北师版九年级数学上册第三章概率的进一步认识

3.1.1 用树状图或表格求概率(1) 第三章 概率的进一步认识 【学习目标】 1.会用画树状图或列表的方法计算简单随机事件发 生的概率;（重点） 2.能用画树状图或列表的方法不重不漏地列举事件 发生的所有可能情况.（难点） 3.会用概率的相关知识解决实际问题. 抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况： 你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗? 正面朝上 正面朝下 问题的引出 小颖小明和小凡都想去看周末的电影，但只有一张电影票， 三人决定一起做游戏谁获胜谁就去看电影。游戏规则如下： 连续掷两枚质地均匀的硬币。若两枚正面朝上，则小明获胜; 若两枚反面朝上，则小颖获胜;若一枚正面朝上一枚反面朝上则 小凡获胜。你认为这个游戏公平吗? 【解析】任意掷两枚硬币，会出现两种可能的结果：正面朝上、 反面朝上．各一次这两种结果出现的可能性相同，一正一反两 次对小凡有利．所以游戏不公平. 【猜想】 在上面掷硬币的试验中 （1）掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们出现的可能性 是否一样？ （2）掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们出现的可能性是 否一样？ （3）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现 哪些结果？它们发生的可能性是否一样？如果第一枚硬币反 面朝上呢？ 由于硬币质地均匀。因此掷第一次硬币出现“正面朝上” 和“反面朝上”的概率相同；无论掷第一次硬币出现怎样的 结果，掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的 概率都是相同的。 议一议 我们通常借助树状图或表格列出所有可能出现的 结果： （正，正） （反，正） （反，反） 反 正 第一枚 第二枚 反 正 反 正 所有可能出现的结果 此图类似于树的形状,所以称为 “树形图”。 （正，反） 开始 利用树状图或列表，我们可以不重复不遗漏地列出 所有可能的结果,从而比较方便地求出某些事件发生 的概率。 用列表法列举所有可能出现的结果: （ 第二枚硬币 第一枚硬币 正 反 正 反 （正，正） （正，反） （反，正） （反，反） 共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，其中， 小明获胜的结果有一种“正正”，所以小明获胜的概 率是 小颖获胜的结果有一种“正反”，所以小颖获胜的概 率是 小凡获胜的结果有一种“正反”“反正”，所以小凡 获胜的概率是 = 因此这个游戏对三人是不公平的 。 利用树状图或列表，我们可以不重复不遗漏地列出所 有可能的结果,从而比较方便地求出某些事件发生的概 率。 2 1 小颖有两件上衣,分别是红色和白色，有两条裤子，分 别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿 上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少？ 随堂练习 1.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环 节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中 ，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商 标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个 游戏的观众有三次翻牌的机会。某观众前两次翻牌均 得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众 第三次翻牌获奖的概率是（ ）． A. B. C. D. A 2．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三 等品2只．则从中任意取1只，是二等品的概率等于( )． A． B． C． D．1． 3.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6． 右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一 面上的数恰好等于朝下一面上的数的一半的概率是（ ）． A. B. C. D. C D 4、有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好能分别打开 这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去 开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？ cb BA BA a B A 解: 设有A,B两把锁和a,b,c三把钥匙,其中钥匙a,b分别 可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下: P(一次打开锁)= = (1) 列表法和树形图法的优点是什么? (2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使用“树 形图法”方便? 利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发 生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事 件发生的概率. 