31 3 2 3.
31 3
故选 D.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运
算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式
计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
9．（2019 年高考全国Ⅱ卷文数）若 x1= 4
，x2= 4
是函数 f(x)=sin x ( >0)两个相邻的极值点，则 =
A．2 B． 3
2
C．1 D． 1
2
【答案】A
【解析】由题意知， ( ) sinf x x 的周期 2 32( )4 4T
，解得 2 ．故选 A．
【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期
公式，通过方程思想解题．
10．（2019 年高考全国Ⅱ卷文数）已知 a∈（0， π
2
），2sin2α=cos2α+1，则 sinα=
A． 1
5 B． 5
5
88
C． 3
3
D． 2 5
5
【答案】B
【 解 析 】 2sin 2 cos2 1α α ， 24sin cos 2cos . 0, , cos 02α α α α α ，
sin 0,α 2sin cosα α ， 又 2 2sin cos 1 ， 2 2 15sin 1,sin 5α α ， 又 sin 0 ，
5sin 5
，故选 B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余
弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数
值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及
正余弦平方和为 1 关系得出答案．
11．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）函数 ( ) 2sin sin2f x x x 在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】由 ( ) 2sin sin 2 2sin 2sin cos 2sin (1 cos ) 0f x x x x x x x x ，
得 sin 0x 或 cos 1x ，
0,2πx ， 0 π 2πx 、 或 ．
( )f x 在 0,2π 的零点个数是 3，
故选 B．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令 ( ) 0f x ，
得 sin 0x 或 cos 1x ，再根据 x 的取值范围可求得零点.
12．（2019 年高考天津卷文数）已知函数 ( ) sin( )( 0, 0,| | π)f x A x A 是奇函数，且 f x
的最小正周期为π，将 y f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图
象对应的函数为 g x .若 2π
4g
，则 3π
8f
A．−2 B． 2
89
C． 2 D．2
【答案】C
【解析】∵ ( )f x 为奇函数，∴ (0) sin 0, = π, , 0,f A k k k Z 0 ；
∵ f x 的最小正周期为π， 2π π,T
∴ 2 ，
∴ 1( ) sin sin ,2g x A x A x
又 π( ) 24g ，∴ 2A ，
∴ ( ) 2sin 2f x x ， 3π( ) 2.8f
故选 C.
【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 g x ，结合函数性质
逐步得出 , ,A 的值即可.
13．（2018 新课标全国Ⅲ文科）若 1sin 3
，则 cos2
A． 8
9
B． 7
9
C． 7
9
D． 8
9
【答案】B
【解析】
cos2α R 1 2sin
2
R 1
2
R
.
故选 B.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
14．（2018 新课标全国Ⅲ文科）函数 2
tan( ) 1 tan
xf x x
的最小正周期为
A．
4
B．
2
C． D． 2
【答案】C
【解析】 2
2
sin
tan 1cos( ) sin cos sin2sin1 tan 21 ( )cos
x
x xf x x x xxx
x
，
故所求的最小正周期为 2π π2T .
90
故选 C.
【名师点睛】函数 sin( ) ( 0, 0)y A x B A 的性质：
(1) max min= +y B A y B A ， .
(2)最小正周期 2π .T
(3)由 π π( )2x k k Z 求对称轴.
(4)由 π π2 π 2 π( )2 2k x k k Z 求增区间;由 π 3π2 π 2 π( )2 2k x k k Z 求减区间.
15．（2018 新课标全国Ⅰ文科）已知函数 2 22cos sin 2f x x x ，则
A． f x 的最小正周期为π，最大值为 3
B． f x 的最小正周期为π，最大值为 4
C． f x 的最小正周期为 2π，最大值为 3
D． f x 的最小正周期为 2π，最大值为 4
【答案】B
【解析】根据题意有 1 3 5cos2 1 (1 cos2 ) 2 cos22 2 2f x x x x ，
所以函数
m
的最小正周期为
R
2π
2 R π
，
且最大值为 max
3 5 42 2f x .
