北师版八年级数学上册复习测试题含答案

北师版八年级数学上册复习试题含答案全套 第一章小结与复习 一．选择题 1．（4 分）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个 直角三角形较长的直角边为 a，较短的直角边为 b，斜边长为 c．如图②，现将这四个全图 ②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为 24，OC=3，则 该飞镖状图案的面积（ ） A．6 B．12 C．24 D．24 3 2．（4 分）如图，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母 A 所代表的正方形的 面积为（ ） A．4 B．8 C．16 D．64 3．（4 分）如图，有四个三角形，各有一边长为 6，一边长为 8，若第三边分别为 6，8， 10，12，则面积最大的三角形是 （ ） A． B． C． D． 4．（4 分）下列各组数中，是勾股数的为（ ） A．1，2，3B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，9 5．（4 分）如图，小明将一张长为 20cm，宽为 15cm 的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角， 量得 AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ） A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm 6．（4 分）如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上 拉升 3cm 至 D 点，则橡皮筋被拉长了（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 7．（4 分）如图所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆 柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ） A． 13 B． 23 C． 2 43 2 D． 213  8．（4 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D，AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F．若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（ ） A． 2 3 B． 3 4 C． 3 5 D． 5 8 9．（4 分）如图，将△ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为 1），点 A， B，C 恰好在网格图中的格点上，那么△ABC 中 BC 的高是（ ） A． 2 10 B． 4 10 C． 5 10 D． 5 10．（4 分）如图是由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点 称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，AB 边如图所示，则使△ABC 是直角三角形的点 C 有 （ ） A．12 个 B．10 个 C．8 个 D．6 个 二．填空题 11．（5 分）已知△ABC 的三边长为 a、b、c，满足 a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为 三 角形． 12．（5 分）如图，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是 AC 的垂直平分线，DE 交 AB 于点 D，连接 CD，则 CD= ． 13．（5 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的 点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则 蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 14．把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角 顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB= 2 ， 则 CD= ． 三．解答题 15．如图，在△ADC 中，∠C=90°，AB 是 DC 边上的中线，∠BAC=30°，若 AB=6，求 AD 的长． 16．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=2，求△ABC 的周长． 17．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD= 2 ，求△ABC 的面积． 18．如图，已知在四边形 ABCD 中，∠A=90°，AB=2cm，AD= 5 cm，CD=5cm，BC=4cm，求 四边形 ABCD 的面积． 19．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数， 且从 3 起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ； （2）若第一个数用字母 n（n 为奇数，且 n≥3）表示，那么后两个数用含 n 的代数式分别 表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 20．（10 分）方格纸中小正方形的顶点叫格点．点 A 和点 B 是格点，位置如图． （1）在图 1 中确定格点 C 使△ABC 为直角三角形，画出一个这样的△ABC； （2）在图 2 中确定格点 D 使△ABD 为等腰三角形，画出一个这样的△ABD； （3）在图 2 中满足题（2）条件的格点 D 有 个． 21．（1）如图 1 是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放 一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC 为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率 （圆柱体积和纸盒容积的比）； （2）一个长宽高分别为 l，b．h 的长方体纸箱装满了一层高为 h 的圆柱形易拉罐如图 2．求 纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）； （3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？ 22．（12 分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地 ABCD，如图所示，学校计 划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m． （1）求出空地 ABCD 的面积． （2）若每种植 1 平方米草皮需要 200 元，问总共需投入多少元？ 23．（14 分）（1）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、 13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5； 是三个连续正整数组 成的勾股数． 解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？ 答： ，若存在，试写出一组勾股数： ． ②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾 股数，若不存在，说明理由． ③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不 存在，说明理由． （2）探索升华：是否存在锐角△ABC 三边也为连续正整数；且同时还满足：∠B＞∠C＞∠A； ∠ABC=2∠BAC？若存在，求出△ABC 三边的长；若不存在，说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题 1． 【分析】根据飞镖状图案的周长求出 AB+AC 的长，在直角三角形 AOB 中，利用勾股定理 求出 AC 的长，进而确定出 OA 的长，求出三角形 AOB 面积，即可确定出所求． 【解答】解：根据题意得：4（AB+AC）=24，即 AB+AC=6，OB=OC=3， 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得：AB2=OA2+OB2， 即（6﹣AC）2=32+（3+AC）2， 解得：AC=1， ∴OA=3+1=4， ∴S△AOB= 2 1 ×3×4=6， 则该飞镖状图案的面积为 24， 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理的证明，以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关 键． 2． 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形 PQED 的面积和正方形 PRQF 的面 积分别表示出 PR 的平方及 PQ 的平方，又三角形 PQR 为直角三角形，根据勾股定理求出 QR 的平方，即为所求正方形的面积． 【解答】解：∵正方形 PQED 的面积等于 225， ∴即 PQ2=225， ∵正方形 PRGF 的面积为 289， ∴PR2=289， 又△PQR 为直角三角形，根据勾股定理得： PR2=PQ2+QR2， ∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64， 则正方形 QMNR 的面积为 64． 故选：D． 【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数” 与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数 量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 3． 