北师版八年级数学上册第一章勾股定理测试题含答案

北师版八年级数学上册第一章勾股定理测试题含答案 第 1 课时 认识勾股定理 一、选择题 1．下列由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形的是( ) A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝4，b＝5，c＝6 2．如图 1 所示，∠AOC＝∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E.若 OD＝8，OP＝10，则 PE 的长为( ) 图 1 A．5 B．6 C．7 D．8 3．下列结论中，错误的有( ) ①在 Rt△ABC 中，已知两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为 5；②△ABC 的三边长分别为 a，b，c，若 a2＋b2＝c2，则∠A＝90°；③在△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC 是直角三角形；④若 三角形的三边长之比为 3∶4∶5，则该三角形是直角三角形． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4．如图 2，将长为 8 cm 的橡皮筋放置在地面上，固定两端点 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3 cm 至点 D，则橡皮筋被拉长了( ) 图 2 A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 5．将面积为 8π的半圆与两个正方形按图 3 所示的方式摆放，则这两个正方形面积的和为( ) 图 3 A．16 B．32 C．8π D．64 6．若△ABC 的三边长 a，b，c 满足(a－b) 2 ＋|b－2|＋(c2－8) 2 ＝0，则下列对此三角形的形状描述最确切 的是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 7．如图 4 所示，AC⊥BD，O 为垂足，设 m＝AB2＋CD2，n＝AD2＋BC2，则 m，n 的大小关系为( ) 图 4 A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不确定 8．如图 5，点 D 在△ABC 的边 AC 上，将△ABC 沿 BD 翻折后，点 A 恰好与点 C 重合．若 BC＝5，CD＝3， 则 BD 的长为( ) 图 5 A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图 6，设正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，黑甲壳虫从点 A 出发，白甲壳虫从点 C1 出发，它们以 相同的速度分别沿棱向前爬行．黑甲壳虫爬行的路线是：AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→AA1→A1D1…， 白甲壳虫爬行的路线是：C1C→CB→BB1→B1C1→C1C→CB…，那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第 2018 条 棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的最短路程的平方是( ) 图 6 A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图 7 所示，在长方形纸片 ABCD 中，已知 AD＝8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在 点 F 处，折痕为 AE，且 EF＝3，则 AB 的长为( ) 图 7 A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．在△ABC 中，若 AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B 的度数是________． 12．古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果 m 表示大于 1 的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么 a， b，c 为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________． 13．木工师傅做了一个桌面，要求桌面为长方形，现量得桌面的长为 60 cm，宽为 32 cm，对角线的长 为 68 cm，则这个桌面________．(填“合格”或“不合格”) 14．一座垂直于两岸的桥长 27 米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸 后，发现已偏离桥南头 36 米，则小船实际行驶了________米． 15．如图 8 所示，把长方形纸片 ABCD 沿 EF，GH 同时折叠，B，C 两点恰好都落在 AD 边上的点 P 处，若 ∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则 BC 边的长为________． 图 8 16．我国数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图 9，它是 用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1＋S2＋S3＝15，则 S2 的值是________． 图 9 三、解答题 17．如图 10，△ABC 中，D 是 BC 上的一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17. (1)判断 AD 与 BC 的位置关系，并说明理由； (2)求△ABC 的面积． 图 10 18．如图 11 所示，在长方形 ABCD 中，AB＝CD＝24，AD＝BC＝50，E 是 AD 上一点，且 AE∶DE＝9∶16， 判断△BEC 的形状． 图 11 19．