北师版八年级数学上册第七章测试题含答案

北师版八年级数学上册第七章测试题含答案 7.1 为什么要证明 一、选择题 1．如图，利用所学的知识进行逻辑推理，工人盖房时常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD，使其不变形这 种做法的根据是（ ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 2．在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他 最好的办法是（ ） A．找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行 B．相信自己，两个影子就是平行的 C．构造几何模型，用已学过的知识证明 D．作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行 3．下列说法中，①锐角都相等；②大于 90°且小于平角的角是钝角；③互为相反数的两数和为 0；④ 若 l1⊥l2，l1⊥l3，则 l2⊥l3．其中正确的有（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 4．若 P（P≥5）是一个质数而且 P2﹣1 除以 24 没有余数，则这种情况（ ） A．绝不可能 B．只是有时可能 C．总是可能 D．只有当 P=5 时可能 5．下列结论，你能肯定的是（ ） A．今天天晴，明天必然还是晴天 B．三个连续整数的积一定能被 6 整除 C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖 D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的 6．下列说法正确的是（ ） A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C．对于自然数 n，n2+n+37 一定是质数 D．有 10 个苹果，将它放进 9 个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于 2 个 7．小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（ ） A．小华用的多 B．小明用的多 C．两人用的一样多 D．不能确定谁用的多 二、非选择题 8．如图所示的方格纸中，每一格小正方形的边长均为 1，小莉画出一个等腰直角三角形 ABC，她画得对 吗？请你设法验证一下，并与同伴交流各自的方法． 9．先观察再验证：（如图） （1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？ （2）图（2）中两条线 a 与 b 哪一条更长？ （3）图（3）中的直线 AB 与直线 CD 平行吗？ 10．如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8 吗？为什么？ 11．已知 n 为正整数，你能肯定 2n+4﹣2n 一定是 30 的倍数吗？ 12．当 n 为整数时，（n+1）2﹣（n﹣1）2 的值一定是 4 的倍数吗？ 13．观察下列等式： 12×231=132×21； 13×341=143×31，23×352=253×32； 34×473=374×43，62×286=682×26； … 根据上述等式填空： ①52× = ×25； ② ×396=693× ． 14．用同样大小的黑色棋子按如图的规律摆放： （1）第 5 个图形有多少颗黑色棋子？ （2）第几个图形有 2 016 颗黑色棋子？请说明理由． 15．如图，A，B，C，D，E 五人围坐在圆桌旁，为 A 祝贺生日，小华问他们当时的座位． A 说：“我在 B 的旁边．” B 说：“我的左边不是 C 就是 D．” C 说：“我在 D 的旁边．” D 说：“不，C 在 B 的右边是错的．” 只有 E 作了如实回答：“除 B 说正确之外，A，C，D 都说错了．” 你能确定他们的位置吗？ 16．王慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸爸妈 妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如表：王慧同学完成以上各项家务活， 至少需要 分钟．（注：各项工作转接时间忽略不计） 家务项目 擦窗 洗菜 洗饭煲、洗米 炒菜（用煤气 煲饭（用电饭 炉） 煲） 完成各项家务所需时 间 5 分钟 4 分钟 3 分钟 20 分钟 30 分钟 参考答案与试题解析 一、选择题 1．如图，利用所学的知识进行逻辑推理，工人盖房时常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD，使其不变形这 种做法的根据是（ ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【考点】三角形的稳定性． 【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可． 【解答】解：工人盖房时常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定 性， 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一 确定下来，故三角形具有稳定性． 2．在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他 最好的办法是（ ） A．找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行 B．相信自己，两个影子就是平行的 C．构造几何模型，用已学过的知识证明 D．作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行 【考点】平行线的判定． 【专题】应用题． 【分析】根据平行线的判定方法，结合各选项进行判定即可． 【解答】解：A、平移三角板，实际不容易操作，比较麻烦，并且不很准确，故本选项错误； B、没有理论依据，故本选项错误； C、没有具体的操作方法，故本选项错误； D、根据同位角相等，两直线平行得出方法正确，并且操作简便，故本选项正确； 故选 D． 【点评】本题考查了平行线的判定．判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等， 两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 3．下列说法中，①锐角都相等；②大于 90°且小于平角的角是钝角；③互为相反数的两数和为 0；④ 若 l1⊥l2，l1⊥l3，则 l2⊥l3．其中正确的有（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【考点】命题与定理． 【分析】利用锐角的定义、钝角的定义、相反数的性质及垂线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①锐角都相等，错误； ②大于 90°且小于平角的角是钝角，正确； ③互为相反数的两数和为 0，正确； ④若 l1⊥l2，l1⊥l3，则 l2⊥l3，错误， 故选 B． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解锐角的定义、钝角的定义、相反数的性质及 垂线的性质，难度不大． 4．若 P（P≥5）是一个质数而且 P2﹣1 除以 24 没有余数，则这种情况（ ） A．绝不可能 B．只是有时可能 C．总是可能 D．只有当 P=5 时可能 【考点】命题与定理． 【分析】通过证明 P2﹣1 为 24 的倍数进行判断． 【解答】解：因为 P（P≥5）是一个质数，则 P 是奇数， 设 P=2a+1（a=1，2，3） ∴p2﹣1=（2a+1）2﹣1=4a2+4a=4a（a+1）， 因为 a，a+1 一定有一个可以被 2 整除， 所以 p2﹣1 是 8 的倍数， ∵P（P≥5）是一个质数， ∴P 不是 3 的倍数， P=3b+1 或 3b+2（b=1，2，3…）， ∴p2﹣1=（p+1）（p﹣1）， 当 p=3b+1 时，p﹣1 是 3 的倍数， 同样 p=3b+2 时，p+1 是 3 的倍数． ∴p2﹣1 也是 3 的倍数， ∴p2﹣1 是 24 的倍数， ∴P2﹣1 除以 24 没有余数． 故选 C． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分 组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有 些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 5．下列结论，你能肯定的是（ ） A．今天天晴，明天必然还是晴天 B．三个连续整数的积一定能被 6 整除 C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖 D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的 【考点】命题与定理． 【分析】判断命题的真假即可． 【解答】解：今天天晴，明天不一定是晴天，A 错；因为 6=2×3，三个连续的整数中，至少有一个是偶 数，能被 2 整除，而三个连续的整数中一定有一个 3 的倍数的数，也能被 3 整除，所以三个连续整数的 积一定能被 6 整除，B 正确． 故选 B． 【点评】本题考查命题的真假，注意进行合理分析． 6．下列说法正确的是（ ） A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C．对于自然数 n，n2+n+37 一定是质数 D．有 10 个苹果，将它放进 9 个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于 2 个 【考点】命题与定理． 【分析】根据推理、证明的作用即可作出判断． 【解答】解：A，错误，不能完全这样判断，还要有严格的逻辑证明； B，错误，生活中也有推理的存在； C，错误，当 n=37 时，结果就不是质数； D，正确． 故选 D． 【点评】本题考查了质数的概念，我们生活中处处要用到数学中的知识． 7．小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（ ） A．小华用的多 B．小明用的多 C．两人用的一样多 D．不能确定谁用的多 【考点】生活中的平移现象． 【分析】经过平移两个图形可变为两个边长相等长方形． 【解答】解：因为经过平移两个图形可变为两个边长相等长方形，所以两人用的一样多． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是平移的性质、熟练掌握平移的性质是解题的关键． 二、非选择题 8．如图所示的方格纸中，每一格小正方形的边长均为 1，小莉画出一个等腰直角三角形 ABC，她画得对 吗？请你设法验证一下，并与同伴交流各自的方法． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰直角三角形． 【专题】网格型． 【分析】利用勾股定理计算出 AC2，BC2，AB2，进而可根据勾股定理逆定理可得△ACB 是直角三角形． 【解答】解：AC2=32+12=10，BC=32+12=10，AB2=22+42=20， ∵10+10=20， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴△ACB 是等腰直角三角形． 【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形就是直角三角形． 9．先观察再验证：（如图） （1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？ （2）图（2）中两条线 a 与 b 哪一条更长？ （3）图（3）中的直线 AB 与直线 CD 平行吗？ 【考点】平行线的判定；比较线段的长短． 【分析】（1）在三条线段上分别取两点，连接得到直线，判断三条线段是否在直线上即可； （2）用直尺直接量出两线段的长度，比较即可； （3）测量∠CAB、∠ACD 的度数，若∠CAB+∠ACD=180°，则 AB∥CD． 【解答】解：观察可能得出的结论是： （1）中的实线是弯曲的； （2）a 更长一些； （3）AB 与 CD 不平行． 用科学的方法验证可发现： （1）中的实线是直的； （2）a 与 b 一样长； （3）AB 与 CD 平行． 【点评】本题考查了平行线的判定、线段长短的比较，注意掌握平行线的判定定理、刻度尺的使用． 10．如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8 吗？为什么？ 【考点】有理数的加法；绝对值． 【专题】计算题． 【分析】不一定|a+b|=8，举一个反例即可． 【解答】解：如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8 不一定成立， 例如|﹣3|=3，|5|=5，但是|﹣3+5|=2． 【点评】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．已知 n 为正整数，你能肯定 2n+4﹣2n 一定是 30 的倍数吗？ 【考点】因式分解的应用． 【专题】应用题． 【分析】原式提取公因式变形，即可做出判断． 【解答】解：2n+4﹣2n=2n（24﹣1）=15×2n， 由 n 为正整数，得到 2n 为 2 的倍数， 则 15×2n 为 30 的倍数，即 2n+4﹣2n 一定是 30 的倍数． 【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12．当 n 为整数时，（n+1）2﹣（n﹣1）2 的值一定是 4 的倍数吗？ 【考点】因式分解的应用． 【专题】计算题． 【分析】原式利用平方差公式分解因式，变形得到结果，即可做出判断． 【解答】解：原式=[（n+1）+（n﹣1）][（n+1）﹣（n﹣1）] =4n， 则结果一定为 4 的倍数． 【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 13．观察下列等式： 12×231=132×21； 13×341=143×31，23×352=253×32； 34×473=374×43，62×286=682×26； … 根据上述等式填空： ①52× 275 = 572 ×25； ② 63 ×396=693× 36 ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【分析】观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位 数字，两个数字的和放在十位上；右边三位数字与左边的三位数字百位数字与个位数字变换，两位数与 左边两位数的十位数字与个位数字交换然后相乘，根据此规律填空即可． 