北师大版七年级数学上册第五章一元一次方程

5.1 认识一元一次方程 第五章 一元一次方程 第1课时 一元一次方程 1．能够根据实际问题建立一元一次方程的数学模 型，感受方程解决实际问题的意义． 2．理解、归纳一元一次方程的概念，掌握并理解 方程的解的概念． 【学习重点】 一元一次方程的概念和根据实际问题列出方程． 【学习难点】 从实际问题中寻找等量关系，根据等量关系列出 方程． 学习目标 你能用方程求 出丢番图去世时 的年龄吗？ 导入新课 一元一次方程的概念与一元一次方程的解一 合作探究 小敏，我能 猜出你年龄. 小敏 不信 你的年龄乘2减 5得数是多少？ 你今年13岁 21 她怎么知道 我的年龄是13 岁的呢？ 如果设小敏的年龄为x岁，那么“乘2再减5”就 是 ，因此可以得到方程： .2x－5 2x－5=21 小颖种了一棵树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种 后每周树苗长高约15厘米，大约几周后树苗长高到1米？ 40cm 100cmx周后 如果设x周后树苗长高到1m，那么可以得到方 程： .40+15x=100 某长方形操场的面积是5850 m2，长和宽之差 为25 m，这个操场的长与宽分别是多少米？ 如果设这个操场的宽为 x m，那么长为 (x＋25) m， 由此可以得到方程： .x(x＋25)＝5850 x m (x+25) m 议一议 (1)在上面得到的方程中有没有你熟悉的方程？它们是 哪几个？ (2)方程2x－5＝21，40＋5x＝100，有什么共同特点？ (3)满足什么条件的方程是一元一次方程？ (4)想一想：方程 和x(x＋25)＝5850是一 元一次方程吗？ 22 22 1 1 5x x    一元一次方程的定义 在一个方程中，只________________，而且 方程中的代数式都是整式，______________都是1， 这样的方程叫做一元一次方程. 含有一个未知数 未知数的指数 做一做 判断下列各式是不是一元一次方程. ①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1； ⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦ ；⑧πx＝12.2 7 4 x   ①含有一个未知数； ②未知数的指数是1； ③方程中的代数式都是整式. 判断一个方程是一元一次方程， 化简后必须满足三个条件： √ √ √√ 典例精析 例1 若关于x的方程2xm－3＋4＝7是一元 一次方程，求m的值. 解：根据一元一次方程的定义可知 m－3 =1， 所以 m =4. 练一练 若8xa－1＋5＝0是关于x的一元一次 方程，则a的值为_____．2 在“猜年龄”游戏中，当被告知计算的结 果是21时，我们所列的方程为2x－5＝21，从而 求出年龄是13.由于13能使方程的两边相等，我们 就把13叫做方程2x－5＝21的解. 方程的解的定义 使方程左、右两边的值相等的未知数的值， 叫做方程的解． 例2 检验x＝1是不是下列方程的解． (1)x2－2x＝－1；(2)x＋2＝2x＋1. [解析] 根据方程的解的概念，把x＝1代入方程中， 看两边是否相等． 解：(1)把x＝1代入方程，左边＝12－2×1＝－1，右 边＝－1，左边＝右边，所以x＝1是方程x2－2x＝－1的解． (2)同(1)一样的方法可得x＝1是方程的解． [归纳总结] 要判断一个数是否是某个方程的 解，根据“方程的解”的定义，只要用这个数代替 方程中的未知数，看方程左右两边的值是否相等， 如果“左边＝右边”，那么这个数就是方程的解， 反之，这个数就不是方程的解． 练一练 1.下列方程中，解为x＝－2的是(  ) A.3x－2＝2x B．4x－1＝2x＋3 C.3x＋1＝2x－1 D．5x－3＝6x－2 C 2.若x＝4是关于x的方程a x＝8的解，则a的值为______.2 根据实际问题列一元一次方程二 例3 根据下列问题，设未知数并列出方程 (1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形， 正方形的边长是多少？ 4 24x  解：设正方形的边长为x cm. 等量关系：正方形边长×4=周长. 列方程： x (2)一台计算机已使用1700 h，预计每月再使 用150 h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规 定的检修时间2450 h？ 解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450 h 等量关系：已用时间+再用时间=检修时间. 列方程： .1700 150 2450x  列方程的一般步骤： (1)设字母表示未知数； (2)找出问题中的等量关系； (3)列出含有未知数的等式——方程． [归纳总结] 练一练 1.小悦买书花费48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸 币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程 正确的是(  ) A．x＋5(12－x)＝48 B．x＋5(x－12)＝48 C．x＋12(x－5)＝48 D．5x＋(12－x)＝48 A 2．在一次有12个队参加的足球循环赛(每两队之 间需比赛一场)中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负 一场记0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多 两场，结果积18分，则该队负了几场？