如图 12 是某同学设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从 A 处先往东走 4 m，又往北走 1.5 m， 遇到障碍后又往西走 2 m，再转向北走 4.5 m 处往东一拐，仅走 0.5 m 就到达了 B 处，则点 A，B 之间 的距离是多少？ 图 12 20．如图 13 所示，有两根长杆隔河相对，一杆高 3 m，另一杆高 2 m，两杆相距 5 m．两根长杆都与地 面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上 E 处浮出一条小鱼，于是同时以同 样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．(假设小鱼 在此过程中保持不动) 图 13 21．如图 14，河边有 A，B 两个村庄，A 村距河边 10 m，B 村距河边 30 m，两村平行于河边方向的水平 距离为 30 m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到 A 村和 B 村． (1)求铺设管道的最短长度是多少，请画图说明； (2)若铺设管道每米需要 500 元，则最低费用为多少？ 图 14 22.有一个如图 15 所示的长方体的透明鱼缸，假设其长 AD＝80 cm，高 AB＝60 cm，水深 AE＝40 cm， 在水面上紧贴内壁 G 处有一鱼饵，G 在水面线 EF 上，且 EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点 A 处沿缸壁 爬到鱼缸内 G 处吃鱼饵． (1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注； (2)试求小虫爬行的最短路程． 图 15 23．如图 16，在由 6 个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为 1. (1)如图①，A，B，C 是三个格点(即小正方形的顶点)，判断 AB 与 BC 的位置关系，并说明理由； (2)如图②，连接三格和两格的对角线，求∠α＋∠β的度数(要求：画出示意图，并说明理由)． 图 16 24．八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制 作手工作品时的第一、二个步骤是：①如图 17，先裁下一张长 BC＝20 cm，宽 AB＝16 cm 的长方形纸 片 ABCD；②将纸片沿着直线 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处．请你根据步骤①②解答下列问 题： (1)找出图中∠FEC 的余角； (2)求 EC 的长． 图 17 答案 1．C 2．B 3．C 4．A5．D 6．C 7．B 8．D 9.D10．D 11．60° 12．答案不唯一，如 20，99，101 13．合格 14．45 15．24 16．5 17．解：(1)AD⊥BC.理由如下： 因为 BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2， 所以△ABD 是直角三角形，且∠ADB＝90°， 所以 AD⊥BC. (2)在 Rt△ACD 中，因为 CD2＝AC2－AD2＝172－82＝152，所以 CD＝15， 所以 S△ABC＝1 2 BC·AD＝1 2 (BD＋CD)·AD＝1 2 ×21×8＝84. 18．解：因为 AD＝50，AE∶DE＝9∶16，所以 AE＝18，DE＝32. 在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 BE2＝AB2＋AE2＝242＋182＝900. 在 Rt△CDE 中，由勾股定理，得 CE2＝DE2＋CD2＝322＋242＝1600. 在△BCE 中，因为 BE2＋CE2＝900＋1600＝2500＝502＝BC2，所以△BEC 是直角三角形． 19．解：如图，过点 B 作 BC⊥AD 于点 C，由图可知 AC＝4－2＋0.5＝2.5(m)，BC＝4.5＋1.5＝6(m)．在 Rt△ABC 中，AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝42.25，所以 AB＝6.5(m)，即点 A，B 之间的距离是 6.5 m. 20．解：由题意可知 AB＝2 m，CD＝3 m，BC＝5 m，AE＝DE. 设 BE＝x m，则 EC＝(5－x)m. 在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 AE2＝AB2＋BE2. 在 Rt△DCE 中，由勾股定理，得 DE2＝CD2＋EC2. 所以 AB2＋BE2＝CD2＋EC2，即 22＋x2＝32＋(5－x)2，解得 x＝3，则 5－x＝2. 所以杆 AB 底部距小鱼 3 m，杆 CD 底部距小鱼 2 m. 21．解：(1)如图，过点 A 作 AC⊥CE 于点 C，延长 AC 至点 D，使 CD＝AC，连接 BD，交河边于点 E，连 接 AE，则抽水站应建在点 E 处，可使铺设的管道最短，最短长度为 AE＋BE，即 BD 的长． 过点 B 作 BF⊥AC 于点 F， 由题意得：AC＝10 m，CF＝30 m，BF＝30 m， 所以 CD＝AC＝10 m， 所以 DF＝10＋30＝40(m)． 在 Rt△BDF 中，BD2＝302＋402＝502， 所以 BD＝50(m)． 即铺设管道的最短长度是 50 m. (2)最低费用为 50×500＝25000(元)． 22．解：(1)如图所示，AQ→QG 为最短路线． (2)因为 AE＝40 cm，AA′＝120 cm，所以 A′E＝120－40＝80(cm)．因为 EG＝60 cm，所以 A′G2＝A′ E2＋EG2＝802＋602＝10000，所以 A′G＝100 cm，所以 AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100 cm，所以小虫爬 行的最短路程为 100 cm. 23．解：(1)AB⊥BC.理由：如图①，连接 AC.由勾股定理可得 AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12 ＋32＝10，所以 AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC 是直角三角形且∠ABC＝90°，所以 AB⊥BC. (2)∠α＋∠β＝45°.