当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也 可以用树形图法; 当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便. 想一想 （一）等可能性事件的两个的特征： 1.出现的结果有限多个; 2.各结果发生的可能性相等； （二）列举法求概率． 1.有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何 去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的 数目. 2．利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的 各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表 、画树形图（下课时将学习）等. 课堂小结 3.1.2 用树状图或表格求概率(2) 例1.小明、小颖和小凡三做 “石头、剪刀、布”游戏 。游戏规则如下：由小明和小颖做“石头” “剪刀 ”“布”的游戏,如果两人的手势相同，那么小凡获胜 如果两人手势不同那么按照“石头” 胜“剪刀”, “剪 刀”胜“布”, “布”胜“石头”. 的规则决定 小明和 小颖中的获胜者。 解: 因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所 以可以利用树状图列出所有可能出现的结果： 假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相 同，你认为这个游戏对三人公平吗？ 解: 所有可能出现的结果 3 1 9 3  3 1 9 3  3 1 9 3  你能用列举 的方法来解 答例1吗？ 甲、乙两人掷一枚均匀的骰子,一人一次,在做游戏之 前,每人说一个数,如果抛掷的骰子两次朝上的点数之和恰和 某人说的一样,那么该人获胜.要想取得胜利你会说哪个数？ 做一做 甲结果 乙 1 2 3 6 5 4 1 65432 (6,6)12 解：利用表格列出所有可能的结果： (5,6)11(4,6)10(3,6)9(2,6)8(1,6)7 (6,5)11(5,5)10(3,5)8(2,5)7(1,5)6 (6,4)10(5,4)9(3,4)7(2,4)6(1,4)5 (6,3)9(5,3)8(3,3)6(2,3)5(1,3)4 (6,2)8(5,2)7(3,2)5(2,2)4(1,2)3 (6,1)7(5,1)6(3,1)4(2,1)3(1,1)2 (4,1)5 (4,2)6 (4,3)7 (4,4)8 (4,5)9 由表格知点数和为7出现的次数最多(6次)，概率最大，即 所以要想取得胜利，说数字7. 点数之和为 1.一个袋子中装有2个红球和2个绿球,任意摸出一球, 记录颜色放回,再任意摸出一球,记录颜色放回,请你 估计两次都摸到红球的概率. 2.某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白、蓝三条长裤，该人 任意拿一件衬衫和一条长裤，求正好是一套白色的概率. 3.有三组牌,每组三张牌,牌面数字分别为1,2,3,从每组中 任意抽取一张牌.求: (1)抽出的三张牌点数相同的概率; (2)抽出的三张牌的点数和为5的概率. 4 1 9 1 9 1 9 2 随堂练习 4.一个家庭有3个孩子. (1)求这个家庭有3个男孩的概率; (2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率; (3)求这个家庭至少有一个男孩的概率. 4 1 8 1 16 1 2 1 n 解: (1) 8. 从甲地到乙地有A1,A2两条路线，从乙地到丙地有B1 、B2、B3三条路线，其中A1B2是从甲地到丙地的最短路 线，一个人任意选择了一条从甲地到丙地的路线，它恰 好选到最短路线的概率是多少？ 本节课你有哪些收获？有何感想？ 用列表法和树形图法求概率时应注意什么情况？ 利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发 生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些 事件发生的概率.当试验包含两步时,列表法比较 方便,当然,此时也可以用树形图法,当试验在三步 或三步以上时,用树形图法方便. 小 结 3.1.3 用树状图或表格求概率(3) 概率 当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相应的概率附 近.因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估 计这一事件发生的概率. 利用树状图或表格可以清晰地表示出 某个事件发生 的所有可能出现的结果; 从而较方便地求出某些事件发生的概率. “配紫色”游戏 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自 由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇形. 游戏规则是:游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色, 转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成 了紫色. (1)利用树状图或列表的 方法表示游戏者所有可能 出现的结果. (2)游戏者获胜的概率是 多少? 红 白 黄 蓝 绿 A盘 B盘 树状图可以是: “配紫色”游戏 开始 红 白 黄 蓝 绿 (红,黄) (红,蓝) (红,绿) (白,黄) (白,蓝) (白,绿) 黄 蓝 绿 游戏者获胜的概率是1/6. 表格可以是： “配紫色”游戏 游戏者获胜的概率是1/6. 