设该队所负场数 为x场，则所胜场数为__________场，平__________场， 根据题意列方程为____________________________．  (9－2x)(x＋2)  3(x＋2)＋(9－2x)＝18 1.下列各式中，是一元一次方程的有________(填序号). (1) x/3＋8＝3；(2) 18－x；(3) 1＝2x＋2； (4) 5x2＝20；(5) x＋y＝8；(6) 3x＋5＝3x＋2. 2.x＝2________方程4x－1＝3的解．(填“是”或“不是”) 3.小刚准备用自己节省的零花钱购买一台MP4来学习英语， 他已存有50元，并计划从本月起每月节省30元，直到他有 260元．设x个月后小刚有260元，则可列出计算月数的方程 为(  ) A.30x＋50＝260      B．30x－50＝260 C.x－50＝260        D．x＋50＝260 (1)(3) 不是 A 4.若方程(a＋6)x2＋3x－8＝7是关于x的一元一次 方程，则a＝________. 5.若关于x的方程(k－2)x|k－1|+4=0是一元一次方程， 则k＝____. －6 0 认识一元 一次方程 一元一次方程的定义 {方程的解 列一元一次方程 课堂小结 5.1 认识一元一次方程 第2课时 等式的基本性质 掌握等式的基本性质，能利用等式的基本性质解 简单的一元一次方程． 【学习重点】 理解和应用等式的性质． 【学习难点】 应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x＝ a”． 学习目标 情境引入 思考：要让天平平衡应该满足什么条件？ 等式的基本性质一 合作探究 1.对比天平与等式，你有什么发现？ 把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平 两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡. 等式左边 等式右边 等号 2.观察天平有什么特性？ 天平两边同时加入相同质量的砝 码 天平仍然平衡 天平两边同时拿去相同质量的砝码 天平仍然平衡 等式的基本性质1: 天平两边同时 天平仍然平衡 加入 拿去 相同质量的砝码 两边同时 相同的 等式 加上 减去 代数式 结果仍是等式 换言之， 等式两边同时加(或减)同一个代数 式，所得结果仍是等式. 若a=b,则 a±c=______b±c符号语言： 由天平性质看等式的基本性质2 等式两边同时乘同一个数(或除以同一 个不为零的数)，所得结果仍是等式. 等式的基本性质2： 若a=b,则ac =______bc 若a=b(c≠0),则 c ___ ___ a b  c c 符号语言： 做一做  在横线上填写适当的代数式，并说明是根据 等式的哪一条性质. (1)若x＋2＝y＋2，则x＝________(    )； (2)若4x＝－8，则x＝________(    )； (3)若5x＝2x＋2，则3x＝________(    ). y 性质1 －2 性质2 2 性质1 典例精析 [解析] 由于等式两边乘同一个式子，结果仍相 等，故②正确；在等式两边除以同一个式子，只有当这个 式子不等于0时，等式两边才相等，而a可能为0，故①错误， 因此选B. B 练一练 B 利用等式的性质解方程二 解：(1)方程两边同时减2，得 x＋2－2＝5－2， 于是 x＝3. (2)方程两边同时加5，得 3＋5＝x－5＋5， 于是 8＝x. 即 x＝8. 方程的解，最 后结果要写成 x=a的形式！ 解：(3)方程两边同时除以－3，得 化简，得 x＝－5. 3 15 3 3 x    (4)方程两边同时加2，得 化简，得 2 2 10 2 3 n      12 3 n   方程两边同时乘－3，得 n＝－36. 练一练 1. 如图所示，天平右盘里放了一块砖，左 盘里放了半块砖和2 kg的砝码，天平两端正好平衡， 那么一块砖的质量是(  ) A.1 kg    B．2 kg C.3 kg  D．4 kg D 2.如果代数式8x－9与6－2x的值互为相反数， 那么x的值为________.1/2 解方程3x－3＝2x－3.小胡同学是这样解的： 议一议 小胡同学的解题过程是否正确？如果正确，指出 每一步的理由；如果不正确，指出错在哪里. 方程两边都加上3，得3x＝2x. 方程两边都除以x，得3＝2. 所以此方程无解. 加10 等式基本性质1 乘－3 等式基本性质2 －9/8 D D 当堂练习 解：(1)x=3；(2)1/5. 等式的基本性质 等式的基本性质 { 利用等式的基本性 质解一元一次方程 课堂小结 5.2.1 求解一元一次方程 学习目标 1．通过具体的例子，归纳移项法则． 2．运用移项法则解一元一次方程． 【学习重点】 会利用移项法则解一元一次方程． 【学习难点】 移项一定要改变符号． 等式的两边都加上(或减去)同一个数或 同一个式子，所得的结果仍是等式． 等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不 为零)，所得的结果仍是等式． 知识回顾 1、利用等式的性质解下列方程： （1） 5x – 2 = 8 . （2）3x=2x+1 2、自学课本内容，独立完成下列各题： （1）用你自己的语言描述：什么是移项？ （2）移项的依据是什么？移项应注意什么问题？ （3）下面的变形是移项吗？