4.1 线段、射线、直线
第四章 基本平面图形
1．在现实情境中理解线段、射线、直线等简单图形．
2．会说出线段、射线、直线的特征；会用字母表示线
段、射线、直线．
3．通过操作活动，了解两点确定一条直线等事实．
【学习重点】
线段、射线与直线的概念及表示方法．
【学习难点】
直线的性质的发现、理解及应用．
学习目标
绷紧的琴弦，手电筒射出的光线，向两
方无限延伸的笔直的铁轨等，它们可以分别
抽象出哪些简单的平面图形呢？
线段、射线、直线一
合作探究
预习教材第106页的内容，并完成下
表：
线段AB
或线段a
不能延伸 两个 能
射线OA 一方延伸 一个 否
直线AB
或直线m
两方延伸 没有 否
例1 如图所示，下列说法正确的是( )
A．直线AB和直线CD是不同的直线
B．射线AB和射线BA是同一条射线
C．线段AB和线段BA是同一条线段
D．直线AD＝AB＋BC＋CD
典例精析
[解析] 在直线上任意两个大写字母都可
以表示这条直线，所以A错；表示射线时，第一
个字母表示射线的端点．端点字母不同，射线必
然不同，所以B错；直线无长短，所以D错．
C
练一练
1．下列图形中表示射线AB的是( )
2．下列关于直线的表示方法正确的是( )
B
C
例2 如图，已知平面上三点A、B、C.
(1)画线段AB；
(2)画直线BC；
(3)画射线CA；
解：(1)、(2)、(3)题解答如图所示.
(4)如何由线段AB得到射线AB和直线AB呢？
(4)将线段AB向AB方向延伸得到射线AB，将线段
AB向两个方向延伸得到直线AB，如图所示.
(5)直线AB与直线BC有一个公共点，如图所示．
(5)直线AB与直线BC有几个公共点？
图中直线AB，射线CD，线段MN能够相交的是( )
练一练
D
联系：都是直的，线段向一个方向延伸可以得到
射线, 线段向两个方向延伸可以得到直线.
区别：直线可以向两个方向无限延伸，射线可以向
一个方向延伸，线段本身不能延伸.
总结归纳
线段、射线、直线的联系与区别
由此可知, 射线、线段都是直线的一部分.线段是
射线的一部分.
直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点.
两点确定一条直线二
(1) 过一点 O 可以画几条直线？
(2) 过两点A、B可以画几条直线？
议一议
·O
·A
·Ｂ
经过两点有且只有一条直线.
结论：
(3)如果你想将一根细木条固定在墙上,至少需要
几个钉子?这样做的依据是什么吗？
举一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例.
练一练
1.植树时，只要定出两个树坑的位置就能确定
同一行的树坑所在的直线.
2.射击的时候瞄准目标
图中共有几条线段？说明你分析这个问
题的具体思路；
合作探究
以A为端点的线段有AB，AC，AD，AE，共4条，以
B为端点且与前面不重复的线段有BC，BD，BE，共3条，
以C为端点且与前面不重复的线段有CD，CE，共2条，以
D为端点且与前面不重复的线段有DE，共1条，从而共有
4＋3＋2＋1＝10(条)线段．
指出下图中线段、射线、直线分别有多少条？
并把线段表示出来.
解：线段有3条，分别为线段AB、线段AC、线段BC.
射线有6条．
直线有1条.
自己尝试把6
条射线画出来
练一练
2.下列现象：①农民伯伯拉绳插秧；②解放军叔叔
打靶瞄准；③学生早操队列对齐；④在墙上至少要用
两根钉子才能把木条固定；⑤改直弯曲的河道，缩短
航程．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有
__________．(填序号)
1．下列说法中，错误的是( )
A．经过一点的直线可以有无数条
B．经过两点的直线只有一条
C．一条直线只能用一个字母表示
D．线段EF与线段FE是同一条线段
C
①②③④
当堂练习
3.当一条直线上有 n 个点时,则有几条射线?