【分析】过 C 作 CD⊥AB 于 D，依据 AB=6，AC=8，可得 CD≤8，进而得到当 CD 与 AC 重合 时，CD 最长为 8，此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大． 【解答】解：如图，过 C 作 CD⊥AB 于 D， ∵AB=6，AC=8， ∴CD≤8， ∴当 CD 与 AC 重合时，CD 最长为 8， 此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大， ∴BC= 22 86  =10， ∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为 6，8，10， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜 边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析． 4． 【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可． 【解答】解：A、错误，∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数； B、错误，∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数； C、正确，∵32+42=25=52=25，∴是勾股数； D、错误，∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数． 故选：C． 【点评】此题比较简单，只要对各组数据进行检验，看各组数据是否符合勾股定理的逆定 理即可． 5． 【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答． 【解答】解：延长 AB、DC 相交于 F，则 BFC 构成直角三角形， 运用勾股定理得： BC2=（15﹣3）2+（20﹣4）2=122+162=400， 所以 BC=20． 则剪去的直角三角形的斜边长为 20cm． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长 AB、DC 相交于 F，构造直角三 角形，用勾股定理进行计算． 6． 【分析】根据勾股定理，可求出 AD、BD 的长，则 AD+BD﹣AB 即为橡皮筋拉长的距离． 【解答】解：Rt△ACD 中，AC= 2 1 AB=4cm，CD=3cm； 根据勾股定理，得：AD= 22 CDAC  =5cm； ∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm； 故橡皮筋被拉长了 2cm． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． 7． 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾 股定理即可求解． 【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A、C 的最短距离为线段 AC 的长． 在 Rt△ADC 中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5π， 所以 AC= 2 43 2 33 22 2       ， 故选：C． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利 用勾股定理解答． 8． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线 和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答 案． 【解答】解：过点 F 作 FG⊥AB 于点 G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF 平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF 平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴ AC FG AB BF  ， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴ 35 4 FGFC  ， ∵FC=FG， ∴ 35 4 FGFC  ， 解得：FC= 2 3 ， 即 CE 的长为 2 3 ． 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以 及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE． 9． 【分析】根据所给出的图形求出 AB、AC、BC 的长以及∠BAC 的度数，再根据三角形的面积 公式列出方程进行计算即可． 【解答】解：根据图形可得： AB=AC= 22 21  = 5 ， BC= 1031 22  ， ∠BAC=90°， 设△ABC 中 BC 的高是 x， 则 AC•AB=BC•x， x 1055 ， x= 2 10 ． 故选：A． 【点评】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、三角形的面积公式，关键是根 据三角形的面积公式列出关于 x 的方程． 10． 【分析】根据正六边形的性质，分 AB 是直角边和斜边两种情况确定出点 C 的位置即可得 解． 【解答】解：如图，AB 是直角边时，点 C 共有 6 个位置，即有 6 个直角三角形， AB 是斜边时，点 C 共有 4 个位置，即有 4 个直角三角形， 综上所述，△ABC 是直角三角形的个数有 6+4=10 个． 故选：B． 【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分 AB 是直角边和斜边两种情况讨论，熟练 掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11． 【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状． 【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8， ∴（a+b）2﹣2ab =100﹣36 =64， c2=64， ∴a2+b2=c2， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则三 角形 ABC 是直角三角形． 12． 【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而得出线段 DE 是△ABC 的中位线，再利用勾股定理得出 AD，再利用线段垂直平分线的性质得出 DC 的长． 【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段 DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=3， ∴AD=DC= 22 DEAE  =5． 故答案为：5 【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出 AD 的 长是解题关键． 13． 【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A′，根据两点之间线段最短可知 A′B 的长度即为所求． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′， 连接 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B= 2222 1216  BDDA =20（cm）． 故答案为 20． 【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾 股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 14． 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出 DF，即 可得出结论． 【解答】解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于 F， 在 Rt△ABC 中，∠B=45°， ∴BC= 2 AB=2，BF=AF= 2 2 AB=1， ∵两个同样大小的含 45°角的三角尺， ∴AD=BC=2， 在 Rt△ADF 中，根据勾股定理得，DF= 322  AFAD ∴CD=BF+DF﹣BC=1+ 3 ﹣2= 3 ﹣1， 故答案为： 3 ﹣1． 【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的 关键． 三．解答题（共 9 小题，满分 90 分） 15． 【分析】求出 AC、CD，利用勾股定理求出 AD 即可； 【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6， ∴BC= 2 1 AB=3， 在 Rt△ABC 中，AC= 3322  BCAB ， ∵AB 是 DC 边上的中线，∴DB=BC=3， 所以 CD=6， 在 Rt△ACD 中，AD=   73633 2222  CDAC ． 答：AD 的长是 3 7 【点评】本题考查勾股定理，中线的定义，直角三角形 30 度角性质等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16． 【分析】根据垂直求出∠ADB=∠ADC=90°，求出 AC=2AD=4，AD=BD=2，根据勾股定理求出 CD 和 AB，即可求出答案． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵在 Rt△ADB 中，∠DAB=90°﹣∠B=90°﹣45°=45°=∠B， ∴AD=BD=2， 由勾股定理得：AB= 2222 22  ； ∵在 Rt△ADC 中，∠C=30°，AD=2， ∴AC=2AD=4， 由勾股定理得：CD= 3224 22  ， ∴△ABC 的周长是 AC+AB+BC=4+2 2 +2+2 3 =6+2 2 +2 3 ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理、含 30°角的直角 三角形的性质等知识点，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键． 