第二个 转盘 第一个 转盘 黄 蓝 绿 红 (红,黄) (红,蓝) (红,绿) 白 (白,黄) (白,蓝) (白,绿) 1200红 红 蓝 蓝 用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 小颖制作了下图,并据此求出游戏者获胜的概率是1/2. “配紫色”游戏的变异 对此你有什么评论？ 开始 红 蓝 红 蓝 红 蓝 (红,红) (红,蓝) (蓝,红) (蓝,蓝) “配紫色”游戏的变异 小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份,分别 记作“红色1”,“红色2”,然后制作了下表,据此求出 游戏者获胜的概率也是1/2. 1200 红1 红 蓝 蓝 红2 你认为谁做的对?说说你的理由. 红色 蓝色 红色1 (红1,红) (红1,蓝) 红色2 (红2,红) (红2,蓝) 蓝色 (蓝,红) (蓝,蓝) 由“配紫色”游戏的变异想到的 1200红 1 红 蓝 蓝 红 2 小颖的做法不正确.因为左边的转盘中 红色部分和蓝色部分的面积不相同,因 而指针落在这两个区域的可能性不同. 小亮的做法是解决这类问题的一种常用 方法. 1200红 红 蓝 蓝 用树状图和列表的方法求概率时应注意 些什么? 用树状图和列表的方法求概率时应注意 各种结果出现的可能性务必相同. 例2：一盒子中装有2个白球和2个红球和一个蓝球，这 些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记录下 颜色后放回再从中随机摸出一个球，两次摸到的球的 颜色能配成紫色的概率是多少？ 解：先将两个红球分别记为“红1”，“红2”两个白 球分别记为“白1”，“白2”然后列表如下： 第一次所选 第二次所选 所有可能结果 红2 白1 2 红1 红2 白1 白2 (红1,红2) (红1,白1)(红1,白2) (红2,红1) (红2,白1)红2,白2) （白1，红1） （白1，白2） （白2，红1） （白2，白1） 用表格求所有可能结果时，你 可要特别谨慎哦 红1 白 蓝 (红1,红1) (白1,白1) (红2,红2) (白1,红2) (蓝,红2) (白2,红2) (白2,白2) (红2,蓝 (白1,蓝) (红1,蓝) (蓝,蓝) (白2,蓝) (蓝,白2)(蓝,红1) 蓝 （蓝，白1） 总共有25种结果，每种结果出现的可能性相同，而 两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有4种：（红 1，蓝）（红2，蓝）（蓝，红1）（蓝，红2）所以， P(能配成紫色）= 25 4 如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“1”和“2”.小明 设计了一个游戏:游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动 图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形). 游戏规则是: 如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获 胜.求游戏者获胜的概率. 用心领“悟” 1 2 3 学以致用 解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下: 总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而所摸球上的数 字与转盘转出的数字之和为2的结果只有一种:(1,1),因此游戏 者获胜的概率为1/6. 转盘 摸球 1 1 2 (1,1) (1,2) 2 (2,1) (2,2) 3 (1,3) (2,3) 用树状图怎么解答例2?请用行动来证明“我能行”. 【解析】每次游戏时,所有可能出现的结果如下: 总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而所摸球 上的数字与转盘转出的数字之和为2的结果只有1 种:(1,1),因此游戏者获胜的概率为 . 转盘 摸球 1 1 2 (1,1) (1,2) 2 (2,1) (2,2) 3 (1,3) (2,3) 你能用树状图解答吗？试试看！ 理性的结论源于实践操作 是真是假,事实说话 设计两个转盘做“配紫色”游戏,使游戏者获胜的 概率为1/3. w用树状图和列表的方法求概率时应 注意各种结果出现的可能性务必相 同. w“配紫色”游戏体现了概率模型的 思想,它启示我们:概率是对随机现 象的一种数学描述,它可以帮助我们 更好地认识随机现象,并对生活中的 一些不确定情况作出自己的决策. 由“配紫色”游戏得到了什么 小结 1.（义乌·中考）小明打算暑假里的某天到上海世博 会一日游，上午可以先从台湾馆、香港馆、韩国馆 中随机选择一个馆，下午再从加拿大馆、法国馆、 俄罗斯馆中随机选择一个馆游玩．则小明恰好上午 选中台湾馆，下午选中法国馆这两个场馆的概率 是 ． 答案： 随堂练习 2.（菏泽·中考）某医院决定抽调甲、乙、丙、丁4名医 护人员参加抗震救灾，先随机地从这4人中抽取2人作为 第一批救灾医护人员，那么丁医护人员被抽到作为第一 批救灾医护人员的概率是 ． 答案： 3.（潼南·中考）“清明节”前夕，我县某校决定从八年级（一） 班、（二）班中选一个班去杨闇公烈士陵园扫墓，为了公平，有 同学设计了一个方法，其规则如下：在一个不透明的盒子里装有 形状、大小、质地等完全相同的3个小球，把它们分别标上数字 1，2，3，由（一）班班长从中随机摸出一个小球，记下小球上 的数字；在一个不透明口袋中装有形状、大小、质地等完全相同 的4个小球，把它们分别标上数字1，2，3，4，由（二）班班 长从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出 这两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选（一）班去；若 两个数字的和为偶数，则选（二）班去. （1）用树状图或列表的方法求八年级（一）班被选去扫墓的概 率. （2）你认为这个方法公平吗？