有几条线段?
● ● ● ● ●
A B C D E
答案: 有 2n 条射线,有 0.5n(n－1) 条线段
线段、射线、直
线的联系与区别
两点确定
一条直线
{线段、射线、直线
课堂小结
4.2 比较线段的长短
学习目标
1．借助具体情境，了解“两点之间的所有连线
中，线段最短”的性质．
2．能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长
短．
3．能用直尺和圆规作一条线段等于已知线段．
【学习重点】
线段长短的两种比较方法：线段中点的概念及表
示方法；线段的和、差、倍、分关系．
【学习难点】
叠合法比较两条线段大小；会画一条线段等于已
知线段．
1.直线、射线、线段的定义
2.直线、射线、线段之间的关系
3.直线、射线、线段的表示方法
知识回顾
如图，AB＝6 cm，点C是线段AB的中
点，点D是线段CB的中点，求AC，AD的长度.
解：AC＝3 cm，AD＝4.5 cm.
自主探究
问题2：
黑板上有两条线段，你能判断一下它们
的长短吗？你有什么方法来验证你的判断？
1.度量法
2.叠合法（叠合法要注意什么问题？）
a b
A(C) B D
图1
A(C) BD
图2
A(C) B(D)
图3
3.判断线段AB和CD的大小.
（1）如图1，线段AB和CD的大小关系是AB CD；
（2）如图2，线段AB和CD的大小关系是AB CD
；
（3）如图3，线段AB和CD的大小关系是AB CD.
＜
＞
＝
自主探究
4.已知，如图，M、N把线段AB三等分，C为NB的中点，且
CN＝5 cm，则AB＝________cm.
5.如图，从A地到B地有三条路①，
②，③可走(图中“┍，“┙”，
“┕”表示直角)，则第________
条路最短，另外两条路的长短关系
是________．
30
③
相等
自主探究
变式：如果线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，D是AC
的中点，那么A、D两点间的距离是（ ）
A.5 B.2.5 C.5或2.5 D.5
或1【解析】本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图：
AC＝AB－BC，
又∵AB＝6，BC＝4，
∴AC＝6－4＝2，
∵D是AC的中点，
∴AD＝1；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
AC＝AB＋BC，
又∵AB＝6，BC＝4，
∴AC＝6＋4＝10，
∵D是AC的中点，
∴AD＝5.故选D.
方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了
分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决
类似的问题时，要防止漏解.
A B
问题6:
如图，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否
再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请联系
你以前所学的知识，在图上画出最短路线.
1. 两点的所有连线中，线段最短.
简单地说:两点之间，线段最短.
2. 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
这节课你学到了什么？
画一条线段等于已知线段
线段比较大小
线段的和、差、分点（中点、三等分点等）
两点之间线段最短
两点的距离定义
知识梳理
A CB D
解：∵ 点C是线段AD的中点
∴AD=2AC=10
∴AB=AD-BD =10-6 =4cm
即 线段AB的长是4cm
练习1：如图，B、C为线段AD上的两点，点C为线段
AD的中点，AC=5cm,BD=6cm,求线段AB的长度？
随堂练习
A BM NP
线段PB=________.AM=_______.BM=_______28cm 40cm 40cm
线段PM=________.AP=_______.AN=_______12cm 52cm 66cm
练习2：已知线段AB=80cm，M为AB的中点，P在MB上，
N为PB的中点，且NB=14cm。
4.3 角
学习目标
1．通过实际情境，理解角的有关概念，掌握角
的表示方法．
2．会进行角的度量，以及度、分、秒的互化．
3．进一步认识锐角、钝角、直角、平角、周角
及其大小关系．
【学习重点】
理解角的概念与表示方法，学会角度的测量，以
及度、分、秒的互化．
【学习难点】
度、分、秒的互化．
图形 表示方法 端点个数 延伸方向
线段
射线
直线
1.填表：
线段AB
或线段a
射线AB
或射线a
直线AB
或直线a
两个
一个
0个
不向任何一方延伸
向一方无限延伸
向两方无限延伸
知识回顾
2.下图中共有几条线段？
我们知道，线段是一种基本的几何图形，
角也是一种基本的几何图形．在小学我们已经
对角有些粗浅的认识，本节课在已有的知识基
础上，我们将对角作进一步的研究．
引入新知
现实有关角的实物
角
是
怎
样
构
成
的?