17． 【分析】求出 BD=AD= 2 ，AC=2AD=2 2 ，根据勾股定理求出 CD，根据三角形的面积公式 求出即可． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在 Rt△ADB 中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD= 2 ， 在 Rt△ADC 中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2 2 ， ∴CD=     6222 22  ，BC=BD+CD= 2 + 6 ， ∴S△ABC= 2 1 ×BC×AD= 2 1 ×（ 2 + 6 ）× 2 =1+ 3 ． 【点评】本题考查了含 30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角 形的面积等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键． 18． 【分析】连接 BD，根据勾股定理求得 BD 的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD 是直 角三角形，则四边形 ABCD 的面积是两个直角三角形的面积和． 【解答】解：连接 BD． ∵∠A=90°，AB=2cm，AD= 5 ， ∴根据勾股定理可得 BD=3， 又∵CD=5，BC=4， ∴CD2=BC2+BD2， ∴△BCD 是直角三角形， ∴∠CBD=90°， ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD= 2 1 AB•AD+ 2 1 BC•BD= 2 1 ×2× 5 + 2 1 ×4×3= 5 +6（cm2）． 【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注 意：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 19． 【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41； 可得下一组一组勾股数：11，60，61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分 之一． 【解答】解：（1）11，60，61； （2）后两个数表示为 2 12 n 和 2 12 n ， 又∵n≥3，且 n 为奇数， ∴由 n， 2 12 n ， 2 12 n 三个数组成的数是勾股数． 故答案为：11，60，61． 【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关 系式进行猜想、证明即可． 20． 【分析】（1）A 所在的水平线与 B 所在的竖直线的交点就是满足条件的点； （2）根据勾股定理可求得 AB=5，则到 A 的距离是 5 的点就是所求； （3）到 A 点的距离是 5 的格点有 2 个，同理到 B 距离是 5 的格点有 2 个，据此即可求解． 【解答】解：（1）（2）如图所示： （3）在图 2 中满足题（2）条件的格点 D 有 4 个． 故答案是：4． 【点评】本题考查了等腰三角形，勾股定理，正确对等腰三角形的顶点讨论是关键． 21． 【分析】（1）如图 1，设⊙O 半径为 r，纸盒长度为 h'，则 CD= 3 r，BC=2 3 r．根据圆柱 的体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值； （2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值； （3）利用（1）（2）的数据进行解答． 【解答】解：（1）由题意，⊙O 是△ABC 内接圆，D 为切点， 如图 1，连结 OD，OC．设⊙O 半径为 r，纸盒长度为 h'，则 CD= 3 r，BC=2 3 r 则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为： ∴第二种包装的空间利用率大． 【点评】考查了勾股定理的应用，圆的有关计算，立体图形的体积公式，综合性较强，需 要学生对所学知识的系统掌握． 22． 【分析】（1）连接 BD，在直角三角形 ABD 中，利用勾股定理求出 BD，再利用勾股定理 的逆定理判断得到三角形 BCD 为直角三角形，四边形 ABCD 面积等于三角形 ABD 面积+三 角形 BCD 面积，求出即可； （2）由（1）求出的面积，乘以 200 即可得到结果． 【解答】解：（1）连接 BD， 在 Rt△ABD 中，BD2=AB2+AD2=32+42=52， 在△CBD 中，CD2=132，BC2=122， 而 122+52=132， 即 BC2+BD2=CD2， ∴∠DBC=90°， 则 S 四边形 ABCD=S△BAD+S△DBC= 2 1 •AD•AB+ 2 1 DB•BC= 2 1 ×4×3+ 2 1 ×12×5=36； （2）所以需费用 36×200=7200（元）． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键． 23． 【分析】（1）①6，8，10； ②设这三个正整数为 n﹣1，n，n+1，根据勾股定理列方程可得方程解 x=4，得出还是 3，4， 5 这三个数，可得结论不存在； ③设这三个奇数分别为：2n﹣1，2n+1，2n+3，同理列方程，方程无整数解，可知，不存 在； （2）设 AB=x，AC=x+1，BC=x﹣1，作辅助线，构建等腰三角形，证明△CAB∽△CDA，列比 例式，可得方程，解出即可． 【解答】解：（1）①存在三个连续偶数能组成勾股数，如 6，8，10，（3 分） 故答案为：存在；6，8，10； ②答：不存在，（4 分） 理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数， 设这三个正整数为 n﹣1，n，n+1， 则（n﹣1）2+n2=（n+1）2，（5 分） n1=4，n2=0（舍）， 当 n=4 时，n﹣1=3，n+1=5， ∴三个连续正整数仍然是 3，4，5， ∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数；（6 分） ③答：不存在，（7 分） 理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数， 设这三个奇数分别为：2n﹣1，2n+1，2n+3（n＞1 的整数）， （2n﹣1）2+（2n+1）2=（2n+3）2， n1= 2 7 ，n2=﹣ 2 1 ， ∴不存在三个连续奇数能组成勾股数；（8 分） （2）答：存在，三边长分别是 4，5，6，（9 分） 理由是：如图，在△ABC 中，设 AB=x，AC=x+1，BC=x﹣1， 则：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC=2∠BAC， 延长 CB 至 D，使 BD=AB，连接 AD， ∴∠BAD=∠BDA，（10 分） ∵∠ABC=∠BAD+∠BDA=2∠BDA， ∵∠ABC=2∠BAC， ∴∠BAC=∠BDA， ∵∠C=∠C， ∴△CAB∽△CDA， ∴ AC BC CD AC  ， ∴AC2=BC•DC， ∴（x+1）2=（x﹣1）[（x﹣1）+x]， x=5 或 0（舍）， 当 x=5 时，x﹣1=4，x+6， ∴BC=4，AB=5，AC=6， 答：满足条件的△ABC 三边的长为 4，5，6．（12 分） 【点评】本题是阅读材料问题，考查了勾股数的有关问题，一般是指能够构成直角三角形 三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判 断，本题熟练掌握勾股定理列方程是关键． 第二章小结与复习 一、选择题 1.9 的平方根是（ ） A. ±3 B. ± C. 3 D. -3 2.下列实数中是无理数的是( ) A. B. C. π D. ( )0 3.下列说法错误的是（ ） A. 5 是 25 的算术平方根 B. 1 是 1 的一个平方根 C. （-4）2 的平方根是-4 D. 0 的平方根与算术平方根都是 0 4.下列各式中不是二次根式的是（ ） ．________个，整数有________个 （每两个 1 之间依次多 1 个 6）中，无理数有________个，有理数有________个，负数有 ，3.161661666… ，3.12122，  ，1.414， 3 ， ， 13.下列各数： 3 12.16 的平方根是________，算术平方根是________. 二、填空题 －5 D. －3 B. 3 C. 3 A. 5－3 )y 的值是( ) 的整数部分为 x，小数部分为 y，则(2x＋ 11.若 6－ A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 无理数． ①2 是 8 的立方根； ②±4 是 64 的立方根； ③无限小数都是无理数； ④带根号的数都是 10.下列说法正确的个数有（ ） A. 2a＋b B. －2a＋b C. b D. 2a－b ( ) －|a＋b|的结果为 9.实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 A. 1＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. 3＜m＜4 D. 4＜m＜5 －3，则 m 的范围是( ) 8.若 m＝ A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 0 和±1 7.若一个有理数的平方根与立方根是相等的，则这个有理数一定是（ ） D. C. B. A. 6.下列各式化简后，结果为无理数的是（ ） A. 3 B. ﹣3 C. 1 D. ﹣1 ，则 x﹣y 等于（ ） ݕ 5.已知实数 x，y 满足 D. C. B. A. 14.已知 x，y 都是实数，且 y＝ ＋ ＋4，则 yx＝________. 15.如果一个正数的平方根是 a+3 和 2a﹣15，则这个数为________． 三、计算题 16. 计算： （1）（ ）+（ ） （2）（ ）（ ） 17.