若公平，请说明理由； 若不公平，请设计一个公平的方法. 【解析】 （1）解法一：列表法 （2）公平.理由为：P(和为偶数) ∵P(和为奇数)= P(和为偶数)，∴该方法公平. 解法二：树状图法 （1）P(和为奇数) 开始 A B C A A A A B AC B B A B B BC C C A C B CC 4.（常德·中考）在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目 由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外其 他完全相同的A，B，C三个小球，表演节目前，先从袋中摸球 一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A球，则表演唱歌； 如果摸到的是B球，则表演跳舞；如果摸到的是C球，则表演朗 诵.若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一类型的 概率是多少？ 【解析】列表如上，根据上表可知事件的所有可能 情况共有9种，表演的节目不是同一类型的情况有6 种，所以小明表演的节目不是同一类型的概率是： 用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现 的可能性必须相同. “配紫色”游戏体现了概率模型的思想,它启示我们: 概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更 好地认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出 自己的决策. 课堂小结 3.2用频率估计概率 【学习目标】 1.理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律； (重点) 2.结合具体情境掌握如何用频率估计概率；(重点) 3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系． 1.下列事件,是确定事件的是( ) A.投掷一枚图钉,针尖朝上、朝下的概率一样. B.从一幅扑克中任意抽出一张牌,花色是红桃. C.任意选择电视的某一频道,正在播放动画片. D.在同一年出生的367名学生中,至少有两人的生日是 同一天. D 你认为在多少个同学中，才一定会有2个同 学的生日相同呢? 300位同学中会一定有2个同学的生日 相同吗? 400位呢? 你是怎么想的？ 生日相同的概率 有人说:“50个同学中,就很有可能 有2个同学的生日相同.”这话正确吗 ?为什么? 生日相同的概率 在我们班的50位同学中有没有 2个同学的生日相同呢？ 这能说明我们班50位同学中有2 个同学的生日相同的概率是1吗？ 01.02 01.17 01.20 01.28 02.08 02.18 02.20 02.23 02.26 02.28 03.02 03.04 03.06 03.12 03.14 03.16 04.19 04.20 04.20 05.02 05.05 05.15 05.17 05.24 06.15 06.16 06.19 06.22 06.28 06.28 07.04 07.17 07.24 08.05 08.10 08.11 08.25 09.02 09.10 09.16 09.16 09.26 09.27 10.11 10.13 10.17 10.28 11.01 11.04 11.14 04.20 04.20 06.28 06.28 09.16 09.16 那么在一个班级中，有2个人的生日相同的 概率到底有多大呢？（一个班级以50人来计 算） 我们应该如何来做才能得到 这个概率？ 生日相同的概率 生日相同的概率 要想使这种估计尽可能精确,就需要尽可能多地增加 调查对象,而这样做既费时又费力. 有没有更为简洁的方法呢？ 能不能不用调查即可估计出这一概率呢? 试验 1、分别在表示“月”和“日”的盒子中各抽出一张纸片， 用来表示一个人的生日日期，并将这个结果记录下来，为 一次实验。抽完后并分别放回相应的盒子中。 步骤: 2、将上面的操作进行50次，这样我们就可以得到50位同 学的摸拟生日。 3、检查上面的50个模拟生日，其中有没有2个人的生日是相同 的？ 实验证明 50个人中，有两个人生日相同的概率（实 际上该问题的理论概率约为97％）。 在相同情况下随机的抽取若干个体进行实验, 进行实验统计.并计算事件发生的频率 根据频率估计该事件发生的概率. 当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相应 的概率附近.因此,我们可以通过多次试验,用一个事 件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 检测 现在有一个盒子，3个红球，7个 白球，每个球除 颜色外全部相同。 摸球游戏 问题： 1.一次摸出一个球，可能是红球， 也可能是白球，，两种可能性一样 大吗？ 2.那种可能性大,为什么? （2）选取10个除颜色外完全相同的球设计一个摸 球游戏,如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试 验方案估计其中的红球和白球的比例吗？ 生活中有哪些问题可以借助类似（2)的方案加 于解决？与同伴交流。 投篮次数 8 6 9 12 20 进球次数 7 5 9 11 18 进球频率 姚明在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下： ⑴计算表中进球的频率； ⑵思考：姚明罚球一次，进球的概率有多大？ ⑶计算：姚明在接下来的比赛中如果将要罚球15次，试 估计他能进多少个球？ ⑷设想：如果你是火箭队的主教练，你该如何利用姚明 在罚球上的技术特点呢？ 解决问题 0.875 0.83 1.0 0.92 0.9 练习１．