第二章 一元二次方程
2.1.1
认识一元二次方程
【学习目标】
1.理解一元二次方程的概念.（难点）
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问
题.(重点）
w幼儿园某教室矩形地面的墙长8m，宽5m现准备在地面中心
铺设一块面积为１８m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽
度相同,你能求出这个宽度吗？
你怎么
解决这
个问题?
数学与生活
w解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图
案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方
程：
w你能化简这个方程吗?
（8－2x） （5－2x）
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
5
x
x
xx
（8－2x）（
5－
2x）
8
18m
2
数学
化
做一做
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平
方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面
四个数依次可表示为：
根据题意，可得方程：
， ， ， ． X＋1 X＋2 X＋3 X＋4
(X+1)2 (X+2)2＋ (X＋3)2 (X+4)2＝ ＋X2 ＋
想一想
w如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的
垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑
动多少米？
w解：由勾股定理可知，
滑动前梯子底端距墙
m.
w如果设梯子底端滑动
X m，那么滑动后梯子
底端距墙 m;
w根据题意，可得方程：
w你能化简这个方程吗?
6
x＋6
72＋(x＋6)2＝102 xm
8m 10m
7m
6m
数学化 1m
做一做
上面的方程都是只含有 的 ，并且都可
以化为 的形式
，这样的方程叫做一元二次方程．
w由上面两个问题，我们可以得到两个方程：
w把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方
程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项
和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
(8-2x)(５-２x)=18; 即2x2 － 13x ＋11=0
(x＋6)２＋7２=10２ 即x2 ＋12 x －15＝0
w上述两个方程有什么共同特点？
一个未知数x 整式方程
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)
X２ ＋（X＋１）２＋（X＋２）２＝
即 x2 － 8x － 20＝0（X＋３）２＋（ X＋４）２
下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－ －1 ＝0 (4) ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
－1
3x
－y
2
2
解: (1)、 (4)
判一判
把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二
次项系数、一次项系数和常数项：
方 程 一般形式
二次项
系 数
一次项
系 数
常数
项
3x2＝5x－1
(x＋2)(x －1)＝6
4－7x2＝0
3x2－5x＋1＝0
x2 ＋x－8＝0
－7x2 ＋0 x＋4＝0
3
1
－7
－5
1
0
1
－8
4
练一练
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k
时，是一元二次方程．
≠3
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k 时，是一元二次方程．,当k 时
，是一元一次方程．
≠±1 ＝－1
随堂练习
3、写出方程 的二次项系数、一次相系
数和常数项。
12)3)(31( 2 xxx
4、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程
的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数
和常数项．
5、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿
都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，
另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉
汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？
请根据这一问题列出方程．
4尺
2尺
x
x－4
x－2
数学化
6．根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短
2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少
？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m，宽为(x＋2) m
，依题意得方程：
(x＋5) (x＋2) ＝54
解：设第一个数为X，则另两个数分别为X+1 ， X+2,依题意得方程：
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242
即 x2 ＋ 7x－44 ＝0
即
3x2 ＋6x－24 0＝0
x2 ＋2x－8 0＝0
在这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
(x+6)2+72=102，把这个方程化为一般形式为x2+12x-
15=0 ．
（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?为什么?
（2）底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么?
不正确，因 x=1不满足方程．
不正确，因为x=2，3不满足方程．
（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
（4）x的整数部分是几?十分位部分是几?
请同学们自己算一算，注意组内同学交流哦！
x 0 0.5 1 1.5 2
x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
下面是小亮的求解过程：
由此，他猜测1＜x＜1.5．
进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
所以1.1＜x＜1.2，由此他猜测x整数部分是1，十分
位部分是1．
你的结果是怎样的呢？
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再
次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据．
【规律方法】上述求解是利用了“两边夹”的思想
五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的
平方和。你能求出这五个整数分别是多少吗？
【跟踪训练】
A同学的做法：
设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依
次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程：
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2
即：x2-8x-20=0．
x -3 -2 … 10 11
x2-8x-20 13 0 … 0 13
所以x=-2或10.因此这五个连续整数依次为-2，
-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.
B同学的做法：
设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四个数
依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得方程：
(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2
即：x2-12x=0．
x -1 0 … 11 12
x2-12x 13 0 … -11 0
所以x=0或12.因此这五个连续整数依次为-2，-1，0，
1，2；或10，11，12，13，14.