求下列各式中 x 的值： （1）(x－2)2＋1＝17; （2）(x＋2)3＋27＝0. 18.一个数的算术平方根为 2M－6，平方根为±(M－2)，求这个数． 19.如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若 AB＝2 ，CD＝4 ，BC＝8， 求四边形 ABCD 的面积． 20.设 ， ， ，…， ．若 ，求 S（用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）． 21.用 48 米长的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形场 地，另一种是围成圆形场地．选用哪一种方案围成的场地的面积较大？并说明理由． 22.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如 3＋2 ＝(1＋ )2.善于思考的小明进行了以下探索：设 a＋b ＝(m＋n )2(其 中 a，b，m，n 均为整数)，则有 a＋b ＝m2＋2n2＋2mn .∴a＝m2＋2n2 ， b＝2mn. 这样小明就找到了一种把类似 a＋b 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探 索并解决下列问题： （1）当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b ＝(m＋n )2 ， 用含 m，n 的式子 分别表示 a、b，得 a＝________，b＝________； （2）利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：________＋________ ＝ (________＋________ )2； （3）若 a＋4 ＝(m＋n )2 ， 且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值． 答案解析部分 一、选择题 1.【答案】A 【考点】平方根 【解析】【解答】解：9 的平方根是： ± =±3． 故选：A． 【分析】根据平方根的含义和求法，可得 9 的平方根是：± =±3，据此解答即可． 2.【答案】C 【考点】无理数的认识 【解析】【解答】解：因为无理数是无限不循环小数,故答案为：C. 【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数，包括π以及开不尽方的数。 3.【答案】C 【考点】平方根，算术平方根 【解析】【解答】解：A.因为 =5，所以 A 不符合题意；B.因为± =±1，所以 1 是 1 的一个平方根说法正确,所以 B 不符合题意； C.因为± =± =±4，所以 C 符合题意； D.因为 ± =0， =0，所以 D 不符合题意. 故答案为：C． 【分析】一个正数有两个实平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，就是 0 本身； 负数没有平方根. 4.【答案】B 【考点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：A、 ，∵x2+1≥1＞0，∴ 符合二次根式的定义；不 符合题意；B、∵﹣4＜0，∴ 不是二次根式；符合题意； C、∵0≥0，∴ 符合二次根式的定义；不符合题意；D、 符合二次根式的定 义；不符合题意． 故答案为：B． 【分析】根据二次根式的定义被开方数≥0，由﹣4＜0，得到 不是二次根式. 5.【答案】A 【考点】算术平方根 【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣2=0，y+1=0， 解得 x=2，y=﹣1， 所以，x﹣y=2﹣（﹣1）=2+1=3． 故选 A． 【分析】根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 6.【答案】D 【考点】无理数 【解析】【解答】解： =8， =4， =3， =2 ， 无理数为 ． 故选 D． 【分析】根据无理数的三种形式求解． 7.【答案】A 【考点】立方根及开立方 【解析】【解答】解：∵0 的平方根是 0，0 的立方根是 0， ∴0 的平方根和立方根相等， ∵﹣1 没有平方根，1 的平方根是±1，1 的立方根是 1， ∴只有 0 的平方根和立方根相等， 故选 A． 【分析】分别求出 0、1、﹣1 的平方根和立方根，再得出答案即可． 8.【答案】B 【考点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：因为 , 㠮 ,所以 ,所以 ,故答案为：B. 【分析】由 5= < < = 6，得到 m 的范围 2＜m＜3. 9.【答案】C 【考点】实数在数轴上的表示，实数的运算 【解析】【解答】解：利用数轴得出 a+b 的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出 即可：∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|， ∴ . 故答案为：C． 【分析】由数轴和|a|＞|b|，得到 a+b＜0，再利用绝对值和二次根式的性质求出代数式的 值. 10.【答案】A 【考点】立方根及开立方 【解析】【解答】解：①2 是 8 的立方根，正确；②4 是 64 的立方根，错误；③无限不循 环小数是无理数，错误；④带根号的数不一定都是无理数，错误． 则正确的个数有 1 个， 故选 A． 【分析】利用立方根，无理数的定义判断即可． 11.【答案】B 【考点】估算无理数的大小，实数的运算 【解析】【解答】解：因为 , 㠮 所以 ,所以 ,所以 的整数部分 x=2,小数部分 y= ,所以(2x＋ )y= ,故答案为：B. 【分析】由 3= ＜ ＜4= ，得到 2＜6- ＜3，得到它的整数部分是 2，小数部分 是 4- ，再由平方差公式求出代数式的值. 二、填空题 12.【答案】±4；4 【考点】平方根，算术平方根 【解析】【解答】解：∵42=16，(−4)2=16，∴16 的平方根为±4； 算术平方根为 4. 故答案为±4，4. 【分析】x2=a，x 叫做 a 的平方根；正数有两个平方根，它们互为相反数，0 的平方根是 0， 负数没有平方，正的平方根叫做这个数的算术平方根. 13.【答案】3；5；4；2 【考点】实数及其分类，有理数及其分类 【解析】【解答】解：根据无理数、有理数、负数和整数的定义，无理数有：3 ， ， 3.161661666…；有理数有： ， ，1.414，3.12122， ；负数有： ， ， ， ；整数有： ， .故答案为：3；5；4；2. 【分析】无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数，不能写作两整数之比；有理数是整 数和分数. 14.【答案】64 【考点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：由题意得 x="3,y=4," 则 ＝43=64 【分析】由二次根式有意义的条件被开方数是非负数，得到 x、y 的值，求出代数式的值. 15.【答案】49 【考点】平方根 【解析】【解答】解：∵一个正数的平方根是 a+3 和 2a﹣15，∴a+3 和 2a﹣15 互为相反数， 即（a+3）+（2a﹣15）=0； 解得 a=4， 则 a+3=﹣（2a﹣15）=7； 则这个数为 72=49； 故答案为 49． 【分析】一个正数有两个实平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，就是 0 本身； 负数没有平方根；根据题意得到（a+3）+（2a﹣15）=0，求出 a 的值，求出这个数. 三、计算题 16.【答案】（1）解：（ ）+（ ）= =3 （2）解：（ ）（ ）=7-2 =5. 【考点】二次根式的加减法，二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先化简二次根式去掉小括号，再合并同类二次根式；（2）根据平 方差公式计算即可. 17.【答案】（1）解：(x－2)2＝16,x－2＝±4, x＝6 或－2, （2）解：(x＋2)3＝－27,x＋2＝－3, x＝－5. 【考点】直接开平方法解一元二次方程 【解析】【分析】运用直接开平方法和开立方法，求出 x 的值即可. 18.【答案】解:应分两种情况:①2M－6＝M－2,解得 M＝4, ∴2M－6＝8－6＝2,22＝4, ② 2M－6＝－(M－2),解得 M＝ 3 8 , ∴ 2M－6＝ －6＝ 3 2 (不合题意,舍去),故这个数是 4. 【考点】平方根，算术平方根 【解析】【分析】一个正数有两个实平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，就是 0 本身；负数没有平方根；正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；由题意得到 2M－ 6＝M－2 或 2M－6＝－(M－2)，求出这个数即可． 19.【答案】解:∵ AB＝AD,∠BAD＝90°,AB＝ ,∴ BD＝ ＝4, ∵ BD2＋CD2＝42＋( )2＝64,BC2＝64, ∴ BD2＋CD2＝BC2, ∴ △ BCD 为直角三角形, ∴S 四边形 ABCD＝S △ ABD＋S △ BCD＝ 2 1 × × ＋ 2 1 × ×4＝4＋8 . 【考点】三角形的面积，勾股定理的逆定理，勾股定理的应用 【解析】【分析】根据勾股定理求出 BD 的值，再根据勾股定理的逆定理得到 △ BCD 为直角 三角形，再由三角形的面积公式求出四边形 ABCD 的面积． 20.【答案】解：∵ ， ， ，…， ． ∴S1=（ 2 3 ）2 ， S2=（ 6 7 ）2 ， S3=（ 12 13 ）2 ， …，Sn=（ ）2 ， ∵ ， ∴S= × × ， ∴S=1+ × × × ， ∴S=1+1﹣ 2 1 +1+ 3 1 ﹣ 4 1 +…+1+ ， ∴S=n+1﹣ = 【考点】算术平方根，探索数与式的规律 【解析】【分析】根据材料中的规律得到 = 2 3 = × ， = × ，···求出 S 的代数式. 21.【答案】解:选用围成圆形场地的方案围成的面积较大,理由如下:设 S1,S2 分别表示围成的 正方形场地,圆形场地的面积,则 S1＝ ＝ (平方米),S2＝ ＝ (平方米), ∵π＜4,∴ ＜ ,即 S1＜S2,因此围成圆形场地的面积较大. 