理由：如图②，由勾股定理得 AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10， 所以 AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC 是直角三角形且∠ABC＝90°.又因为 AB＝BC，所以△ABC 是等腰直角三 角形，所以∠BAC＝45°，即∠α＋∠γ＝45°.由图可知∠β＝∠γ，所以∠α＋∠β＝45°. 24．解：(1)∠CFE，∠BAF. (2)由折叠的性质，得 AF＝AD＝20 cm，EF＝DE.设 EC＝x cm，则 EF＝DE＝(16－x)cm. 在 Rt△ABF 中，BF2＝AF2－AB2＝202－162＝144，所以 BF＝12(cm)， 所以 FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm)． 在 Rt△EFC 中，由勾股定理，得 EF2＝FC2＋EC2，即(16－x)2＝82＋x2，解得 x＝6， 所以 EC 的长为 6 cm. 第 2 课时 验证勾股定理 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为 3 和 4 个长度单位，那么它的斜边的长 一定是 5 个长度单位，而且 3、4、5 这三个数有这样的关系：32+42=52. （1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？ （2）请你观察下列图形，直角三角形 ABC 的两条直角边的长分别为 AC=7，BC=4，请你研究这个 直角三角形的斜边 AB 的长的平方是否等于 42+72？ c a b a c b b c b a a c 一、选择题： 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a、b、c 是△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边， 90A ，则 a2＋b2＝c2 D.若 a、b、c 是 Rt△ABC 的三边， 90C ，则 a2＋b2＝c2 2. △ABC 的三条边长分别是 a 、b 、 c ，则下列各式成立的是（ ） A． cba  B. cba  C. cba  D. 222 cba  3．一个直角三角形中，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是（ ） A．斜边长为 25 B．三角形周长为 25 C．斜边长为 5 D．三角形面积为 20 二、填空题： 4．在 Rt ABC 中， 90C ， （1）如果 a=3，b=4，则 c= ； （2）如果 a=6，b=8，则 c= ； （3）如果 a=5，b=12，则 c= ； (4) 如果 a=15，b=20，则 c= . 5．如图,三个正方形中的两个的面积 S1＝25，S2＝144，则另一个的 面 积 S3 为 ________． 三、解答题： 6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2 ＝a2＋b2. 7．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面 的问题: 学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形 ABC 的两边长分 别为 3 和 4, 请你求出第三边.” 同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是 5”; 王华同学说: “第三边长是 7 .” 还有一些同学也提出了不同的看法…… （1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么? （2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示) 一.填空题 (1)某养殖厂有一个长 2 米、宽 1.5 米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板 的长应取米. (2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以 16 海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以 12 海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里. (3)如图 1：隔湖有两点 A、B，为了测得 A、B 两点间的距离，从与 AB 方向成直角的 BC 方向上任 取一点 C，若测得 CA=50 m,CB=40 m，那么 A、B 两点间的距离是_________. 图 1 二、解答题： 1.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为 12 cm 和 10 cm，求这个三角形的面积. 2.在△ABC 中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm （1）求这个三角形的斜边 AB 的长和斜边上的高 CD 的长. （2）求斜边被分成的两部分 AD 和 BD 的长. 3.如图 2：要修建一个育苗棚，棚高 h=1.8 m,棚宽 a=2.4 m,棚的长为 12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄 膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 4.如图 3，已知长方形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm,在边 CD 上取一点 E，将△ADE 折叠使点 D 恰 好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长. 1．1．1 参考答案： 一、选择题：1.D 2.B 3.C 二、填空题：4.5; 10; 13; 25 5.169 三、解答题：6.中空正方形的面积为 2)( ab  ，也可表 示为 abc 2 142  ，∴ 2)( ab  = abc 2 142  ，整理得 222 cba  . 7.（1）分两种 情况:当 4 为直角边长时，第三边长为 5；当 4 为斜边长时，第三边长为 7 .（2）略 1．1．2 参考答案 一、填空题： 1.(1)2.5 (2)30 (3)30 米 二、解答题： 1.