北师版九年级数学上册第四章图形的相似

4.1.1成比例线段（1） 第四章 图形的相似 全等形 指能够完全重合的两个图形 ，即它们的形状和大小完全相同 。 回忆 黄山松 天坛 央 视 名 嘴 李 咏 李 咏 高 仿 机 器 人 第四章 相似图形 第一节 线段的比 观察下列每组图形 （1） （2） （3） 这些图形有什么共同的特点？ 它们的形状相同，大小不同，但线段的长度是有比例的 回答问题： 1.不同长度单位下AB:CD一样吗？ AB:CD等于CD:AB 吗? 两条线段的比是有顺序的。 2.两条线段的比与所采用的长度单位有没有 关系？ 两条线段的比与所采用的长度单位无关。但 要采用同一长度单位。 　 （1）两条线段的比：如果选用同一个长度单位，量得两 条线段AB，CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的 比AB:CD=m:n,或写成 其中,线段AB,CD分别叫 做这个线段比的前项和后项。 （2）引入比值k的表示方法：如果把 表示成比值k, 那么 ,或 AB=k·CD。 注意：引入比值k的方法是解决比例问题的 一种重要方法,以后经常会用到。 　 线段的比 所以研究相似图形，先要学习线段的 比和比例线段的有关知识。 A B C D E A´ B´ C´ D´ E´ 如图，把五边形ABCDE缩小一定的倍数 就得到和它相似的五边形A´B´C´D´E´. 1.已知a=2，b=4.1，c=4，d=8.2,下面哪个选项 是正确的？( ) A. d， b， a， c成比例 B. a，d，b， c成比例 C. a， c，b， d成比例 D. a，d，c，b成比例 2.下列各组数中成比例的是（ ） A. 2， 3， 4， 1 B. 1.5，2.5，6.5，4.5 C. 1.1，2.2，3.3，4.4 D. 1， 2， 2， 4 C D 课 堂 练 习 一.定义 :四条线段 a、b、c、d 中，如果 （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段. a c b d = 1.已知线段AB=2.5米，线段CD=400 厘米，则 （1）线段AB和CD的比是 ； （2）这个线段的比的前项是 ， 后项是 。 5 ∶ 8 AB CD 比应是最 简的比 （3） .已知a、b、c、d是成比例线段 ,且a=4cm, b=6cm,d=9cm,则c=____ 6cm 主动学习才是快乐 的 2 5 D 4.已知：线段a、b，且 , 则下列说法错误的是（ ） A a=2cm,b=3cm B a=2k,b=3k (k不为0) C 3a=2b D 例1：如图一块矩形的绸布长AB=am，宽 AD=1m，按照图中所示的方式将它剪裁成相同 的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与 长的比与原绸布的宽与长的比相同。即 那 么a的值应当是多少？ AB AD AD AE  解：根据题意可知：AB=am，AE= am， AD=1m 3 1 由 ， 得 AB AD AD AE  a 1 1 a 3 1  即 1a 3 1 2  ∴ 2 2a =3 开平方， 舍去）（ 3a3a  A F E C B D 1.已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪 个选项是正确的？( ) A. d, b, a, c成比例线段 B. a, d, b, c成比例线段 C. a, c, b, d成比例线段 D. a, d, c, b成比例线段 2.下列各组线段的长度成比例的是（ ） A.2cm,3cm,4cm,1cm B.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cm C.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D.1cm,2cm,2cm,4cm C D 课 堂 练 习 即：比例的两外项之积等于两内项之积. a c b d   ad bc a c b d =（1）能从 推导出 吗？ ad bc （2）能从 推导出 吗？ ad bc a c b d  议一议： 比例的基本性质 （a,b,c,d都不为零 ） 看谁想的多：已知 a·d=b·c，你能得到哪些比例 式 对调内项， 比例仍成立 ！ 对调外项， 比例还成立！ a b c d= b a d c= b d a c= c d a b= d b c a= a c b d= c a d b= d c b a= 练习. 已知 ,判断下列比例式是否成立 ， a c b d  并说明理由. (1) a b c d b d    (2) a a c b b d    比例式变形的两种 常用方法： 1. 利用等式的基本性 质 2. “设比值” (3) a b c d b d    (4) a b c b b d    积累就是知识 请用类比的方法得出结论 ??, 为什么成立吗那么如果 d dc b ba d c b a -=-= • 合比性质(或合分比性质): 已知A.B两地相距40km，问在比 例尺为1:5 000 000的地图上,A.B 两地相距多少厘米？ 答：A.B两地的图上距离是8cm. 解：设A.B两地的图上距离为A`B` 则： 即 所以A`B`= =8cm AB A`B ` 1 5000 000 A`B` 4×10 7 1 5000 000 4×10 7 5×10 6 = = 请同学们谈谈这节课 你的收获! 主要内容： 注意事项： 反 思 与 总 结 1.成比例的四条线段要有顺序性. 3.比例尺问题中注意单位换算 . 2.利用等积式来判断转化成的比 例式是否正确. 2.比例的基本性 质 (a:b=c:d ad=bc) 及其应用. 1.成比例线段的定义. 4.1.2成比例线段（2） 比例线段 B C DA E F GH 结论： 2 HG AD FG CD EF BC HE AB 在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例的线 段，简称比例线段. d c b a  外项 外项内项 内项 a ：b = c ：d. 外项 内项 a、b、c 的 第四比例项 c b b a  如果作为比例内项的是两条相等的线段即 或a ：b = b ：c， 那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项 . ?   HGFGEFHE ADCDBCAB 的值吗？由此你能得出什么结论？ 你能求出 已知a，b，c，d，e，f六个数 如果 ， 那么 . )0f( f e  db d c b a b a db ca    f e 成立吗？为什么？ 比例的性质 1、比例的基本性质：如果 a ：b = c ：d ，那么 ad = bc. 