【考点】含乘方的有理数混合运算 【解析】【分析】根据题意得到选用围成圆形场地的方案围成的面积较大，根据面积公式, 圆形场地的面积是πr2 ， 正方形场地面积是 a2 ， 比较即可. 22.【答案】（1）m2＋3n2；2mn （2）4；2；1；1 （3）解：根据题意得， ∵2mn＝4，且 m、n 为正整数， ∴m＝2，n＝1 或 m＝1，n＝2， ∴a＝13 或 7. 【考点】代数式求值，探索数与式的规律，完全平方式 【解析】【解答】(1)将(m＋n )2 展开得 m2＋2n2＋2mn ，因为 a＋b ＝(m＋n )2 ，所以 a＋b ＝m2＋3n2＋2 mn，根据恒等可判定 a＝m2＋3n2 ，b＝2mn； (2)根据(1)中 a、b 和 m、n 的关系式，取的值满足 a＝m2＋3n2 ， b＝2mn 即可．(3)将(m ＋n )2 展开，由(1)可知 a、m、n 满足 再利用 a、m、n 均为正整数， 2mn＝4，判断出 m、n 的值，分类讨论，得出 a 值． 【分析】（1）根据完全平方公式得到 a、b 的代数式；（2）由（1）中的关系式，再由 a， b，m，n 是正整数，得到代数式的值；（3）根据完全平方公式展开，得到代数式的关系 求出 a 的值. 第三章小结与复习 一、选择题 1．根据下列表述，能确定位置的是( ) A．光明剧院 2 排 B．某市人民路 C．北偏东 40° D．东经 112°，北纬 36° 2．在平面直角坐标系中，点 A(－3，0)在( ) A．x 轴正半轴上 B．x 轴负半轴上 C．y 轴正半轴上 D．y 轴负半轴上 3．如图，如果“仕”所在位置的坐标为(－1，－2)，“相”所在位置的坐标为(2，－ 2)，那么“炮”所在位置的坐标为( ) A．(－3，1) B．(1，－1) C．(－2，1) D．(－3，3) (第 3 题) (第 8 题) (第 9 题) (第 10 题) 4．若点 A(m，n)在第二象限，则点 B(－m，|n|)在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．平面直角坐标系内的点 A(－1，2)与点 B(－1，－2)关于( ) A．y 轴对称 B．x 轴对称 C．原点对称 D．直线 y＝x 对称 6．已知点 A(1，0)，B(0，2)，点 P 在 x 轴上，且△PAB 的面积为 5，则点 P 的坐标为( ) A．(－4，0) B．(6，0) C．(－4，0)或(6，0) D．无法确定 7．在以下四点中，哪一点与点(－3，4)所连的线段与 x 轴和 y 轴都不相交( ) A．(－5，1) B．(3，－3) C．(2，2) D．(－2，－1) 8．如图是小李设计的 49 方格扫雷游戏，“★”代表地雷(图中显示的地雷在游戏中都 是隐藏的)，点 A 可用(2，3)表示，如果小惠不想因点到地雷而结束游戏的话，下 列选项中，她应该点( ) A．(7，2) B．(2，6) C．(7，6) D．(4，5) 9．如图，已知在边长为 2 的等边三角形 EFG 中，以边 EF 所在直线为 x 轴建立适当的 平面直角坐标系，得到点 G 的坐标为(1，3)，则该坐标系的原点在( ) A．E 点处 B．F 点处 C．G 点处 D．EF 的中点处 10．如图，弹性小球从点 P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．小球第 1 次碰到长方形的边时的点为 P1， 第2 次碰到长方形的边时的点为 P2……第 n 次碰到长方形的边时的点为 Pn，则点 P3 的坐标是(8，3)，点 P2 018 的坐标是( ) A．(8，3) B．(7，4) C．(5，0) D．(3，0) 二、填空题 11．已知点 A 在 x 轴上，且 OA＝3，则点 A 的坐标为__________． 12．已知小岛 A 在灯塔 B 的北偏东 30°的方向上，则灯塔 B 在小岛 A 的________的方向 上． 13．对任意实数，点 P(x，x－2)一定不在第______象限． 14．点__________与(－3，7)关于 x 轴对称，点__________与(－3，7)关于 y 轴对称， 点(－3，7)与(－3，－2)之间的距离是________． 15．在平面直角坐标系中，一青蛙从点 A(－1，0)处向右跳 2 个单位长度，再向上跳 2 个单位长度到点 A′处，则点 A′的坐标为__________． 16．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横、纵坐标均为整数．若在此平面直 角坐标系内移动点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点 A 的横、 纵坐标仍是整数，则移动后点 A 的坐标为__________． (第 16 题) (第 17 题) (第 18 题) 17．如图，在△ABC 中，点 A 的坐标为(0，1)，点 B 的坐标为(0，4)，点 C 的坐标为(4， 3)，如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么点 D 的坐标是________________________． 18．将正整数按如图的规律排列下去，若用有序数对(m，n)表示 m 排从左到右第 n 个 数．如(4，3)表示 9，则(15，4)表示________． 三、解答题(19～21 题每题 10 分，其余每题 12 分，共 66 分) 19．在直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来． (1)(2，6)，(4，6)，(4，8)，(2，8)；(2)(3，0)，(3，3)，(3，6)；(3)(3，5)， (1，6)；(4)(3，5)，(5，6)；(5)(3，3)，(2，0)；(6)(3，3)，(4，0)． 20.小林放学后，先向东走了 300 m 再向北走 200 m，到书店 A 买了一本书，然后向 西走了 500 m 再向南走了 100 m，到快餐店 B 买了零食，又向南走了 400 m，再向 东走了 800 m 到了家 C.请建立适当的平面直角坐标系，并在坐标系中画出点 A，B， C 的位置． 21．如图是规格为 8×8 的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： (1)请在网格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为(－2，4)，点 B 的坐标为(－4， 2)； (2)在第二象限内的格点上找一点 C，使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三 角形，且腰长是无理数，画出△ABC，则点 C 的坐标是________，△ABC 的周长是 ________(结果保留根号)； (3)作出△ABC 关于 x 轴对称的△A′B′C′. (第 21 题) 22．在直角坐标系中，有点 A(3，0)，B(0，4)，若有一个直角三角形与 Rt△ABO 全等 且它们只有一条公共直角边，请写出这些直角三角形各顶点的坐标(不要求写计 算过程)． 23．长阳公园有四棵古树 A，B，C，D，示意图如图所示． (1)请写出 A，B，C，D 四点的坐标； (2)为了更好地保护古树，公园决定将如图所示的四边形 EFGH 用围栏圈起来划为保护 区，请你计算保护区的面积(单位：m)． (第 23 题) 24．如图，已知点 P(2m－1，6m－5)在第一象限的角平分线 OC 上，AP⊥BP，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上． (1)求点 P 的坐标． (2)当∠APB 绕点 P 旋转时，OA＋OB 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围； 若不变，求出这个定值． (第 24 题) 答案 一、1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.C 7．A 8.D 9.A 10.B 二、11.(3，0)或(－3，0) 12．南偏西 30° 13.二 14．(－3，－7)；(3，7)；9 15.(1，2) 16．(－1，1)或(－2，－2) 17．(4，2)或(－4，2)或(－4，3) 18.109 三、19.解：画出的图形如图所示． (第 19 题) 20．解：(答案不唯一)以学校门口为坐标原点、向东为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系， 各点的位置如图： (第 20 题) 21．解：(1)如图所示 (第 21 题) (2)如图所示． (－1，1)；210＋22 (3)如图所示． 22．解：根据两个三角形全等及有一条公共直角边，可利用轴对称得到满足这些条件的直 角三角形共有 6 个．如图： (第 22 题) ①Rt△OO1A，②Rt△OBO1，③Rt△A2BO，④Rt△A1BO，⑤Rt△OB1A，⑥Rt△OAB2. 这些三角形各个顶点的坐标分别为：①(0，0)，(3，4)，(3，0)； ②(0，0)，(0，4)，(3，4)； ③(－3，4)，(0，4)，(0，0)； ④(－3，0)，(0，4)，(0，0)； ⑤(0，0)，(0，－4)，(3，0)； ⑥(0，0)，(3，0)，(3，－4)． 23．解：(1)A(10，10)，B(20，30)， C(40，40)，D(50，20)． (2)四边形 EFGH 各顶点坐标分别为 E(0，10)，F(0，30)，G(50，50)，H(60， 0)，另外 M(0，50)，N(60，50)，则保护区的面积 S＝S 长方形 MNHO－S△GMF－S△GNH －S△EHO＝60×50－1 2×20×50－1 2×10×50－1 2×10×60＝3 000－500－250－300 ＝1 950(m2)． 24．解：(1)由题意，得 2m－1＝6m－5.解得 m＝1. 所以点 P 的坐标为(1，1)． (2)当 PA 不垂直于 x 轴时，作 PD⊥x 轴于点 D，PE⊥y 轴于点 E，则△PAD≌△PBE， 所以 AD＝BE. 所以 AD＝BE.所以 OA＋OB＝OD＋AD＋OB＝OD＋BE＋OB＝OD＋OE＝2，为定值． 当 PA⊥x 轴时，显然 PB⊥y 轴，此时 OA＋OB＝2，为定值．故 OA＋OB 的值不 发生变化，其值为 2. 第四章小结与复习 一、选择题 1．正比例函数 y＝2x 的大致图象是( ) 2．若直线 y＝kx＋b 经过第二、三、四象限，则( ) A．k>0，b>0 B ．k>0，b0 C．