7.一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练，在正常
情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻
腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失
误。假设运动员起跳后的运动时间t(秒)和运动员距
水面的高度h(米)满足关系：h=10+2.5t-5t2，那么他
最多有多长时间完成规定动作?
【解析】根据题意，得10+2.5t-5t2=5,即 2t2-t-2=0列表：
t 0 1 2 3
2t2-t-2 -2 -1 4 13
所以1＜t＜2,进一步列表计算：
所以1.2＜t＜1.3,因此他完成动作的时间最多不超过
1.3秒．
t 1.1 1.2 1.3 1.4
2t2-t-2 -0.68 -0.32 0.08 0.52
3.学习了估算ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）近似
解的方法：“两边夹”；
4.知道了估算的步骤；
（1）先确定大致范围
（2）再取值计算，逐步逼近
5.想一想：有没有更便捷的方法求一元二次方程的解呢？
1．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax2＋bx＋c
＝0（a，b，c为常数，a≠0）和有关概念，如二次项、一次项、
常数项、二次项系数、一次项系数．
2．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系.
小 结
第二章 一元二次方程
2.2.1 配方法（一）
【学习目标】
1.理解配方法的基本思路.（难点）
2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
（重点）
你还认识“老朋友”吗
平方根的意义:
旧意新释:
(1).解方程 (1) x2=5.
老师提示:
这里是解一元二次方程的基本格式,要按要求去做.
你还能规范解下列方程吗?
解方程 (2) x2=4.
解方程 (3) (x+2)2=5.
解方程 (4) x2+12x+36=5.
解方程 (5) x2+12x= -31.
解方程 (6) x2+12x-15=0.
解方程 (7) x2+8x-9=0.
如果x2=a,那么x= .a 如:如果x2=5,那么x= .5
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2.
如:x2+12x+ =(x+6)2; x2-4x+ =(x- )2;
x2+8x+ =(x+ )2.
知识回顾
（3）上节课我们研究梯子底端滑动的距离x(m)满足方
程x2+12x-15=0,你能仿照上面几个方程的解题过程,
求出x的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困
难在哪里? (小组交流）
将方程转化为（x+m)2=n(n≥0)的形式是解本题的
难点，这种方法叫配方法．
（2）你会解下列一元二次方程吗？
x2=5 x2+2x+1=5 2x2+3=5 (x+6)2+72=102
（4）解梯子底部滑动问题中的x满足的方程：
x2+12x-15=0
解：移项得 x2+12x=15，
两边同时加上62得，x2+12x+62=15+36，
即(x+6)2=51
两边开平方，得
所以：
但因为x表示梯子底部滑动的距离,
所以 不合题意舍去。
答：梯子底部滑动的距离是 米。
解一元二次方程的思路是将方程化为(x+m)2=n的形
式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常
数，当n≥0时，两边开平方转化为一元一次方程，
便可求出它的根．
1．x2+12x+ =(x+6)2
2．x2-6x+ =(x-3)2
3．x2-4x+ =(x - )2
4．x2+8x+ =(x + )2
问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关
系？对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？
62
32
22 2
42 4
做一做：填上适当的数，使下列等式成立
解方程：x2+8x-9=0．
解：把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9
两边都加上42，（一次项系数8的一半的平方）得
x2+8x＋42=9＋42.
即 （x+4）2=25
两边开平方，得 x+4=±5,
即 x+4=5,或x+4=-5.
所以 x1=1,x2=-9.
【例题】
我们通过配成完全平方式的
方法,得到了一元二次方程的
根,这种解一元二次方程的方
法称为配方法(solving by
completing the square)
【规律方法】利用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项：把常数项移到方程的右边;
（2）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半
的平方;
（3）变形：方程左边分解因式,右边合并同类项;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转
化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程；
（6）定解：写出原方程的解．
１．根据题意，列出方程：
（1）.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的两
条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部分的面积为
850m2,道路的宽应是多少？
解：设道路的宽为 x m，根据题意得
(35-x) (26-x) ＝850.
即 x2 - 61x－60 ＝0.
35m
26
m
解这个方程,得
x1 ＝1;
x2 ＝60(不合题意,舍去).
答:道路的宽应为1m.