如果 ad = bc，那么 a ：b = c ：d 2、合比性质： 如果 ，那么 d c b a  d dc b ba    3、等比性质：如果 ， 那么 . )0(  ndb n m d c b a  b a ndb mca      例2.已知:△ABC和△DEF中, 且 ,△ABC的周长为18cm 求:△DEF的周长. 4 3  FD AC EF BC DE AB 解 4 3  FD AC EF BC DE AB∵ 4 3    DE AB FDEFDE CABCAB 又∵△ABC的周长为18cm。即AB+BC+AC=18cm ∵4（AB+BC+AC)=3(DE+EF+FD) 即DE+EF+FD= (DE+EF+FD) 3 4 DE+EF+FD= (DE+EF+FD) = ×18=24cm 3 4 3 4 即△DEF的周长为24cm 小试牛刀 1、如果 那么 。 7 5  f e d c c a 2、如果 ， 那么 .5 2  f e d c c a    fdb eca    fdb eca 1.已知 a:b:c=2：5：6， 求 的值.2a+5b–c 3a–2b+c 解：设 = = = k, a b c 2 5 6 则 a=2k, b=5k, c=6k, 2a+5b–c 3a–2b+c∴ = 4k+25k–6k 6k–10k+6k = 23 2 . 试一试 如果 （ ）， n m d c b a  0 ndb b a ndb mca    那么 成立吗？ 2. ba ba b ba ba 5 43)2( 2)1( ., 43 .1     求下列算式的值已知 . 23 3, 432 :.2 的值求已知 yx zyxzyx    课堂练习 的值。求 且、已知 cba cbacba 23 ,182,2:4:3::3   小结 比例的性质 1).等比性质: b a ndb mca    如果 （ ）， n m d c b a  0 ndb 那么 2)、认真观察图形，特别注意图形中线段的和、差， 巧妙地与合比性质结合起来. 3）、要运用方程的思想来认识比例式，设出未知数， 列出比例式，化为方程求解. 4.2平行线分线段成比例 1、比例性质 基本性质 合比性质 等比性质 若 = ,则ad=bc.a b c d 若 = ,则 a b c d a+b b = c+d d 若 a b c d e f m n= = = =…… (b+d+f+…+n≠0),则 =a+c+e+…+m b+d+f+…+n a b 如图：直线l1//l2//l3,l4、l5被l1、l2 、l3所截 猜 想 ： 如图，已知l1∥l2∥l3 求证： 思 考 题 平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 上 下 上 下 = 上 全 上 全 = 下 全 下 全 = ! 注意:平行线分线段成比例定理得到的比例式中, 四条线段与两直线的交点位置无关! 定理的符号语言 L1//L2//L3 AB DE BC EF (平行线分线段成比例定理) 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. D E F A B C L1 L2 L3 L4 L5 a b 基本图形：“8”字形 l1 l2 l3 A B C D （E） F a b 基本图形：“A”字形 l 1 l 2 l 3 A B C D E F L1 L2 L3 A B C D E F L4 L5 L1 L2 L3 L4 L5 L1 L2 L3 L5L4 L1 L2 L3 L4L5 L1 L2 L3 L4L5 CB ED A // 数学符号语言 A B C D E 平行于三角形一边的直线与其 他两边相交，截得的对应线段 成比例 推论的数学符号语言： ∵ DE∥BC AD AE AB AC ∴ —— ——＝ A B C E D平行于三角形一边的直线 截其他两边的延长线，所 得的对应线段成比例。成 立吗？ CB ED A ∴ ∴AF= 5 28 5 47     EB FCAE ∴ AC AF AB AE  ∴ 3 25 6 510      AE AFABAC∴ 3 105 3 25  AFACFC FC AF EB AE  小试牛刀 已知：BE平分∠ABC，DE//BC. AD=3, DE=2, AC=12, 求：AE的长度 2 3k 2k 2 3 练习: A B D C E EC BC DC———— ＝ A B C D E (A组) (B组) 1、如图: 已知 DE∥BC, AB = 14, AC = 18 ， AE = 10， 求：AD的长。 2、如图: 已知AB⊥BD， ED⊥BD，垂足分别为 B、D。 求证：AC 课堂小结，归纳提炼 1、平行线分线段成比例定理，三 条平行线截两条直线所得的对应 线段 成比例。 2、定理的形象记忆法。 3、定理的变式图形。 4、定理的初步应用。 4.3 相似多边形 回顾交流 B C A D E F 情境引入 F' E' D' C' B'A' A B C DE F 相似多边形概念： 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相 似多边形。 相似比概念： 相似多边形对应边的比叫做相似比。 注：1. 六边形ABCDEF与 六边形相似 ，记做 六边形ABCDEF 六边形 , 读作相似于,其中 AB： 的值就是相似比. S 2.在记两个多边形相似时，要把表示对应角 顶点的字母写在对应的位置上。 （对应角相等、对应边成比例） FEDCBA  FEDCBA  BA  S 5 4 1111111111  AE EA ED DE DC CD CB BC BA AB 5 4 4 5 解：（1）正三角形ABC与正三角形DEF相似 由于正三角形每个角都等于600，所以 ∠A=∠D= 600，∠B=∠E= 600， ∠C=∠F= 600； 1 B C D E F A由于正三角形三边都相等， 所以 所以 正三角形ABC与正三角形DEF相似 ； B C D E F A （2） H G 解：（2）正方形ABCD与正方形EFGH相似. 由于正方形每个角都是直角，所以 ∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900， ∠C=∠G= 900， ∠D=∠H= 900； 由于正方形四边相等，所以 . HE DA GH CD FG BC EF AB  •所以正方形ABCD与正方形EFGH相似 直观有时候是不可靠的. 1.观察下面两组图形，图（1）中的两个图形 相似吗？为什么？ 正方形 菱形 10 10 12 12 答：不相似。因为虽然它们对应边是成比例 的，但它们的对应角不相等。 （1） 图（2）中的两个图形相似吗？为什么？ 正方形 矩形 10 10 8 12（2） 答：不相似。因为虽然它们对应角相等， 但它们 对应边不成比例。 2.