故选 B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，
在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
16．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若 2sin 3x ，则 cos2x __________．
【答案】 1
9
【解析】 2 22 8 1cos2 1 2sin 1 2 ( ) 13 9 9x x .
故答案为 1
9 .
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
17．【2020 年高考江苏】已知 2sin ( )4
= 2
3
，则 sin 2 的值是 ▲ ．
91
【答案】 1
3
【解析】 2 22 2 1sin ( ) ( cos sin ) (1 sin 2 )4 2 2 2
Q
1 2 1(1 sin 2 ) sin 22 3 3
故答案为： 1
3
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．【2020 年高考北京】若函数 ( ) sin( ) cosf x x x 的最大值为 2，则常数 的一个取值为________．
【答案】
2
（ 2 ,2k k Z 均可）
【解析】因为 22cos sin sin 1 cos cos sin 1 sinf x x x x ，
所以 22cos sin 1 2 ，解得sin 1 ，
故可取
2
.
故答案为：
2
（ 2 ,2k k Z 均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数
学运算能力，属于基础题.
19．【2020 年高考浙江】已知 tan 2 ，则 cos 2 _______， πtan( )4
_______．
【答案】 3
5- ； 1
3
【解析】
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
cos sin 1 tan 1 2 3cos2 cos sin cos sin 1 tan 1 2 5
，
tan 1 2 1 1tan( )4 1 tan 1 2 3
，
故答案为： 3 1,5 3
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．【2020 年高考江苏】将函数 πsin(3 2 )4y x ﹢ 的图象向右平移 π
6
个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最
近的对称轴的方程是 ▲ ．
【答案】 5
24x
92
【解析】 3sin[2( ) ] 3sin(2 )6 4 12y x x
72 ( ) ( )12 2 24 2
kx k k Z x k Z
当 1k 时 5
24x .
故答案为： 5
24x
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
21．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆
孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四
边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为 C，tan∠ODC= 3
5
， BH DG∥ ，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直
线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】 54 2
【解析】设 OB OA r ，
由题意 7AM AN ， 12EF ，所以 5NF ，
因为 5AP ,所以 45AGP ，
因为 //BH DG ，所以 45AHO ，
因为 AG 与圆弧 AB 相切于 A点，所以OA AG ，
即 OAH△ 为等腰直角三角形；
在直角 OQD△ 中， 25 2OQ r ， 27 2DQ r ，
因为 3tan 5
OQODC DQ
，所以 3 2 5 221 252 2r r ，
解得 2 2r ；
93
等腰直角 OAH△ 的面积为 1
1 2 2 2 2 42S ；
扇形 AOB 的面积 2
2
1 3 2 2 32 4S ，
所以阴影部分的面积为 1 2
1 542 2S S .
故答案为： 54 2
.
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背
景，体现了五育并举的育人方针.
22．（2019 年高考全国Ⅰ卷文数）函数 3π( ) sin(2 ) 3cos2f x x x 的最小值为___________．
【答案】 4
【解析】 23π( ) sin(2 ) 3cos cos2 3cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x
23 172(cos )4 8x ，
1 cos 1x ，当 cos 1x 时， min( ) 4f x ，
故函数 ( )f x 的最小值为 4 ．
【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到
关于 cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视 1 cos 1x 的限制，而
简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
94
23．（2019 年高考江苏卷）已知
tan 2
π 3tan 4
，则 πsin 2 4
的值是 ▲ .
【答案】 2
10
【解析】由
tan 1 tantan tan 2
tan 1π tan 1 3tan 1 tan4
，得 23tan 5tan 2 0 ，
解得 tan 2 ，或 1tan 3
.
π π πsin 2 sin 2 cos cos2 sin4 4 4
2 2
2 2
2 2 2sin cos cos sinsin 2 cos2 =2 2 sin cos
2
2
2 2tan 1 tan= 2 tan 1
，
当 tan 2 时，上式
2
2
2 2 2 1 2 2= =2 2 1 10
；
当 1tan 3
时，上式=
2
2
1 12 ( ) 1 ( )2 23 3[ ]=12 10( ) 13
.