从x+5=7，得到5+x=7 （4）移项与交换两项的位置的区别是什么？ 自主预习 3、尝试用移项法解例1、例2，回答下列问题： （1）移项时，通常把 移到 等号的左边； 把 移到等号的右边。 （2）移项应注意什么问题？ 。 （3）解这样的方程可分三步： 第一步： ; 第二步： ; 第三步： ; 自主预习 解方程：5x－2＝8 解：方程两边都加上2，得 5x＝8＋2 __________ __________ 解方程 3x＝2x＋1 解：方程两边同时减去2x，得 _______________ ___________ 5x－2＋2＝8＋2 5x＝10 x＝2 3x－2x＝2x＋1－2x 即3x－2x＝1 化简，得x＝1 自主探究 5x － 2 ＝8 5x＝8 ＋ 2 3x= 2x + 1 3x - 2x=1 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到 另一边，这种变形叫移项。 移项的依据是什么？移项时，应注意什么？ 移项的依据是等式的基本性质 移项应注意：移项要变号 例题精讲 解：(1)移项，得 2x=1－6. 化简，得 2x=－5. 方程两边同除以2，得 x = . (2)移项，得 3x－2x=7－3. 合并同类项，得 x=4. 5 2  例1 解下列方程： (1) 2x+6=1; (2)3x+3=2x+7; 尝试用移项法解例1、例2，回答下列问题： （1）移项时，通常把 移到 等号的左边； 把 移到等号的右边。 （2）移项应注意什么问题？ 。 （3）解这样的方程可分三步： 第一步： ; 第二步： ; 第三步： ; 含有未知数的项 常数项 移项要变号 移项 合并同类项 系数化为1 归纳 １．下面的移项对不对？如果不对，应当怎样改正？ （１）从５＋ｘ＝１０，得ｘ＝１０＋５ （２）从３ｘ＝８－２ｘ，得３ｘ＋２ｘ＝－８ ２．下面方程的解法对吗？如果不对，应怎样改正？ 解方程 -2x + 5=4 - 3x 移项，得 ３ｘ－２ｘ＝４＋５ 合并同类项，得 ｘ＝９  ３ｘ－２ｘ＝４－５ Ｘ＝－１         随堂练习 1.3x+7=2－2x，移项,得3x－2x=2－7． 2.化简：2x+8y－5x =2x+5x－8y =7x－8y． 找一找，错在何处？ 错 正确答案：3x+2x=2－7． 错 正确答案：2x+8y－5x=2x－5x＋8y = －3x＋8y． Ø化简多项式交换两项位置时不改变项的符号； Ø解方程移项时必须改变项的符号． 随堂练习 1．理解移项法则，准确进行移项； 2．能用移项的方法求解简单的一元一次方程。 小结与收获 1.   ：一般地,把方程中的某些项改变符 号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫 做移项。 3.移项要改变符号. 2.解一元一次方程需要移项时我们把含未知数 的项移到方程的一边（通常移到左边），常数 项移到方程的另一边（通常移到右边）． 移项 知识梳理 作业布置 解下列方程:4|x|-3=6. 方程两边同时除以4， 得： 解：移项，得： 合并，得： 4|x|=6+3. 4|x|=9. 9| | 4 x  9 . 4 x  所以 5.2.2 求解一元一次方程（二） 去括号 知识回顾 (1) 3x+3=2x+7 移项，得 解: 3x–2x=7–3 合并同类项 ,得x =4; (1) 移项实际上是对方程两边进行 , 使用的是等式的性质 ; 同加减 1 (2) 系数 化为 1 实际上是对方程两边进行 , 使用的是等式的性质 . 同乘除 2 含未知数的项宜向左移、常 数项往右移。 左边对含未知数的项合并 右边对常数项合并。 知识回顾 1 听 果 奶 多 少 钱 ？ 如果设1听果奶x 元，可列出方程： 4(x+0.5)+x=20-3 自主探究 1.这个方程列得对吗？为什么？你还能列出不同  的方程吗？ 2.怎样解所列的方程？ 4(x+0.5)+x=20-3 方程中有括号怎么办? 自主探究 例 3 解方程：4(x+0.5)+x=17。 解：去括号，得：   移项，得： 合并同类项，得： 方程两边同时除以5，得： 4x + 2 + x =17 4x + x =17—2 5x = 15 x=3 ——先去括号 想一想 方程中有括号怎么办? 例4 解方程: -2(x—1)=4. 解法一：去括号，得：   移项，得： 方程两边同除以-2，得： -2x+2=4 -2x=4-2 x=-1 解法二：  移项，得： 即： 方程两边同除以-2，得： X-1=-2 X=-2+1 X=-1 化简，得： -2x=2 例题精讲 本节课你的收获是什么？   这节课我们学习了解一元一次方程的 移项、去括号、合并同类项。 移项实际上是我们早已熟悉的利用等式的性质1 “对方程两边进行同加同减”，只不过在格式上更为简捷。 移项是把项从方程的一边移到另一边。 项移动时一定要变号。 去括号、合并同类项也是我们早已熟悉的。 去括号、合并同类项都是分别在方程的同一边进行的。 去括号时务必看清括号前有无非1 的系数、有无负号。 并注重去括号的法则的准确使用。 知识梳理 1.解方程： 2(x-2)-6(x-1)=3(1-x) 2.如果代数式5x-7与4x+9的值互为相反数，求x的值。 创新提高 5.2.3 求解一元一次方程（三） 学习目标 掌握去分母解方程的方法，会归纳出解方程 的一般步骤． 【学习重点】 去分母解一元一次方程． 【学习难点】 去分母过程中避免漏乘以及要适当地添括 号． 2.解方程：6x-7=4(x-1). 