北师版八年级数学上册第五章二元一次方程组

5.1 认识二元一次方程组 第五章 二元一次方程组 学习目标 1.了解二元一次方程（组）及其解的定义．（重点） 2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二 元一次方程组的解．（难点） 导入 新课  累死我了！ 你还累?这么大 的个，才比我 多驮了2个. 哼，我从你背上拿来 1个，我的包裹数就 是你的2倍！ 真的?！ 听完它们的对话，你 能猜出它们各驮了多 少包裹吗? 你还累?这么大 的个，才比我 多驮了2个. 我从你背上拿来 1 个，我的包裹数 就是你的 2 倍！ 讲授 新课 二元一次方程组的定义 问题1：设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹.你能根 据它们的对话列出方程吗？ 老牛的包裹数比小马的多2个; 老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍. x－y＝2 x＋1＝2(y－1) 昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元 每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元， 设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程? 问题2：他们到底去了几个成人，几个儿童呢? x＋y＝8 5x＋3y＝ 34 上面所列方程各含有几个未知数? 含有未知数的项的次数是多少? 答：2个未知数 答：次数是1 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的 方程叫做二元一次方程. x－y＝2 x＋y＝8 x＋1＝2(y－1) 5x＋3y＝34 定义： 方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34中，x的含义相同吗？y呢？ x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同时满足方 程x＋y＝8和5x＋3y＝34 ,把它们联立起来,得: 像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组 方程，叫做二元一次方程组. 注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量. x＋y＝8 5x＋3y＝34 二元一次方程组的解 问题：（1）x＝6 , y＝2适合方程 x＋y＝8吗 ? x＝5 , y＝3呢? x＝4 , y＝4呢? 你还能找到其他x , y的值适合方程x＋y＝8吗 ? (2) x＝5 , y＝3适合方程5x＋3y＝34吗? x＝2 , y＝8呢? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫 做这个二元一次方程的一个解. 例如: x＝6 , y＝2 是方程x＋y＝8 的一个解,记作 x＝6 y＝2 x＝5 ,y ＝3是否为方程 x＋y＝8的一个解? x＝5 , y ＝3是否为方程 5x ＋3y＝34的一个解? 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个 二元一次方程组的解. x＋y＝8 5x＋3y＝34 的解.｛ 就是二元一次方程组x＝5 y＝3例如，｛ 当堂 练习 1.二元一次方程组 的解是( ) x+2y=10 y=2x C A. x=4 y=3 x=2 y=4 C. x=3 y=6 B. D. x=4 y=2 2.下列各式是二元一次方程的是( ) A.x=3y B.2x+y=3z C.x²+x-y=0 D.3x+2=5 A 3.下列不是二元一次方程组的是(   )B A. x+y=3 x-y=1 x+ =1 y+x=2B. D. 6x+4y=9 y=3x+4C. x=1 y=1 4.（嘉兴·中考）根据以下对话，可以求得小红所买的笔 和笔记本的价格分别是（  ） 哦……我忘了！只记得 先后买了两次，第一次 买了5支笔和10本笔记 本花了42元钱，第二次 买了10支笔和5本笔记 本花了30元钱． 小红，你上周买的笔和 笔记本的价格是多少啊？ D A.0.8元/支，2.6元/本 B.0.8元/支，3.6元/本 C.1.2元/支，2.6元/本 D.1.2元/支，3.6元/本 认识二元一次方程组 二元一次方程组的定义 课堂 小结 二元一次方程组的解 5.2 求解二元一次方程组 第五章 二元一次方程组 第1课时 代入法 学习目标 1.会用代入法解二元一次方程组.（重点、难点） 导入 新课 问题：根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1 分,已知某次中学生篮球联赛中，某球队共赛了12场， 积20分.求该球队赢了几场？输了几场？ 解：设该球队赢了x场，输了y场，则 怎么求x、y的值呢？ x+y=12 2x+y=20 讲授 新课 用代入法解二元一次方程组 昨天,我们8个人 去红山公园玩,买门 票花了34元. 每张成人票5元, 每张儿童票3元.他 们到底去了几个成 人、几个儿童呢? 还记得下面这一问题吗? 设他们中有x个成人，y个儿童. 我们列出的二元一次方程组为: x+y=8 5x+3y=34 解：设去了x个成人，则去 了(8－x)个儿童，根据题 意，得： 解得：x=5. 将x=5代入 8－x=8－5=3. 答：去了5个成人， 3个儿童. 用一元一次方程求解 用二元一次方程组求解 解：设去了x个成人，去了 y个儿童，根据题意，得： 观察:列二元一次 方程组和列一元一 次方程设未知数有 何不同？列出的方 程和方程组又有何 联系？对你解二元 一次方程组有何启 示？ 5x+3(8-x)=34 x+y=8 5x+3y=34 用二元一次方程组求解 由①得：y = 8－x. ③ 将③代入②得： 5x+3(8－x)=34. 解得：x = 5. 把x = 5代入③得：y = 3. 所以原方程组的解为：      .3 ,5 y x x+y=8① 5x+3y=34② 解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为 “一元”. 前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含另 一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中， 从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方 程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法. 