自主预习
1.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫
做角.公共端点叫角的顶点，两条射
线叫角的边.——角的静态定义.
顶点
射线
射线
边
边
通过以上生活中的实例以
及小学对角的认识，根据你的理解，
如何定义一个角？
自主探究
如图，如何表示这个角？
（1）用三个大写字母：
∠AOB 或∠BOA ；
A
O B
注意:
1.用三个大写字母表示时，
中间字母是顶点字母；
2.用一个大写字母表示时，
顶点处只能有一个角.
或用一个大写字母：
∠O．
角用符号“∠”来表示.
角的表示：
C
∠BOC能记作
∠O 吗？为什
么？
角的表示：
（2）用一个数字加弧线表示：
1
α
（3）用一个小写希腊字母加弧线表示：
∠1
∠α
注意：
这两种方法必须在图上标注后才能
使用,并且只能表示单独的一个角.
A
O B
C1
能把∠AOB记作
∠1吗？为什么？
2.角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的
图形——角的动态定义。
B
B
O B
O A
B
3）射线 OA绕点O 旋转360度后，回到原来的位置
时,所成的角叫做 。
OB A
2）射线 OA绕点O旋转180度后，终边OB和始边 OA
成一直线时，所成的角叫做 ;
3.特殊角的类型
1）射线 OA绕点O 旋转90度
后,终边OB和始边 OA垂直时,
所成的角叫做 。 O A
B
平角
直角
周角
4.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，
记做1°.除了“度”之外，还有其它的度量单位
吗？
1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′
1′的60分之一为1秒，记作1″，即1′＝60″
角的度、分、秒是60进制
的，这和计量时间的时、分、
秒是一样的.
5.如图,已知∠AOB，用量角器量出它的度数.
A
O B
1.对中——角的顶点对量角器的中心;
3.读数——读出角的另一边所对的度数.
2.重合——角的一边与量角器的零线重合;
用量角器度量角的方法:
A
O B
如图，已知∠AOB，画∠EOF = ∠AOB,
你有什么方法？
先量，再画.
角
有公共端点的两条射线
组成的图形
一条射线绕着它的端点
旋转而成的图形
用三个大写字母或
一个大写字表示.
用一个数字表示
用一个希腊字母表示
角的定义
角的表示
方法
知识梳理
1. 判断下面各角的表示方法是否正确.
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
∠ACB ∠B∠ABC∠CAB ∠A
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）× × × √ √
2. 下面表示∠DEF 的图是( )
E
D
E F
（1）
E
D F
（2）
D
E F
（3）
D
EF
（4）
（3）
随堂练习
3. 请你把图中用数字表示的角改为用
字母表示的角.
4．如图，点O是直线AB上任意一点，OC、
OD、OE是三条射线，图中共有几个小于平角
的角？
9个
1.1小时= 分， 1分= 秒.
2.3.3小时= 小时 分，
2小时30分= 小时.
3.1°= ′，1′= ″.
4.0.75°= ′= ″，
34.37°= ° ′ ″.
5.1800″= °，39°36′= °.