去括号 合并同类项 系数化为1 6x－4x=-4＋7 2x=3 X=1.5 1、代数式7x∕3，x+1∕2与的分母的最小公倍数是 代数式5x∕6，与x-1∕5的分母的最小公倍数是 6 30 一元一次方程的解法我们学了哪几步？ 移项 6x-7=4x-4. 自主探究 例1、解方程: 移项,合并同类项, 得 -3=3x∕28 ).20( 4 1)14( 7 1  xx 解:去括号, 得 x∕7+2=x∕4+5 两边同除以3∕28（或同乘=28∕3 ）得x=-28 自主探究 去分母的依 据是什么? 解:去分母两边同时乘以28, 得 4(x+14)=7(x+20)． ).20( 4 1)14( 7 1  xx 例1、解方程： 等式两边同时乘以28 （等式性质二） 去括号, 得 4x+56=7x+140． 移项,合并同类项, 得 -3x=84． 系数化为1, 得 x=-28． 去分母的方法: 首先找分母的最小公倍数，把方程两边 同时乘以最小公倍数，从而消去分母 3 4 2 3)1(    xx )32( 7 1)1( 3 1)2(  xx 1、解下列方程 解分别为： （1）x=0.5 (2)x=-16 随堂练习 解一元一次方程有哪些步骤？ •1、去分母 •2、去括号 •3、移项 •4、合并同类项 •5、未知数系数为1，转化成x=a的形式 思考：解一元一次方程 是否一定要按照上面的 步骤呢？ 归纳总结 •去分母的注意点是什么？ 1、去分母时等式两边各项都要乘以最小公 倍数，不可以漏乘。 2、如果分子是含有未知数的代数式，其作 为一个整体应加括号。 总结反思 例2、解方程: 解:去分母, 得 6(x+15) =15-10(x-7) 移项、合并同类项得16x=-5 7)(x 3 1 2 115)(x 5 1  等式两边同时乘以2、 3、5的最小公倍数 去括号得6x+90 =15-10x+70 两边同时除以16得 x=-5\16 例题精讲 解下列方程： 1 2(1) 1 2 2 4 x x     解：去分母，得 2(x+1) －4=8+ (2 －x) 去括号，得 2x+2 －4=8+2 －x 移项，得 2x+x =8+2 －2+4 合并同类项，得 3x = 12 系数化为1，得 x = 4. 随堂练习 • 这节课你学到了什么？ • （1）怎样去分母？ 应在方程的左右两边都乘以各分母的最小公倍数。 • （2）去分母的依据是什么？ 等式性质2 • （3）去分母的注意点是什么？ 1、去分母时等式两边各项都要乘以最小公倍数， 不可以漏乘。 2、如果分子是含有未知数的代数式，其作为一个 整体应加括号。 • （4）解一元一次方程的一般步骤是什么？ 1.去分母 →2.去括号→ 3.移项→ 4.合并同类项 → 5.系数化为1 解题时，需要采用灵活、合理 的步骤，不能机械模仿！ 知识梳理 1.把 =1去分母后,得到的 ___________. 2.解方程 =1时,去分母后,正 确的结果是 ( ). A.4x+1-10x+1=1 B.4x+2-10x-1=1 C.4x+2-10x-1=6 D.4x+2-10x+1=6 x x-3  2 3 2x+1 x+1  10 3 6 3x-2(x-3)=6 C 达标测试 3 2 1 1) 1 2 3 2 x     解 方 程 ： （ 除了去分母,你有另外的方法吗? 达标测试 5.3 应用一元一次方程— ——我变高了 学习目标 1．通过分析几何问题中的数量关系，建立 方程解决问题． 2．进一步体会运用方程解决问题的关键是 找出等量关系． 【学习重点】 分析图形问题中的数量关系，熟练地列方程 解应用题． 【学习难点】 从实际问题中抽象出数学模型的教学过程． 钢铁工人正在锻造车间工作 引入新课 引入新课 因此，高变成了 厘米 解：设水箱的高为xm,填写下表： 旧水箱 新水箱 底面半径 高 容积 2米 1.6米 4米 X米 × 22×4 旧水箱容积=新水箱容积 × 1.62 × x  根据等量关系，列出方程： 解得： X=6.25 6.25 列方程时，关键是 找出问题中的等量关系。 × 22×4 × 1.62 × x= 自主探究 小明想用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. （1）使得这个长方形的长比宽多1.4米， 此时长方形的长、宽各为多少米？ (2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形 的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1） 中所围成的长方形相比、面积有什么变化？ (3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形， 此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2） 中相比又有什么变化？ 小 明 小明想用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. （1）解：设此时长方形的宽为x米， x+x+1.4=10÷2 2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米 则它的长为（x+1.4）米， 根据题意，得 解：设此时长方形的宽为x米， x+x+0.8=10÷2 2x=4.2 x=2.1 长方形的长2.1+0.8＝2.9 则它的长为（x+0.8）米， 根据题意，得 ∴长方形的长为2.9米，宽为2.1米， S=2.9×2.1＝6.09米2， （1）中的长方形围成的面积：3.2×1.8＝5.76米2 比（1）中面积增大6..09－5.76＝0.33米2 X X+0.8 小明想用一根长为10米的 铁丝围成一个长方形. 