将y=2代入③ ，得 x=5. 所以原方程组的解是 x=5， y=2. 解：由②，得 x=13-4y ③ 将③代入①，得 2（13 - 4y）+3y=16 26 –8y +3y =16 -5y=-10 y=2 例1：解方程组 2x+3y=16 ① x+4y=13 ② 解二元一次方程组的步骤： 第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数 用含有另一个未知数的代数式表示出来. 第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 第四步：回代求出另一个未知数的值. 第五步：把方程组的解表示出来. 第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是 否成立. 用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1 的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小 的方程变形. 当堂 练习 y=2x   x+y=12  (1) (2) 2x=y-5 4x+3y=65 1.解下列方程组. 解： (1) x=4 y=8 (2) x=5 y=15 2.（济南·中考）二元一次方程组 的解是（ ） A． B． C． D. D 3.（江津·中考）方程组 的解是（ ） B． C． D． A. B 解二元一次方程组 基本思路“消元” 课堂 小结 代入法解二元一次方程组的 一般步骤 5.2 求解二元一次方程组 第五章 二元一次方程组 第2课时 加减法 学习目标 1.会用加减法解二元一次方程组．（重点） 导入 新课 信息一： 已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元； 信息二： 又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元. 解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元，根据题意得， 你会解这个方程组吗？ 3x+2y=23 5x+2y=33 你是怎样解这个方程组的？ 解： 由①得 将③代入②得 ③ 解得：y=4 把y=4代人③ ，得x=5 所以原方程组的解为： 除代入消元， 还有其他方法吗？ ① ② 3x+2y=23 5x+2y=33 x=5 y=4 讲授 新课 用加减法解二元一次方程组 仔细观察这组方程，你有什么发现吗？ 解：②-①得 5x-3x=33-23 ， 解得 x=5 . 将x=5代入①得 15+2y=23, 解这个方程得 y=4. 所以原方程组的解是 ① ② 3x+2y=23 5x+2y=33 ②-①的话就只剩下 一个未知数了 x=5 y=4 这样是不是更 简单呢？ 像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加 减法. 当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时, 可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等) 来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方 程组的解. 例1：用加减法解方程组: 2 3 12 3 4 17 x y x y      ① ② 对于当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等 式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解 的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减 消元法解方程组创造条件． 分析： ①×3得： 所以原方程组的解是 解： ③-④得: y=2 把y＝2代入①， 解得: x＝3 ②×2得： 6x+9y=36 ③ 6x+8y=34 ④ 主要步骤： 特点: 基本思路: 写解 求解 加减 二元 一元加减消元: 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出原方程组的解 同一个未知数的系数相同或互为相反数 用加减法解二元一次方程组： 当堂 练习 1.（芜湖·中考）方程组 的解是 ． ① ② 2. 用加减法解方程组 6x+7y=－19① 6x-5y=17②应用（ ） A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对 B 解： ②×4得： 所以原方程组的解为 ①3.（青岛·中考）解方程组： ② ③ ①＋③得：7x = 35， 解得：x = 5. 把x = 5代入②得，y = 1. 4x-4y=16 解二元一次方程组 基本思路“消元” 课堂 小结 加减法解二元一次方程 组的一般步骤 5.3 应用二元一次方程组 ——鸡兔同笼 第五章 二元一次方程组 学习目标 1.能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问 题．（重点） 导入 新课 《孙子算经》是我国古代一 部较为普及的算书,许多问题浅 显有趣,其中下卷第31题”雉兔 同笼”流传尤为广泛,飘洋过海 流传到了日本等国. “鸡兔同笼”题为: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何? “上有三十五头”的意思是什么? “下有九十四足”的意思是什么? 你能算出鸡兔各 几只吗？ 94÷2=47（只）脚数： 《孙子算经》中记载的算法： 金鸡独立，兔子站起 47－35=12（只）头数： 兔 35－12=23（只） 鸡 你能根据“上有三十五头, 下有九十四足”列出方程吗？ 讲授 新课 应用二元一次方程组解古算题 《孙子算经》中的算法，主要是利用了兔和鸡的脚数分 别是4和2，4又是2的倍数.可是当其他问题转化成这类问题时， 脚数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通. 35 94足 头 总数 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94. { 等量关系： x y 2x 4y      9442 35 yx yx 解：设鸡为x 只,兔为y 只.则 ①×2 得： 2x+2y=70，③ ②-③ 得： 2y=24， y=12. 