练一练
2.解下列方程:
(1)
(2)
解：(1)移项 ，得 （2）移项，得
配方，得
配方，得
开平方，得
3.若n(n 0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n
的值为 ．
答案： 2.
4.一元二次方程 的解为
____________．
【解析】∵一元二次方程 ∴x2=3 ∴x= ∴x1= ，
x2=－
答案：x1= ，x2=－
1．配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
2．配方法解一元二次方程应注意什么问题？
将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全
平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平
方即可求出它的解．
关键的一步就是配方，两边都加上一次项系数绝对
值的一半的平方．
课堂小结
2.2.2
配方法解一元二次方程（2）
【学习目标】
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方
程;.（重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方
程.（难点）
1、平方根的意义: 如果x2=a,那么x= .a
2、完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且
a2±2ab+b2 =(a±b)2.
3、解方程：
（1） +4x+3=0
（2） ―4x+2= 02x
2x
知识回顾
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口
头回答).
1.x2+2x+________=(x+______)2
5. x2-x+________=(x-______)2
4.x2+10x+________=(x+______)2
2.x2-4x+________=(x-______)2
3.x2+________+36=(x+______)2
抢答！
请同学们比较下列两个一元二次方程的联系
与区别
1.x2+6x+8=0 2.3x2+18x+24=
0
这两个方程有什
么联系？
思路探究
【规律方法】如果方程的系数不是1，我们可以在
方程的两边同时除以二次项系数，这样转化为系
数是1的方程就可以利用学过的知识解方程了！
2x2+8x+6=0
3x2+6x-9=0
-5x2+20x+25=0
x2+4x+3=0
x2+2x-3=0
x2-4x-5=0
例2：解方程： ３x2+8x－3=o
分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得： （方程两边都加上 一次项
系数一半的平方）
即：
所以:
01
3
82 xx
1
3
82 xx
22
2
3
41
3
4
3
8
xx
22
3
5
3
4
x
3
1
1 x 32 x
• １.用配方法解方程x2+2x－1=0时
• ①移项得__________________
• ②配方得__________________
• 即（x+__________）2=__________
• ③x+__________=__________或x+__________=__________
• ④x1=__________,x2=__________
• ２.用配方法解方程2x2－4x－1=0
• ①方程两边同时除以2得__________
• ②移项得__________________
• ③配方得__________________
• ④方程两边开方得__________________
• ⑤x1=__________,x2=__________
随堂练习
1、有配方法解下列方程
（1）x2+12x=-9
(2) -x2+4x-3=0
做一做
(1）把二次项系数化为1；
（2）移项：方程的一边为二次项和一次项，另一边
为常数项。
（3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平
方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
（5）求解:解一元一次方程;
（6）定解:写出原方程的解.
3.用配方法解下列方程
(1)x2+5x－1=0
(2)2x2－4x－1=0
(3) x2－6x+3= ０
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中
的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t―5 ,小球
何时能达到10m高？
【解析】根据题意得
15t-5t2=10
方程两边都除以-5，得
t2-3t=-2
配方，得 ∴
牛刀小试
请你描述一下，刚才的实际问题中t有两个值，
它们所在时刻小球的运动状态.
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边;
2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平
方;
3.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
5.求解:解一元一次方程;
6.定解:写出原方程的解.
小 结
第二章 一元二次方程
2.3.1用公式法求解一元二次方程
【学习目标】
1.经历求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
1.化:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；
2.移项:把常数项移到方程的右边；
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4.开方:根据平方根的意义,方程两边开平方，求出方程
的解．
说说：利用配方法解下列一元二次方程的基本步骤
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0),吗？
（1）2x2-9x+8=0; （2）9x2+6x+1=0;
（3）16x2+8x=3.
复习导入
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
1.化1:把二次项系数化为1;
3.配方:方程两边都加上一次项系
数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并
同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边
开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
当b2-4ac≥0时，它的根是：
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
当b2-4ac＜0时，原方程无解．
结 论
例 1 解方程：（1）x2-7x-18=0
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
,1171217
212
x
即：x1=9, x2= -2
（2）4x2+1=4x
（2）将原方程化为一般形式 得
4x2-4x+1=0
这里 a=4, b=-4, c=1.