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。 解：设此时正方形的边长为x米， 根据题意，得 x+x=10÷2 x=2.5 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2 X 正方形的边长为2.5米， S=2.5×2.5＝6.25 米2  同样长的铁丝围 成怎样的四边形面 积最大呢？ 面积：1.8 × 3.2=5.76 面积： 2.9 ×2.1=6.09 面积： 2.5 × 2.5 =6. 25 围 成 正 方 形 时 面 积 最 大 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的 饰物，如图实线所示。小颖将梯形下底的 钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 如图虚线所示。小颖所钉长方形的长、宽 各为多少厘米？ 6 6 10 10 10 10 随堂练习 分析：等量关系是 变形前后周长相等 解：设长方形的长是 x 厘米。 则 26410)10(2 x 解得 16x 因此，小影所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米。 6 6 10 10 10 10 1、通过体会几何问题中的数量关系的问题情境， 体会不变的量-----圆柱的体积、长方形的周长 等。 2、通过对实物的具体操作，找出问题中的数量 关系并用字母表示它们； 3、通过交流、讨论，根据不变量确定等量关系， 列出方程并正确求解。 知识梳理 小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个 鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他爸爸 围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？ 铁线 墙面 x X+4 拓展延伸 若小明用10米铁线在墙边围成一个 长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在 宽的一边有一扇1米宽的门，那么， 请问小明围成的鸡棚的长和宽又是 多少呢？ 门 墙面 铁线 思考： 5.4 应用一元一次方程 ——打折销售 学习目标 1．理解商品销售中所涉及的进价、标价、售价、 利润及利润率的含义． 2．能根据商品销售问题中的数量关系找出等量 关系，列出方程． 【学习重点】 了解商品销售中相关概念的含义，通过分析打 折销售中的数量关系，利用成本、售价、标价、 利润、利润率之间的关系，列方程解决实际问 题． 【学习难点】 理解销售问题中打折的意义． 知识回顾 1.进价100元的商品提价40%后，标价为________元， 若按标价的八折销售，则售价为________元，此商 品的利润为________元，利润率是________. 2.某商品原价是a元，现在每件打九折销售，则此时 的售价是    元. 3.一件商品打x折出售，就是用原价乘    .      140 112 12 12％ 10 x 0.9a 填空： 1.进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价） 2.售价：在销售商品时的售出价（有时也叫成交价，卖出价） 3.标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价） 4.利润：在销售商品的过程式中的纯收入，在教材中，我们就 规定 ： 利润 = 售价 - 进价 5.利润率：利润占进价的百分率，即 利润率 = 利润÷进价×100﹪ 6.打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称 将标价进行了几折.或理解为：销售价占标价的百分率. 例如某种服装打 8 折即按标价的百分之八十出售 新课导入 进价 减利润 售价 加提高价 标价 乘以打折数 商品利润 = 商品售价—商品进价 商品售价 = 商品标价X 折扣 商品售价 = 成本 + 利润 = 成本（1+利润率） 进价、标价、售价之间关系 知识回顾 打折销售现场 1.小明买了一件毛衣和 鞋垫，毛衣一件200元， 鞋垫50元，按店内优 惠活动购买，实际花 多少钱？（注意图片 右下角） 自主探究 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又 以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装 每件的成本是多少元？ 分析： 如果设每件服装的成本价为x元 成本价 标价 售 价 售价-成本价 利润 自主探究 例1： 商店对某种商品作调价，按原价的八折 出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价 为1600元。求商品的原价。 类型一 求原价 配套练习： 某商品的进价为250元，按标 价的九折销售时，利润率为15.2%，商 品的标价是多少？ 例题精讲 例2：某商品标价是2200元，按此标价的八折 出售，利润率为10%。求此商品的进价。 类型二 求进价 类型三 求折数 例3：已知某商品的进价为1600元，标价为2200 元，折价销售时的利润率为10%。