【解答】解：①∵5+2=7， ∴左边的三位数是 275，右边的三位数是 572， ∴52×275=572×25， 故答案为：275，572； ②∵右边的三位数是 369， ∴左边的两位数是 63，右边的两位数是 36， 63×396=693×36， 故答案为：63，36． 【点评】本题主要考查了数字的变化规律，理清利用左边的两位数的数字变化得到其它三位数是解答此 题的关键． 14．用同样大小的黑色棋子按如图的规律摆放： （1）第 5 个图形有多少颗黑色棋子？ （2）第几个图形有 2 016 颗黑色棋子？请说明理由． 【考点】规律型：图形的变化类． 【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求解（1）与（2）． 【解答】解：第 1 个图形有棋子 6 颗，第 2 个图形有棋子 9 颗，第 3 个图形有棋子 12 颗，第 4 个图形 有棋子 15 颗，第 5 个图形有棋子 18 颗，…，第 n 个图形有棋子 3（n+1）颗． （1）第 5 个图形有 18 颗黑色棋子； （2）第 n 个图形有棋子 3（n+1）颗． 设第 n 个图形有 2 016 颗黑色棋子， 得 3（n+1）=2016， 解得 n=671． 所以第 671 个图形有 2016 颗黑色棋子． 【点评】此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的 规律． 15．如图，A，B，C，D，E 五人围坐在圆桌旁，为 A 祝贺生日，小华问他们当时的座位． A 说：“我在 B 的旁边．” B 说：“我的左边不是 C 就是 D．” C 说：“我在 D 的旁边．” D 说：“不，C 在 B 的右边是错的．” 只有 E 作了如实回答：“除 B 说正确之外，A，C，D 都说错了．” 你能确定他们的位置吗？ 【考点】推理与论证． 【分析】首先根据 A 的说法是错误的，则 B 的位置可能有两个．再根据 B 的说法正确和 D 的说法是错误 的，说明 C 在 B 的右边，D 在 B 的左边．剩下的位置即为 E． 【解答】解：如图，有两种可能． 【点评】此题要用逐步推理的方法，找到它们各自正确的位置． 16．王慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸爸妈 妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如表：王慧同学完成以上各项家务活， 至少需要 33 分钟．（注：各项工作转接时间忽略不计） 家务项目 擦窗 洗菜 洗饭煲、洗米 炒菜（用煤气 炉） 煲饭（用电饭 煲） 完成各项家务所需时 间 5 分钟 4 分钟 3 分钟 20 分钟 30 分钟 【考点】推理与论证． 【分析】此题是统筹安排的问题，比如用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜，按此思路进行 解答． 【解答】解：因为用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜， 所以王慧同学完成以上五项家务活，至少需要 3+30=33（分钟）． 故答案为：33． 【点评】此题主要考查了推理与论证，统筹安排的思想在生活中应用较广，灵活掌握有利提高工作效率． 7.2 定义与命题 1．下列命题属于定义的是( ) A．两点之间线段最短 B．25 的平方根是±5 C．同旁内角互补 D．含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的整式方程是二元一次方程 2．下列叙述：①两点确定一条直线；②同位角相等；③每一个偶数都能被 4 整除；④点到直线的距离 是该点到这条直线的垂线段的长度．其中是定义的是( ) A．① B．② C．③ D．④ 3．下列语句是命题的是( ) A．连接 P，Q 两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点 M 作直线 PQ 的垂线 D．两条直线相交，有且只有一个交点 4．命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题的个数 有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．已知三条不同的直线 a，b，c 在同一平面内，下列命题中： ①如果 a∥b，a⊥c，那么 b⊥c；②如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c；③如果 b⊥a，c⊥a，那么 b⊥c；④ 如果 b⊥a，c⊥a，那么 b∥c. 其中真命题有__________．(填写真命题的序号) 6．说明命题“如果 a，b，c 是△ABC 的三边，那么长为 a－1，b－1，c－1 的三条线段能构成三角形” 是假命题的反例可以是( ) A．a＝2，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝2，c＝2 C．a＝3，b＝3，c＝4 D．a＝3，b＝4，c＝5 7．命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是________________________________________． 8 ． 将 命 题 “ 等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 相 等 ” 改 写 为 “ 如 果 … … 那 么 … … ” 的 形 式 ： 如 果 ___________________________________，那么_______________________． 9．要说明命题“如果 x>y，那么 a2x>a2y”是一个假命题，可以举的反例是__________________． 10．如图所示，O 是直线 l 上一点，∠AOB＝100°，则∠1＋∠2＝80°，根据上述条件用“如果……那么……” 的形式写出一个真命题_____________________________________________． 11．写出下列命题的条件与结论． (1)两条直线平行，同位角相等； (2)同角或等角的补角相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 12．下列语句哪些是命题？对于命题，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条 件和结论，并指出是真命题还是假命题，并说明为什么是假命题． (1)小亮今年上八年级，明年一定上九年级； (2)作一条线段的垂直平分线； (3)互为倒数的两个数的积为 1； (4)内错角相等； (5)不等式的两边同时乘以一个数，不等号的方向改变． 答案： 1. D 2. D 3. D 4. C 5. ①②④ 6. A 7. 一个直角三角形中的两个锐角一个直角三角形中的两个锐角 8. 一个三角形是等腰三角形 它的两个底角相等 9. a＝0 时，a2x＝a2y 10. 