6.1 平均数
第六章 数据的分析
学习目标
1.掌握算术平均数和加权平均数的概念，会求一组数
据的算术平均数和加权平均数．（重点）
2.会用算术平均数和加权平均数解决实际生活中的问
题．（难点）
导入
新课
生活中，人们离不开数据，我们不仅要收集、整理和
表示数据，还需要对数据进行分析，进而帮助我们更好
地作出判断.
右图表示的是甲、乙、丙三人的射击成绩，谁的成绩
更好，谁更稳定？你是怎么判断的？除了直观
感觉外，我们如何用
量化的数据来刻画“更
好”“更稳定”呢？
讲授
新课
算术平均数
当你听到“小亮的身高在班上是中等偏上的”，
“A 篮球队队员比B 队更年轻”等诸如此类的说法时，
你思考过这些话的含义吗？你知道人们是如何作出这
一判断的吗？
数学上，我们常借助平均数、中位数、众数、方
差等来对数据进行分析和刻画.
北京金隅（冠军） 广东东莞银行（亚军）
号码 身高/厘米 年龄/岁 号码 身高/厘米 年龄/岁
3 188 35 3 205 31
6 175 28 5 206 21
7 190 27 6 188 23
8 188 22 7 196 29
9 196 22 8 201 29
10 206 22 9 211 25
12 195 29 10 190 23
13 209 22 11 206 23
20 204 19 12 212 23
21 185 23 20 203 21
25 204 23 22 216 22
31 195 28 30 180 19
32 211 26 32 207 21
51 202 26 0 183 27
思考：哪支
球队队员的身
高更高？哪支
球队的队员更
为年轻？你是
怎样判断的？
与同伴交流.
日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的
“平均水平”.
一般地，对于 n 个数 x1，x2，…，xn，我们把
( x1+x2+…+xn ) /n 叫做这 n 个数的算术平均数，
简称平均数.记为 x .
加权平均数
在实际问题中，一组数据里的各个数据的
“重要程度” 未必相同.因而，在计算这组数据的
平均数时，往往给每个数据一个“权”．
一起来看看下面的例子
例1:某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A,B,C三
名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如
下表所示：
测试项目 测试成绩
A B C
创新 72 85 67
综合知识 50 74 70
语言 88 45 67
（1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那
么谁将被录用？
（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三
项测试得分按4∶3∶1的比例确定各人的测试成绩，此
时谁将被录用？
解: （1）A的平均成绩为（72+50+88）
/3=70(分).
B的平均成绩为（85+74+45）/3=68(分).
C的平均成绩为（67+70+67）/3=68(分).
由70>68，故A被录用.
（2）根据题意，
A的测试成绩为
B的测试成绩为
C的测试成绩为
因此候选人B将被录用.
4，3，1 分别是创新、综合知识、语言三项测试成
绩的权，而称（72×4+50×3+88×1）÷（4+3+1）
为A的三项测试成绩的加权平均数.
当堂
练习
（2）若m个数的平均数为x，n个数的平均数为y，则这
(m+n)个数的平均数是（ ）
A.(x+y)/2 B.(x+y)/(m+n)
C.(mx+ny)/(x+y) D.(mx+ny)/(m+n)
1.（1）某次考试，5名学生的平均分是82，除甲外，
其余4名学生的平均分是80，那么甲的得分是（ ）
A.84 B. 86 C. 88 D. 90
D
D
2.已知:x1,x2,x3,…, x10的平均数是a，x11,x12,x13,… ,x30
的平均数是b，则x1,x2,x3,… ,x30的平均数（ ）
A.(a+b) B.(a+b) C.(a+3b)/3 D.(a+2b)/3
D
3.（嘉兴·中考）李大伯有一片果林，共有80棵果树．某日，李大
伯开始采摘今年第一批成熟的果子，他随机选取2棵果树共摘得10
个果子，质量分别为（单位：㎏）：0.28，0.26，0.24，0.23，
0.25，0.24，0.26，0.26，0.25，0.23．以此估算，李大伯收获
的这批果子的单个质量和总质量分别约为（ ）
A.0.25 ㎏，200 ㎏ B.2.5 ㎏，100 ㎏
C.0.25 ㎏，100 ㎏ D.2.5 ㎏，200 ㎏
C
4.若x1,x2,…, xn的平均数为a，
(1)则数据x1+3,x2+3,…,xn+3的平均数为 .