综上， π 2sin 2 .4 10
【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨
论和转化与化归思想解题.由题意首先求得 tan 的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问
题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
24．（2018 新课标全国Ⅱ文科）已知 5π 1tan( )4 5α ，则 tan α __________．
【答案】
,
2
【解析】
5πtan tan5π tan 1 14tan 5π4 1 tan 51 tan tan 4
，
95
解方程得
tan R
,
2
.
25．（2019 年高考浙江卷）设函数 ( ) sin ,f x x x R .
（1）已知 [0,2 ), 函数 ( )f x 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 2 2[ ( )] [ ( )]12 4y f x f x 的值域．
【答案】（1） π
2
或 3π
2
；（2） 3 3[1 ,1 ]2 2
．
【解析】（1）因为 ( ) sin( )f x x 是偶函数，
所以对任意实数x都有sin( ) sin( )x x ，
即sin cos cos sin sin cos cos sinx x x x ，
故 2sin cos 0x ，
所以 cos 0 ．
又 [0,2π) ，因此 π
2
或 3π
2
．
（2）
2 2
2 2π π π πsin sin12 4 12 4y f x f x x x
π π1 cos 2 1 cos 2 1 3 36 2 1 cos2 sin 22 2 2 2 2
x x
x x
3 π1 cos 22 3x
．
因此，函数的值域是 3 3[1 ,1 ]2 2
．
【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.
26．（2018 北京文科）已知函数 2( ) sin 3sin cosf x x x x .
（Ⅰ）求 ( )f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若 ( )f x 在区间[ , ]3 m 上的最大值为 3
2
，求 m 的最小值.
【解析】（Ⅰ） 1 cos2 3 3 1 1 π 1( ) sin 2 sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 2 2 6 2
xf x x x x x ，
所以 ( )f x 的最小正周期为 2π π2T .
96
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π 1( ) sin(2 )6 2f x x .
因为 π[ , ]3x m ，所以 π 5π π2 [ ,2 ]6 6 6x m .
要使得 ( )f x 在 π[ , ]3 m 上的最大值为 3
2
，
即 πsin(2 )6x 在 π[ , ]3 m 上的最大值为 1.
所以 π π2 6 2m ，即 π
3m .
所以 m 的最小值为 π
3
.
27．（2018 浙江）已知角α的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（ 3 4
5 5
，- ）．
（Ⅰ）求 sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足 sin（α+β）= 5
13
，求 cosβ的值．
【解析】（Ⅰ）由角 的终边过点 3 4( , )5 5P 得 4sin 5
，
所以 4sin( π) sin 5
.
（Ⅱ）由角 的终边过点 3 4( , )5 5P 得 3cos 5
，
由 5sin( ) 13
得 12cos( ) 13
.
由 ( ) 得 cos cos( )cos sin( )sin ，
所以 56cos 65
或 16cos 65
.