60 60
3 18
2.5
60 60
45
34 22 12
0.5 39.6
2700
5.填一填：
4.4 角的比较
学习目标
1．会比较角的大小，能估计一个角的大小．
2．认识角的平分线，会画角的平分线．
3．进一步丰富对角与锐角、钝角、直角、平
角、周角及它们的大小关系的认识．
【学习重点】
会比较角的大小，会分析图中角的和差关系，
能熟练运用角的平分线．
【学习难点】
角的和、差、倍、分关系．
3. 如图，已知线段AB、CD,你有哪些办法
比较它们的大小？
1.叠合法 2.度量法
1．角是怎样形成的图形？
2．请同学们回忆一下，前面我们学习了
线段的哪些内容？
知识回顾
类比线段大小的比较，你认为该如何比较两个
角的大小？试着画图来解决.
1.度量法 ∠ABC ＞∠DEF
B
C
A
FE
D
70° 30°
引入新知
2.叠合法
步骤：
1. 将两个角的顶点及一边重合,
2. 两个角的另一边落在重合一边的同侧,
3.由两个角的另一边的位置确定两个角的
大小.
∠AOC=∠AOB ∠BOC+
O A
C
B
1.如图，图中共有几个角？它们之间有什么关
系？
∠AOB=∠AOC ∠BOC-
自主预习
D
C
B
AO
∠AOC=∠AOB+∠＿＿
∠BOD=∠COD+∠＿＿
∠AOC=∠AOD-∠＿＿
∠BOD=∠＿＿-∠＿＿
BOC
BOC
COD
AOBAOD
2.填空
30°、45°、60°、90°、15°、75°、105°、
120°、135°、150°、 180°
3.如图，借助三角尺画出15°，75°的
角。
利用三角板
还可以画出哪
些度数的角？
4.角平分线
如右图，如果∠AOB=∠BOC，
A
B
C
O
从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射
线，叫做这个角的平分线.
类似地，还有角的
三等分线等……
αα
α A
B
C
D
O
OB、OC是∠AOD的三等分线。
那么射线OB叫做∠AOC的角
平分线。
例1.如图，OB平分∠COD，∠AOB=90°，∠AOC=125°，
求∠COD的度数。
∠BOC =
∴∠BOD=∠BOC =35°
∴∠COD=35°×2=70°
D
B
C
O
A
∠AOC-∠AOB
=125°-90°
解：
=35°
∵OB平分∠COD
自主探究
例2.如图，OC平分∠AOD,∠BOD=2∠AOB.若
∠AOD=114°，求∠BOC的度数？
A B
C
DO
=57°-38° =19°
解：
57
2
1 AODAOC
38
3
1 AODAOB
AOBBOD 2
AODOC 平分
AOBAOCBOC
如图∠AOB=∠COD=900，
∠AOD=1460，∠BOC= .340
O
D
C
B
A
练习一
随堂练习
如图，OD平分∠AOC，OE平分∠COB，
①如∠AOC=70°,∠COB=40°,∠DOE= .
②如果∠DOE=n°，则∠AOB= .
D
B
AO
C
E
（2n）°
55°
练习二
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，
OF平分 ∠COB,则∠EOF= .
A B
E
C F
O
练习三
90°
O A
BC
D
如图：∠AOC=∠BOD=90°
⑴已知∠BOC=20 °,则∠AOD= .160 °
⑵已知∠AOD=150 °，则∠BOC= .30 °
练习四
图中∠1=∠2,试判断∠BAD和∠EAC的大小, 并说明
理由.
AB
C
D
E
1
2
∠BAD=∠EAC解：
理由是：
∵∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠2+∠3
即∠BAD=∠EAC
3
练习五
如图所示的正方形网格
中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= .
1
2
3 4
5
6
7
思考题
思路分析
∠1+∠7=90°
∠2+∠6=90°
∠3+∠5=90°
∠4=45°
315°
1.角的大小比较方法（叠合、度量）。
2.角的和差关系。
3.角的平分线的性质。
知识梳理
4.5 多边形和圆的初步认识
1．在具体情境中认识多边形、正多边形、弧、扇
形等有关概念．
2．了解多边形的对角线，会利用对角线分割多边
形．
3．了解圆心角的概念，会借助圆心角求扇形的面
积．
【学习重点】
掌握正多边形的边、角的特点和扇形圆心角的求
法．
【学习难点】
多边形对角线条数计算公式的推导．
学习目标
有哪些熟悉的平面图形？
有哪些熟悉的平面图形？
有哪些熟悉的平面图形？
多边形一
合作探究
这些图形是由什么样的线按怎样的方式组成的？
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形.