如图：等边△ABC 中 BC=12 cm，AB=AC=10 cm 作 AD⊥BC，垂足为 D，则 D 为 BC 中点，BD=CD=6 cm 在 Rt△ABD 中，AD2=AB2－BD2=102－62=64 ∴AD=8 cm ∴S△ABD= 2 1 BC·AD= 2 1 ×12×8=48(cm2) 2.解：(1)∵△ABC 中，∠C=90°，AC=2.1 cm，BC=2.8 cm ∴AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25 ∴AB=3.5 cm ∵S△ABC= 2 1 AC·BC= 2 1 AB·CD ∴AC·BC=AB·CD ∴CD= AB BCAC  = 5.3 8.21.2  =1.68(cm) (2)在 Rt△ACD 中，由勾股定理得： AD2+CD2=AC2 ∴AD2=AC2－CD2=2.12－1.682 =(2.1+1.68)(2.1－1.68) =3.78×0.42=2×1.89×2×0.21 =22×9×0.21×0.21 ∴AD=2×3×0.21=1.26(cm) ∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24(cm) 3.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为 3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是： 3×12=36(m2) 4.解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°,AF=10 cm,EF=DE 设 CE=x cm，则 DE=EF=CD－CE=8－x 在 Rt△ABF 中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，即 82+BF2=102， ∴BF=6 cm ∴CF=BC－BF=10－6=4(cm) 在 Rt△ECF 中由勾股定理可得： EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42 ∴64－16x+x2=x2+16 ∴x=3(cm),即 CE=3 cm 1.2 一定是直角三角形吗 一、选择题： 1、以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 5cm，12cm，13cm B 5cm，8cm，11cm C 5cm，13cm，11cm D 8cm，13cm，11cm 2、⊿ABC 中，如果三边满足关系 2BC = 2AB + 2AC ，则⊿ABC 的直角是（ ） A ∠ C B ∠A C ∠B D 不能确定 3、由下列线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A a=7，b=25，c=24 B a=2.5，b=2，c=1.5 C a= 4 5 ，b=1，c= 3 2 D a=15，b=20，c=25 4、三角形的三边长 a、b、c 满足 abcba 2)( 22  ，则此三角形是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 5、小红要求△ABC 最长边上的高，测得 AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是 A.48 cm B.4.8 cm C.0.48 cm D.5 cm 6.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 A.b2=c2－a2 B.a∶b∶c=3∶4∶5 C.∠C=∠A－∠B D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15 7.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A.5，6，7 B.1，4，9 C.5，12，13 D.5，11，12 8.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2 则此三角形是直角三角形的 x2 的值是 A.42 B.52 C.7 D.52 或 7 9.如果△ABC 的三边分别为 m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么 A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为 m2+1 B.△ABC 是直角三角形，且斜边长 2 为 m C.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由 m 的大小确定 D.△ABC 不是直角三角形 二、填空题： 10、若一个三角形的三边长分别是 m+1，m+2，m+3，则当 m= ，它是直角三角形。 11、在⊿ABC 中，若 5,7,25 2222  cbaba ，则最大边上的高为 。 12、一个三角形的三边之比为 13:12:5 ，且周长为 60cm，则它的面积是 2cm 。 13、三角形的两边长为 5 和 4，要使它成为直角三角形，则第三边的平方为 。 14、小白兔每跳一次为 1 米，先沿直线跳 12 次后左拐，再沿直线向前跳 5 次后左拐，最后沿直线向前 跳 13 次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是 。 三、解答题： 15、小明画了一个如图所示的四边形，其中 AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，∠A= 90 ，你能求出四边形 ABCD 的面积吗？ 16、已知在⊿ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求⊿ABC 的面积。 17、在⊿ABC 中，AB=17cm，BC=16cm，，BC 边上的中线 AD=15cm，问⊿ABC 是什么形状的三角形？并 说明你的理由。 18、已知 a，b，c 为△ABC 三边，且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状. 19.阅读下列解题过程：已知 a，b，c 为△ABC 的三边，且满足 a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC 的形状. 