1．（2021·江西高三二模（文））函数 ( ) sin ( 0)6f x x
部分图象如图所示，若 ABC 的面积
为
4
，则 （ ）
97
A． 3
2 B．2 C． 3
2
D． 2
2．（2021·山东淄博市·高三二模）若 π πtan sin sin 2 2 2
，则 （ ）．
A． π π,2 6
B． π π,3 3
C． π π,3 2
D． π π,6 2
3． （2021·河南新乡市·高三三模）已知函数 π4sin 2 16f x x
的定义域是 0,m ，值域为 1,5 ，
则 m 的最大值是（ ）
A． π
3 B． 2π
3 C． π
6 D． 5π
6
4．（2021·山东高三二模）已知函数 ( ) 2 2 sin( ) 0,| | 2f x x
的部分图象如图所示，将 ( )f x
的图象向右平移 0a a 个单位后，得到函数 ( )g x 的图象，若对于任意的 xR ， ( ) 24g x g
，则 a
的值可以为（ ）
A．
12
B．
4
C． 5
12
D．
2
98
5．（2021 广西高三适应性月考）已知函数 sin 3 cosf x x x （ 0 ， xR ），若函数 f x
在区间 ,2 内没有零点，则 的取值范围是
A． 1 2,3 3
B． 1 7,6 12
C． 1 2 1, 0,3 3 6
D． 1 7 1, 0,6 12 12
1．已知函数 sinf x A x 0, 0, 2A
的部分图象如图所示，则使
0f a x f a x 成立的 a 的最小正值为
A．
3
B．
4
C．
6
D．
12
2．已知函数
m R ሻ2m 䁕
, 䁕 ሻ2m
, 䁕 2ʹሻ
2
m
，
m
．
（1）求函数 f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数 f（x）在区间
，
2
上的最大值和最小值．
名校预测
1． 【答案】A
【分析】
由 0f OB ，结合 ABC 的面积为
4
，求得 AC，从而求得函数的周期即可.
99
【详解】
因为 ABC 的面积为
4
，
所以 1
2 4ABCS AC OB ，
因为 ( ) sin ( 0)6f x x
，
所以 10 sin 6 2f ，即 1
2OB ，
所以 AC ，又 3
4AC T ，
所以 4
3T ，
所以 2 3
2T
，
故选：A
2． 【答案】C
【分析】
由 tan sin ，根据三角函数的基本关系式，化简得到sin 0 ，求得 π0 2
，再由sin sin 2 ，
结合二倍角公式，化简得到1 2cos 0 ，求得
3 2
.
【详解】
由 tan sin ，可得 sin sin (1 cos )tan sin sin 0cos cos
，
因为 π π
2 2
，可得 cos 0 ，且1 cos 0 ，可得 sin 0 ，所以 π0 2
，
又由sin sin 2 ，可得sin sin 2 sin 2sin cos sin (1 2cos ) 0 ，
因为 π0 2
，可得sin 0 ，所以1 2cos 0 ，即 1cos 2
，解得
3 2
.
故选：C.
3．【答案】B
【分析】
利用正弦函数的性质可得 π 722 6 6m ，从而可得结果.
【详解】
100
∵函数 π4sin 2 16f x x
的定义域是 0,m ，
∴ π π π2 ,26 6 6x m
，
又 f x 值域为 1,5 ，
∴ π 1sin 2 ,16 2x
，
根据正弦函数性质及 π 1 7π 1sin ,sin6 2 6 2
，
∴ π 722 6 6m ，
∴ 2
3 3m ，
∴ m 的最大值是 2π
3
，
故选：B
【点睛】
关键点睛：把 π2 6x 整体看待，转化为正弦函数的性质问题是解题的关键.
4． 【答案】C
【分析】
根据 f x 的图象先求解出 , 的值，然后根据图象平移求解出 g x 的解析式，再根据已知条件分析得到
24g
为 g x 的最值，由此列出 a 满足的等式并确定出 a 的可取值.
【详解】
因为 0 2f ，所以 2 2 sin 2 ，所以 2sin 2
且| | 2
，所以
4
，
又因为 3 08f
，所以 32 2 sin 08 4
，所以 3 ,8 4 k k Z ，
所以 8 2 ,3
k k Z ，且 3
2 8
T ，所以 3
8
，所以 80 3
，所以 1, 2k ，
101
所以 2 2 sin 2 2 2 sin 2 24 4g x x a x a
，
又因为对于任意的 xR ， ( ) 24g x g
，所以 2 224g
，
所以 sin 2 112 4 a
，所以sin 2 13 a
，所以 1 12 2 ,3 2a k k Z ，
所以 1 1
5 ,12a k k Z 或 1 1,12a k k Z ，所以 a 可取 5
12
，
故选：C.