(2)则数据10x1,10x2,… ,10xn 的平均数为 .
a+3
10a
平均数
算术平均数
课堂
小结
加权平均数
6.2 中位数与众数
第六章 数据的分析
学习目标
1.掌握中位数、众数的意义．（重点）
2.能结合平均数、中位数和众数三者的差别，对数据
做出初步的判断．（难点）
导入
新课
全班的平均分受到了两个极端数据30分和25
分的影响，利用平均数反应问题出现了偏差.
讲授
新课 中位数与众数
我们好几人工资
都是1800元.
我的工资是1900
元，在公司中算中
等收入.
我公司员工的收入
很高，月平均工资
为2700元.
职员C
职
员
D
经理 这个公司员
工收入到底
怎样呢?
员工 经理 副经
理
职员
A
职员
B
职员
C
职员
D
职员
E
职员
F
职员
G
月薪
（元） 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200
1.经理说平均工资有2700元是否欺骗了应聘者？
2.职员C说他的工资1900元居中等水平什么意思？
3.职员D的工资1800元在上表数据中有什么特点?
没有，月平均工资2700元，指所有员工工资的平均数是
2700元，说明公司每月将支付工资总计2700×9=24300
（元）
1900元恰好居于所有员工工资的“正中间”---称为中位
数
1800元出现次数最多，称为众数
1.你认为用哪个数据描述该公司员工收入的集中 趋势更
合适？
2. 为什么该公司员工收入的平均数比中位数高得多？
分组讨论：
由于正副经理的工资特别高，将平均工资“拉高”了.
员工 经理 副经
理
职员
A
职员
B
职员
C
职员
D
职员
E
职员
F
职员
G
月薪
（元） 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200
中位数和众数的定义：
我们把一组数据中出现次数最多的那个数据
叫做这组数据的众数.
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位
置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这
组数据的中位数.
求中位数要先将一组数据按大小顺序排列，从小
到大或从大到小都可以．
数 据 中位数 众数
15，20，20，22，35
15，20，20，22，35，
38
15，20，20，22，35，
35
3，0，-1，5，5，-3，
14
众数是否唯一？
20
21
21
3
20
20
20和35
5
它们从不同角度描述了一组数据的“平均水平”.
平均数、中位数和众数有哪些特征?
计算平均数时，所有数据都参加运算，
它能充分利用数据所提供的信息，但容易受
极端值的影响,应用最为广泛.
中位数的优点是计算简单，只与其在数
据中的位置有关.但不能充分利用所有数据的
信息.
众数只与其在数据中重复的次数有
关，而且往往不是唯一的. 不能充分利
用所有的数据信息，而且当各个数据的
重复次数大致相等时，众数往往没有特
别的意义.
当堂
练习
1.某公司56名员工的月工资统计如下：
月工资/元 5000 4000 2000 1000 600 500
人数 1 2 5 12 30 6
求该公司员工月工资的平均数、中位数和众数
解:平均数是1000, 众数是600,
中位数是600.
2.若数据80、81、79、68、75、78、x、82的众数是81，则
（ ）
A.x=79 B.x=80 C.x=81 D.x=82
3.“五一节”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天上山旅游
的人数统计如下表：其中中位数和众数分别是（ ）
A.1.2，2 B.2，2.5 C.2，2 D.1.2，2.5
C
C
4.某公司有15名员工，他们所在的部门及相应
每人所创的年利润（万元/人.年）如下表所示：
部门 A B C D E F G
人数 1 1 2 4 2 2 3
利润 20 5 2.5 2.1 1.5 1.5 1.2
根据表中提供的信息填空：
1、该公司每人所创年利润的平均数是（ ）
万元，中位数是（ ）万元，众数是（ ）万元.
2、你认为应该使用平均数还是中位数来描述该公司每人所
创年利润的一般水平？
3.2
2.1 1.5和2.1
中位数
选择合适的数
据代表
中位数
课堂
小结
众数
6.3 从统计图分析数据的集中趋势
第六章 数据的分析
学习目标
1.能从统计图中获取信息，并求出相关数据的平均数、
中位数、众数．（重点）
2.理解并分析平均数、中位数、众数所体现的集中趋
势．（难点）
导入
新课
体现各项的
具体数目
反映事物的变化
趋势
表示各部分所占
的百分比
我们学习过的统计图都有哪些？各自的特点呢？
讲授
新课 从统计图表分析数据的集中趋势
甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员，三队队员的
年龄情况如下图：
(1) 从图中可以看出：
甲队队员年龄的众数是 ，中位数是 ；
乙队队员年龄的众数是 ，中位数是 ；
丙队队员年龄的众数是 ，中位数是 .