参考答案： 一、选择题： 1、A 2、B 3、C 4、A 5B 6D 7C 8 D(注意有两种情况(ⅰ)32+42=5 2，(ⅱ)32+7=42) 9A. 二、填空题： 10、2 11、2.4 12、120 13、9 或 41， 14、 90 三、解答题： 15、36 16、12 17、等腰直角三角形 18、解：由已知得 (a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0 (a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0 由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0. 所以 a－5=0，得 a=5； b－12=0，得 b=12； c－13=0，得 c=13. 又因为 132=52+122，即 a2+b2=c2 所以△ABC 是直角三角形. 19、解：∵ a2c2－b2c2=a4－b4 ① C D B A ∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ② ∴c2=a2+b2 ③ ∴△ABC 是直角三角形 问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为 _________；本题正确的结论是_________. 答案：③ a2－b2 可以为零 △ABC 为直角三角形或等腰三角形 1.3 勾股定理的应用 一．选择题 1．如图，CD 是一平面镜，光线从 A 点射出经 CD 上的 E 点反射后照射到 B 点，设入射角 为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为 C、D，且 AC=3，BD=6，CD=12， 则 CE 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.9 米，则梯子顶端 A 下落了（ ） A．0.9 米 B．1.3 米 C．1.5 米 D．2 米 3．小明从家走到邮局用了 8 分钟，然后右转弯用同样的速度走了 6 分钟到达书店（如图 所示）．已知书店距离邮局 660 米，那么小明家距离书店（ ） A．880 米 B．1100 米 C．1540 米 D．1760 米 4．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角 便是直角，这样做的道理是（ ） A．直角三角形两个锐角互补 B．三角形内角和等于 180° C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方 D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 5．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度 BC=12 米，AB=AC=6.5 米，则中柱 AD（D 为底边 BC 的中点）的长是（ ） A．6 米 B．5 米 C．3 米 D．2.5 米 6．如图，盒内长、宽、高分别是 6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（ ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9cm，内壁高 12cm，则这 只铅笔的长度可能是（ ） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 8．如图，圆锥的轴截面是边长为 6cm 的正三角形 ABC，P 是母线 AC 的中点，则在圆锥的 侧面上从 B 点到 P 点的最短路线的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4 9．如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 3cm，高为 6cm．如果用一根细线从点 A 开始 经过 4 个侧面缠绕一圈达到点 B，那么所用细线最短需要（ ） A．11cm B．2 cm C．（8+2 ）cm D．（7+3 ）cm 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶 端距离地面 2 米，则小巷的宽度为（ ） A．0.7 米 B．1.5 米 C．2.2 米 D．2.4 米 二．填空题 11．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东方向 60°，距离灯塔为 4 海里的点 A 处，如果海 轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离 AB 长 海里． 12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余 1m，当他把绳子下 端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 米． 13．如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3cm 到 D，则橡皮筋被拉长了 cm． 14．一架长 25m 的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端 7m，如果梯子的顶端 沿墙下滑了 4m，那么梯足将滑动 ． 15．如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外 壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 16．如图，已知长方体的三条棱 AB、BC、BD 分别为 4，5，2，蚂蚁从 A 点出发沿长方体 的表面爬行到 M 的最短路程的平方是 ． 三．解答题 17．如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 60°的方向上，轮船从 B 处 继续向正东方向航行 100 海里到达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 30°的方向上，AD⊥ BC 于点 D，求 AD 的长． 18．