如果两个多边形不相似，那么它们的对应 角可能都相等吗？ 对应边可能都成比例吗？ 答：如果两个多边形不相似， 它们的对应角可能都相等； 对应边也可能成比例。 3. 两个多边形相似的表示方法：若有五边ABCDE五 边形A‘B’C‘D’E‘相似，则记做五边形ABCDE 五边形 A’B‘C’D‘E’ S 4.4.1 探索三角形相似的条件 如图,在4×6方格内先 任意画一个△ABC,然后 画△ABC经某一相似变 换(如放大或缩小若干倍 )后得到△A′B′C′(点 A′,B′,C′分别对应点 A,B,C,顶点在格点上). 问题讨论1: △A′B′C′与△ABC对应角之间有什么关系? 问题讨论2: △A′B′C′与△ABC对应边之间有什么关系? 表示为： △ABC∽△A'B'C' C A B B′ A′ C′∵ ∠A=∠A' 、∠B=∠B' 、∠C=∠C' 'A'C CA 'C'B BC 'B'A AB  ∴ △ABC∽△ A'B'C' 我们将相似三角形对应边的比称为相似比。 1 2  反之：若△A'B'C' ∽△ABC ，则它们的相似比是多少？ 在下面的两组图形中，各有两个相似三角形， 试确定x ,y ,m ,n 的值. x 20 33 48 22 30 做一做 A B C D E 45° 85° m° n° 50° 45° 3a 2a y 10 (1) A B C D E F 20 22 x (2) ?,, 相等吗 对应边的比 CB BC CA AC BA AB  两角对应相等的两个三角形相似. A B C D E F A B C D E 例1如图D,E分别是△ABC的边 AB,AC上的点且DE∥BC，AB=7 ，AD=5，DE=10求BC的长？ 解：∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似） . BC DE AB AD  .14 5 107      AD DEABBC 若DE与BC不平行，△ADE与△ABC还可 能相似吗？说明理由. A B C D E A D E B C E D CB A 活动四：同伴互助，变式训练 “A”型 A B C ab “A”型 “x”型 A B C D E A B C D D A E B C“共角”型 “共角共边”型 “蝴蝶”型 学到了什么？ EF BC DF AC DE AB  对应角相等， 对应边成比例的两个三角形, 叫做相似三角形。 如果∠A =∠D,∠B =∠E,, 两角对应相等的两个三角形相似 △ABC与△DEF相似，就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！ 那么△ ABC∽ △DEF, 1. 定义 2.判定定理 4.4.2探究三角形相似的条件 • 以问题的形式，创设一个有利于学生动手 和探究的情境，达到学会本节课所学的相似 三角形的判定方法． 过程与方法 • 培养学生积极的思考、动手、观察的能力 ，使学生感悟几何知识在生活中的价值． 情感态度与价值观 理解相似三角形的判定方法 知识与能力 两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似吗？ 两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似. 结 论 ⑴以两位同学为一小组，一位同学作2cm、3cm 、为边且夹角为60°的三角形；另一位同学作 4cm、6cm、为边且夹角为60°的三角形。 ⑵然后同桌进行对照，观察两个三角形是否 相似？ 上述判定方法中的“角”一 定是两对应边的夹角吗？ G 3. 2 C 3.2 50°) 4 A B 2 1. 6 50 ° ) E D F 看看演示 你有疑问吗 ？ 两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形相似. 结论： ＝ ¢CA AC ¢ AB ¢BA ¢ 则△ABC∽△A'B'C' 若在△ABC与△A'B'C'中 且∠A=∠A′ 观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等， 那么，这两个三角形一定相似吗？ D B C A E ∴DE= BC= ∴ ∵ 又∵∠EAD=∠CAB 解：∵AE=1.5 AC=2 ∴ ∴ △ ADE∽ △ABC ∵BC=3 ∴ 4 3 4 9 ×3= 4 3 例2：如图：D，E分别是△ABC的边AC,AB边上的点。 AE=1.5，AC=2，BC=3， 求DE的长？ 《拿破仑测莱茵河宽度》 　　观察到对面岸边的一个标志O，于是他想出了一 个测量河宽的办法。他在自己的岸边选点A、B、D， 使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。 然后测得AC=120米。CB=60米，BD=2０0米，你能帮 助他算出莱茵河的宽度吗？ Ｏ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ 7 　 下面每组的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由： 3.5 D FE 2.52 C A 4 5 5 E F B 4 A CB 4 5 ⑴ ⑵ 你会做了吗？运用： 　 下面每组的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由： A 4 5 5 E F C B 4 ⑴ 运用： ⑵ 一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm、4cm， 另一个直角三角形两条直角边的长分别为9cm、 6cm，这两个直角三角形是否相似？为什么？ A C B A’ C’ B’ 再看看你的能力 有一池塘, 周围都是空地. 如果要测 量池塘两端A、B间的距离, 你能利用 本节所学的知识解决这个问题吗? • • A B • D E C • • 学 以 致 用 收获： ★ 探讨了相似三角形的另一种判定方法: ★ 数学活动充满着探索与创新,请同学们 利用所学知识解决生活中的实际问题. 两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似. 回顾与思考 1、什么叫全等三角形? 2、全等三角形的判定 方法有哪些？ 1、什么叫相似三角形? 2、若给定两个三角形， 你有什么办法来判定它们 是否相似? AAS、 ASA、SAS、 SSS、 HL。 观看演示：若△ABC与△A`B`C`满足条件： 你能发现这两个三角形相似？ 1 2 CA AC CB BC BA AB       如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。 知识要点 判定三角形相似的定理之一 △ABC∽△A1B1C1. 