20岁 20岁
19岁 19岁
21岁 21岁
(2)根据图表，你能大致估计出三支球队队员的
平均年龄哪个大、哪个小吗？你是怎么估计的？与
同伴交流.
答：丙队队员平均年龄最大，甲次之，乙最小.
(3)计算出三支球队队员的平均年龄，看看你
上面的估计是否准确？（分组进行计算）
答：甲、乙、丙三队队员的平均年龄依次是：
20岁、19.3岁、20.6岁.
例1：某地连续统计了10天日最高气温，并
绘制了扇形统计图.
（1）这10天中，日最高气温的众数是多少？
（2）计算这10天日最高气温的平均值.
解：（1）根据扇形统计图，35℃占的比例最大，因此
日最高气温的众数是35℃.
(2)这10天日最高气温的平均值是：
32×10％+33×20％+34×20％+35×30％+36×20
％=34.3(°C)
当堂
练习
1、数据2、7、3、7、5、3、7的众数是（ ）
A.2 B.3 C.5 D.7
2、一位经销商计划进一批运动鞋，他到某地的一所学校
里对八年级的100名男生的鞋号进行了调查，经销商最
感兴趣的是这组鞋号的（ ）
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.众数
D
D
3、某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩
（满分30分）依次为：25, 23,25,23,27,30,25，那
么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A.23,25 B.23,23 C.25,23 D.25,25
D
5. 某次射击训练中,一小组的成绩如下表所示：
解:有4人的成绩为8环
若该小组的平均成绩为7.7环，则成绩为8环的有多少人？
4、一组数据3,4,9，x，它的平均数比它唯一的众数大1，
则x= .4
从统计图分析数据
的集中趋势
折线统计图
课堂
小结
条形统计图
扇形统计图
6.4 数据的离散程度
第六章 数据的分析
学习目标
1.了解极差的意义，掌握极差的计算方法．（重点）
2.理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差
估计总体的方差、标准差．（重点、难点）
导入
新课
我们知道，接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐
划一，所以特注重队员的身高．下面有两组仪仗队，准
备抽取其中一组参与检阅．已知这两组仪仗队队员的身
高（单位：cm）如下：
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 177 179
乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
乙队甲队
你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
讲授
新课
极差
为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农
副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个
厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质相近.
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，质
量（单位：g）如下：
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质
量吗？
(2)在图中画出表示平均质量的直线.
解：(1)甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量大约是75g；
(2)直线如图所示.
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最
小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个
厂家的鸡腿？
解：甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g；
乙厂：最大值80g，最小值71g，相差9g；
解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个
体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们
还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离
情况.极差就是刻画数据离散程度的一个统计量.
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.
方差与标准差
如果丙厂也参与了竞争，从该厂也抽查20只鸡腿，
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
平均数:
极差:
(3)在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更
符合要求?为什么？
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差
距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其平
均数的差距
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这
组数据就越稳定.
2 2 22
1 2
1
ns x x x x x xn
其中， 是x1,,x2,……，xn的平均数，s2是方差，
而标准差就是方差的算术平方根.
x
例1:（1）分别计算出从甲、丙两厂抽取的20只鸡腿
质量的方差？
（2）根据计算的结果，你认为哪家的产品更符合
规格？
丙厂: 4.2
解：(1)甲厂: 2.5
（2）甲厂更符合规定.
当堂
练习
1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次
数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ，
, ，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班 B.乙班
C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
2.在样本方差的计算公式
中， 数字10 表示________ ，数字20表示 ______.
80 乙甲 xx
2 24s 甲
2 18s 乙
)20( 2...)20( 2
2)20( 1
2
10
12s xnxx
B
样本容量 平均数
3.数据－2，－1，0，1，2的方差是___，标准差是___ .
4.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五
个数的方差_____.