问此商品是按 几折销售的？ 思考题1某商品进价是1000元，标价为1500元， 商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售， 售货员最低可以打几折出售此商品？ 一件夹克按成本价提高50%后标价，后 因季节关系按标价的8折出售，每件以 60元卖出，这批夹克每件的成本价是多 少元？ 随堂练习 •用一元一次方程解决 实际问题的一般步骤 是什么？ 议一议 做 答 检 验 解 方 程 列 方 程 设 未 知 数 找 等 量 关 系 审 题 议一议：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 实际问题 数学问题 已知量、未知 量、等量关系 方程方程的解解的合理性解释 抽象 分析 列出 求出验证 不合理 合理   1.通过对打折销售问题的探讨研究，我们知 道成本、标价、售价、打折、利润、利润率,等概念 的含义. 2.用一元一次方程解决实际问题的关键： (1)仔细审题. (2)找等量关系. (3)解方程并验证结果. 3.明确了用一元一次方程解决实际问题的一 般步骤是什么. 知识梳理 1）商品利润 = 商品售价 — 商品进价 小结与目标回顾 1、进价、售价、利润、利润率关系式 3）求折扣数 4）求进价 2、有关题型： 1）求利润率 2）求标价 商品利润 商品进价 商品利润率= 2） ×100% 5.5 应用一元一次方程 ——“希望工程”义演 学习目标 1．通过分析复杂问题的已知量和未知量之间的 等量关系，从而建立方程模型解决实际问题． 2．掌握应用一元一次方程解决实际问题的一般 步骤． 【学习重点】 找出问题中的条件和要求的结论，并找出等量 关系，列出方程，解决实际问题． 【学习难点】 找等量关系． •列方程解应用题的一般步骤是什么？ 一、审题、设元 二、找等量关系 三、列方程 四、解方程 五、检验、写答语 知识回顾 某文艺团体为“希望工 程”募捐组织了一场义 演,共售出1000张票,筹 得票款6950元.成人票 与学生票各售出多少张? 自主预习 该问题中包含了哪些等量关系? 成人票数+学生票数=售出的票数 1000张 成人票款+学生票款=所得票款 6950元 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演, 共售出1000张票,筹得票款6950元.成人票与学生票 各售出多少张? （已知成人票8元每张，学生票5元 每张） 设售出的学生票为x张, 学生 成人 票数(张) 票款(元) x 5x 8×(1000-x) 1000-x 根据等量关系2,可列出方程: ________________________ 解得x=______ 因此,售出成人票_______张,学生票______张. 5x+8×(1000-x)=6950 350 650 350 1、成人票数+学生票数=售出的票数 1000张 2、成人票款+学生票款=所得票款 6950元 自主探究 设所得的学生票款为y元, 学生 成人 票数(张) 票款(元) y 6950-y 根据等量关系1,可列出方程: ____________________________ 解得y=______ 因此,售出成人票_______张,学生票______张. 1750 650 350 1、成人票数+学生票数=售出的票数 1000张 2、成人票款+学生票款=所得票款 6950元 设售出的学生票为x张, 根据等量关系2,可列出方程: ________________________5x+8×(1000-x)=6950 根据等量关系1,可列出方程: ___________________________ 设所得的学生票款为y元, 自主探究 如果票价不变,那么售出1000张票所得票款可能是 6930元吗?为什么? 成人票数+学生票数=售出的票数 1000张 成人票款+学生票款=所得票款 6930 元 1 2 想一想 自主探究 设售出的学生票为x张, 根据等量关系2,可列出方程: ________________________ 解得x=___________ 5x+8×(1000-x)=6930 不符合题意,所以 售出1000张票所得票款 不可能是6930元. 用一元一次方程解决实际问题的一般 步骤是什么？ 实际问题 数学问题 已知量、未知量、 等量关系 方程 方程 的解 解的 合理性 解释 抽象 分析 列 出 求 出 验证合理 不 合 理 自主归纳  1.小明用172元钱买了两种书，共10本，单价分 别为18元、10元，每种书小明各买了多少本？ 解:设单价为18元的书x本,则买了单价为10元的  书(10-x)本, 根据题意得: 18x+10(10-x)=172  解得x = 9 ,因此,单价为18元的书呆有9本,单 价为10元的书有1本. 随堂练习 一个书架宽88厘米,某一层上摆满了第 一册的数学书和语文书,共90本.小明量得 一本数学书厚0.8厘米,一本语文书厚1.2厘 米.你知道这层书架上数学书和语文书各有 多少本吗? 等量关系: 2.数学书总厚度+语文书总厚度 =书架宽88厘米 1. 数学书册数+语文书册数=90本 随堂练习 解: 设这层书架上摆放了数学书x册, 则根据等量关系2,可列方程: 0.8x+1.2(90-x)=88 0.8x+108-1.2x=88 -0.4x=-20 解得x=50 90-50=40 答:这层书架上摆放了50本数学书、40本语文书. 数学书 语文书 册数(册) x 总厚度(厘米) 设书架上摆放了x册数学书, 90-x 0.8x 1.2×(90-x) 把99拆成4个数,使得第一个数加2,第2个数 减2,第三个数乘2,第四个数除以2,得到的结 果都相等,应该怎样拆? 