1 1 1 1 1 1 ,AB BC AC A B B C AC   即： 如果 那么 A1 B1 C1 A B C 三边对应成比例，两三角形相似。 边 边 S S S√ A D C E B 例3如图在△ ABC和△ADE中 解： . AE AC DE BC AD AB  ∵ ∴ ∴∠CAE=20° ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ∵∠BAC=∠DAE ∵ ∠BAD＝20°求∠CAE的度数 . AE AC DE BC AD AB  △ABC∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似） 即∠BAD=∠CAE ∠BAD=20° 方法？相似吗？你有哪些判定如图， CBAΔ与ΔABC  是否相似？为什么？下列每组的两个三角形 　　依据下列各组条件,判定△ABC与 △DEF是否相似,并说明为什么： （1） AB=4cm, BC=6cm, AC=8cm, （2）DE=12cm，EF=18cm,DF=24cm.， △ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点 上 ，请在图中画一个△A1B1C1 使 △ A1B1C1 ∽△ABC（相似比不为1）， 且点都在单位正方形的顶点上 . 在正方形方格中, C A B 试一试 试一试: AC BC AB AC  五角星是我们常见的图形,如右图 CA DE B F H G M N 1在图中找出相等的角,相等的线段。 2),在图中找出两对相似比不同的相似三角形。 小亮认为： 你同意他的 说法吗？ 探索交流 黄金分割 那么称线段AB被点C黄金分割， 点C叫做线段AB的黄金分割点, AC与AB的比值约为0.618,这个比值叫做黄金比 如果点C把线段AB分成两条线段AC和CB,使 AB AC AC CB  A BC 例:计算黄金比 CA B x 1－xAC BC AB AC  ∴ 得,解：由, 设AB=1，AC=X,则BC=1-X  )1(12 XX  即:X2+X-1=0 解这个方程，得 不合题意，舍去）， ( 2 51 2 51 21     XX 所以，黄金比 618.0 2 15    AB AC 如果一个矩形的宽与长的比值正 好是黄金比(0.618),人们称它为“ 黄金矩形”,黄金矩形曾一度统治 着西方世界的建筑美学,巴黎圣母 院是它的一个杰出代表作,它的整 个结构就是按照黄金矩形建造的. 请你画出一 个黄金矩形. 芭蕾舞演员的身段是苗条 的，但下半身与身高的比 值也只有0.58左右，演员 在表演时掂起脚尖，身高 就可以增加6-8cm.这时比 值就接近0.618了,给人以 更为优美的艺术形象. 芭蕾舞欣赏之二: 468m 289.2m 上海东方明珠电视塔高 468m,上球体到塔底的 距离约为289.2m, 289.2 与468的比值是一个神奇 的数字0.618,这个塔的 设计精巧,外型匀称、漂 亮、美观、大方. 欣赏之三:上海东方明珠塔 A B C D P Q 欣赏之四: 蒙娜丽莎 著名画家达·芬奇的蒙娜丽 莎, 其漂亮的面部抽象为矩 形ABCD，四边形BCQP恰 为正方形。AP与BP的比， BP与AB的比都是一个神 奇的数0.618. 生活中的黄金分割 1.小明家的房间高3米,他打算在四周墙中涂 上涂料美化居室,从地面算起,涂到多高时才 使人感到舒适? 2．在人体下半身与身高的比例上，越接近 0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身 体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。 某女士身高1.68米，下半身1.02米，她应 该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？ 黄金分割点的尺规作图： 积极探究： 读一读 神奇的0.618 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度 左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁 门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山， 九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在这黄金分割的纬度上。 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与 长之比也接近0.618; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站 在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最 佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来 舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8 开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。 三角形全等判定： •角边角 •角角边 •边边边 •边角边 三角对应相等, 三边对应成比例 1. 两角对应相等（判定１） 3. 三边对应成比例（判定3） 三角形相似判定： 三角对应相等, 三边对应相等 2.两边对应成比例且夹角相等（判定2） 3.什么是黄金分割 4.如何去确定黄金分割点或黄金比 5.用数学美去装点和美化生活 4.5相似三角形定理证明 （AA)判定定理：两角分别相等的两三角形 相似 已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中, 求证:ΔABC∽ △A/B/C/ A A B B C C       ， ， ， 证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取 AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。 A B C A/ C/ B/ D E ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ ΔA/B/C/， ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。 ∴ ΔA/B/C/∽ΔABC (SAS)判定定理：两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似。 