点 O 是直线 l 上一点，如果∠AOB＝100°，那么∠1＋∠2＝80° 11. 解：(1)条件：两条直线平行，结论：同位角相等 (2)条件：同角或等角的补角，结论：相等 (3)条件：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，结论：两条直线平行 12. 解：(2)不是命题，(1)(3)(4)(5)都是命题，(3)是真命题，改写略，理由略 7.3 平行线的判定 1．(1)如图，若∠CBE＝∠A，则____∥____，理由是____________________________________． (2)若∠CBE＝∠C，则____∥____，理由是________________________． (3)若∠CDB＋∠DBE＝180°，则____∥____，理由是__________________________________． 2. 如图，用直尺和三角尺作直线 AB，CD，从图中可知，直线 AB 与直线 CD 的位置关系为_______． 3．如图，直线 a，b 与直线 c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠5＝∠6；③∠4＋∠7＝180°； ④∠5＋∠3＝180°.其中能判定 a∥b 的是( ) A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 4．如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是( ) A．AD∥BC B．AB∥CD C．AD∥EF D．EF∥BC 5．如图所示，以下条件能判定 GE∥CH 的是( ) A．∠FEB＝∠ECD B．∠AEG＝∠DCH C．∠GEC＝∠HCF D．∠HCE＝∠AEG 6. 如图，下列条件中，不能判断直线 l1∥l2 的是( ) A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180° 7．两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则这一对同位角的角平分线( ) A．互相垂直 B．互相平行 C．相交但不垂直 D．不能确定 8．如图，下列推理中，正确的是( ) A．∵∠2＝∠4，∴AD∥BC B．∵∠1＝∠3，∴AD∥BC C．∵∠4＋∠D＝180°，∴AD∥BC D．∵∠4＋∠B＝180°，∴AB∥CD 9．如图，已知直线 EF⊥MN，垂足为 F，且∠1＝140°，则当∠2 等于多少时，AB∥CD.( ) A．50° B．40° C．30° D．60° 10．如图，若将木条 a 绕点 O 旋转后与木条 b 平行，则旋转的最小角度为( ) A．65° B．85° C．95° D．115° 11．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角( ) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定 12．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐的角度可能 是( ) A．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30° B．第一次向左拐 50°，第二次向右拐 130° C．第一次向右拐 30°，第二次向右拐 130° D．第一次向左拐 50°，第二次向左拐 130° 13．如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段 AB，AC，AE，ED，EC， DB 中，相互平行的线段有( ) A．4 组 B．3 组 C．2 组 D．1 组 14．如图，已知 AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，完成下列推理过程： 证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD(已知)， ∴________＝________＝90°(垂直定义)， 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠BAD－∠1＝∠CDA－______(等式的性质)， 即：∠DAE＝∠ADF. ∴DF∥____(内错角相等，两直线平行)． 答案： 1. (1) AD BC 同位角相等，两直线平行 (2) CD AE 内错角相等，两直线平行 (3) CD AE 同旁内角互补，两直线平行 2. 平行 3. B 4. C 5. C 6. B 7. B 8. B 9. A 10. B 11. C 12. A 13. B 14. ∠DAB ∠ADC ∠2 AE 7.4 平行线的性质 1．如图，AB∥CD，直线 l 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，若∠2＝80°，则∠1 等于( ) A．120° B．110° C．100° D．80° 2．如图，已知∠1＝70°，如果 CD∥BE，那么∠B 的度数为( ) A．70° B．100° C．110° D．120° 3．如图，在△ABC 中，∠B＝40°，过点 C 作 CD∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB 的度数为( ) A．60° B．65° C．70° D．75° 4．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG 平分∠EFD，则∠FGB 的度数等于( ) A．122° B．151° C．116° D．97° 5．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OT⊥AB 于 O，CE∥AB 交 CD 于点 C，∠ECO＝30°，则∠DOT 等于( ) A．30° B．45° C．60° D．120° 6．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠ 4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的个数有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．如图，AB∥CD，点 E 在 CB 的延长线上，若∠ABE＝60°，则∠ECD 的度数为( ) A．120° B．100° C．60° D．20° 8．如图，直线 l1，l2，l3 交于一点，直线 l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3 的度数为( ) A．26° B．36° C．46° D．56° 9．如图，直线 a∥b，直角三角形 ABC 的顶点 B 在直线 a 上，∠C＝90°，∠β＝88°，则∠α的度数为( ) A．15° B．25° C．35° D．55° 10．将一幅直角三角板 ABC 和 EDF，如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点 E 落在 AC 边上，且 ED ∥BC，则∠CEF 的度数为______． 11．