抛掷一只纸杯的重复试验的结果如下表： 抛掷次数 100 150 200 250 300 杯口 朝上 频数 20 36 50 60 频率 0.2 0.24 0.25 0.25 (1) 在表内的空格初填上适当的数 (2)任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率为   ． 课后巩固 2.明天下雨的概率为95％，那么下列说法错误的 是（ ） (A) 明天下雨的可能性较大 (B) 明天不下雨的可能性较小 (C) 明天有可能性是晴天 (D) 明天不可能性是晴天 3.有一种麦种，播种一粒种子，发芽的概率是98％， 成秧的概率为85％.若要得到10 000株麦苗,则需要 粒麦种.(精确到1粒) 4.对某服装厂的成品西装进行抽查,结果如下表: 抽检件数 100 200 300 400 正品 频数 97 198 294 392 频率 (1)请完成上表 (2)任抽一件是次品的概率是多少? (3)如果销售1 500件西服,那么需要准备多少件正品 西装供买到次品西装的顾客调换? 5.（青岛·中考）一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在 不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数， 小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出 其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复 上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根 据上述数据，估计口袋中大约有 个黄球． 解:由题意可知试验中的摸出红球的频率是0.4，因此可以认 为口袋里摸出红球的概率是0.4，则口袋里的球的个数为 10÷0.4=25（个），所以口袋里大约有黄球15个。 1.在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色 外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A． B． C． D．1 5 1 3 5 8 3 8 2.从1,2,-3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是 （ ） A．0 B． C． D． 11 3 2 3 C B 中考链接 3.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、 矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随 机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中 心对称图形的概率为( ) A. B. C. D. 11 4 1 2 3 4 B 4.某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活 动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王 与小菲同车的概率为（ ） A． B． C． D． 3 1 9 1 2 1 3 2A 5.某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余 同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯 用左手写字的同学被选中的概率是（ ） A.0 B. C. D.11 41 2 416.某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花 ，选到杜鹃花的概率是( ) A．1 B． C． D．0 1 2 1 3 C C 7.从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球 的概率是p1，摸到红球的概率是p2，则（ ） A． B． C． D．1 21 1p p ， 1 20 1p p ， 1 20p p ， 1 4 1 2p p  1 4 8.如图，转动转盘，转盘停止转动时指针指向阴影部分 的概率是（ ） A． B． C． D．5 8 1 2 3 4 7 8 B B 9.如图,每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只 有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖 的概率为_______. 2 3 第9题图 1 4 5 6 10.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别 刻有1到6的点数，求这个骰子向上的一面点数是奇数的概率. 11.一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒 ，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是多少? 12.在分别写有1至100共100个数字的卡片中，将它们背面朝上 洗匀后，随意抽出一张则： （1)P（抽到数字43）= （2）P（抽到两位数）= （3）P（抽到的数不大于50）= 13.甲乙二人进行掷骰子的游戏，甲的骰子六个面有两个面是红 色，其余面是黄、蓝、白、黑；乙的骰子六个面中，分别是红 黄、蓝、白、黑、紫，规则是各自掷自己的骰子，红色向上的 得2分，其余各色向上都得1分，共进行10次，得分高的胜，你 认为这个规则公平吗？ 14.一个不透明口袋中装有红球6个，黄球9个，绿球3个，这些 球除颜色外没有任何其它区别。现从中任意摸出一个球。 （1）计算摸到的是绿球的概率。 （2）如果要使摸到绿球的概率是 ，需要在这个口袋中再放入 多少个绿球 4 1 是真是假 从一定高度随机掷一枚均匀的硬币,落地后其朝上的一 面可能出现正面和反面这样两种等可能的结果.小明正 在做掷硬币的试验,他已经掷了3次硬币,不巧的是这3次 都是正面朝上.那么,你认为小明第4次掷硬币,出现正面 朝上的可能性大,还是反面朝上的可能性大,还是一样大 ?说说你的理由,并与同伴进行交流. 第4次掷硬币,出现正面朝上的可能性与反面朝上的可 能性一样大. 第三章 频率与概率 【学习目标】 1.理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律； (重点) 2.结合具体情境掌握如何用频率估计概率；(重点) 3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系． （一）等可能性事件的两个的特征：1.出现的结果有 限多个;2.各结果发生的可能性相等； （二）列举法列举法就是把要数的对象一一列举出来分 析求解的方法． 1.有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何 去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的 数目. 2．利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果 的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列 表、画树形图等 知识总结 1．频率与概率 (1)当试验次数很大时，试验频率稳定在相应的   附近 ．因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的   来 估计这一事件发生的  . (2)涉及两步试验的随机事件发生的概率，有两种基本的 计算方法，它们分别是   、   . [注意] 用列表法或树状图法求概率时应注意各种情况发生 的可能性务必相同． 概率 频率 概率 树状图法 列表法 知识归纳 2．投针试验 (1)获得复杂随机事件发生的概率的方法是试验估计． (2)投针试验可以用来估计圆周率π的值． (3)具有广泛应用性的蒙特卡罗方法主要应用了概率和统计 两部分知识． 3．试验估算 估计复杂的随机事件发生的概率常用的方法是    ， 但有时试验和调查既费时又费力，个别的试验和调查 根本无法进行．此时我们可采用 模拟实验 的方法． 试验估算 1、现有两组电灯，每一组中各有红、黄、蓝、绿 四盏灯，各组中的灯均为并联，两组等同时只能各亮 一盏，求同时亮红灯的概率。 2.甲袋中放有21只红球和9只黑球，乙袋中放有 190只红球，90只黑球和10只白球，这三种球除了 颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已搅匀，随机 从袋子中取出一只球，如果你想取出1只黑球，选择 ________袋成功的机会大． 只是研究 1、一个袋子中装有2个红球和2个绿球,任意摸出一球, 记录颜色放回,再任意摸出一球,记录颜色放回,请你估 计两次都摸到红球的概率是________。 2、某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白、蓝三条长 裤，该人任意拿一件衬衫和一条长裤，求正好是一 套白色的概率_________。 3、在6张卡片上分别写有1—6的整数,随机的抽取一 张后放回,再随机的抽取一张，那么,第一次取出的数 字能够整除第2次取出的数字的概率是多少? 随堂练习 6，6  6，5  6，4  6，3  6，2  6，1  5，6  5，5  5，4  5，3  5，2  5，1  4，6  4，5  4，4  4，3  4，2  4，1  3，6  3，5  3，4  3，3  3，2  3，1  2，6  2，5  2，4  2，3  2，2  2，1  1，6  1，5  1，4  1，3  1，2  1，1  654321 6 5 4 3 2 1 第2个 第1个 18 7 36 14)(  AP 将所有可能出现的情况列表如下： 16 1（红，红）P 4 1P  2 1 4 2P （发病） “配紫色”游戏 红 白 黄 蓝 绿 A盘 B盘 课题学习：猜想、证明与拓广 世界三大几何难题 平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而这里所 谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆 规当然可以做出许多种之图形,但有些图形如正七边 形、正九边形就做不出来.有些问题看起来好像很简 单,但真正做出来却很困难,这些问题之中最有名的 就是所谓的三大问题. 三等分任意角 世界三大几何难题（一） 倍立方 倍立方——求作一立方体使其体积是一已知 立方体的二倍 世界三大几何难题（二） •化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆 •圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正 方形和已知圆等面积呢？ •若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆 为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是 用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段） 化圆为方 世界三大几何难题（三） • 世界三大几何难题解答 • 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际 上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解 决的. • 1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都 可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔 (Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规 作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明 了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根 ）,化圆为方的不可能性也得以确立 . 