,104
242
x
）（
2
1
21 XX即
∵b2 - 4ac=(-4)2-
4×4×1=0
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
2 4
2
b b acx
a
3、代入求根公式 :
2、求出 的值，2 4b ac
1、把方程化成一般形式，并写出 的值。a b、、c
4、写出方程的解： 1 2x x、
特别注意:当 时无解2 4 0b ac
一元二次方程根的判别式
两不相等实根
两相等实根
无实根
一元二次方程
一元二次方程
根的判式是:
判别式的情
况
根的情况 定理与逆定理
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
你能编一个有解的一元二次方程吗？
试一试，考考你的同学吧！
试一试
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。
当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相
反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有
两个相等的实数解？
想一想
3.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0；
2). 5+2＝3x2 ；
3). (x-2)(3x-5) =1;
参考答案:
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角形
的三边长.
B
A C
根据题意，列出方程：
《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸,
两相去适一丈.问户高,广各几何.”
大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,
那么门的高和宽各是多少?
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
2x2+13.6x-9953.76＝
0.解这个方程,得
x1 ＝9.6; x2 ＝-2.8(不合题意,舍去).
∴x-6.8=2.8.
答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
x
x-6.8
10
• 列方程解应用题的一般步骤:
• 一审;二设;三列;四解;五验;六答.
• 用配方法解一元二次方程的一般步骤:
w 1.化1:把二次项系数化为1
w (方程两边都除以二次项系数);
w 2.移项:把常数项移到方程的右边;
w 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
w 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
w 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
w 6.求解:解一元一次方程;
w 7.定解:写出原方程的解.
• 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
课堂小结
第二章 一元二次方程
2.3.2
一元二次方程的应用
(矩形花园的设计)
【学习目标】
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难
点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
（重点）
w 在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花园
,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
w 你能给出设计方案吗?
16m
12
m
w我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方
程,我得到小路的宽为2m或12m.
你认为小明的结果对吗?为什么?
16m
12 m
你能将小明解答的过程重现吗?
w老师提示:在检验时,方程的根一定要符合问题的实际意义.否则,
舍去.
我—小明,是最棒的设计师
w 我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.你能通
过解方程,帮我得到扇形的半径x是?m吗?
w 你能通过解方程,帮我得到扇
形的半径x是?m吗?
我—小亮,是最棒的设计师
16m
12
m
xm
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的
小路,且它的宽都相等.
你能通过解方程,帮我得
到小路的宽x是?m吗? 16m
12 m
x
m
x m
我—小茜,是最棒的设计师
你还有其它的设计方案吗?
16m
12
m
几何与方程
1 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它
的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为
246cm2,求小路的宽度.
2
01 515 +
2
x
20+
2x
2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上
挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分
成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖
多宽.
3 .某汽车在公路上行驶,它的路程s(m)和时间t(s)之间
的关系为:s=10t+3t2,那么行驶 200m需要多长时间?
运动与方程
根据题意，列出方程：
在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同
的金色纸边，制成一幅挂图。如果要求风景画的面积是整个挂
图面积的72%。那么金边的宽应是多少？
解：设金边的宽为 x cm，根据题意得
即 x2+65x-350 ＝0.
解这个方程,得
x1 ＝5;x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金链的宽应是5cm.
做一做
5.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm
，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度
移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速
度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么
几秒后五边形APQCD的面积为64cm？
Q
P
D
B
A
C
第二章 一元二次方程
2.4 用因式分解法求解
一元二次方程
【学习目标】
1.经历求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
配方法
w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方
程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
(solving by completing the square)
w平方根的意义:
w完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且
a2±2ab+b2 =(a±b)2.
如果x2=a,那么x= .a
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
知识回顾
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项
系数);
w2.移项:把常数项移到方程的右边;
w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的
平方;
w4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
w6.求解:解一元一次方程;
w7.定解:写出原方程的解.
公式法
w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
(solving by formular).
w老师提示:
w用公式法解一元二次方程的前提是:
w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
w2.b2-4ac≥0.
你能解决这个问题吗
w 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如
果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
w 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小颖做得对吗? 小明做得对吗?
w 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗
？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来
的？w 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小亮做得对吗?
分解因式法
w 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两
个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法
求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分
解因式法.
w老师提示:
w1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右
边等于零;
w2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
w3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少
有一个因式等于零.”
分解因式法
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零
”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，
它们的根就是原方程的根.