一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即 AB∥CD，如图所示)，如果第一次转弯时的∠B＝140°， 那么∠C 应是________． 12. 已知：如图，AB∥CD，E 是 AB 的中点，CE＝DE. 求证：(1)∠AEC＝∠BED； (2)AC＝BD. 答案： 1---5 CCDBC 6---9 DABC 10. 15° 11. 140° 12. 证明：(1)∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∠BED＝∠EDC，又∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠AEC ＝∠BED (2)∵E 是 AB 的中点，∴AE＝BE.在△AEC 和△BED 中，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，EC＝ED，∴△AEC≌△ BED(SAS)，∴AC＝BD 7.5 第 1 课时 三角形内角和定理 一、选择题 1．若一个三角形三个内角度数的比为 2：7：4，那么这个三角形是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．已知△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B+∠C=∠A，则此三角形（ ） A．一定有一个内角为 45° B．一定有一个内角为 60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 3．在△ABC 中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，则∠B 等于（ ） A．50° B．55° C．45° D．40° 4．如图，在△ABC 中，∠B=46°，∠C=54°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，DE∥AB，交 AC 于 E，则∠ADE 的大小是（ ） A．45° B．54° C．40° D．50° 5．如图，△ABC 中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ） A．360° B．250° C．180° D．140° 6．关于三角形内角的叙述错误的是（ ） A．三角形三个内角的和是 180° B．三角形两个内角的和一定大于 60° C．三角形中至少有一个角不小于 60° D．一个三角形中最大的角所对的边最长 7．如图，点 O 是△ABC 内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC 等于（ ） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 二、填空题 8．三角形中，最大角等于最小角的 2 倍，最大角又比另一个角大 20°，则此三角形的最小角等于 ． 9．如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，则∠B=∠ ，∠C=∠ ． 10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD 为 度． 11．如图，∠α= ． 12．如图，直线 a∥b，则∠A= ，若作 BH⊥AC 于 H，则∠ABH= ． 13．计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度数为 ． 14．如图所示，在△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠ACD= 度． 15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是 ． 16．在△ABC，BC 边不动，点 A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B、∠C 越来越大．若∠A 减小α度， ∠B 增加β度，∠C 增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是 ． 三、解答题 17．在△ABC 中，如果∠A= ∠B= ∠C，求∠A，∠B，∠C 分别等于多少度． 18．如图所示，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 80° 方向，求∠ACB． 19．如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC 于 E，AD 平分∠BAC，求∠DAE 的度数． 20．如图，已知 AB∥DE，点 C 是 BE 上的一点，∠A=∠BCA，∠D=∠DCE．求证：AC⊥CD． 21．如图所示，有一块直角三角板 XYZ 放置在△ABC 中，三角板的两条直角边 XY 和 XZ 恰好分别经过点 B 和点 C． （1）若∠A=30°，则∠ABX+∠ACX 的大小是多少？ （2）若改变三角板的位置，但仍使点 B，点 C 在三角板的边 XY 和边 XZ 上，此时∠ABX+∠ACX 的大小有 变化吗？请说明你的理由． 《7.5 三角形内角和定理》 参考答案与试题解析 一、选择题 1．若一个三角形三个内角度数的比为 2：7：4，那么这个三角形是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数确定其形状． 【解答】解：依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x， ∴2x+7x+4x=180°， ∴7x≈97°， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理及三角形形状的判断的综合运用． 2．已知△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B+∠C=∠A，则此三角形（ ） A．一定有一个内角为 45° B．一定有一个内角为 60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 【考点】三角形内角和定理． 【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A=90°，即可得出结论． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=∠A， ∴2∠A=180°， ∴∠A=90°， 即△ABC 一定是直角三角形； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的判定方法；熟练掌握三角形内角和定理，并能进 行推理论证是解决问题的关键． 3．在△ABC 中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，则∠B 等于（ ） A．50° B．55° C．45° D．40° 【考点】三角形内角和定理． 【专题】探究型． 【分析】先根据∠C=55°，求出∠A+∠B 的度数，再根据∠A﹣∠B=35°求出∠B 的度数即可． 【解答】解：∵△ABC 中，∠C=55°， ∴∠A+∠B=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°①， ∵∠A﹣∠B=35°②， ∴①﹣②得，2∠B=90°，解得∠B=45°． 