教学目标： 1.知识与技能 (1)经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索 意识，获得探索和发现的体验. （2）在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间 的内在联系，形成对数学的整体性认识. 2.过程与方法 在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体 会证明的必要性. 3.情感、态度与价值观. 在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力. 教学重点难点 1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索 ，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓 展，感悟处理问题的策略和方法. 2.难点:处理问题的策略和方法. 问题1、（1）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形 ，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？ 解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2, 若面积变为2a2,则其边长应为 此时周长应为 它 不是已知给定的正方形的周长的2倍.所以无论从哪个角度 考虑,都说明不存在这样的正方形. ,2a ,4 a (2)任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和 面积分别是已知矩形周长和面积的2倍? 矩形的形状太多了,我们可以先研究一个具体的矩 形. 合作探究 如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?你是怎 么做的?和同伴交流. 总结如下:有三种思路可以选择: (1)先固定所求矩形的周长,将问题化为方程x(6-x)=6是否有 解的问题. (2)先固定所求矩形的面积,将问题转化为方程x+4/x=6是否 有解的问题. (3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和 面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为12和4,设 其长和宽分别为x和y,则得方程 组 然后讨论它的解是否符合题意.,4 6      xy yx 做一做 解:(1)当已知矩形的长和宽分别为3和1,那么其周长和面积分别 为8和3,所求矩形的周长为16,面积为6,设所求矩形的长为x,则 宽为8-x,则有x(8-x)=6, 即x2-8x+6=0.解得: 经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为 宽为 104,104 21  xx ,104  .104  当已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?已知矩 形的长和宽分别为4和1,5和1,……n和1呢？ 更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相 同的结论？ 议一议 如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分 别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为 4(m+n)和2mn. 从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn; 解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其 面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn. 即 x2-2(m+n)x+2mn=0. 解这个方程得: ., 22 2 22 1 nmnmxmnnmx  猜想,证明与拓广 老师期望: 同学们,把自己对上述探究过程中的方法和感受与同 伴进行交流,这样会使受益匪浅. 挑战自我 1.观察下列各式:     ,15 4415 64 15 44 ,8 338 27 8 33 ,3 223 8 3 22 你能得到怎样的结论?并证明你的结论. )1(111 :: 22 3 2 的整数 所得结论为解  nn nnn n n nn 解题思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题关键是探 索归纳,猜想. 通过本节课的学习,你有哪些收获? 1.本节课的数学知识是综合所学知识,体会知识之间 的内在联系. 2.本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受 由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必 要性. 布置作业:课本169页习题1,2,3. 要知道一个鱼缸有多 少条鱼? 只要数一数就可以了. 要估计一个鱼塘里有多 少条鱼? 