【点睛】
思路点睛：根据 siny A ωx φ 的图象求解函数解析式的步骤：
（1）根据图象的最高点可直接确定出 A 的值；
（2）根据图象的对称轴、对称中心确定出函数的最小正周期，再利用最小正周期的计算公式求解出 的值；
（3）代入图象中非平衡位置的点，结合 的范围即可求解出函数解析式.
5．【答案】C
【解析】 sin 3 cos 2sin 3f x x x x
，
令 2sin 03x
，得
3x k ， k Z ，即 3k
x
，
因为函数 f x 在区间 ,2 内没有零点，
所以 3k
x
且
4
3 2
k
，解得 1 2
3 3 2
kk ， k Z ，
令 0k 可得 1 2
3 3
，令 1k 可得 2 1
3 6
，因为 0 ，所以 的取值范围是
1 2 1, 0,3 3 6
.
故选 C.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，把函数化简为最简形式，表示出零点是解题的关键，侧重考查
数学运算的核心素养.
专家押题
102
1．【答案】C
【解析】
【分析】
结合图象由最值可求 A，由 f（0）＝2sinφ＝1，可求φ，结合图象及五点作图法可知，ω 11
12 6
2π，
可求ω，再求出函数的对称轴方程即可求解．
【详解】
结合图象可知，A＝2，f（x）＝2sin（ωx+φ），
∵f（0）＝2sinφ＝1，
∴sinφ 1
2
，
∵|φ| 2
＜ ，
∴φ 6
，f（x）＝2sin（ωx 6
），
结合图象及五点作图法可知，ω 11
12 6
2π，
∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x 6
），其对称轴 x 1
6 2 k ，k∈Z，
∵f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0 成立，
∴f（a+x）＝f（a﹣x）即 f（x）的图象关于 x＝a 对称，
结合函数的性质，满足条件的最小值 a 6
故选 C．
【点睛】
本题主要考查了由 y＝Asin（ωx+φ）的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．
2．【解析】（1）f（x）＝sin2x+cos2x+1
R 2ሻ2m 䁕
䁕 1
，
所以最小正周期为π．
因为当
2 䁕 2〱 2m 䁕
,
2 䁕 2〱
时，f（x）单调递减，
103
所以单调递减区间是
䁕 〱
，
䁕 〱
．
（2）当
m
，
2
时，
2m 䁕
，
，
当 2x
䁕
R
2
时，函数取得最大值，为
2 䁕 1
，
当 2x
䁕
R
或
时，函数取得最小值，最小值为
2
2 2 䁕
1＝0．
时间：5 月 23 日
核心考点解读——解三角形
104
考纲解读
正弦定理及其应用（II）
余弦定理及其应用（II）
三角形面积公式的应用（II）
解三角形的实际应用（II）
高考预测
1.涉及本单元的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，
考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基
本不等式等的综合.
2.从考查难度来看，本单元试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角
形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、
角的问题.
3.从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的
热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积
的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.
应试技巧
1.正弦定理及其应用
(1) 2sin sin sin
a b c RA B C
表示三角形中对边与对角正弦值的比值关系及与其
外接圆的直径之间的等量关系.
(2)能够利用正弦定理进行边、角计算：已知两角和一边求其他的边、角；已知两边
和一对角求其他的边、角等，此时要根据“大边对大角”的性质注意三角形解的问
题.
(3)注意利用正弦定理实现边、角的互化，如“ a b ”可转化为“ sin sinA B ”等，
转化过程中要注意平衡，如“ 2 2a b ”不可转化为“ 2sin 2sinA B ”.
2.余弦定理及其应用
(1) 2 2 2 2 cosa b c bc A 表示三角形中三边与任意角之间的等量关系.
(2)能够利用余弦定理进行边、角计算：已知三边求角；已知两边和一夹角求对边；
已知两边和一对角求其他的边、角等.此时利用余弦定理可以通过解方程清楚了解
三角形的解的问题.
3.三角形的面积公式及其应用
105
(1)三角形的面积公式： 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B ，利用三角形的两
边及一夹角求面积.