1.化方程为一般形式;
例题欣赏
1 .x2-4=0; 2.(x+1)2-25=0.
解：1.(x+2)(x-2)=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x1=-2, x2=2.
你能用分解因式法解下列方程吗？
2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?
你是否还有其它方法来解?
.4;2 2 x1x
.123124.2,0 xxx4-x2x.1
.. 04-x0,2x1: 或解
1.解下列方程 :
,0314. 12x2x2 x
,01 3-4x2x
.034,012 xx 或
.
4
3,
2
1
21 xx
解：设这个数为x,根据题意,得
∴x=0,或2x-7=0.
2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
.
2
7,0 21 xx
想一想
用分解因式法解 w 参考答案：
);2(5)2(3.5 xxx
;05)13.(6 2 x
025)25(2 xx1.
2. ；015)53(2 xx
;018)23(.3 2 xx
4.
;
)12()24( 2 xxx
;3)3(2.7 2 xxx
;0213)1.(8 2 xx
;02712.9 2 xx
.9)3(2.10 22 xx
w 我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
二次三项式 ax2+bx+c的因式分解
w 但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
观察下列各式,也许你能发现些什么
w一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要
用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根
x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.即
ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
w
二次三项式 ax2+bx+c的因式
分解
w当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘
积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二
次方程的方法称为分解因式法.
w分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练
掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么
至少有一个因式等于零.”
•因式分解法解一元二次方程的步骤是:
• (1)化方程为一般形式;
• (2)将方程左边因式分解;
• (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
• (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
•因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了
“二次”转化为“一次”的过程.
知识小结
1、用因式分解法解一元二次方程时，等号的一边必
须是0.
2、另一边可分解成两个因式乘积的形式.
自学课本68页例1，明确：
1、对题目中的两个方程的一边都是采用哪种方法因式分解
的？
提取的公因式有什么不同点？
2、你能仿照课本上的方法解这两个方程
吗？
自学指导
解下列方程：
(1)5x2=4x (2)x-2=x(x-2)
用分解因式法解下列方程：
(1)(x+2)(x-4)=0
(2)4x(2x+1)=3(2x+1)
学以致用
你能用分解因式法解下列方程吗？
(1)x2-4=0
(2)(x+1)2-25=0
(3)x2-10x+25=0
想一想
1、一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.
2、解下列方程：
(1)5(x2-x)=3(x2+x)
(2)(x-2)2=(2x+3)2
合作探究
分解因式
1、x2-3x
2、x-2-x(x-2)
3、(x-2)2-(2x+3)2
4、x2-10x+25
知识链接
自学课本从67到68页“议一议”上面的内容，明确：
1、小颖、小明、小亮解方程的方法有什么不同？
2、谁的解法不对？错在什么地方？为什么？
自学指导
2.5 一元二次方程的
根与系数的关系
【学习目标】
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决
问题.（重点）
题1 口答
１．下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴.X2－3X+1=0 ⑵.3X2－2X=2
⑶.2X2+3X=0 ⑷.3X2=1
3.1 21 xx 121 xx
3
2.2 21 xx
2
3.3 21 xx
0.4 21 xx
3
2
21 xx
3
1
21 xx
021 xx
2 0( 0)ax bx c a 方程 的求根公式是
2 4
2
b b acx
a
知识回顾
a
bxx 21
a
cxx 21
042 acb
x1+x2=
-b+ b2-4ac
2a
+
-b- b2-4ac
2a
x1x2=
-b+ b2-4ac
2a
2-4ac
2a
xx 21
x1=
-b+ b2-4ac
2a
x2=
-b- b2-4ac
2a
=
(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac)
4a2
=
4ac
4a2
=
b2-(b2-4ac)
4a2
xx 21.