把 y=12 代入①，得：x=23. 答：有鸡23只，兔12只. x+y=35， ① 2x+4y=94. ② 原方程组的解是 x=23, y=12. 加减消元 列方程解应用题的步骤 1.审题 (找等量关系） 2.设未 知数 3.列方程 4.解方程 5.检验，作答 关键：找等量关系、列 方程 例1：古题今解 以绳测井 若将绳三折测之，绳多五尺； 若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？ (1)“将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？ (2)“若将绳四折测之，绳多一尺”，又是什么意思？ 用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多 5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各 是多少尺？ 等量关系 ×绳长－井深＝5 ×绳长－井深＝1 关系一 关系二 解：设绳长x尺, 井深y尺, 则 由题意可得： x- y=1 . 解此方程组得： x =48, y=11. 答：绳长48尺,井深11尺. x -y=5 ， 当堂 练习 1.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设 蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为 . x +y=10 6x+8y=68 2. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若 乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y 米/秒，则可列方程组为(  ).B 4y=6x 4x=6y 5y+10=5x, 5x=5y+10, A. B.{ { 4y=6x 5x+10=5y, 4x=6y 5y=5x+10,C. D.{ { 3. 5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价 值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 解:设每头牛值“金”x两,每头羊值“金”y两, 由题意得 5x+2y=10, 2x+5y=8. 解得 x= y= 答:每只牛值”金” 两,每只羊值”金” 两. 列方程组解决问题 一般步骤：审、设、列、解、验、 答 课堂 小结 关键：找等量关系 5.4 应用二元一次方程组 ——增收节支 第五章 二元一次方程组 学习目标 1.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实 际问题．（重点） 2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程. 导入 新课 新年来临,爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年 礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现 同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和 书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4 倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么 我就买给你做新年礼物”. 你能帮助他吗？ 讲授 新课 应用二元一次方程组——增收节支 1.一个人的工资今年比去年增长了20%后变为3 000元，则该 人去年的工资为 元. 2.某药品在2011年涨价25%后，2012年降价20%至a元，则 该药品在2011年涨价前的价格为 元. a 2 500 3.小李到银行去储蓄500元，这种储蓄的年利息为8.0%， 如果他储蓄了5年，则小李5年后得到的本息和是 元. 700 试着完成下面的填空 问1：增长（亏损）率问题的公式？ 问2：银行利率问题中的公式？（利息、本金、利率） 原量×（1+增长率）=新量 原量×（1-亏损率）=新量 利息=本金×利率×期数（时间） 本息和=本金+利息 利润：总产值-总支出 利润率：(总产值-总支出)/总产值×100% 根据上述公式，我们可以列出二元一次方程组，解决实际问题 【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 今年 (1+20﹪)x (1-10﹪)y 780 x y 200 例1：某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20 ％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多 少万元? 解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有 x-y=200 (1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780 因此,去年的总产值是2 000万元,总支出是1 800万元. 解得 x=2 000 y=1 800 例2：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位 蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需 要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的 需要? 解:设每餐甲、乙原料各x g、y g. 则有下表: 甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x x 0.7y 0.4y 35 40 根据题意,得方程组 5x+7y=350 ① 5x+2y=200 ② 0.5x+0.7y=35 x+0.4y=40 化简,得 ①- ②,得 5y=150 y=30 把y=30代入①,得x=28,即方程组的解为： 所以每餐需甲原料28 g,乙原料30 g. 当堂 练习 1.