北师版八年级数学上册第一章勾股定理

1.1 探索勾股定理 第一章 勾股定理 第1课时 认识勾股定理 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的 数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点） 学习目标 导入 新课 如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图 中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧. 讲授 新课 勾股定理的初步认识 问题1：观察下面地板砖示意图： 你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？ 问题2：观察右边两幅图： 完成下表（每个小正方形 的面积为单位1）. A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 ？ 怎样计算 正方形C 的面积呢？9 16 9 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直 角三角形和一 个小正方形. 补成大正方形， 用大正方形的 面积减去四个 直角三角形的 面积. 将几个小块拼成若 干个小正方形，图 中两块红色（或绿 色）可拼成一个小 正方形. 分析表中数据，你发现了什么？ A的面积 B的面积 C的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面 积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. （1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示 图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样 的关系呢？  a b c a b c a2+b2=c2 （2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量 斜边的长度. （1）中的规律对这个三角形仍然成立吗？   勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果 a，b和c分别表示直角三角形的两直 边和斜边，那么 a2+b2=c2．   我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角 边称为股，斜边称为弦，“勾股 定理”因此而得名. 名字的由来 在西方又称毕达 哥拉斯定理 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）： 已知直角三角形两边，求第三边. 例 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的面积. 解：设另一条直角边长是x cm.由勾股定理得: 152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64， 解得 x=±8（负值舍去）， 所以另一直角边长为8 cm， 故直角三角形的面积是: (cm2). 利用勾股定理进行计算 当堂 练习 1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积 为 . 8 cm 10 cm 36 cm² 2.判断题. ①△RtABC的两直角边AB=5,AC=12,则斜边BC=13 ( ) ②△ABC的两边a=6,b=8,则c=10 ( ) 3.填空题 在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则 △ABC的面积为_____,斜边上的高CD为______. √  24 4.8 A BC D 4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这 时梯脚与墙的距离是多少? A BC 解：在Rt△ABC中，根据勾股 定理，得： BC2=AB2-AC2 =2.52-2.42 =0.49， 所以BC=0.7. 答：梯脚与墙的距离是0.7米. 认识勾 股定理 如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2 课堂 小结 利用勾股定理进行计算 1.1 探索勾股定理 第一章 勾股定理 第2课时 验证勾股定理 1.学会用几种方法验证勾股定理．（重点） 2.能够运用勾股定理解决简单问题．（重点，难点） 学习目标 导入 新课 问题：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出 以斜边为边长的正方形． 有不同的拼 法吗？ 讲授 新课 勾股定理的验证 据不完全统计，验证的方法有400多 种，你有自己的方法吗？ 问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的 内容吗？那么如何验证勾股定理呢 ？ a a a a b b b b c cc c 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结 合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 验证方法一 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4•ab/2 ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 c a b c a b 验证方法二：赵爽弦图 b c a b c 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c2= 4• ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4•ab/2+(b- a)2 a b c ① ② ③ ④ ⑤ 验证方法三  1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有 一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地 谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心 驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干 什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个 直角三角形…… 勾股定理的“总统”证法 于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男 孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄 清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．   1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表 了他对勾股定理的这一证法．   1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任 总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、 易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法． 美国总统证法 b c a b c a A B C D 观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三 边长是否满足a2+b2=c2. 勾股定理的简单应用 例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发 现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测 得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗? 公路BC A 400 m 500 m 解:由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2， 也就是5002=BC2+4002，所以BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶 的距离为300×6×60=108000（m）， 即它行驶的速度为108km/h. 当堂 练习 1. 在直角三角形中，满足条件的三边长可以 是 ．(写出一组即可) 【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2即 可. 答案：3，4，5（满足题意的均可） 2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶 上方4 km处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km.这 一过程中飞机飞过的距离是多少千米？ 解：在Rt△ABC中， 答：飞机飞过的距离是3km. 4 5 5 4 C B A 3.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆 底部12 m处.旗杆原来有多高? 12 m 9 m 解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m，根据勾股 定理得 2 2 29 12 x  ， 解得x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m. 探索勾 股定理 勾股定理的验证 课堂 小结 勾股定理的简单运用 1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 学习目标 1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题． （难点） 导入 新课 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角? 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工 匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住 第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直 角在第1个结处. 讲授 新课 勾股定理的逆定理 问题1：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答下列问题: 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量， 它们都是直角三角形吗？ 0180 150 120 90 60 30 实验结果： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形. 7 24 25 5 1312 17 8 15 问题2：从上述问题中，能发现什么结论吗？ 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么 这个三角形是直角三角形. 有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更有说服力的理由吗? 在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.你能否 判断 △ABC是直角三角形？并说明理由. 下面我们一起来论证一下： a c A C B b 简要说明： 作一个直角∠MC1N， 在C1M上截取C1B1=a=CB, 在C1N上截取C1A1=b=CA, 连接A1B1. 