a
b
2
2
a
c
a
b
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写。
a
b
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1 + X , X1 ·X2=
a
b-
a
c
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-
4ac≥0
方 程 x1+x2 x1·x2
x2-3x+1=0
2x2-9x+5=0
不解方程，写出下列方程两个根的和与两个根的积：
)1,
2
1(;01322
)4,1(;0451
.2
2
2
xx
xx
）（
）（
根：里的两个数是不是它的判断下列方程后面括号
不通过代入方程检验，
3
9/2 5/2
1
已知关于x的方程 012)1(2 mxmx
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
－1
1
分析:1. 0121 mxx
2. 11221 mxx
练一练
一正根，一负根
△＞0
X1X2＜0
两个正根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
两个负根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
{ { {
关于两根几种常见的求值
21
11.4
xx 21
21
xx
xx
)1)(1.(3 21 xx 1)( 2121 xxxx
1
2
2
1.5
x
x
x
x
21
2
2
2
1
xx
xx
21
21
2
21 2)(
xx
xxxx
21.6 xx 2
21 )( xx 21
2
21 4)( xxxx
212 xx 2
2
2
1.1 xx 2
21 )( xx
2
21 ).(2 xx 2
21 )( xx
214 xx
已知两个数的和是1，积是-2，则两
个数是 。2和-1
解法(一):设两数分别为x,y则: 1 yx
2 yx{
解得: x=2
y=－1
{ 或
ｘ＝－1
y=2{
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
的两根则: 022 aa
求得 1,2 21 aa
∴两数为2,－１
2. 已知两个数的和与积，求两数
3、求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，
且二次项系数为1.
4.变式：且二次项系数为5
5、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
一个根是___，m =____。
6、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____，
X1
2+X2
2 = ( X1+X2)2 - ___ = ___
( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___
7、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ ）
8、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是
_____ 。
2.6应用一元二次方程
【学习目标】
1.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并
能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.
（重点、难点）
2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用
所学的知识解决问题．
㈠ 问
题情境
--- —
元二次
方程
㈢本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.
㈡本章的重点：一元二次方程的解法和应用.
1、定义：
2、解法：
3、应用 ：
⑴ 直接开平方法
⑵ 配方法
⑶ 公式法 ax2+bx+c=0
(a≠0，b2-4ac≥0)的解为：
⑷ 分解因式法
可化为ax2+bx+c=0(a≠0)的整式方程
其关键是能根据题意找出等量关系.
课前准备
列方程解应用题的基本步骤:
①理解问题
②制订计划
③执行计划
④回顾
---找等量关系 ---设元
------列 ------解
------检 ------答
------分析题意
知识回顾
【例1】如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有
一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D
位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于
小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补
给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品
送达军舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船
相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到
0.1海里,其中 )
∵AD=CD BF=CF
解：连接DF,
∴DF是△ABC的中位线
∵DF//AB且DF= AB
2
1
∵AB┴BC AB=BC=200
∴DF┴BC DF=100（海里）BF=100（海里）
A
B
D
CE F
北
东
200
?
200
45°
若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军
舰的行程应为AB+BE=2X海里.
EF=AB+BF-(AB+BE) =(300-2X)海里
答:相遇时补给船航行了约118.4海里.
（不合题意，舍去）
整理得
解这个方程得
010000012003 2 XX
如图所示，∆ABC中，∠B=90°，BC=6cm,AB=8cm,点P从C点
开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BA向A
点以2cm/s的速度移动．
（1）如果P,Q分别从C,B同时出发，经几秒钟，∆PBQ的面积
等于8cm2？（2）如果P，Q分别从C，B同时出发，并且P到B
后又继续在BA边上前进，Q到A点后又在AC边上前进，经几秒
钟，使∆PAQ的面积等于12.6cm2？
练一练
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。
市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售
出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售
出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到
5000元，每台冰箱的降价应为多少元？
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价
应为 元。
每天的
销售量/台
每台的
销售利润/元
总销售
利润/元
降价
前
降价
后
1. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平
均每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场
决定采取适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价0.1元时,
其销售量就将多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120
元,每张贺年片应降价多少元?
练 习
2.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每
月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1
元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平
均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?
这时应进台灯多少个?
3.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每
件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价
局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每
天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价
应为多少元?
4.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈
利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发
现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.
商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
1.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年
底增加到7.5万册.求这两年的年平均增长率.
基数 平均增长率 年底数量
去年 5
今年 5 x 5(1+x)
明年 5(1+x) x 5(1+x)(1+x)=5(1+x)2
分析:等量关系为经过两年平均增长后的图书=7.5万册.
三、平均增长（或降低）率问题
2.在国家宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月
份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2
⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考
数据： ）
⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7
月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？
请说明理由.
【解析】（1）设4、5两月平均每月降价率为x,依题意，
得14000（1-x)2=12600.
解得x1=0.05,x2=1.95(不合题意，舍去）.