y1a4>a5，则数据 a1，a2， a3，0，a4，a5 的平均数和中位数是( ) A．a，a3 B．a，a2＋ a2＋a3 2 C. 5 6 a， a2＋a3 2 D. 5 6 a， a3＋a4 2 二、填空题 11．已知一组数据为 25，25，27，27，26，则其平均数为________． 12．某项目六名礼仪小姐的身高(单位：cm)如下：168，166，168，167，169，168， 则她们身高的众数是________，极差是________． 13．如图是某商场一天的运动鞋销售量情况统计图，这些运动鞋的尺寸的众数和中位 数分别为____________ . (第 13 题) (第 16 题) 14．某学生数学学科课堂表现为 90 分，平时作业为 92 分，期末考试为 85 分，若这 三项成绩分别按 30%，30%，40%的比例计入总评成绩，则该学生数学学科总评成 绩是________分． 15．已知样本数据 x1，x2，x3，x4 的方差为 2，则 4x1，4x2，4x3，4x4 的方差是________． 16．甲、乙两名射击运动员进行 10 次射击，甲的成绩(单位：环)是 7，7，8，9，8， 9，10，9，9，9，乙的成绩如图所示，则甲、乙两人射击成绩的方差之间的关系 是 s 甲 2________s 乙 2(填“＞”“＜”或“＝”)． 17．某班 40 名学生的某次数学测验成绩统计表如下： 成绩/分 50 60 70 80 90 100 人数 2 x 10 y 8 2 若这个班的数学平均成绩是 74 分，则 x＝________，y＝________. 18．某商店 3 月份、4 月份出售同一品牌各种规格的空调台数如下表： 规格销售量/ 台月份 A 型号 B 型号 C 型号 D 型号 3 月 12 20 8 4 4 月 16 30 8 6 根据表中的数据回答下列问题： (1)该商店这两个月平均每月销售空调________台； (2)请你帮助该商店经理考虑下，6 月份进货时，商店对________型号的空调要多进， 对________型号的空调要少进． 三、解答题 19．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取 8 件，对其使用寿命跟踪调查．结 果如下(单位：年)： 甲：3 4 5 6 8 8 9 10 乙：4 6 6 6 8 9 12 13 丙：3 3 4 7 9 10 11 12 三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是 8 年，请根据结果来判断厂家在广告 中分别运用了平均数、众数、中位数的哪一种集中趋势的特征数． 20．小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了 10 次，下图是他们投标 成绩的统计图． (第 20 题) 平均数 中位数 众数 小亮 7 小莹 7 9 (1)根据图中信息填写上表； (2)分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好． 21．某饮料店为了了解本店一种果汁饮料上半年的销售情况，随机调查了 8 天该种饮 料的日销售量，结果如下(单位：听)：33，32，28，32，25，24，31，35. (1)这 8 天的平均日销售量是多少听？ (2)根据上面的计算结果，估计上半年(按 181 天计算)该店能销售这种饮料多少听？ 22．张林、李明、王浩、刘平、陈亮五人学习小组在两次数学测试中，成绩如表所示． (1)为了比较学习小组数学测验成绩某种意义上的稳定性，可采取绝对差作为评价标 准．若绝对差的计算公式是：绝对差＝1 n (|x1－x|＋|x2－x|＋…＋|xn－x|)(其中 x 表示 n 个数据 x1，x2，…，xn 的平均数)，并规定绝对差小的稳定性好．请问这 两次数学测验成绩，哪一次测验成绩更稳定？ (2)请你设计一种能评价张林两次数学测验成绩好与差的方案？并通过计算说明． 张林 李明 王浩 刘平 陈亮 平均分 第 1 次 81 82 79 78 80 80 第 2 次 82 79 89 85 75 82 23．某次学生夏令营活动，有小学生、初中生、高中生和大学生参加，共 200 人，各 类学生人数比例见扇形统计图(如图)． (1)参加这次夏令营活动的初中生共有多少人？ (2)活动组织者号召参加这次夏令营活动的所有学生为贫困学生捐款．结果小学生每 人捐款 5 元，初中生每人捐款 10 元，高中生每人捐款 15 元，大学生每人捐款 20 元．问平均每人捐款多少元？ (3)在(2)的条件下，把每个学生的捐款数额(单位：元)一一记录下来，则在这组数据 中，众数是多少？ (第 23 题) 24．某市甲、乙两个汽车销售公司 1 至 10 月每月销售同种品牌汽车的情况如图所示． (1)请你根据统计图填写下表： 销售公司 平均数/辆 方差 中位数/辆 众数/辆 甲 9 乙 9 17.0 8 (2)请你从以下两个不同的方面对甲、乙两个汽车销售公司 1 至 10 月的销售情况进 行分析(分析哪个汽车销售公司较有潜力)：①从平均数和方差结合看；②从折线 图上甲、乙两个汽车销售公司销售量的趋势看． (第 24 题) 答案 一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.D 7．A 8.D 9.B 10.D 二、11.26 12.168 cm；3 cm 13．25 cm 和 24.5 cm 14.88.6 15．32 16．< 17.10；8 18.(1)52 (2)B；D 三、19.解：甲厂用了众数，乙厂用了平均数，丙厂用了中位数． 20．解：(1)7；7；7.5 (2)平均数相等说明两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明小莹 的成绩比小亮好． 21．解：(1)这 8 天的平均日销售量是1 8 (33＋32＋28＋32＋25＋24＋31＋35)＝30(听)． (2)30×181＝5 430(听)． 所以估计上半年该店能销售这种饮料 5 430 听． 22．解：(1)设两次数学测验成绩的绝对差分别是 P1，P2，则 P1＝1 5 (|81－80|＋|82－80| ＋|79－80|＋|78－80|＋|80－80|)＝1.2，P2＝1 5 (|82－82|＋|79－82|＋|89 －82|＋|85－82|＋|75－82|)＝4.因为 P1＜P2，所以第 1 次数学测验成绩更稳 定． (2)答案不唯一，以下提供一种设计方案参考：第 1 次测验成绩 81 分排序是第 2 名，第 2 次测验成绩 82 分排序是第 3 名，所以从排名序号来看，张林第 1 次测验成绩比第 2 次更好些． 23．解：(1)200×(1－10%－20%－30%)＝80(人)． (2)[(20%×5＋30%×15＋10%×20)×200＋80×10]÷200＝11.5(元)． (3)众数是 10 元． 24．解：(1) 销售 公司 平均数 /辆 方差 中位数 /辆 众数 /辆 甲 9 5.2 9 7 乙 9 17.0 8 8 (2)①因为甲、乙的平均数相同，而 s 甲 2＜s 乙 2，所以甲汽车销售公司比乙汽车销售 公司的销售情况稳定． ②因为甲汽车销售公司每月销售量在平均数上下波动，而乙汽车销售公司每月销 售量总体上呈上升趋势，并且从 6 月起每月都比甲汽车销售公司销售量多，所 以乙汽车销售公司较有潜力． 第七章小结与复习 一、单选题 1、如图,△ABC 中，∠ACB=90°, ∠A=30°，AC 的中垂线交 AC 于 E.交 AB 于 D，则图中 60°的角 共有 ( ) A、6 个 B、5 个 C、4 个 D、3 个 2、下列说法中正确的是( ) A、原命题是真命题,则它的逆命题不一定是真命题 B、原命题是真命题,则它的逆命题不是命题 C、每个定理都有逆定理 D、只有真命题才有逆命题 3、下列命题是假命题的是( ) A、如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c B、锐角三角形中最大的角一定大于或等于 60° C、两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D、矩形的对角线相等且互相平分 4、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=DC=CB，若 ，则 A、130° B、125° C、115° D、50° 5、如图，AB∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B 的度数为（ ） A、60° B、65° C、70° D、75° 6、下列条件中，能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A、∠A=2∠B=3∠C B、∠A+∠B=2∠C C、∠A=∠B=30° D、∠A= ∠B= ∠C 7、下列四个命题，其中真命题有（ ） （1）有理数乘以无理数一定是无理数； （2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形； （3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等； （4）如果正九边形的半径为 a，那么边心距为 a•sin20°． A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 8、下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合， ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最小边是底边； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形． 其中正确的有（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 9、下列命题中，真命题是（ ） A、周长相等的锐角三角形都全等 B、周长相等的直角三角形都全等 C、周长相等的钝角三角形都全等 D、周长相等的等腰直角三角形都全等 10、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3 的度数为 （ ） A、80 B、50 C、30 D、20 二、填空题 11、命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是________，结论 ________． 