故选 C． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是 180°． 4．如图，在△ABC 中，∠B=46°，∠C=54°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，DE∥AB，交 AC 于 E，则∠ADE 的大小是（ ） A．45° B．54° C．40° D．50° 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行， 内错角相等可得∠ADE=∠BAD． 【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE=∠BAD=40°． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的 关键． 5．如图，△ABC 中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ） A．360° B．250° C．180° D．140° 【考点】三角形内角和定理；多边形内角与外角． 【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和 定理即可得出结果． 【解答】解：∵∠1、∠2 是△CDE 的外角， ∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C， 即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°． 故选 B． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是 180°；三角形的任一外角 等于和它不相邻的两个内角之和． 6．关于三角形内角的叙述错误的是（ ） A．三角形三个内角的和是 180° B．三角形两个内角的和一定大于 60° C．三角形中至少有一个角不小于 60° D．一个三角形中最大的角所对的边最长 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据三角形的内角和进行解答即可． 【解答】解：A、三角形三个内角的和是 180°，此选项正确； B、三角形两个内角的和不一定大于 60°，此选项错误； C、三角形中至少有一个角不小于 60°，此选项正确； D、一个三角形中最大的角所对的边最长，此选项正确； 故选 B． 【点评】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 7．如图，点 O 是△ABC 内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC 等于（ ） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 【考点】三角形内角和定理． 【专题】探究型． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°即 可得出结论． 【解答】解：∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°， ∴∠OBC+∠OCB=180°﹣∠A﹣∠1﹣∠2=180°﹣80°﹣15°﹣40°=45°， ∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣45°=135°． 故选 C． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是 180°． 二、填空题 8．三角形中，最大角等于最小角的 2 倍，最大角又比另一个角大 20°，则此三角形的最小角等于 40° ． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据题意，可设最小角度数为 x，则最大角为 2x，另一角为 2x﹣20°，根据三角形的内角和 定理，列方程解答． 【解答】解：设最小角度数为 x，则最大角为 2x，另一角为 2x﹣20°， 列方程得，x+2x+2x﹣20°=180°， 解得 x=40°． 答：这个三角形的最小角度数为 40°． 故答案为：40°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和 180°，解答体现了方程思想． 9．如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，则∠B=∠ DAC ，∠C=∠ BAD ． 【考点】直角三角形的性质． 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得出∠B+∠C=90°，再由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ ADC=90°，那么根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，然后根据同角的余 角相等即可得到∠B=∠DAC，∠C=∠BAD． 【解答】解：∵在△ABC 中，∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∵AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°， ∴∠B=∠DAC，∠C=∠BAD． 故答案为 DAC，BAD． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，余角的性质，三角形的高，掌握直角三角形中，两个锐角互余 是解题的关键． 10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD 为 85 度． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】压轴题． 【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB 的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD 的度数即可． 【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°， ∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°， ∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°． 故答案为：85． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是 180°． 11．如图，∠α= 17° ． 【考点】三角形内角和定理；对顶角、邻补角． 【分析】先根据三角形内角和定理得出关于α的方程，求出α的值即可． 【解答】解：∵三角形内角和是 180°， ∴40°+32°=55°+α， 解得α=17°． 故答案为：17°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 180°是解答此题的关键． 12．