在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B1 2=a2+b2=AB2 . ∴ A1B1=AB ，∴ △ABC ≌△A1B1C1 . （SSS） ∴ ∠C=∠C1=90°， ∴ △ABC是直角三角形. a c b A C B C1 M N B1 A1 例1：一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如 图2所示,这个零件符合要求吗? 在△BCD中， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD中， 所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 勾股数 例2：下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数， 先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的 平方和即可. 当堂 练习 1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以 是 ( ) A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5 2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 B A 3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面 积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形.直角 5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个 直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. 解:△ABE，△DEF，△FCB均为直 角三角形.由勾股定理知 BE2=22+42=20， EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, ∴BE2+EF2=BF2, ∴ △BEF是直角三角形. 4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的 三角形是直角三角形吗?为什么? 解：是直角三角形.因为a2+b2=c2满足勾股定理的逆定理. 一定是直角 三角形吗 勾股定理的逆定理：如果三角形的 三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 课堂 小结 勾股数：满足a2+b2=c2的三个 正整数 1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 学习目标 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．（重点） 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.(重点,难点) 导入 新课 两点之间,线段最短． 问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由． 讲授 新课 立体图形中两点之间的最短距离 B A 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一 点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息， 于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最 近？ B A d A BA' A BB A O 想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？ A' 蚂蚁A→B的路线 若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，则: B A 3 O 12 侧面展 开图 12 3π A B 15 )33(12 222   AB AB 方法归纳：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展 开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. ' A' A' 例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在 A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面 半径是2 m，高AB是5 m，π取3） A B A B A' B' 解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,∴AB'=13. 答：梯子最短需13米. 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 勾股定理的实际应用 问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是 否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. 你能替他想办法完成任务吗？ 连接对角线AC，只要分别量出 AB、BC、AC的长度即可. AB2+BC2=AC2 △ABC为直角三角形 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 当堂 练习 1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm， BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为 DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm A B C D E B 2．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近 边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶 外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？ 解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时: 最短时,x=1.5 所以最长是2.5+0.5=3(m). 答:这根铁棒的长应在2～3 m之间. 所以最短是1.5+0.5=2(m). 2 2 21.5 2 2.5 x x   解得 3.我国古代数学著作《九章算术》中记载了 一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一 个水池，水面是一个边长为10尺的正方形， 在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水 面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池 的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A BC 解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2 即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2 x=24， ∴ x=12， x+1=13. 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺. 勾股定理 的应用 立体图形中两点之间的 最短距离 课堂 小结 勾股定理的实际应用 小结与复习 第一章 勾股定理 勾股定理 勾股定理 的逆定理 直角三角形 验证方法 已知两边求 第三边 判定直角三角形 判定勾股数 判定垂直 知识构架 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 已知Rt∆ABC的两直角边分别是3和4，则它 的斜边是 .5 勾股定理的应用条件 知识梳理 勾股逆定理与勾股数 勾股逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 勾股数 勾股定理与勾股逆定理的比较 以“一个三角形是 直角三角形”为条 件，得出三角形三 边有a2+b2=c2关系 式成立. 一个三角形的三边a、 b、c满足a2+b2=c2为 条件,得出这个三角 形是直角三角形的 结论. 都与三角形三边有关 都与直角三角形有关 勾股定理 勾股逆定理 区 别 联 系 1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的 平方是（  ） A.25 B.14 C.7 D.7或25 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角 三角形的是（  ） A.a=1.5，b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5 D A 当堂练习 3．如果直角三角形的两直角边长分别为n2－1，2n （n>1）， 那么它的斜边长是（  ） A.2n B.n+1 C.n2－1 D.n2+1 4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积是（  ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2 D A 5.在Rt△ABC中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________. 6.直角三角形两直角边长分别为5和12，则 它斜边上的高为__________. 13 20 60 13 7.B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方 向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某 个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船 到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道 乙船是沿哪个方向航行的吗？ 解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）, 乙船航行的距离为BP= 30（n mile）． ∵162+302=1156，342=1156, ∴BM2+BP2=MP2, ∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° , ∴乙船是沿着南偏东300 方向航行的． 8.有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水 池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把 这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请 问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 5尺 1尺 x 尺 x2 + 52 = (x+1)2 x = 12 水池 9.小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿 买最长 的吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。 糟糕，太 长了，放 不进去。 如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米， 那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？ 你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？ 1.5米 1.5米 2.2米 1.5米 1.5米 x x 2.2米 A BC x2=1.52+1.52=4.5 AB2=2.22+x2=9.34 AB≈3米