A B C 'B 'C 'A ABCD ∽ ''' CBAD 中，和已知：在 ''' CBAABC DD ', '''' AA CA AC BA AB  ABC ''' CBA求证: △ ∽△ A B C 'A 'B 'C D E '' ' '' ' CA EA BA DA ∴ 又 DE DABDA BA 再做，过点上）截取 （或它的延长线证明：在线段 ' '' '''' ' CA AC CA EA ABDA CA AC BA AB  ', '''' ∴ ∴ ∴ ∥ ，可得交于点交 ECACB '''' DEA'D ''' CBAD∽ ABCDEA DD ' ABCD ∽ ''' CBAD ∴ ACEA ' '.AA 又 A B C ABCD ∽ ''' CBAD 'A 'B 'C （SSS)定理：三边成比例的两个三角形相似 中，和已知：在 ''' CBAABC DD , '''''' CA AC CB BC BA AB  ABC ''' CBA求证: △ ∽△ A B C 'A 'B 'C D E '' ' '''' ' CA EA CB DE BA DA ∴ 又 DE DABDA BA 再做，过点上）截取 （或它的延长线证明：在线段 ' '' '''' ' CA AC CA EA ABDA CA AC CB BC BA AB  ', '''''' ∴ 同理 BCDE  ∴ ∴ ∥ ，可得交于点交 ECACB '''' DEA'D ''' CBAD∽ ABCDEA DD ' ABCD ''' CBAD ∴ ACEA ' ∽ 如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似, 并说明理由. E D F B A C 热身练习：判断图中的各对三角形是否相似。 A B CD O 5 6 24 20 A B CDE F 30 36 48 72 45 54 A B D P 8 12 21 14 A B C D P 4 11 12 18 图 一 图 二 图 三 图 四 找 一 找 F A B C D G E 图 1 （1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。 （2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 △ADE∽△AFG∽△ABC。 答：相似三角形有 △AOB∽△FOE∽△DOC。 A B 图 2 C F D E O （3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝ 40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？ ∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 ° C A D B 3.找出图中所有的相似三角形 △ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC 你能写出对应边的比例式吗? A B C D E A B C D E 21 O C B A D O C D A B A B C D E 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4 已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8， 求AB A B C D 4.6利用相似三角形测高 D E B CA 学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？ 你有什么办法测量？ E B C A D F D E B CA 例：数学兴趣小组测校内一旗杆，有以下三种方法： 方法一：利用阳光下的影子。 例：数学兴趣小组测校内一旗杆高，有以下三种方法： 方法二：利用标杆 请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量旗 杆高的方法吗？ F D C E B A 把长为CD的标杆直立在地面上，量出旗杆的影长为 EB，标杆影长为。 例：数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下三种方法： 方法三：如图，把镜子放在离旗杆（AB）点E处，然 后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到秆顶点 A，再用皮尺量得DE，观察者目高CD； C D E A B 1 2 3 4 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 知识要点 测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，通 常用“在同一时刻物高与影长成正比例” 的原理解决。 课堂小结: 四、相似三角形的应用的主要图形 1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m， 同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是 多少？ △ABC ∽ △A'B'C' 求得 A'C'=54m 答：这栋高楼的高度是54m. 解： A B C 1.8m 3m A' B' C'90m ? 2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.（设网 球是直线运动） A D B C E ┏ ？ 2.4m 3、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下， 小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处 再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路 灯杆AB的高度。 D F B C E G A P D Q B C A 课堂小结: 一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 二 、测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻 物高与影长的比例”的原理解决 解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似 解决问题 4.7相似三角形的性质 相似三角形的识别 问：相似三角形的识别方法有哪些？ 证二组对应 角相等 证三组对应边 成比例 证二组对应边成 比例，且夹角相 等 相似三角形的特征 问：你知道相似三角形的特征是什么吗？ 