（宁夏·中考）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化， 甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来 的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y 元，则下列方程组正确的是 （ ）      000000 20100)401()101( 100 yx yx B. A. C      )201(100)401()101( 100 000000 yx yx      000000 20100)401()101( 100 yx yx C. D. 2.（丹东·中考）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、 （5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1） 班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5） 班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分， 根据题意所列的方程组应为（ ） B． C． D． A． D 3.一班和二班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81 ﹪,如果一班学生的体育达标率为87.5﹪,二班学生的体育达标率为75﹪,那 么一、二班的学生数各是多少? 【分析】设一、二班的学生数分别为x名，y名.则有下表. 一班 二班 两班总和 学生数 达标学生数 x y 100 87.5﹪x 75﹪y 81﹪×100 解:设一、二班的学生数分别为x名，y名. 根据题意,得方程组. x+y=100 87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100 解得 x=48 y=52 所以一、二班的学生数分别为48名和52名. 列方程组解决实际问 题 增长率、利润问题 课堂 小结 利用图表分析等量关系 5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数 第五章 二元一次方程组 学习目标 1.利用二元一次方程解决数字问题和行程问题．（重点） 2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程. 1.一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这个两位 数可表示为： 2.一个三位数，若百位数字为a，十位数字为b，个位数字 为c，则这个三位数为： 导入 新课 10x+y 100a+10b+c 你能回答吗？ 讲授 新课 应用二元一次方程组——里程碑上的数 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里 程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？ 是一个两位数， 它的两个数字 之和为7． 十位数字与个位数 字与12:00时所看 到的正好互换了． 比12:00时看 到的两位数中 间多了个0． (3)14:00时小明看到的数可以表示为____________ (4)12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内行驶的路程 有什么关系?你能列出相应的方程吗? 100x+y 如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位数字是y.那么 (1)12:00时小明看到的数可以表示为____________ (2)13:00时小明看到的数可以表示为_____________ 10x+y 10y+x 12:00至13:00所走的路程 13:00至14:00所走的路程 (10y+x)－(10x+y) (100x+y)－(10y+x)= 解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x， 个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组： 解这个方程组得, 答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16． 7, (100 ) (10 ) (10 ) (10 ). x y x y y x y x x y           1, 6. x y    解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则 解方程组,得: 答:这两个两位数分别是45和23. 例1：两个两位数的和为 68,在较大的两位数的右边接着写较 小的两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的左边写上较 小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个 四位数大2 178, 求这两个两位数. x+y=68 (100x+y)-(100y+x)=2178 x=45 y=23 当堂 练习 1.小颖家离学校4800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去 学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均 速度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ） A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km； C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km． A 【解析】设上坡用x时，下坡用y时，据题意得：      6x+12y=4.8，      x＋y＝0.5. 解得   x＝0.2， y＝0.3. 0.2 6 1.2,0.3 12 3.6    故选A. 2.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里 程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看 里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数互换 了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍， 李刚在7:00时看到的数是     .18 当堂 练习 【解析】设李刚在7:00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么 时刻 十位数字 个位数字 表达式 7:00 x y 10x+y 8:00 y x 10y+x 9:00 8(10x+y) 故李刚在7:00时看到的数是18. x+y=9 8(10x+y)-(10y+x)=10y+x-(10x+y) 解得 x=1 y=8 列方程组解决实际问题 增长率、利润问题 课堂 小结 利用图表分析等量关系 5.6 二元一次方程与一次函数 第五章 二元一次方程组 学习目标 1.