华师版九年级数学上册第24章解直角三角形

24.1 测量 第24章 解直角三角形 【学习目标】 1．复习巩固相似三角形知识，掌握测量方法； 2．通过测量旗杆高度的活动，巩固相似三角形 有关知识，累积数学活动经验，使学生初步学会 数学建模的方法； 3．通过运用相似以及已学过的知识探索解三角 形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培 养学生用数学说理的习惯，激起学生学习后续内 容的积极性． 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘 扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆 有多高？ 你可能会想到利用 相似三角形的知识 来解决这个问题． 但是如果 天气…… 自主预习 有一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部， 视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5 米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′， 用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的 方法吗？ 自主探究 问题：如下图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗 杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高 AD为1米．现在请你按1∶ 500的比例将△ABC画在纸上，并记为 △A1B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实 际高度．你知道计算的方法吗？ 解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴AC∶ A1C1＝ BC∶ B1C1＝500∶ 1，∴只要用刻度尺量出纸 上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加 上AD长即为旗杆的高度．若量得B1C1＝a cm， 则BC＝500a cm＝5a m.故旗杆高(1＋5a)m. 自主探究 仿例1：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下 端刚好接触地面，求旗杆的高度． 合作探究 解：设旗杆的高度为xm， 则 ， 解得x＝12. 答：旗杆的高度为12m. 仿例2：如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E， 点C、E、A在同一条直线上，点B、D分别在点E、A的正下方， 且点D、B、C在同一条直线上，点B、C相距20米，点D、C相 距40米，乙楼高BE为15米，求甲楼AD的高．(小明的身高忽略 不计) ∴AD＝30(米)． 合作探究 解：由题意知BC＝20，CD＝40， △CBE∽△CDA. 答：甲楼AD高30米． ∴ ， 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30． 0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目 高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑 的度．（精确到0．1米） 练一练 （1）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发 现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 练一练 （2）如图，一条河的两岸有一段是平行的， 两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的 间距都是10米，在这岸离开岸边16米的A 处 看对岸，看到对岸两棵树B、C的树干恰好 被这岸两棵树D、E的树干遮住，这岸的两 棵树D、E之间有一棵树，B、C之间有四棵 树，求河C、D的宽。 A BC D E w到目前为止,你一定掌握了一些测量物体高度的方法。 w如果在测量旗杆时观察旗杆顶部的视线与水平所成 的角度是300，人与旗杆之间的距离是10米，观测时 目高是1.5米，你能计算出旗杆的 高度吗？ 1.5米 ? 10米 1米 ? 10米 实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高 度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们 已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理）， 那么它的边与角又有什么关系？ 1．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的 影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则 这棵树的高度为(  ) A．5.3米      B．4.8米 C．4.0米 D．2.7米 B 2．垂直于地面的竹杆的影长为12米，其顶端到 其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树 的影长为6米，则树高为___ _米．2.5 随堂练习 3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸 边各有一排树，每排树相邻两棵的间距都是10米， 在这岸离开岸边16米的A处看对 岸，看到对岸两棵树B、C的树干恰好被这岸两棵树 D、E的树干遮住，这岸的两棵树D、E之间有一棵树 ，B、C之间有四棵树，求河C、D的宽． 解：CD＝24米． 1、测量物体高度时一般用到的知识点有哪些？ （1）相似三角形 （2）解直角三角形 2、实际测量时，应先设计方案，选择合理方法和测 量工具，尽量减少误差. 3、平时的学习中要有转化意识，进行数学建模，灵 活运用数学知识解决实际问题. 知识梳理 24.2 直角三角形的性质 【学习目标】 1．掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定 理进行有关的计算和证明； 2．经历“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程，引 导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充； 3．通过“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程体验 数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生 的好奇心和求知欲，培养学习的自信心． 我们已经知道了直角三角形的： （1）在直角三角形中，两个锐角_______。 （2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜 边的平方 （___________________ ） 互余 勾股定理 知识回顾 如图：画Rt △ABC，并画出斜边AB上的中 线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系。 D 已知：如图，在Rt △ ABC中， ∠ACB=90 °， CD是斜边AB上的中线。 求证：CD= AB 1 2 自主预习 D 证明：延长CD至点E，使DE=CD，连AE、BE ∵ CD是斜边AB上的中线， ∴AD=DB. 又∵CD=DE ∴四边形 ACBE是平行四边形 又∵ ∠ACB=90 ° ∴ 四边形ACBE是矩形 ∴ CE=AB ∴CD= CE= AB E 1 2 1 2 归纳： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 利用直角三角形的性质，可以解决某些与直角三角形 有关的问题。 A BC D 例：如图，在RT △ABC中， ∠ACB=90 ° ， ∠A ﹦30 ° 求证：BC= AB 1 2 1 2 1 2 作斜边AB上的中线CD， 则CD＝AD＝BD＝ AB(直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半)． ∵∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴△CDB是等边三角形． ∴BC＝BD＝ AB. 课堂练习 1．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边上的中 线长是(  ) A．13   B．6 C．6.5 D．无法确定 C 2．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm，则它的面 积为__ __．30cm ² 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，且这 条高的长为a，则腰长为__ __．2 a 24.3.1 锐角三角函数 【学习目标】 1．知道锐角一定，它的三角函数值就随之确定； 2．已知直角三角形的两边(比)，会求出锐角的四 种三角函数值； 3．运用相似三角形的判定定理、性质定理理解锐 角一定，它的三角函数值就随之确定； 4．在学习合作交流中学会与人相处． 