12、如图，一张矩形纸片沿 AB 对折，以 AB 中点 O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折 线折叠，再沿 CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于________． 13、已知命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形是旋转对称图形．”，写出 它的逆命题是 ________，该逆命题是 ________命题（填“真”或“假”）． 14、如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E 的度数为________． 15、写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：________． 16、已知，如图，在△ABC 中，OB 和 OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，过 O 作 DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E，若 BD+CE=5，则线段 DE 的长为________． 17、一个三角形的三个外角之比为 5：4：3，则这个三角形内角中最大的角是________度． 18、如图，在 ABCD 中，CH⊥AD 于点 H ， CH 与 BD 的交点为 E.如果 ， ，那么 ________ 三、解答题 19、如图，已知∠ABC=52°，∠ACB=60°，BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过点 O， 且平行于 BC，求∠BOC 的度数． 20、如图，△ABC 中，∠A=30°，∠B=62°，CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于 D，DF⊥CE 于 F，求∠ CDF 的度数． 21、已知△ABC 中，∠A=105°，∠B 比∠C 大 15°，求：∠B，∠C 的度数． 22、如图，过∠AOB 平分线上一点 C 作 CD∥OB 交 OA 于点 D，E 是线段 OC 的中点，请过点 E 画直线分别交射线 CD、OB 于点 M、N，探究线段 OD、ON、DM 之间的数量关系，并证 明你的结论． 23、已知：如图，E、F 是平行四边行 ABCD 的对角线 AC 上的 两点，AE=CF。 求证： (1)△ADF≌△CBE (2)EB∥DF． 四、综合题 24、综合题(1)如图 1，把△ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A’处，试探索∠1+∠2 与∠A 的关 系．（不必证明）． (2)如图 2，BI 平分∠ABC，CI 平分∠ACB，把△ABC 折叠，使点 A 与点 I 重合，若∠1+∠2=130 °，求∠BIC 的度数； (3)如图 3，在锐角△ABC 中，BF⊥AC 于点 F，CG⊥AB 于点 G，BF、CG 交于点 H，把△ABC 折叠使点 A 和点 H 重合，试探索∠BHC 与∠1+∠2 的关系，并证明你的结论． 答案解析 一、单选题 1、【答案】B 【考点】三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线定理，可得 AD=CD，则∠CDE=∠ADE，又∠ACB=90°, ∠A=30°， ∴∠B=∠DCB=∠BDC=∠CDE=∠ADE=60° 共 5 个角为 60° 故选 B 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的 距离相等)，难度一般． 2、【答案】 A 【考点】命题与定理 【解析】原命题是真命题,则它的逆命题不是命题 是错误的，原命题的逆命题依然有条件 和结论两部分，依然是命题。 每个定理都有逆定理是错误的，原命题是定理，但逆命题不一定是定理，不能称为逆定理。 只有真命题才有逆命题是错误的，假命题也有逆命题。 A 正确 3、【答案】 C 【考点】同位角、内错角、同旁内角，平行公理及推论，三角形内角和定理，矩形的性质， 命题与定理 【解析】【分析】依次分析各选项即可得到结论。 A.如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c，B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于 60°，D.矩形的对 角线相等且互相平分，均是真命题，不符合题意； C.两条直线被第三条直线所截，若这两条直线平行，则内错角相等，故是假命题。 【点评】此类问题知识点综合性较强，主要考查学生对所学知识的熟练掌握程度，在中考 中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般。 4、【答案】 A 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等腰梯形的性质 【解析】【分析】先根据平行线的性质求得∠CDB 的度数，再根据等腰三角形的性质求得∠ CBD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求解即可. ∵AB∥CD， ∴∠CDB= ∵AD=DC=CB ∴∠CBD=∠CDB=25° ∴ 180°-25°-25°=130° 故选 A. 【点评】此类问题是是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需 熟练掌握. 5、【答案】C 【考点】平行线的性质，三角形的外角性质 【解析】【分析】∵∠D=∠E=35°， ∴∠1=∠D+∠E=35°+35°=70°， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠1=70°. 故选 C. 6、【答案】D 【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质 【解析】【解答】解：A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则∠A= ， 所以 A 选项 错误； B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，则∠C=60°，不能确定△ABC 为直角三角形，所以 B 选项错误； C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=150°，所以 B 选项错误； D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A= ∠B= ​ ∠C ， 则∠C=90°，所以 D 选项正确． 故选 D． 【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC 的内角，然后根据直角三 角形的判定方法进行判断． 7、【答案】 A 【考点】命题与定理 【解析】【解答】解：有理数乘以无理数不一定是无理数，若 0 乘以π得 0，所以（1）错 误； 顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，所以（2）正确； 在同圆中，相等的弦所对的弧对应相等，所以（3）错误； 如果正九边形的半径为 a，那么边心距为 a•cos20°，所以（4）错误． 故选 A． 【分析】利用反例对（1）进行判断；根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线性质、 菱形的判定方法可对（2）进行判断；根据弦对两条弧可对（3）进行判断；根据正九边形 的性质和余弦的定义可对（4）解析判断． 8、【答案】 B 【考点】命题与定理 【解析】【解答】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故本选 项错误， ②等腰三角形两腰上的高相等，正确； ③等腰三角形的最小边不一定是底边，故本选项错误； ④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确； ⑤等腰三角形不一定是锐角三角形，故本选项错误； 其中正确的有 2 个， 故选：B． 【分析】根据等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质分别对每一项进行分析即可 9、【答案】 D 【考点】全等三角形的判定，命题与定理 【解析】【解答】解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定 相等，假命题； B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题； C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题； D、由于等腰直角三角形三边之比为 1：1： ，故周长相等时，等腰直角三角形的对应 角相等，对应边相等，故全等，真命题． 故选 D． 【分析】全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一 检验． 10、【答案】D 【考点】平行线的性质，三角形的外角性质 【解析】【解答】解：如图，∵BC∥DE，∴∠CBD=∠2=50°， 又∵∠CBD 为△ABC 的外角， ∴∠CBD=∠1+∠3， 即∠3=50°﹣30°=20°． 故选 D． 【分析】由 BC∥DE 得内错角∠CBD=∠2，由三角形外角定理可知∠CBD=∠1+∠3，由此可求∠ 3． 二、填空题 11、【答案】 一个角是三角形的外角；等于和它不相邻的两个内角的和 【考点】命题与定理 【解析】【解答】先把命题写成“如果”，“那么”的形式，“如果”后面的是条件，“那 么”后面的是结论。 命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是一个角是三角形的外 角，结论是等于和它不相邻的两个内角的和． 【分析】解答本题的关键是要掌握“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论。 12、【答案】126° 【考点】三角形内角和定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】展开如图： ∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°， ∴∠OCD＝180°﹣36°﹣18°＝126°． 