(2)注意三角形的面积公式与正弦定理、余弦定理之间的联系
4.解三角形的应用
通过正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式所建立起来的边、角的等量关系，
不仅要能够求解三角形的边与角，还要能够求解三角形的面积问题，考查三角形
的形状问题，利用公式、定理转化，建立等边三角形、等腰三角形、直角三角形
等的判定条件，确定三角形的形状.
5.解三角形的实际应用
解三角形的实际应用主要是实际问题中的测量问题，如测量角度问题，仰角、俯
角、方位角、视角等；测量距离问题；测量高度问题等.此类问题的关键在于通过
构造三角形，应用正弦定理、余弦定理进行求解测量.
6.解三角形与其他知识的综合
(1)解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的
范 围 问 题 . 利 用 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 与 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 建 立 如
“ 2 2, ,a b ab a b ”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围
问题.
(2)注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问
题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.
1．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC 中，cosC= 2
3
，AC=4，BC=3，则 tanB=
A． 5 B．2 5 C．4 5 D．8 5
【答案】C
【解析】设 , ,AB c BC a CA b
2 2 2 22 cos 9 16 2 3 4 9 33c a b ab C c
106
2 2 2
21 1 4 5cos sin 1 ( ) tan 4 52 9 9 9
a c bB B Bac
故选：C
【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．（2019 年高考全国Ⅰ卷文数）
△
ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA−bsinB=4csinC，
cosA=− 1
4
，则 b
c
=
A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】A
【解析】由已知及正弦定理可得 2 2 24a b c ，
由余弦定理推论可得
2 2 2 2 21 4 1 3 1cos , , ,4 2 2 4 2 4
b c a c c cA bc bc b
3 4 62
b
c
.
故选 A．
【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出 a，b，c 关系，再
结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
3．（2019 年高考北京卷文数）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， APB 是锐
角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ
C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【答案】B
【解析】设圆心为 O，
107
如图 1，连接 OA，OB，AB，OP，
则 2 2AOB APB ，
所以
22 2 42OABS 扇形
，
因为 ABP AOBOABS S S S △ △阴影 扇形 ，且 AOBOABS S△扇形 ， 都已确定，
所以当 ABPS△ 最大时，阴影部分面积最大.
观察图象可知，当 P 为弧 AB 的中点时（如图 2），阴影部分的面积 S 取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π−β，面积 S 的最大值为 ABP AOBOABS S S S △ △阴影 扇形 =4β+S
△
POB+
S
△
POA=4β+ 1
2 |OP||OB|sin（π−β）+ 1
2 |OP||OA|sin（π−β）=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4 sinβ，故选 B.
【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解
能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.
4．（2018 新课标全国Ⅲ文科） ABC△ 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ．若 ABC△ 的面积为
2 2 2
4
a b c ，则C
A．
2
B．
3
C．
4
D．
6
【答案】C
【解析】由题可知
△䁚 R
1
2 䁕sin䁚 R
䁕
2
䁕
2
ʹ
2
，所以
䁕
2
䁕
2
ʹ
2
R 2䁕sin䁚
，
由余弦定理
䁕
2
䁕
2
ʹ
2
R 2䁕cos䁚
，得
sin䁚 R cos䁚
，
因为
䁚 ,π
，所以
䁚 R
π
.
108
故选 C.
5 ． （ 2017 新 课 标 全 国 Ⅰ 文 科 ） △ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a b c、 、 ． 已 知
sin sin (sin cos ) 0B A C C ，a=2，c= 2 ，则 C=
A． π
12 B． π
6
C． π
4 D． π
3
【答案】B
【解析】由题意sin( ) sin (sin cos ) 0A C A C C 得
sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ，
即 πsin (sin cos ) 2 sin sin( ) 04C A A C A ，所以 3π
4A ．
由正弦定理
sin sin
a c
A C
得 2 2
3π sinsin 4
C
，即 1sin 2C ，
因为 c
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