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视 线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后 他很快就算出旗杆的高度了。 1米 10米 ? 你想知道小明怎样算出的吗？ 情境导入 我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC， 直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角 边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示. 图 19.3.1 知识回顾 如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的对边是 __________,∠P的邻边是_______________; ∠M的对边是__________,∠M的邻边_______________; （第 1 题） MN PN PN MN 想一想：∠P的对边、 邻边与∠M的对边、 邻边有什么关系？ 自主预习 • 观察图19.3.2中的Rt△AB1C1、 Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之 间有什么关系？ 图 19.3.2 Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3 所以   ＝__________=__ . 1 11 AC CB 可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值， 其对边与邻边的比值是惟一确定的. B2C2 AC2 B3C3 AC3________ 锐角三角函数定义及三角函数之间的关系 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝ ∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？AB BC '' '' BA CB A B C A' B' C' 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个 固定值． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边 与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 2 130sinsin  A 当∠A＝45°时，我们有 2 245sinsin  A A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 引出定义： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是 否也确定了呢？为什么？ B 对边a A C邻边b 斜边c 自主探究 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝ ∠B'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C' AB AC A' C' A' B' 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角∠B的度数一定时，不管 三角形的大小如何，∠B的对边与斜边的比也是一个固定值． 当锐角∠B的大小确定时，∠B的邻边与斜边的比也是固定的， 我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦（cosine），记作 cosB，即 引出定义： 归 纳 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形 结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的 边长无关. 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 正弦 余弦 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻 边比值也是唯一确定的吗？ 自主探究 在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值. BC B′C′ A′C′ AC ＝所以 如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α， 问： 有什么关系？ 由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′ AC BC A′C′ B′C′ 与 即 AC BC A′C′ B′C′ ＝ 如图,在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫 做∠A的 正切，记作 tanA. 一个角的正切 表示定值、比 值、正值. , , .    A a B b C c 的对边记作 的对边记作 的对边记作 归 纳 图 19.3.2 想一想 对于锐角A的每一个确定的值，其对 边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边 的比值也是惟一确定的 吗？ 自主探究 这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin A、 cos A、tan A，即 sin A= 斜边 的对边A cos A= 斜边 的邻边A tan A= 的邻边 的对边 A A   分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切， 统称为锐角∠A的三角函数. 注意： 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍， 则锐角 A 的正弦值 ( ) A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定 B 1 2 2. 如图， sinA的值为 ( ) 7 A C B 3 30° A. B. C. D. 1 2 3 7 3 2 C 2 10 7 随堂练习 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 △ABC 的面积. D 5 5 C B A 4 5 解：作BD⊥AC于点D， ∵sinA = ， 4 5 4sin 5 4 5 BD AB A     ，∴ 2 2 2 25 4 3.AD AB BD     又∵ △ABC 为等腰△，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6， ∴S△ABC=AC×BD÷2=12. 随堂练习 知识梳理 在Rt△ABC中 = a b的邻边 的对边 A A  tanA= 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐 角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角 三角形的边长无关. 24.3.3 特殊的锐角三角函数值 【学习目标】 1．掌握特殊锐角的三角函数值； 2．通过对特殊锐角三角函数值的探索， 逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力； 3．通过对锐角三角函数的学习，提高学生对几何图 形美的认识． 锐角三角函数定义 锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数 sin A= 斜边 的对边A cos A= 斜边 的邻边A tan A= 的邻边 的对边 A A   图 19.3.1 脑中有“图”， 心中有“式” 知识回顾 w如图,观察一副三角板: w它们其中有几个锐角?分别是多少度? w(1)sin300等于多少? ┌┌ 300 600 450 450 w(2)cos300等于多少? w(3)tan300等于多少? 自主预习 A B C 30° 1 2 3 sin30°= cos30°= tan30°= 2 1 2 3 3 3 300角的各类三角函数值的探索 在直角三角形中，如 果一个锐角等于300，那 么它所对的直角边等于 斜边的一半。 w(4)sin450,sin600等于多少? w(5)cos450,cos600等于多少 ?w(6)tan450,tan600等于多少? ┌┌ 300 600 450 450 讨论： A B C 45° 1 1 Sin45 ° = cos45°= tan45°= 2 2 2 2 1 2 450角的各类三角函数值的探索 A C B 60° 1 2 sin60°= cos60°= tan60°= 3 3 2 2 1 3 600角的各类三角函数值的探索 三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦 cosα 正切tanα 300 450 600 2 1 2 3 3 3 2 2 2 2 1 2 3 2 1 3 归纳： 对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（α为锐角） 对于cosα，角度越大，函数值越小. 例1：求值: sin30 ° ﹒ tan30 ° +cos60 ° ﹒ tan60 °; 解： sin30 ° ﹒ tan30 ° +cos60 ° ﹒ tan60 ° = = 1 3 1 3 2 3 2    3 3 2 3 6 2 3   自主探究 1、30°,45°,60°角的三角函数值 2、三角函数值的计算与应用 知识梳理 1、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和 ∠B的对边、邻边。 