理解二元一次方程（组）与一次函数的关系．（重点） 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.（难点） 导入 新课 二元一 次方程 一次函数 x+y=5 到我这里来 到我这里来这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里 呢？ 讲授 新课 二元一次方程的解与一次函数图象的关系 x+y=5 问题：是不是所有的二元一次方程都可以转化为一次函数？ y=5-x 试一试：把下列二元一次方程转化为一次函数 （1）y-2x=1； （2）2y+x=4 转化 2.在直角坐标系内分别描出以上面这些解为坐标的点，它们在一次函 数y=－x+5的图象上吗？ 无数个 都是 都在 1.方程x+y=5的解有多少个? 是这个方程的解吗？ 3.在一次函数y=－x+5的图象上任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5吗？ 4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=－ x+5的图象相同吗？ 通过以上探究,你能得出二元一次方程的解与一次函数图象的关系吗? 在一次函数 y=5－x的图象上 方程x+y=5 的解 从形到数 从数到形 适合 相同 以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的 一次函数的图象相同，是同一条直线. 反过来,一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次 方程. O 431 2 y x 2 3 4 5 1 -1-2-4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 y=2x-1 y=5-x P(2,3) 交点坐标与方程组 的解有什么关系？ x+y=5 2x-y=1 问题：在同一直角坐标系中分别 作一次函数y=5-x和y=2x-1的图 象,这两个图象有交点吗? 二元一次方程组与对应两条相交直线的关系 x=2， y=3 就是方程组 的解. x+y=5， 2x-y=1 解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以 及这个函数值是何值． 二元一次方程 组的解 两个一次函数所在直线的交点坐 标 对应 形 数 确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解 一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标. 方程组 解的情况如何？ 二元一次方程组与对应平行直线的关系 x y 3 在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象有怎样的 位置关系？ 1.两不重合的直线 当 平行于 时， ；反之也成立. 2.方程组 当 c1≠c2时， 方程组无解；反之也成立. 你发现了什么？ 2.若二元一次方程组 的解为 ,则函数 与 的图象的交点坐标为 . 当堂 练习      12 5 yx yx 1.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3), 则方程组 的解为 .      22 22 yx yx      2 2 y x 12 1  xy 22  xy （2，2） 3．如图，两条直线的 交点坐标可以看作哪个 方程组的解？ 解：  ３ -１ 2-3 x y 0 二元一次方程与一 次函数 二元一次方程的解与一 次函数图象的关系 课堂 小结 二元一次方程组与对 应两条相交直线的关 系 二元一次方程组与对 应两条平行线的关系 5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 第五章 二元一次方程组 学习目标 1.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．（重点） 导入 新课 二元一次方程组与一次函数有何联系? 二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反 之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组 的解． 二元一次方程组有哪些解法？ 消元法 正因如此，方程问题可以通过函数知识来解决，反之，函数问题 也可以通过方程知识来解决. 图象法 是一种代数方法 讲授 新课 用二元一次方程组确定一次函数表达式 议一议：A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向 而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车 时间 t (时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米. 问：经过多长时间两人相遇 ?说出你的方法与同学们交流 1小时后2小时后甲距A 地30千米 乙距A地80千米甲 A 乙 B 图象表示 t/时 s/千米 可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象 ，找出交点的横坐标就行了 小明 乙 甲 小颖 对于乙，s 是t的一次函数，可设 s=kt+b.当t=0时，s=100；当t=1 时 s=80. 将它们分别代入s=kt+b中， 可以求出k，b的值， 即可以求出乙 中s 与t 之间的函数表达式. 你能求出甲的表达式吗？ 小亮 1 时后乙距A地 80千米,即乙的速度是20千米/时 2 时后甲距A 地 30千米,故甲的速度是 15千米/时 设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100 用一元一次 方程的方法 可以解决问 题 用图象法可 以解决问题 用方程组的方 法可以解决问 题 小明 小颖 用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得 准确的结果，我们一般用代数方法. 在以上的解题过程中你受到什么启发？ 