该怎么办呢? 一个箱子中有8个黑球和 若干个白球，如果不许将球 倒出来数，那么你能估计出 其中的白球数吗？ 想一想 小明是这样做的: 从口袋中随机摸出一球，记下其 颜色，再把它放回口袋中.不断 重复上述过程.我共摸了200次, 其中有57次摸到黑球,因此我估 计口袋中大约有20个白球. 你能说说小明这样做的道理吗? 假设口袋中有x个白球,通过多次试验,我们可以估计出 从口袋中随机摸出一球,它为黑球的概率；另一方面, 这个概率又应等于 ,据此可估计出白球数x. 【解析】设口袋中有x个白球，得 解得: x ≈20 答:口袋中的白球大约有20个． 用频率估计概率：试验频率 ≈ 理论概率． 小亮的做法： 利用抽样调查方法，从口袋中一次摸出10个球， 求出黑球数与10的比值，再把球放回袋中.不断重复 上述过程，共摸了20次，黑球数与10的比值的平均 数为0.26，因此估计口袋中大约有24个白球. 每次黑球数与总球数比值的平均数 每次摸取一组球： 近似于 x8 8 建构方法： 1.假设口袋中有x个白棋，通过多次实验可估 计出从口袋中随机摸出一棋，它为黑棋的概率； 另一方面这个概率又应等于 ，据此可估计出 白棋数 x 。 2.假设口袋里有x个白棋，通过多次抽样查， 求出样本中黑棋数与总棋数比值的“平均水平” 应近似于 ，据此，可以估计出x的值 。 如果每次抽10个，抽了20次， 黑球出现次数统计如下： 黑球个数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 出现次数 1 4 4 7 2 1 1 0 0 （0×1+ 0.1×4+ 0.2×4+ 0.3×7+ 0.4×2+ 0.5×1+ 0.6×1）÷20=0.26 26.08 8  x x≈23 假想计算： 问题1：为了使估计结果较为准确，应该 注意些什么？ 问题2：上述两种方法各有那些优缺点？ 实验中，每次要摇匀棋子，不要主观的去拿棋子， 要客观地抽取. 在条件允许的情况下，进行更多次的抽取. 一次抽取一个的方法更准确. 一次抽取多个的方法更具有实际可操 作性. 实验反思 分组活动: 在每个小组的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球. (1)分别利用上述两种方法估计口袋中所放的白球的 个数. (2)各个小组记录试验次数与试验数据. (3)根据小组收集的数据，计算估计出口袋里的 白球． 【实验】 (5)将各组的数据汇总,并根据这个数据估计一个口 袋中的白球数, 看看估计结果又如何. (6)为了使估计结果较为准确,应该注意些什么? (4)打开口袋，数数口袋中白球的个数，你的估计 值和实际一致吗？为什么？ 从理论上讲,如果试验总次数足够多,那么小明的方法 应当是比较准确的,但实践中人们不能无限度地重复试验， 故其实际意义不大． 相比较而言,小亮的方法具有现实意义.当然,当总数 较小时,用小亮的方法估计,其精确度可能较差,但对于许 多实际问题(其总数往往较大),这种精确度是允许的,而 且这种方法方便可行. 应用的是：实验频率≈理论概率． 应用的是：样本估计总体: 样本平均数≈总体平均数． 1.如果口袋中只有若干个白球,没有其他颜色的球, 而且不允许将球倒出,那么你如何估计出其中的白球 数呢? 方法1: 向口袋中另放几个黑球; 方法2: 从口袋中抽出几个球并将它们染成黑色或做 上标记． 想一想 【解析】设鱼塘里有x条鱼,则 现在你能设计一个方案估计某鱼塘中鱼的总数吗？ 请写出你的方案. 方案: 可以先捞出m条鱼，将它们作上标记，然后放 回池塘经过一段时间后，再从中随机捞出b条鱼，其 中有标记的鱼有a条, 并以 比例作为整个鱼塘中 有标记的鱼的比例，据此估计鱼塘里鱼的数量． x m b a = 答:鱼塘有鱼约为 条． ab m 解得 x=bm a 1.樱桃小丸子想知道自家鱼塘中鱼的数量，她先从鱼塘中捞 出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第 一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，放回混合后，第 二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼，请你帮她估计 鱼塘中鱼的数量是多少？ 【解析】设鱼塘中鱼的数量有x条，依题意得， 解得x=2 000. 所以估计鱼塘中鱼的数量大约有2 000条. 练 习 2.一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验 估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜 色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，试验中 共摸了200次，其中50次摸到红球.求口袋中有多少个白球？ 【解析】设口袋中有白球x个，则有 解得：x=30. 所以口袋中大约有白球30个. 3.小明是养鸭专业户，有一天小亮到他家去玩，看到他家 门前的水库里黑压压的一片鸭群，他先捕了100只作上标 记，然后放回水库，经过一段时间，第二次捕了100只， 其中带标记的鸭子有2只，小亮可估计出小明家有多少只 鸭子？ 【解析】设小明家有鸭子x只，则有 解得：x=5 000. 所以小明家大约有鸭子5 000只. 4.某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼 苗成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞 出40条，称得平均每条鱼重2.5千克，第二网捞出25条， 称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平 均每条鱼重2.8千克，试估计鱼塘中鱼的总质量. 【解析】设鱼塘有鱼x千克，则有 解得：x=240 350. 答：该鱼塘中鱼的总质量约为240 350千克.