（1）如图 1 是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一 支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC 为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆 柱体积和纸盒容积的比）； （2）一个长宽高分别为 l，b．h 的长方体纸箱装满了一层高为 h 的圆柱形易拉罐如图 2．求 纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）； （3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？ 19．如图，甲乙两船同时从 A 港出发，甲船沿北偏东 35°的方向，以每小时 12 海里的速度 向 B 岛驶去．乙船沿南偏东 55°的方向向 C 岛驶去，2 小时后，两船同时到达了目的地．若 C、B 两岛的距离为 30 海里，问乙船的航速是多少？ 20．如图，一架长 2.5m 的梯子 AB 斜靠在墙 AC 上，∠C=90°，此时，梯子的底端 B 离墙底 C 的距离 BC 为 0.7m． （1）求此时梯子的顶端 A 距地面的高度 AC； （2）如果梯子的顶端 A 下滑了 0.9m，那么梯子的顶端 B 在水平方向上向右滑动了多远？ 参考答案与试题解析 一．选择题 1． 【分析】证明△AEC∽△BED，可得 = ，由此构建方程即可解决问题； 【解答】解：由镜面反射对称可知：∠A=∠B=∠α，∠AEC=∠BED． ∴△AEC∽△BED． ∴ = ， 又∵若 AC=3，BD=6，CD=12， ∴ = ， 求得 EC=4． 故选：B． 2． 【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得 AC 和 CE 的长即可． 【解答】解：在 Rt△ACB 中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4， ∴AC=2， ∵BD=0.9， ∴CD=2.4． 在 Rt△ECD 中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49， ∴EC=0.7， ∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3． 故选：B． 3． 【分析】利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离 书店的距离． 【解答】解：∵小明家到书店所用的时间为 =10 分钟， 又∵小明的速度为 =110 米/分钟， 故小明家距离书店的距离为 110×10=1100 米． 故选：B． 4． 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【解答】解：设相邻两个结点的距离为 m，则此三角形三边的长分别为 3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2， ∴以 3m、4m、5m 为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第 三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 5． 【分析】首先证明 AD⊥BC，再利用勾股定理计算即可； 【解答】解：∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC， 在 Rt△ADB 中，AD= = =2.5， 故选：D． 6． 【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【解答】解：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为 =3 cm． 这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形． 盒内可放木棒最长的长度是 =7cm． 故选：B． 7． 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出 AC 的长 【解答】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm， 在 Rt△ABC 中：AC= = =15（cm）， 则这只铅笔的长度大于 15cm． 故选：D． 8． 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以 AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以 A 为圆心， 以 AB 为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连 接 BP，根据勾股定理求出 BP 即可． 【解答】解：圆锥底面是以 BC 为直径的圆，圆的周长是 BCπ=6π， 以 AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以 A 为圆心，以 AB 为半径的扇形，弧长是 l=6π， 设展开后的圆心角是 n°，则 =6π， 解得：n=180， 即展开后∠BAC= ×180°=90°， AP= AC=3，AB=6， 则在圆锥的侧面上从 B 点到 P 点的最短路线的长就是展开后线段 BP 的长， 由勾股定理得：BP= ， 故选：C． 9． 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短” 得出结果． 【解答】解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高 6cm，宽=2+3+2+3=10cm，AB 为 对角线． AB= =2 cm． 故选：B． 10． 【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，同理可得出 BD 的长，进而可得出结论． 【解答】解：在 Rt△ACB 中，∵∠ACB=90°，BC=0.7 米，AC=2.4 米， ∴AB2=0.72+2.42=6.25． 在 Rt△A′BD 中，∵∠A′DB=90°，A′D=2 米，BD2+A′D2=A′B2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5 米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2 米． 