第一个数 第二个数 第三个数 第四个数 和 •2 设第一个数为x •1 设得到的相同的结果为x x X+4 2(X+2) X+2 2 X-2 X+2 2X 试一试 99 99 通过仔细审题,找到等量关系,学会借助表格分 析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决 实际问题,并能够根据实际问题判断解的合理 性. 知识梳理 1、某服装商店以135元的价格售出两 件衣服，按成本计算，第一件盈利25 %， 第二件亏损25 %，则该商店卖这两件衣服 总体上是赚了，还是亏了？ 这二件衣服的成本价会一样吗？ 算一算？ 拓展提高 解：设第一件衣服的成本价是X元， 则由题意得：（1+25%)x=135 解这个方程，得：X=108。 则第一件衣服赢利：135－108=27。 设第二件衣服的成本价是y元， 由题意得：y ·（1－25%）=135 解这个方程，得：y=180。 则第二件衣服亏损：180－135=45 总体上约亏损了：45－27=18（元） 因此，总体上约亏损了：18元。 5.6 应用一元一次方程 ——能追上小明吗 学习目标 1．能借助“线段图”等方法分析行程类问题 中的数量关系，从而列方程解应用题． 2．进一步体会方程模型的作用，发展分析问 题、解决问题的能力． 【学习重点】 找出追及问题中的条件和要求的结论，并找出 等量关系，列出方程，解决实际问题． 【学习难点】 借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系． 行程问题中常用的数量关系： 路程=速度×时间 =路程 速度 时间 = 路程 时间 速度 知识回顾 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学。 小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现 他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度去 追小明。 小明从家到校时间：1000÷80＝12.5(分钟) 爸爸从家到校时间＋5 < 小明从家到校时间 爸爸从家到校时间：1000÷180＝ (分钟)9 50 所以，爸爸能在途中追上小明 自主预习 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上 学。小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸 爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min 的速度去追小明，并且在途中追上了他。 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 自主探究 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上 学。小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸 发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的 速度去追小明，并且在途中追上了他。 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 180x 80×5 80x 等量关系：小明所用时间=5+爸爸所用时间； 小明走过的路程=爸爸走过的路程. 80×5＋80x=180x 等量关系：甲的路程=乙的路程； 甲的时间=乙的时间＋时间差. 追及问题—同向不同时 甲先走，乙后走； 小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小 强每秒跑6米 。 （1）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他 前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上 小彬？ 请用线 段图表 示！ 随堂练习 追及问题—同向同时 等量关系：甲的时间=乙的时间； 乙的路程=甲的路程＋起点距离. 甲在前，乙在后 小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4 米，小强每秒跑6米 。 （2）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑， 那么几秒后两人相遇？ 小明所跑的路程 小彬所跑的路程 小 强 小 彬 + =100小强所跑的路程 小彬所跑的路程 100米 相 遇 等量关系：甲所用时间=乙所用时间； 甲的路程＋乙的路程=总路程. 相遇问题—相向而行 ①追及问题：男跑路程AC－女跑路程BC＝相距路程AB ②相遇问题：男跑路程AC＋女跑路程BC＝相距路程AB 想一想 （1）从时间考虑： 速度慢的用时－速度快的用时＝多用的时间 （2）从路程考虑： 速度快的行程－速度慢的行程＝两者的距离 一、行程问题中的基本等量关系为： 路程=速度×时间 二、一般可从两个方面寻找追及问题中的等量关系： 三、解决路程问题的关键是… …，方法是…… 知识梳理 v 解决路程问题的关键是什么？ v 找出等量关系的重要方法是： 找出等量关系，列出方程。 画线段图。 