A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 课堂练习 2. 计算：sin230－ sin45＋sin260° 解：原式 22 2 3 2 22 2 1             2 4 31 4 1  .0 通常我们把 (sin30°)2简记 为sin230° 3.求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260° （2）    45tan 45sin 45cos  解： （1） cos260°＋sin260° ＝1 （2） ＝0 24.3.2 用计算器求锐角三角函数值 这节课我们介绍 如何利用计算器 求已知锐角的三 角函数值和由三 角函数值求对应 的锐角． 自主预习 求已知锐角的三角函数值 例 求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001） 解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：  SHIFT MODE (SETUP) 3 D显示 再按下列顺序依次按键： sin 63 o’” 52 o’”o’” 41 = 显示结果为0．897859012． 所以sin63°52′41″≈0．8979 例 求tan19°15′的值．（精确到0．0001） 解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示），按下列 顺序依次按键： tan 1 9 o’” 5 o’”= 显示结果为0．349215633． 所以tan19°15′≈0．3492． 1 自主探究 1.求sin18°． 第一步：按计算器 键，sin 第二步：输入角度值18， 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键） 用计算器求锐角三角函数值 tan第一步：按计算器 键， 2.求 tan30°36'. 第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 键），°＇ ″ 屏幕显示答案：0.591 398 351 第一种方法： 第二种方法： tan第一步：按计算器 键， 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351 例：已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法 操作： 还可以接着按 键，进一步得到 ∠A＝30°7'8.97 " 第一步：按计算器 键，SHIFT sin 第二步：然后输入函数值0. 501 8 屏幕显示答案： 30.119 158 67° （按实际需要进行精确） °＇″ 典例精析 由锐角三角函数值求锐角 例 已知tanx＝0．7410，求锐角x．（精确到1′） D 解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显 示 ），按下列顺序依次按键：  SHIFT tan 0 ● 47 01 =( 1tan  ) 显示结果为36．53844577． 4.182336  SHIFT o’”再按键：  显示结果为 ． 所以x≈36°32′． 课堂练习 1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： （1）sinA=0.6275，sinB＝0.0547； （2）cosA＝0.6252，cosB＝0.1659； （3）tanA＝4.8425，tanB＝0.8816. ∠A=38°51′57.3 ″， ∠B=3°8′8.32 ″ ∠A=51°18′11.27 ″， ∠B=80°27′1.72 ″ ∠A=78°19′55.74 ″， ∠B=41°23′57.84 ″ A2.下列各式中一定成立的是（ ） A.tan75°＞tan48°＞tan15° B. tan75°＜tan48°＜tan15° C. cos75°＞cos48°＞cos15° D. sin75°＜sin48°＜sin15° 课堂练习 1.我们可以用计算器求锐角三角函数值. 2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角. 3.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 归纳总结 24.4.1 解直角三角形（一） 解直角三角形及其简单应用 【学习目标】 1．理解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目 中的已知条件解直角三角形； 2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三 角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力； 3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的 能力，渗透数形结合的数学思想和方法． 1.在Rt△ABE中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c, 则 SinA＝ ，sinB= ，cosA= ， cosB= ， tanA= ， tanB= 。 2.三角形由哪些元素组成?你能说出它们具有的性质吗? B C A a c b 知识回顾 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所 成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上 多高的平房?(精确到0.1m) 这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 75°,斜边 AB=6,求BC的长 角α越大,攀上的高度就越高. A C B 新课导入 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所 成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问: (2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯 子与地面所成的角α等于多少(精确 到1°)?这时人能否安全使用这个梯子? 这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知AC=2.4m,斜边 AB=6, 求锐角α的度数? A C B 在Rt△ABC中, (1)根据∠A= 75°,斜边AB=6, 你能求出这个三角形的其他元素吗? (2)根据AC=2.4m,斜边AB=6, 你能求出这个三角形的其他元素吗? 三角形有六个元素, 分别是三条边和三 个角. 在直角三角形的六个元素中,除直角外,如 果知道两个元素, 就可以求出其余三个元素. (3)根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗? A C B (其中至少有一个是边), 自主预习 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用 比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直 中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝ 54.5m. 所以∠A≈5°28′ 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直 中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ A BC A BC 例1 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在 折断之前高多少？ 解：利用勾股定理可以求 出折断倒下部分的长度为: 26＋10＝36（米）. 答:大树在折断之前高为36 米. 2 210 24 26+ = 自主探究 在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角 之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三 角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解 直角三角形． 归纳 例2：如图东西两炮台A、B相距2000米，同时 发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏 东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南 方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米） 自主探究 解 在Rt△ABC中，∵ ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜， ＝tan∠CAB, ∴ BC＝AB•tan∠CAB =2000×tan50゜ ≈2384(米). 