因此4、5两月平均每月降价率为5%.
（2）如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商
品房成交价为12600（1-x)2=12600×0.952=11371.5＞
10000.
所以7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2.
分别列出下面几个问题的方程．
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的
b倍，求每年平均增长的百分率．
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加
到b万元，求每年平均增长的百分数．
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的
b倍，求每年增长的百分数．
设某产品原来的产值是a，平均每次增长的百分
率为x，则增长一次后的产值为a （1+ x ），增
长两次后的产值为a （1+ x ）2，……增长n次后的产值为a （
1+ x ）n ．
巩固练习
• 列方程解应用题的一般步骤是:
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
• 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
• 3.列:列代数式,列方程;
• 4.解:解所列的方程;
• 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
• 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.
• 列方程解应用题的关键是:
• 找出相等关系.
• 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
• a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
小结拓展
第二章 一元二次方程 复习
定义及一般形式: 1.定义
只含有一个未知数,未知数的最高次数是______的___式方程,叫做
一元二次方程。
一般形式:________________
• [注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的
最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．
二次 整
ax2+bx+c=o (a≠o)
2.一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的
一般形式，其中ax2，bx，c分别称为 、
和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
①
②
③
④
⑤
⑥
02 cbxax
（ × ）
x
x 13 （ × ）
324)32)(32( 2 xxxx （ × ）
0)1( 22 cbxxa （ √ ）
11 xx （ × ）
022 yxx （ × ）
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：
___________, 其二次项系数是____,一次项是____,常
数项是____.
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二
次方程，则 （ ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
2x2-3x-1=0 2
-3x -1
C
解一元二次方程的方法有几种?
1．直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用
于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义
可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝ ；当b＜0时，
方程没有实数根．
2．配方法
(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋
a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个
完全平方式，然后两边同时开平方．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1；
②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
③配方，方程两边同时加上
，
并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方
程的根．
3．公式法
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝
_______________________________________.
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
②确定a，b，c的值；
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式
求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
4．分解因式法
用分解因式法解一元二次方程的一般步骤
(1)将方程变形为右边是0的形式；
(2)将方程左边分解因式；
(3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方
程；
(4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的
解．
解下列方程
１(x+2)2=９（用直接开平方法）
2、x2-2x-1 =0（用配方法）
3、 （用公式法）
4、 (用因式分解法） 0)12( 22 xx
743 2 xx
① 二次项系数化为1；
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
步骤归纳
配方法:
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解。
分解因式法：
选用适当方法解下列一元二次方程
• 1、 (2x+1)2=64 ( 法）
•2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 法）
•3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 法）
•4、 x２-４x-10=０ ( 法）
•5、 ３x２-４x-５=０ ( 法）
•6、 x２＋６x-1=0 ( 法）
•7、 x２ -x-３=０ ( 法）
小结：选择方法的顺序是：
直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
分解因式
分解因式
配方
公式
配方
公式
直接开平方
一元二次方程根的判别式
两不相等实
根两相等实根
无实根
一元二次方程
一元二次方程
根的判式是:
判别式的情
况
根的情况 定理与逆定理
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
1.已知一元二次方程 下列判断
正确的是（ ）
A.该方程有两个相等的实数根。
B.该方程有两个不相等的实数根。
C.该方程无实数根。
D.该方程根的情况不确定。
2.已知关于x的一元二次方程
有实
数根，则m的取值范围是＿＿＿＿＿＿
012 xx
B
01)1( 2 xxm
3.已知a,b,c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4,且
关于x的方程 有两个相等
的实数根，试判断△ABC的形状。
042 bxx
是一元二次方程
的两个根
，则
不解方程，写出方程的两根
之和
，两根之积
)0(02 acbxax21 , xx
21 xx 21 xx
0132 xx
21 xx 21 xx3 -1
与系数的关系:
1.方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（ ）
A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=6 D.x=5或x=7
2.若a是方程的一个根，则代数式的值是＿＿＿＿
3. 解方程：
04)1(5)1( 222 xx
一
元
二
次
方
程
一元二次方程的定义
一元二次方程的解法
一元二次方程的应用
把握住：一个未知数，最高次数是2，
整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a 0）
直接开平方法：
适应于形如（x-k）² =h（h>0）
型
配方法： 适应于任何一个一元二次方程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式
的积，右边是0的方程
1.审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量
关系。
2.恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。
3.根据题中的等量关系列出方程。
4.解方程得出方程的解。
5.检验看方程的解是否符合题意。
6.作答注意单位。
列方程解应用题的解题过程
两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
: , ,x解 设较小的数为 根据题意 得
.454 xx
.04542 xx整理得
.9,5 21 xx解得
.5494,9454 xx 或
.5,99,5: 或这两个数为答
一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次
手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人
数是多少?