故选：C． 二．填空题 11． 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4 海里，∠ABP=90°，再由 AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解 Rt△ABP，得出 AB=AP•cos∠A=2 海里． 【解答】解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4 海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=60°． 在 Rt△ABP 中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4 海里， ∴AB=AP•cos∠A=4×cos60°=4× =2 海里． 故答案为 2． 12． 【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可 解答． 【解答】解：设旗杆高 xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面， ∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为 x2+52=（x+1）2，解得 x=12m． 13． 【分析】根据勾股定理，可求出 AD、BD 的长，则 AD+BD﹣AB 即为橡皮筋拉长的距离． 【解答】解：Rt△ACD 中，AC= AB=4cm，CD=3cm； 根据勾股定理，得：AD= =5cm； ∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm； 故橡皮筋被拉长了 2cm． 14． 【分析】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低 端滑动的距离． 【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为 =24m， 顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为 =15m， 15m﹣7m=8m． 故答案为：8m． 15． 【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A′，根据两点之间线段最短可知 A′B 的长度即为所求． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′， 连接 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B= = =20（cm）． 故答案为 20． 16． 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利 用两点之间线段最短解答，注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有两种，分别求出，选取最 短的路程． 【解答】解：如图①：AM2=AB2+BM2=16+（5+2）2=65； 如图②：AM2=AC2+CM2=92+4=85； 如图③：AM2=52+（4+2）2=61． ∴蚂蚁从 A 点出发沿长方体的表面爬行到 M 的最短路程的平方是：61． 故答案为：61． 三．解答题 17． 【分析】如图，直角△ACD 和直角△ABD 有公共边 AD，在两个直角三角形中，利用三角函 数即可用 AD 表示出 CD 与 BD，根据 CB=BD﹣CD 即可列方程，从而求得 AD 的长． 【解答】解：如图所示． 则∠ABD=30°，∠ACD=60°． ∴∠CAB=∠ABD， ∴BC=AC=100 海里． 在 Rt△ACD 中，设 CD=x 海里， 则 AC=2x 海里，AD= = = x， 在 Rt△ABD 中，AB=2AD=2 x， BD= = =3x， 又∵BD=BC+CD， ∴3x=100+x， 解得 x=50， ∴AD= x=50 海里． 18． 【分析】（1）如图 1，设⊙O 半径为 r，纸盒长度为 h'，则 CD= r，BC=2 r．根据圆柱的 体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值； （2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值； （3）利用（1）（2）的数据进行解答． 【解答】解：（1）由题意，⊙O 是△ABC 内接圆，D 为切点， 如图 1，连结 OD，OC．设⊙O 半径为 r，纸盒长度为 h'，则 CD= r，BC=2 r 则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为： （ ） （2）易拉罐总体积和纸箱容积的比： = ； （3）∵ = ∴第二种包装的空间利用率大． 19． 【分析】首先求得线段 AB 的长，然后利用勾股定理求得线段 AC 的长，然后除以时间即可 得到乙船的速度． 【解答】解：根据题意得：AB=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．…（1 分） ∴AC2+AB2=BC2． ∴AC2=BC2﹣AB2=302﹣242=324 ∴AC=18．…（4 分） ∴乙船的航速是：18÷2=9 海里/时．…（6 分） 20． 【分析】（1）直接利用勾股定理求出 AC 的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出 B′C，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7， ∴AC= = =2.4（米）， 答：此时梯顶 A 距地面的高度 AC 是 2.4 米； （2）∵梯子的顶端 A 下滑了 0.9 米至点 A′， ∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m）， 在 Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2+B′C2=A′B′2， 即 1.52+B′C2=2.52， ∴B′C=2（m）， ∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m）， 答：梯子的底端 B 在水平方向滑动了 1.3m．