问题：
多边形的相关概念
由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接
组成的封闭平面图形叫做多边形．
组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做
多边形的对角线．
我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多
边形总在任何一条边所在直线的同一侧
提示：
A
C
D
E
B
如图，在多边形ABCDE中，点A、点B等是多
边形的顶点；线段AB、线段BC等是多边形的边；
∠EAB、∠B等是多边形的内角(简称多边形的角)；
如线段AC、线段AD是多边形的对角线．
你还能画出
图中其他的
对角线吗？
做一做
1.三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四
边形有几个顶点，几条边，几个内角？n边形呢？
2.从四边形的一个顶点出发，可以画出几条对
角线? 从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对
角线?n边形呢？
3.从n边形一个顶点出发的对角线，把n边形分
割成多少个三角形？
归纳总结
n 边形有n 个顶点，n条边，n 个内角
从n 边形的一个顶点出发，可以画出
(n－3)条对角线
从n 边形一个顶点出发的对角线，
把n 边形分割成(n－2)个三角形
1.一个多边形从一个顶点最多能引出
2016条对角线，这个多边形的边数是( )
A．2016 B．2017
C．2018 D．2019
练一练
2.连接九边形一个顶点与其他各顶点的
线段，将九边形分成了_____个三角形．
D
7
例1 观察、探索及应用
(1)观察上图并填空．
一个四边形有2条对角线；
一个五边形有5条对角线；
一个六边形有____条对角线；
一个七边形有____条对角线．
典例精析
9
14
(2)分析探索：由凸n 边形的一个顶点出发，可作
________条对角线，凸n 边形共有n 个顶点，若允许重
复计数，共可作________条对角线．
n(n－3)
(n－3)
54
n（n－3）
2 (3)结论：一个凸n 边形有______________条对角线．
(4)应用：一个凸十二边形有______条对角线．
议一议
观察下图中的多边形，它们的边角有什么特点？
正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
圆二、
合作探究
上面的图形中有你熟悉的图形吗？
你能用哪些方法画出一个圆？
圆的相关概念
平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋
转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆
固定的端点O称为圆心
圆上任意两点A，B之间的部分叫
做圆弧，简称弧，记作 ，
读作“圆弧AB或“弧AB”．
»AB
由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，
OB所组成的图形叫做扇形
顶点在圆心的角叫做圆心角．
例2 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的
度数之比为2∶ 3∶ 4，求这三个扇形圆心角的度数．
[解析] 用扇形圆心角所对应的比去乘360°即可
求出相应扇形圆心角的度数．
解：因为一个周角为360°，所以分成的三个扇
形的圆心角度数分别为：
将一个圆分割成三个扇形，各扇形的面积
比为2∶ 3∶ 5，则三个扇形圆心角的度数分别
是__________________.