角：对应角相等 边：对应边成比例 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值= 如右图，△A B C ∽△A′B′C′ A B C A’ B’ C’ D D’ 已知：Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比 为k,它们对应高的比是多少？对应角平 分线的比是多少？对应中线的比呢？请 证明你的结论。 想一想 相似三角形对应边上的高有什么关系呢？ 归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。 A′ B′ C′D′ △A D C ∽△A′D′C′ 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出 B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多 少？AD 与A′ D′有什么关系？ 右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。 D A B C (2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对 应边上的高有什么关系呢？__________ 说说你判断的理由是什么？___________ 相似三角形对应角的角平分线有什么 关系呢？ 归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比 。 (2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应 角的角平分线比是多少？ 说说你判断的理由是什么？___________△A F C ∽△A′F′C′ 如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的角平分线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′的 角平分线， △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AF 与A′ F′比是多少？ A B CF A′ B′ C′F′ 归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比 。 相似三角形对应边上的中线 有什么关 系呢？ 如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ E′为 B′C′边上 的中线。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AE 与 A′ E′比是多少？ A B CE A′ B′ C′E′ △A E C ∽△A′E′C′ (2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边 上的中线的比是多少呢？ 说说你判断的理由是什么？___________ 课堂练习: 填空： （1）两个三角形的对应边的比为3:4，则这两个三 角形的对应角平分线的比为_____ ，对应边上的高的 比为____，对应边上的中线的比为____ (2)相似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比为 _________,对应中线的比等于______; 3、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上 的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B， 且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它 们的相似比K =_______, ______ AG AE A B CE D S B C R E D A 例1,如图， AD是△ABC的高AD=h，点R在 AC边上,SR⊥AD垂足为 E,当SR= BC时， 求DE的长。如果SR= BC呢？ 2 1 3 1 解：∵SR⊥AD BC⊥AD ∴ 即 ∴ ∴SR//BC ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C Δ ASR∽Δ ABC BC SR AD AE  BC SR AD DEAD   当SR= BC时2 1 当SR= BC时 3 1 hDE h DEh 2 1. 2 1   解得得 hDE h DEh 2 1, 2 1   解得得 1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应 中线, 求BD的长？ 2 3  CA AC cmDB 4 小试牛刀 2、△ABC∽△A′B′C′，AD和 A′D′是它们的对 应角平分线，已知AD＝8cm，A′D′＝3cm，求 △ABC和△A′B′C′对应高的比. 你会应用吗？ 3、△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已 知 ，B′D′=4cm，求BD的长. 2 3 CA AC ''  解：∵ △ABC∽△A′B′C′， 　　　BD和B′D′是它们的对应中线　　　 2 3 CA AC DB BD '''' ∴ （相似三角形对应中线的比都等于相似比） ∴ BD=6 2 3 4 BD ∴ 4.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片XY 宽35mm，焦距是50mm，能拍摄5m外的景物有多宽？ 拓广应用空间：　 35mm 50mm 5m X Y A B L 相似三角形的周长有什么关系呢？ 归纳：相似三角形的周长比等于相似比。 右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2 、3的等边三角形，它们都相似． （2）与（1）的相似比＝________________， （2）与（1）的周长比＝________________; （3）与（1）的相似比＝________________， （3）与（1）的周长比＝________________. 2:1 2:1 3:1 3:1 从上面可以看出当相似比＝k时，周长比＝______k 相似三角形的面积有什么关系呢？ 2:1 归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方 。 右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2 、3的等边三角形，它们都相似． （2）与（1）的相似比＝________________， （2）与（1）的面积比＝________________; （3）与（1）的相似比＝________________， （3）与（1）的面积比＝________________. 