故选 C． 【分析】按照如图所示的方法折叠，剪开，把相关字母标上，易得∠ODC 和∠DOC 的度数， 利用三角形的内角和定理可得∠OCD 的度数．解决本题的关键是能够理解所求的角是五角 星的哪个角，解题时可以结合正五边形的性质解决． 13、【答案】如果一个四边形是旋转对称图形，那么这个四边形是平行四边形；真 【考点】命题与定理 【解析】【解答】解：“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形是旋转对称图形” 的逆命题是“如果一个四边形是旋转对称图形，那么这个四边形是平行四边形”．该逆命题 是真命题． 故答案为：如果一个四边形是旋转对称图形，那么这个四边形是平行四边形，真． 【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可． 14、【答案】29° 【考点】平行线的性质，三角形的外角性质 【解析】【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠DFE=∠A=56°， 又∵∠C=27°， ∴∠E=56°﹣27°=29°， 故答案为 29°． 【分析】根据 AB∥CD，求出∠DFE=56°，再根据三角形外角的定义性质求出∠E 的度数． 15、【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角 形 【考点】命题与定理 【解析】【解答】解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一 个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 【分析】把一 个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三 角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 16、【答案】 5 【考点】平行线的性质，等腰三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵在△ABC 中，OB 和 OC 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴∠DBO=∠OBC， ∠ECO=∠OCB， ∵DE∥BC， ∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO， ∴DB=DO，OE=EC， ∵DE=DO+OE， ∴DE=BD+CE=5． 故答案为：5． 【分析】根据 OB 和 OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，和 DE∥BC，利用两直线平行，内错角相 等和等量代换，求证出 DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案． 17、【答案】90 【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质 【解析】【解答】解：∵一个三角形的三个外角之比为 3：4：5， ∴设角形的三个外角分 别为 3x，4x，5x，则 3x+4x+5x=360°， 解得 x=30°， ∴3x=90°，4x=120°，5x=150°， ∴与之对应的内角分别为：90°，60°，30°， ∴三角形内角中最大的角是 90°， 故答案为：90 【分析】设三角形的三个外角的度数分别为 3x、4x、5x，根据三角形的外角和等于 360° 列出方程，求出 x 的值，进而得出三个内角的度数，并判断其中的最大的角． 18、【答案】60° 【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质 【解析】【解答】解：∵∠1=70°，∴∠DEH=70°. ∵CH⊥AD, ∴∠HDE=90°-70°=20°. ∵AD∥BC, ∴∠2=∠HDE==20°. ∵∠ABC=3∠2，∴∠ABC=60°. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ADC=∠ABC=60°. 三、解答题 19、【答案】 解：∵∠ABC=52°，∠ACB=60°，BO、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （52°+60°）=56°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣56°=124°． 【考点】三角形内角和定理 【解析】【分析】先根据角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB 的度数，再由三角形内角和定 理即可得出结论． 20、【答案】 解：∵∠A=30°，∠B=62°， ∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）， =180°﹣（30°+62°）， =180°﹣92°， =88°， ∵CE 平分∠ACB， ∴∠ECB= ∠ACB=44°， ∵CD⊥AB 于 D， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣62°=28°， ∴∠ECD=∠ECB﹣∠BCD=44°﹣28°=16°， ∵DF⊥CE 于 F， ∴∠CFD=90°， ∴∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣16°=74° 【考点】三角形内角和定理 【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，以及∠BCD 的度数，根 据角的平分线的定义求得∠BCE 的度数，则∠ECD 可以求解，然后在△CDF 中，利用内角和 定理即可求得∠CDF 的度数． 21、【答案】 解：∵∠A+∠B+∠C=180°， 而∠A=105°，∠B=∠C+15°， ∴105°+∠C+15°+∠C=180°， ∴∠C=30°， ∴∠B=∠C+15°=30°+15°=45° 【考点】三角形内角和定理 【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°，再把∠A=105°，∠B=∠C+15° 代入可计算出∠C，然后计算∠B 的度数． 22、【答案】解：①当点 M 在线段 CD 上时，线段 OD、ON、DM 之间的数量关系是：OD=DM+ON． 证明：如图 1， ， ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠DOC=∠C0B， 又∵CD∥OB， ∴∠DCO=∠C0B， ∴∠DOC=∠DC0， ∴OD=CD=DM+CM， ∵E 是线段 OC 的中点， ∴CE=OE， ∵CD∥OB， ∴ ， ∴CM=ON， 又∵OD=DM+CM， ∴OD=DM+ON． ②当点 M 在线段 CD 延长线上时，线段 OD、ON、DM 之间的数量关系是：OD=ON﹣DM． 证明：如图 2， ， 由①，可得 OD=DC=CM﹣DM， 又∵CM=ON， ∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM， 即 OD=ON﹣DM． 【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质 【解析】【分析】①当点M在线段CD上时，线段 OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON． 首先根据 OC 是∠AOB 的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0，所以 OD=CD=DM+CM；然 后根据 E 是线段 OC 的中点，CD∥OB，推得 CM=ON，即可判断出 OD=DM+ON，据此解答 即可．②当点 M 在线段 CD 延长线上时，线段 OD、ON、DM 之间的数量关系是：OD=ON ﹣DM．由①，可得 OD=DC=CM﹣DM，再根据 CM=ON，推得 OD=ON﹣DM 即可． 23、【答案】（1）证明：∵四边行 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAF=∠BCE， ∵AE=CF, ∴AF=CE. 在△ADF 和△CBE 中， AF＝CE ∠DAF＝∠ BCE AB＝BC ∴△ADF≌△CBE（SAS）. （2）（2）∵△ADF≌△CBE, ∴∠DFA=∠BEC , ∴DF∥EB 【考点】平行线的性质，全等三角形的判定，平行四边形的性质 【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到 AD=BC，AD∥BC，和 AE=CF 去证明； （2）由（1）△ADF≌△CBE,得到∠DFA=∠BEC , 由内错角相等可知 DF∥EB. 四、综合题 24、【答案】 （1）解：∠1+∠2=2∠A （2）解：由（1）∠1+∠2=2∠A，得 2∠A=130°，∴∠A=65° ∵IB 平分∠ABC，IC 平分∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB= （∠ABC+∠ACB） = （180°﹣∠A）=90°﹣ ∠A， ∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）， =180°﹣（90°﹣ ∠A）=90°+ ×65°=122.5° （3）解：∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°， ∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A， ∴∠A= （∠1+∠2）， ∴∠BHC=180°﹣ （∠1+∠2） 【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出 即可；（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣ ∠A，得出∠BIC 的度数即 可；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求 出∠A= （∠1+∠2），即可得出答案．