2
3
5.6
5.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞
赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成
绩（单位：分）如下：
甲的
成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的
成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
（1）填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上
的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90 0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的
成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是
90分，乙的成绩比甲好；
从方差看，s2甲=14.4， s2乙=34，甲的成绩比乙相对稳
定；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84
分，两人成绩一样好；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
数据的离散程度
极差
课堂
小结
方差
标准差
小结与复习
第六章 数据的分析
数据的分析
数据的一般水
平或集中趋势
数据的离散程
度或波动大小
平均数、
加权平均数
中位数
众数
方差
计
算
公
式
知识构架
数据的代表
平
均
数
定义 一组数据的平均值称为这组数据的平均数
算术
平
均数
一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么
叫做这n个数的平均数
加权
平
均数
一般地，如果在n个数x1，x2，…，xn中，x1出现f1
次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)
，那么，
叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2
，…，fk叫做x1，x2，…，xk的权，f1＋f2＋…＋fk＝n
知识梳理
最多
中间位置的数
两个数据的平均数
中
位
数
定义
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如
果数据的个数是奇数，则处于________________就是
这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间
_________________________就是这组数据的中位数
防错
提醒
确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大
小顺序排列，再确定
众
数
定义 一组数据中出现次数________的数据叫做这组数据的
众数
防错
提醒
(1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当一组数据中
出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据
的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来分析
数据的波动
平均数
大
表示波
动的量 定义 意义
方差
设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，
各数据与它们的______的差的平方
分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn
－x)2，我们用它们的平均数，即用
_____________________________
来衡量这组数据的波动大小，并把
它叫做这组数据的方差，记作s2
方差越大，数
据的波动越
________，反
之也成立
2 2 2
1 2
1 ( ) ( ) ( )nx x x x x xn
用样本估计总体
1．统计的基本思想：用样本的特征估计总体的特征．
2．统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析
已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因
素的影响．
1.下表是王勇家去年1-6月份的用水情况：
则王勇家去年1-6月份的月平均用水量为（ ）
A．3吨 B．3.5吨 C．4吨 D．4.5吨 C
当堂练习
解析：（3+4+3.5+3+4.5+6）÷6
=24÷6
=4（吨）．
故选C．
2.某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间，并绘制了如图所
示的折线统计图，则在体育锻炼时间这组数据中，众数和中位数分别是（
）
A．18，18 B．9，9 C．9，10 D．18，9 B
解析：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出
现18次为最多，所以众数是9．
把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以
中位数是9．
故选B．
3.要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用( )
A.条形统计图 B.扇形统计图
C.折线统计图 D.频数分布直方图
解析:因为折线统计图能反映数据的变化情况，所以选项C正确.
C
4.(邵阳中考)如图是某农户2015年收入情况的扇形统计图，已知他2015年的总收
入为5万元，则他的打工收入是( )
A.0.75万元 B.1.25万元
C.1.75万元 D.2万元
解析:5万元×25%=1.25万元.
B
5. 我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆门”知
识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格
，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的
条形统计图和成绩统计分析表如下所示，其中七年级代表队得6分、10分的选手
人数分别为a，b.
队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
七年级 6.7 m 3.41 90% n
八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10%
(1)请依据图表中的数据，求a，b的值；
(2)直接写出表中m，n的值；
(3)有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八
年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队
成绩好的理由．
(1)解：依题意，得
解得
(2)m＝6，n＝20%.
(3)①八年级队平均分高于七年级队；②八年级队的成绩比七年级
队稳定；③八年级队的成绩集中在中上游，所以支持八年级队成绩
好．(注：任说两条即可)
3×1+6a+7×1+8×1+9×1+10b=6.7×10
a+1+1+1+b=90％×10或1+a+1+1+1+b=10
a=5
b=1
6.为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进
行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，
制作了如下统计图表：
甲、乙射击成绩统计表
平均
数
中位
数 方差 命中10环的
次数
甲 7 0
乙 1
甲、乙射击成绩折线图
(1)请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图)；
(2)如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样
的评判规则？为什么？
解：(1)根据折线统计图，得乙的射击成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，
9，10，
平均数为 (环)
中位数为7.5环，
方差为 [(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－
7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝5.4.
根据折线统计图，知甲除第八次外的射击成绩为9，6，7，6，2，7，7，
8，9，平均数为7，
则甲第八次成绩为70－(9＋6＋7＋6＋2＋7＋7＋8＋9)＝9(环)，所以甲
的射击成绩为2，6，6，7，7，7，8，9，9，9，
中位数为7环，平均数为(2＋6＋6＋7＋7＋7＋8＋9＋9＋9)＝7(环)，
方差为[(2－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－
7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2]＝4.
补全图表如下．
甲、乙射击成绩统计表
平均数 中位数 方差 命中10环的次数
甲 7 7 4 0
乙 7 7.5 5.4 1
甲、乙射击成绩折线图
(2)甲胜出．理由：因为甲的方差小于乙的方差．
(3)略.
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