4:1 3:1 9:1 从上面可以看出当相似比＝k时，面积比=______ k2 算一算： ΔABC与ΔA’B’C’的相似比是 多少？ ΔABC与ΔA’B’C’的周长比是多少? 面积比是多少？ 4×4正方形网格 看一看： ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？ 为什么？ 想一想： 你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比 有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？ （相似） √2 2 √2 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 √10 2 √2 1 √5 √2 A B C A’ C’B’ 已知两个三角形相似，请完成下列表格 相似比 周长比 面积比 注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比， 求面积比要平方， 而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。 2 4 100 100 1000 0 1 9 1 3 1 3 2 ．．． ．． ． ．．． D B C 例2：如图将Δ ABC沿BC方向平移得到 △DEF。△ABC与△DEF重叠部分（图 中阴影部分）的面积是△ABC面积的一 半已知BC=2，求△ABC平移的距离。 A E F △GEC∽△ ABC 解：根据题意，EG//AB ∠GEC=∠B,∠EGC=∠A G 22 2 2 22 1 2 2 2 2 22           ECBCBE EC EC EC EC BC BC EC S S ABC GEC 即 △ △ ∴ ∴ ∴ 即△ABC平移的距 离为2- 2 B A C D E 如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, ΔABC的周长为80m，面积为100m2, 求ΔADE的周长和面积 30m 18m 1、在△ABC中，DEBC，E、D分别在AC、AB上， EC=2AE，则S △ADE：S △ABC的比为______ 练习 2、如图， △ABC中，DEFGBC，AD=DF=FB，则 Ｓ△ADE:Ｓ四边形DFGE:Ｓ四边形FBCG=____ A B C D E S △ADE：S四边形DBCE的比为______ 1/9 1/8 1、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则 如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为 原来的_____________倍； 如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为 原来的_______________倍。 课堂练习 10000 10 2、已知△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。 （1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为 cm； （2）若△ABC的面积为32 cm2 ，则△A′B′C′的面 积为 cm2。 18 18 课堂练习 3、已知，在△A B C 中，DE||BC, DE:BC=3:5 则(1)AD:DB= (2)△ADE的面积:梯形DECB的面积= (3)△A B C的面积为25，则△A DE的面积 =___ 。 3:2 9:16 9 4、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48，求：△ADE的面 积。 课堂练习 解：因为DE∥BC 所以∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB 所以△A DE ∽△ABC 又因为BD=3AD 可得相似比k=AD:AB=1:2 所以S△ADE =1/4 S△ABC =12 小结 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线 之比都等于相似比 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的平方 （你学到了什么呢？） 4.8 图形的位似 探索与思考 观察下列图形的特点 A B C D P 特征: (1)是相似图形 (2)每组对应点所在的直线都经过同一个点 如果两个多边形是每组对应顶点的连 线都经过同一个点，那么这样的两个多边形 叫做 。 这个点叫做位似中心。 实际上，K就是这两个相似多边形的相似比 位似多边形 基本概念: 2、观察下列位似图形 　下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相 似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点 的连线有什么特征？ 图中每组中的两个多边形也是位似多边形。 应用位似图形概念作图 例：如图已知△ABC以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC相似， 且相似比为2. O A C B 解：1、画射线OA,OB,OC. 2、在射线OA，OB,OC上取点D,E,F使 OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC 3、 顺次连接D、E、F D E F 实际上△ABC与△DEF是位似图形，位似中心是点O 小 结 问题 如何利用位似中心作出扩大的图形呢？ 则△DEF与△ABC位似，相似比为2 满足条件的△DEF可以在点O的另一侧吗？ 想 一 想 ？ 用橡皮筋放大图形的方法放大图形： ,使用这种方法,放大前后的两个图形是位似图 形,你能用这种方法将一个已知的正方形放大, 使放大后的图形与原图形的位似比分别是1:2 吗? 练一练1：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′； （2）在平行四边形ABCD中，△ABO与 △CDO 练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′. （4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′ 随堂练习 在平面直角坐标系中△OAB的顶点坐标 分别是O(0,0),A(3,0),B(2,3),将点 O,A,B的横，纵坐标都乘2.以这三个 点为顶点的三角形与△OAB位似吗？ 