如图，直线 a∥b，则∠A= 20° ，若作 BH⊥AC 于 H，则∠ABH= 70° ． 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理． 【分析】由平行线的性质得出同位角相等∠BCH=60°，由三角形的外角性质即可得出∠A 的度数；由角 的互余关系求出∠ABH 的度数即可． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠BCH=60°， ∵∠BCH=∠A+∠ABC， ∴∠A=60°﹣40°=20°； ∵BH⊥AC， ∴∠BHA=90°， ∴∠ABH=90°﹣∠A=90°﹣20°=70°； 故答案为：20°，70°． 【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，并能 进行推理论证与计算是解决问题的关键． 13．计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度数为 360° ． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据三角形外角性质得出∠8=∠1+∠2，∠7=∠3+∠4，∠9=∠6+∠5，根据三角形外角和定理 得出∠8+∠7+∠9=360°，即可求出答案． 【解答】 解：由三角形外角性质得：∠8=∠1+∠2，∠7=∠3+∠4，∠9=∠6+∠5， ∴∠8+∠7+∠9=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6， ∵△ABC 的外角和等于 360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠9=360°， 故答案为：360°． 【点评】本题考查了三角形外角和定理，三角形外角性质的应用，注意：三角形的外角和等于 360°． 14．如图所示，在△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠ACD= 68 度． 【考点】三角形的外角性质． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：∵FD⊥BC， ∴∠CDF=90°， ∵∠AFD=158°， ∴∠ACD=∠AFD﹣∠CDF=158°﹣90°=68°． 故答案为：68． 【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，准确识图是解题的 关键，注意题目中多余条件的干扰． 15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是 45°或 135° ． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义求较小的夹角，由邻补角定义即可求得较大 夹角的度数． 【解答】解：直角三角形的两个锐角的平分线所交成的锐角是 ×90°=45°， 则直角三角形的两个锐角的平分线所交成的钝角是 180°﹣45°=135°． 故答案为：45°或 135°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，注意两条直线相交所成的角有两个不同度数的角． 16．在△ABC，BC 边不动，点 A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B、∠C 越来越大．若∠A 减小α度， ∠B 增加β度，∠C 增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是 α=β+γ ． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】探究型． 【分析】根据三角形的内角和是个定值 180 度计算． 【解答】解：∵三角内角和是个定值为 180 度， ∴∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A 越来越小，∠B、∠C 越来越大时， ∴∠A﹣α+∠B+β+∠C+γ=180°， ∴α=β+γ． 故答案为：α=β+γ． 【点评】主要考查了三角形的内角和为 180 度这个知识点． 三、解答题 17．在△ABC 中，如果∠A= ∠B= ∠C，求∠A，∠B，∠C 分别等于多少度． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A+2∠A+2∠A=180°，求出∠A=36°，即可得出∠B=∠ C=72°． 【解答】解：∵∠A= ∠B= ∠C， ∴∠B=∠C=2∠A， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A+2∠A+2∠A=180°， 解得：∠A=36°， ∴∠B=∠C=72°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的 关键． 18．如图所示，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 80° 方向，求∠ACB． 【考点】方向角． 【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC 的度数，然后根据三角形内角和定理即可 求解． 【解答】解：∵AE，DB 是正南正北方向， ∴BD∥AE， ∵∠DBA=45°， ∴∠BAE=∠DBA=45°， ∵∠EAC=15°， ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°， 又∵∠DBC=80°， ∴∠ABC=80°﹣45°=35°， ∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°． 【点评】本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键． 19．如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC 于 E，AD 平分∠BAC，求∠DAE 的度数． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义． 【专题】计算题． 【分析】先在△ABC 中根据三角形内角和定理计算出∠BAC=84°，再根据角平分线定义得到∠DAC= ∠ BAC=42°，接着根据垂直的定义得到∠AEC=90°，则在△AEC 中根据三角形内角和定理可计算出∠ EAC=90°﹣∠C=24°，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC 进行计算即可． 【解答】解：在△ABC 中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°﹣30°﹣66°=84°， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠DAC= ∠BAC=42°， ∵AE⊥BC 于 E， ∴∠AEC=90°， ∴∠EAC=90°﹣∠C=90°﹣66°=24°， ∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=42°﹣24°=18°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 180°．