例1：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的 行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行 李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交 了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组 解得 （2）当x=30时，y=0. 所以旅客最多可免费携带30千克的行李． 像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表 达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做 待定系数法. 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b. 2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组. 3.解这个二元一次方程组得k，b. 4.进而求出一次函数的表达式. 当堂练习 1.甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所 修水渠总长度相等．右图是两队所修水渠长 度y(m)与修筑时间x(h)的函数图象的一部分 ．请根据图中信息，解答下列问题： （1）直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内， y与x之间的函数关系式 ； （2）直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内， y与x之间的函数关系式 . 2 5 10 50 70 x y 甲 乙 O (m) (h) y=10x y=20x-30 2.判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否 在 同一条直线上． ∴ 解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b． 由题意可知， ∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2． ∵当x=4时，y=4-2=2． ∴点C（4，2）在直线y=x-2上． ∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在 同一条直线上． 3.在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若 购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价 是多少? 解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b， ∵当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700， ∴ 800k + b = 1000 700k + b = 2000｛ 解这个方程组得: b =900 因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000 当 y = 400时得， -10 x + 900 =400,∴ x =860. 答:当客户购买400kg,单价是860元. 10k  ｛ 利用二元一次方程确定一次函数 表达式 用含字母的系数设出一次函数的表 达式：y=kx+b 课堂 小结 将已知条件代入上述表达式中得关于k，b 的二元一次方程组 解这个二元一次方程组得k，b *5.8 三元一次方程组 第五章 二元一次方程组 学习目标 1.理解三元一次方程组的概念． 2.能解简单的三元一次方程组． 导入 新课 1、解二元一次方程组有哪几种方法？ 2、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 二元一次方程组 代入 加减 消元 一元一次方程 化未知为已知 化归转化思想 代入消元法和加减消元法 消元法 讲授 新课 三元一次方程组的概念 已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的 两倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数. 上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组： 这个方程组和前 面学过的二元一 次方程组有什么 区别和联系？ 2 3, 1, 2 2 0 . x y z x y x y z           在这个方程组中，x+y+z=23和2x+y-z=20都含 有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1， 这样的方程叫做三元一次方程. （linear equation with three unknowns） 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做 三元一次方程组. 三元一次方程组的解 三元一次方程组中各个方程的公共解， 叫做这个三元一次方程组的解. 怎样解三元一次方程组呢？ 能不能像以前一 样“消元”，把 “三元”化成 “二元”呢？ 23, 1, 2 20. x y z x y x y z              例1：解方程组 解：由方程②得 x=y+1 ④ 把④分别代入①③得 2y+z=22 ⑤ 3y-z=18 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 y=8,z=6 把y=8代入④，得x=9 所以原方程的解是 x=9 y=8 z=6 23, 1, 2 20. x y z x y x y z              解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ， 把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为 解 ，进而再转化为解 . 三元一次方 程组 二元一次方 程组 一元一次方 程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 当堂 练习 1.