练一练
72°，108°，180°
1．下列说法正确的是( )
A．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组
成的封闭图形叫多边形
B．一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫做扇形
C．三角形是最简单的多边形
D．扇形是圆的一部分
2．刘师傅把一个四边形的木板锯掉一个角，那么剩
下的木板的形状不可能是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
C
D
当堂练习
3.将一个圆分割成四个扇形，它们圆心角的度数
之比为1∶ 2∶ 3∶ 4，则这四个扇形的圆心角的度数依
次为________，________，________，________．36° 72° 108° 144°
4.如图，把一个圆分成四个扇形，若该圆的半
径为4 cm，你能求出它们的面积吗？
解：因为圆的面积为：π×42＝16π(cm2)．
所以S扇形OAB＝16π×45%＝7.2π(cm2)；
S扇形OBC＝16π×10%＝1.6π(cm2)；
S扇形OCD＝16π×25%＝4π(cm2)；
S扇形OAD＝16π×30%＝4.8π(cm2)．
多边形和圆
的初步认识
多边形
{
圆
多边形的
对角线
正多边形
{
圆心角
扇形面积
{
n边形的
对角线
分割三角形
{
课堂小结
第四章 基本平面图形小结与
复习
1．直线、射线、线段
名称 图形 表示方法 延伸方向 端点 长度
直线
①直线AB或直线BA
②直线m
两个 无 无
射线 射线AP 一个 一个 无
线段
①线段AB或线段BA
②线段l
无 两个 有
知识回顾
2.直线的基本性质
经过两点有且只有____条直线．
3．线段的基本性质
两点之间，____________最短．
4．两点之间的距离
两点之间线段的________，叫做这两点之间的距离．距离
是指线段的_______，是一个_______，而不是指线段本身．
5．比较两条线段长短的方法
(1)叠合法：把它们放在同一条_______上比较；
二
线段
长度
长度 数值
直线
知识回顾
(2)度量法：用刻度尺量出两条线段的长度进行比较．
6．线段的中点
若点M把线段AB分成_______的两条线段AM、BM，则点M叫
做线段AB的中点．这时有AM＝______＝____ ，AB＝_______＝
1/2 ________．
相等
BM AB 2AM
2BM
知识回顾
7．角
(1)概念：角由两条具有公共_______的射线组成，两条射
线的公共______是这个角的________，这两条射线叫做角的
____；从动态观点看，角是一条射线绕_______从起始位置旋
转到终止位置所组成的图形．
(2)表示方法：①三个大写英文字母表示，中间的字母表
示_______，其他两个字母分别表示两条边上的任意一点；②
用一个数字或小写________字母表示；③用一个大写_______
字母表示，前提是以这个点为顶点的角只有一个．
端点
端点 顶点
边 端点
顶点
希腊 英文
知识回顾
(3)单位及换算：把周角平均分成360份，每一份就是1°的
角，1°的1/60就是1′，1′的1/60就是1″，即1°＝ ____，
1′＝________．
(4)分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于
平角的一半时，这个角叫做________；大于0°角小于直角的角
叫做________；大于直角而小于平角的角叫做__________．
8．角的平分线
从一个角的_______引出的一条射线，把这个角分成两个
_________的角，这条射线叫做这个角的平分线．
60′
60′
直角
锐角 钝角
顶点
相等
知识回顾
► 考点一 直线、射线、线段
例1 如图4－1，C、D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7
cm，且D是AC的中点，则AC的长等于( )
A．3 cm B．6 cm C．11 cm D．14 cm
典型例题
► 考点二 角
例2 [2010·呼和浩特] 8点30分时，钟表的时针与分针的
夹角为__________°
[答案] 75
[解析] 钟表被分成12格，每格的度数是30°，30°×2.5＝
75°.
► 考点三 规律探索性问题
例3 [2010·嵊州] 如图4－2，平面内有公共端点的六条射
线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在
射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….则“17”在射线
______上；“2007”在射线______上．
[答案] OE OC
第四章 |过关测试
1．操场上，小明对小亮说：“你在我的北偏东30°方向
上”，那么小亮可以对小明说：“你在我的________方向
上”( )
A．南偏西30° B．北偏东30°
C．北偏东60° D．南偏西60°
[答案] A
达标测试
2．在一次航海中，在一艘货轮的北偏东54°的方向上有一
艘渔船，那么货轮在渔船的________方向上．
[答案] 南偏西54°
计算：
(1)90°－45°32″；
(2)6°32′25″×7.
解：(1)44°28′ (2)45°46′55″
达标测试
1．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三
角形，这个多边形的边数是________．
[答案] 10
[解析] 设多边形有n条边，
则n－2＝8，解得n＝10.
所以这个多边形的边数是10.
达标测试
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