准确识别图形，即在哪个三角形中运 用内角和定理是解题的关键． 20．如图，已知 AB∥DE，点 C 是 BE 上的一点，∠A=∠BCA，∠D=∠DCE．求证：AC⊥CD． 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理． 【分析】由平行线的性质得出同旁内角互补∠B+∠E=180°，由三角形内角和定理和已知条件得出∠ACB+ ∠DCE=90°，得出∠ACD=90°，即可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B+∠E=180°， ∵∠B+∠A+∠BCA=180°，∠E+∠D+∠DCE=180°， ∴，∠A+∠BCA+∠D+∠DCE=180°， ∵∠A=∠BCA，∠D=∠DCE， ∴∠ACB+∠DCE=90°， ∴∠ACD=90°， ∴AC⊥CD． 【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理， 并能进行推理论证是解决问题的关键． 21．如图所示，有一块直角三角板 XYZ 放置在△ABC 中，三角板的两条直角边 XY 和 XZ 恰好分别经过点 B 和点 C． （1）若∠A=30°，则∠ABX+∠ACX 的大小是多少？ （2）若改变三角板的位置，但仍使点 B，点 C 在三角板的边 XY 和边 XZ 上，此时∠ABX+∠ACX 的大小有 变化吗？请说明你的理由． 【考点】三角形内角和定理． 【分析】（1）在△ABC 中，利用三角形内角和得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，即可求∠ABC+∠ACB；同 理在△XBC 中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB=90°，即可得出结果； （2）在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A 是一个定值，同理在△XBC 中，∠BXC=90°，∠XBC+∠XCB=90° 也是一个定值，∠ABX+∠ACX=90°﹣∠A 的值不变． 【解答】解：（1）∵∠A=30°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣30°=150°， ∵∠YXZ=90°， ∴∠XBC+∠XCB=90°， ∴∠ABX+∠ACX=150°﹣90°=60°； （2）∠ABX+∠ACX 的大小没有变化；理由如下： ∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∠YXZ=90°， ∴∠XBC+∠XCB=90°， ∴∠ABX+∠ACX=180°﹣∠A﹣90°=90°﹣∠A； 即∠ABX+∠ACX 的大小没有变化． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推 理计算是解决问题的关键． 7.5 第 2 课时 三角形的外角 一、选择题 1.如图,∠A=30°,∠B=45°,∠C=40°,则∠DFE=( ) A.75° B.100° C.115° D.120° 答案 C ∵∠BEF 是△AEC 的一个外角,∴∠BEF=∠A+∠C=30°+40°=70°,∵∠DFE 是△BEF 的一个外 角, ∴∠DFE=∠B+∠BEF=45°+70°=115°,故选 C. 2.如图,C 在 AB 的延长线上,CE⊥AF 于 E,交 FB 于 D,若∠F=40°,∠C=20°,则∠FBA 的度数为( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 答 案 C ∵ CE⊥AF 于 E, ∴ ∠FED=90°, ∵ ∠C=20°, ∴ ∠A=90°-∠C=70°, ∵ ∠F=40°, ∴ ∠FBA=180°-∠A-∠F=70°.故选 C. 3.如图,∠BCD=150°,则∠A+∠B+∠D 的度数为( ) A.110° B.120° C.130° D.150° 答 案 D 如 图 , 过 A 、 C 作 射 线 AE, 则 ∠DCE=∠D+∠DAC,∠BCE=∠B+∠BAC, ∴ ∠DCE+∠BCE=∠D+∠B+∠DAC+∠BAC,即∠BCD=∠B+∠D+∠BAD=150°,故选 D. 4.如图,BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线,CP 是△ABC 的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则 ∠A+∠P=( ) A.70° B.80° C.90° D.100° 答案 C ∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线,CP 是△ABC 的外角的平分线,∠ABP=20°,∠ACP=50°, ∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=100°,∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°,∠ACB=180°-∠ACM=80°, ∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°,∵∠PBC=∠ABP=20°,∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°,∴∠A+∠P=90°, 故选 C. 二、填空题 5.如图,△ABC 中,∠ABC=90°,BD 是高,CE 平分∠ACB 交 BD 于点 E,∠A=50°,则∠BEC= . 答案 110° 解析 ∵△ABC 中,∠ABC=90°,∠A=50°,∴∠ACB=40°.∵CE 平分∠ACB,∴∠ECD=20°.∵BD 是高, ∴∠EDC=90°,∴∠BEC=90°+20°=110°. 6.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,∠CDE= ∠BAD,∠CAD=70°,则∠AED= . 答案 55° 解 析 设 ∠CDE=x, 则 ∠BAD=2x, ∵ ∠B=∠C,∠CAD=70°,∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°, ∴ 2x+70°+2∠C=180°, ∴x+∠C=55°.∵∠AED=∠C+∠CDE,∴∠AED=x+∠C=55°. 三、解答题 7.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,BD 平分∠CBE,AF 平分∠DAB,BF 平分∠ABD,求∠AFB 的度 数. 解析 如图,∵AD 平分∠BAC,BD 平分∠CBE,∴∠DAB= ∠CAB,∠DBE= ∠CBE, ∵∠C+∠CAB=∠CBE,∴ ∠C+ ∠CAB= ∠CBE, ∴ ∠C+∠DAB=∠DBE,∴ ∠C=∠DBE-∠DAB=∠D,∵∠C=90°,∴∠D=45°, ∵AF 平分∠DAB,BF 平分∠ABD,∴∠1= ∠DAB,∠2= ∠ABD, ∴ ∠AFB=180°-∠1-∠2=180°- ∠DAB- ∠DBA=180°- (∠DAB+∠DBA)=180°- (180°-∠D)=90°+ ∠D =112.5°.