解方程组 ,则x＝_____， y＝______，z＝_______. x＋y－z＝11， y＋z－x＝5， z＋x－y＝1. ① ② ③ 【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z 的值代入任何一个方程求出x即可. 6 8 3 2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ） A.2 B.3 C.4 D.5 解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5. 3.在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求 a,b,c的值. 解:根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③ ②－①， 得 a＋b=1 ④ ③－①，得 4a＋b=10 ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1， 4a＋b=10. a=3， b=-2.解这个方程组，得 把 代入①，得 a=3， b=-2 c=-5, a=3， b=-2， c=-5. 因此 三元一次方程组 三元一次方程组的概念 课堂 小结 三元一次方程组的解法 小结与复习 第五章 二元一次方程组 实际背 景 二元一 次方程 及二元 一次方 程组 求解 应用 方 法 思想 与一次函数的关 系 消元 解应用题 图象法 加减消元 代入消元 知识结构 相关概念 1.二元一次方程:通过化简后,只有两个未知数,并且所含未知数的项的次 数都是1,系数都不是0的整式方程,叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫 做二元一次方程的解. 3.二元一次方程组:由两个一次方程组成,共有两个未知数的方程组,叫做 二元一次方程组. 知识梳理 4.二元一次方程组的解: 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 5.方程组的解法 根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法. 基本思想或思路——消元 常用方法————代入法和加减法 用代入法解二元一次方程组 (1)求表达式：从方程组中选一个系数比较简 单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用 含x的代数式表示; (2)把这个含x的代数式代入另一个方程中， 消去y，得到一个关于x的一元一次方程； (3)解一元一次方程，求出x的值; (4)再把求出的x的值代入变形后的方程，求 出y的值. 用加减法解二元一次方程组 (1)利用等式性质把一个或两个方程的两边都 乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数 的系数，使其绝对值相等； (2)把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一 个未知数，得一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ； (4)把所求的这个未知的值代入方程组中较为简 便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方 程组的解 . 列二元一次方程解决实际问题的一般步骤 审： 设： 列： 解： 答： 审清题目中的等量关系． 设未知数． 根据等量关系，列出方程组． 解方程组，求出未知数． 检验所求出未知数是否符合题意，写出答案． 二元一次方程与一次函数 二元一次方程组和一次函数 的图象的关系 方程组的解是对应的两条直线的交点 坐标 二元一次方程和一次 函数的图象的关系 以二元一次方程的解为坐标的点都在 对应的函数图象上. 一次函数图象上的点的坐标都适合对 应的二元一次方程. 1.关于二元一次方程2m+3n=11 正确的说法是( ) A.任何一对有理数都是它的解 B.只有两组解 C.只有两组正整数解 D.没有负整数解 C 当堂练习 2.若点P(x-y,3x+y)与点Q(-1,-5)关于x轴对称,则x+y=______. 3 3.已知|2x+3y+5|+(3x+2y-25)2=0, 则x-y=______.30 4.若两个多边形的边数之比是2:3,两个多边形的内角和是1980°, 求这两个多边形的边数. 解：6和9 5.方程组 中, x与y的和为12,求k的值.      253 32 kyx kyx 解得：k=14 解法1：解这个方程组，得 依题意：x＋y=12 所以(2k－6) ＋(4－k)=12 解法2：根据题意，得 解这个方程组，得k=14 6.甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,相向而行, 每隔2分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分钟相遇一次.已知甲比乙跑得 快,甲、乙每分钟各跑多少圈? 解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据 题意得方程组 解得 答:甲、乙二人每分钟各跑 、 圈. 7.已知甲、乙两种商品的标价和为100元,因市场变化,甲商品打9折, 乙商品提价5﹪,调价后,甲.乙两种商品的售价和比标价和提高了2﹪, 求甲、乙两种商品的标价各是多少? 答：甲种商品的标价是20元，乙种商品的标价是80元. 解：设甲、乙两种商品的标价分别为x、y元， 根据题意，得 解这个方程组，得 8. 下表是某一周甲、乙两种股票的收盘价（股票每天交易结束时的价 格） 星期一 星期二 甲 12 乙 13.5 张师傅在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计 手续费、税费行等），该人账户中星期二比星期一多获利200元，星期三比星期二 多获利1300元，试问张师傅持有甲、乙股票各多少股？ 12.5 13.3 星期三 星期四 星期五 星期六 12.9 13.9 12.45 13.4 12.75 13.15 休盘 休盘 解：设张师傅持有甲种股票x股，乙种股票y 股，根据题意，得 解得 答：张师傅持有甲种股票1000股，乙种股票 1500股. 9.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地. 两人同时出发,4小时相遇,6小时后 ,甲所余路程为乙所余路程的2倍,求两 人的速度. 解:设甲、乙的速度分别为x千米/小时和y千米/小时. 依题意可得: 解得 答：甲的速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时.