得根据题意设这次到会的人数为解 ,,: x
.66
2
1
xx
:整理得
).,(0
2
231;12
2
231
21 舍去不合题意
xx
.01322 xx
:解得
.12: 人这次到会的人数为答
如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽
度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,
水渠应挖多宽.
得根据题意设水渠的宽度解 ,,: xm
.885660)292( xx
:整理得
).,(105;1 21 舍去不合题意 xx
,01051062 xx
:解得
.1: m水渠的宽度为答
甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴
税的年平均增长率为多少?
得根据题意设每年平均增长率为解 ,,: x
.4.48)1(40 2 x
:解这个方程
).,(01.21.11%;101.11 21 舍去不合题意 xx
%.10:每年的平均增长率为答
某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知
该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了
12000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少?
得根据题意均增长率为设该厂今年产量的月平解 ,,: x
.2.115)1(5 2 xx
:整理得
).,(02.1
10
75%;202.0
10
75
21 舍去不合题意
xx
.062525 2 xx
:解得
%.20: 增长率为该厂今年产量的月平均答
某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈
利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发
现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.
商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
得根据题意元设每件衬衫应降价解 ,,: x
.1200)
1
220)(40(
xx
.020030: 2 xx整理得
得解这个方程 ,
.10,20 21 xx
.20,: 元应降价为了尽快减少库存答
.40220,60220 xx 或
小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取
出50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又
全部按一年定期存入银行。如果存款的年利率保持不变,且到期
后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (
精确到0.01%) .
得根据题意设这种存款的年利率为解 ,,: x
.461)8.01](50)8.01(500[ xx
:整理得
).,(0%;44.1144.0 21 舍去不合题意 xx
.011760320 2 xx
:解得
%.44.1:这种存款的年利率约为答
,
640
2.769760
640
591680760
x
A
北
东
●B
某军舰以20节的速度由西向东航行,
一艘电子侦察船以30节的速度由南
向北航行,它能侦察出周围50海里(包
括50海里)范围内的目标.如图,当该
军舰行至A处时,电子侦察船正位于A
处的正南方向的B处, AB=90海里.
如果军舰和侦察船仍按原来速度沿
原方向继续航行,那么航行途中侦察
船能否侦察到这艘军舰 ?如果能,最
早何时能侦察到?如果不能,请说明理
由.
●B
A
北
东
●B
●B
得根据题意小时能侦察到军舰设电子侦察船最早需要解 ,,: x
.5020)3090( 222 x
:整理得
.
13
28;2 21 xx
.0565413 2 xx
:解得
.2: 时能侦察到军舰电子侦察船最早能在答 h
将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个
正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?
(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?
得根据题意设剪下的一段为解 ,,.1: xcm
:整理得
.32245656;24325656 xx 或
,0768562 xx
:解得 .24,32 21 xx
.100,2432: 2cmcmcm 于可使正方形的面积和等或剪下的一段为答
.100
4
56)
4
(
2
2
xx
得根据题意设剪下的一段为 ,,.3 xcm
.200
4
56)
4
(
2
2
xx
:整理得
.,081828;5681828 21 舍去均不合题意 xx
,034562 xx
:解得 .81828
2
818256
x
.200,: 2cm等于正方形的面积和不可能不能剪答
得根据题意设剪下的一段为 ,,.2 xcm
:整理得 ,0562 xx
:解得
.196,: 2cm面积能等于可围成一个正方形的其不剪答
.196
4
56)
4
(
2
2
xx
.,0,56 21 舍去不合题意 xx
一元二次方程也是刻画现实世界的有效
数学模型.
用 列 方 程 的 法 去 解 释 或 解 答 一 些 生 活 中 的 现 象 或 问 题 是 一 种 重 要 的 数 学 方 程 方 法——即 方 程 的 思 想 .
小 结
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