议一议： 育红学校七年级学生步行到郊外旅行。 （1）班的学生组成前队，步行速度为4千米/时， （2）班的学生组成后队，速度为6千米/时。前队出 发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑 自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车 的速度为12千米/时。 根据上面的事实提出问题并尝试去解答. 拓展提高 问题1：后队追上前队用了多长时间 ？ 问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？ 问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？ 问题4：当后队追上前队时，前、后队行走了多少路程？ 问题5：联络员在前队出发多少时间后第一次追上前队？ ……………… 议一议： 育红学校七年级学生步行到郊外旅行。（1）班的 学生组成前队，步行速度为4千米/时，（2）班的学生 组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队 才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间 不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 根据上面的事实提出问题并尝试去解答. 问题1：后队追上前队用了多长时间 ？ 解：设后队追上前队用了x小时，由题意得： 6x = 4x + 4 解方程得：x =2 答：后队追上前队时用了2小时。 议一议： 育红学校七年级学生步行到郊外旅行。（1）班的 学生组成前队，步行速度为4千米/时，（2）班的学生 组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队 才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间 不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 根据上面的事实提出问题并尝试去解答. 问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？ 解：由问题1得后队追上前队用了2小时，因此 联络员共行进了 12 × 2 = 24 （千米） 答：后队追上前队时联络员行了24千米。 议一议： 育红学校七年级学生步行到郊外旅行。（1）班的 学生组成前队，步行速度为4千米/时，（2）班的学生 组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队 才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间 不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 根据上面的事实提出问题并尝试去解答. 问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？ 解：设联络员第一次追上前队时用了x小时，由题意得: 12x = 4x + 4 解方程得：x =0.5 答：联络员第一次追上前队时用了0.5小时。 议一议： 育红学校七年级学生步行到郊外旅行。（1）班的 学生组成前队，步行速度为4千米/时，（2）班的学生 组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队 才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间 不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 根据上面的事实提出问题并尝试去解答. 问题4：当后队追上前队时，他们已经行进了多少路程？ 解：设当后队追上前队时，他们已经行进了x千米， 由题意得： 4 1 6 xx  解得； x = 12 答：当后队追上前队时，他们已经行进12千米. 议一议： 育红学校七年级学生步行到郊外旅行。（1）班的 学生组成前队，步行速度为4千米/时，（2）班的学生 组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队 才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间 不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 根据上面的事实提出问题并尝试去解答. 问题5：联络员在前队出发多少时间后第一次追上前队？ 解：设联络员在前队出发x小时后第一次追上前队， 由题意得: 答：联络员在前队出发后1.5 小时后第一次追上前队. 4x = 12（x - 1） 解方程得： x = 1.5 议一议： 育红学校七年级学生步行到郊外旅行。（1）班的 学生组成前队，步行速度为4千米/时，（2）班的学生 组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队 才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间 不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 根据上面的事实提出问题并尝试去解答.