如果位似。指出位似中心和相似比。 如果将点O,A,B的横，纵坐标都乘-2呢？ B C O A X Y 做一做 如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形 ，并把的边长放大3倍. 分析：根据位似图形上任 意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比，我们 只要连结位似中心O和的各 顶点，并把线段延长（或反 向延长）到原来的3倍，就 得到所求作图形的各个顶点 直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律 在平面直角坐标系中将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘 同一个k（k 0)所对应的图形和原图形位似 位似中心是坐标原点它们的相似比 想一想： 1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？ 2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为 位似中心的位似图形？   k 练一练 　　1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作 △ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半 . 练一练 今天你学会了什么？ 位似图形的定义，位似图形的性质. 第四章 图形的相似 复习 一、本章知识结构图 相似图形 位似图形 相似多边形 相似三角形 对应角相等 对应边的比相等 周长比等于相似比 面积比等于相似比平方 应 用 相似三角形的判定 回顾与反思 一、相似的图形 二、相似三角形 相似三角形的性质 对应边成比例，对应角相等 对应高，对应中线，对应角平 分线的比等于相似比 对应周长的比等于相似 比 对应面积的比等于相似比的平方 相似三角形的识别 一个三角形的两角与另一个三角形的 两角对应相等 一个三角形的两条边与另一个三角形的 两条边对应成比例，并且夹角相等 一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例 三、位似三角形 三、 基本图形 “ 型 在△ 中， ∥ ，则有 △ ∽△ “ 型 在△ 中， ∥ ，则有 △ ∽△ 1．如图6—1，已知△ABC，P是AB上一点，连 结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加的条件是 什么？（只要写出一种合适的条件） A B C P 解：只需添加条件： ∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或 如图， ＝ ，且∠ ＝∠ ， 试说明△ ∽△ ∵ ＝ ，得 ∶ ＝ ∶ ∵∠ ＝∠ ∴△ ∽△ ∴∠ ＝∠ ∵∠ ＝∠ ∴ ∠ ＝∠ ∴ ∥ ∴∠ ＝∠ ∵∠ ＝∠ ∴ △ ∽△ 解： 如图6—5，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B 、C在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1 ，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、 B1、C1都在单位正方形的顶点上． 4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相 似？ 如图⊿ 中， ， ，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向 点 以 的速度移动。若点 、 从 、 处同时出发，经过几秒钟后， ⊿ 与⊿ 相似？ Q P C B A 学以致用： 1、两个相似三角形对应中线之比是1：2， 则对应角平分线之比也是1：2。（ ） 2、两个相似三角形面积比是1：2，则相似比是1：4。（ ） 3、△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，若△ABC周长为6 ， 则△A′B′C′周长为9。 （ ）二、填空： 1.如图△ABC中，DE∥BC，且S△ADE=S梯形DBCE， 则DE:BC=____. A B C D E 一、判断正误： √ × √ ：2 根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出 和 的值 ∠ ∠ 解： （ ） ∠ ∠ ∠ ∠ ° ∴△ ∽△ 则有 △ 的三边长分别为 、 、 ，与它相似的△ 的最小边 长为 ，求△ 的其他两条边长和周长． 解： ∵ △ ∽ △ 设△ 另两边分别为 则 如图， 、 相交于点 ， ，求证 ＝ 证明： ∴△ ∽△ ∴ ＝ 3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点 O, 则△DOE与△BOC的周长之比是_______, 面积比是________. 2.两个相似五边形的面积比为9:16,其中较大 的五边形的周长为64cm,则较小的五边形 的周长为_______cm. O D A B C E 48 1:3 1:9 、 两相似三角形对应高之比为 ∶ ，周长之和为 ，则两个三角形周长分别为 与 、 两相似三角形的相似比为 ∶ ，它们的面积和 为 ，则较大三角形的面积为 6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比 ， 为面积比。 F D G EB A C 3：4 9：16 举例说明三角形相似的一些应用． 例如用相似测物体的高度 测山高 测楼高 如图，△ 是一块锐角三角形材料，边 ＝ ，高 ＝ ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两 个顶点分别在 、 上，这个正方形零件的边长是多少？ 解： ∵ ∴△ ∽△ ＝ － ＝ － 解得 设正方形 为加工成的正方形零件，边 在 上，顶点 、 分别在 、 上，△ 的高 与边 相交于点 ，设正方形的边长为 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地 远的地上，然后反弹碰 到墙上，如果她跳起击球时的高度是 ，排球落地点离墙的距离是 ，假设球扬直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ 解： ∠ ∠ ° ∠ ∠ ∴△ ∽△ ∴ 答：球能碰到墙面离地 高的地方． 本节课主要是复习相似三角形的性质 判定及其运用。在解题中要熟悉基本图 形。并能从条件和结论两方面同时考虑问 题。灵活应用。