又∵        ， ∴  AC＝ 答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米. AB BC  50cos AC AB )(3111 50cos 2000 50cos 米    AB 知识梳理 已知一边和一锐角解直角三角形 在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ A B C α 6 =75° 在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ A B C α 6 2.4 事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素． A Ba b c C 解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素 的过程． 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据 条件解直角三角形. 解：根据勾股定理 2 2 2 230 20 10 13c a b     ， 30 3tan 1.5 20 2 aA b     ， 56.3 .A  ∴ 90 90 56.3 33.7 .B A        ∴ A B Cb=20 a=30 c 随堂练习 60A  ， 90 90 60 30B A        ， 2 2 2.AB AC  A BC 2 6 解： 6tan 3 2 BCA AC    ， 2.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形.6BC 2 （2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 （勾股定理）A Ba b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 归纳总结 24.4.2 解直角三角形（二） 仰角、俯角与解直角三角形的应用 【学习目标】 1．理解俯角和仰角的概念，并利用其解直角三角形； 2．综合利用仰角和俯角以及解直角三角形的知识， 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力； 3．经历数学知识的挖掘与欣赏过程，近一步感受教 学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数 学的兴趣． 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系: Ａ Ｃ Ｂ a b c tanA＝ a bsinA＝ a c cosA＝ b c (必有一边) 知识回顾 仰角和俯角 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 自主预习 例 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电 线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测 得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB 高．（精确到0.1米） 图 19.4.4 1.20 22.7 自主探究 仰角、俯角问题 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，α=30°,β=60° Rt△ABD中，α=30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C Dα β 仰角 水平线 俯角 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角 为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的 水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． tan tanBD CD, AD AD    tan 120 tan30BD AD       340 3 3120  60tan120tan  ADCD 31203120  3120340  CDBDBC 1.2773160  答：这栋楼高约为277.1m A B C Dα β 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）. A B CD 40m 54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：旗杆的高度为15.2m. 拓展练习 1.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，BC = 5， 试求AB的长. 1 3 AC B 解： 190 cos 3 C A   ， ， 1 . 3 AC AB   设 1, 3 AB x AC x  ， 2 2 2AB AC BC  ， 2 2 21 5 . 3 x x       课堂练习 1 2 15 2 15 2, . 4 4 x x    （舍去） ∴ AB的长为 15 2 . 4 2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的 另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD =140°， BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C， E成一直线（精确到0.1m） 50° 140° 520m A B C E D ∴∠BED=∠ABD－∠D=90° 答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线. 解：要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案. 知识梳理 24.4.2 解直角三角形（三） 坡比、坡角与解直角三角形的应用 【学习目标】 1．理解坡角、坡度的概念，并能解直角三角形； 2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角 形，逐步培养学生分析问题的能力； 3．在数学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能 力，渗透数形结合的数学思想和方法． 1.测量高度时,仰角与俯角有何区别? 2.解答下面的问题 如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长为 30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端 A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°.求甲、乙 两建筑物之间的水平距离BC。 A E D CB 知识回顾 读一读 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注 明斜坡的倾斜程度。 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比 叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i= h l h l i=h:l a 坡度通常写成1：m的形式，如i=1:6 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有 i= =tan a h l 自主预习 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相 关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a 和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示 的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和 山坡长度l 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲” 的，怎样解决这样的问题呢？ h h αα l l 自主探究 我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段 时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡 长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1=l1sina1. 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段 山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是 得到山高h. h α l 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今 后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51 米，路基的坡面与地面的夹角分别是32 °和28 °，求路基下底的 宽（精确到0.1米） A D C E F B 解：作DE ⊥ AB，CF ⊥ AB，垂足分别 为点E、F，由题意可知： DE=CF=4.2 EF=CD=12.51 在RT △ABC中， 4.2 tan 32DE AE AE   ° 4.2 tan 28 BF  ° 在RT △ABC中，同理可得 ≈6.72 4.2 tan 28 BF  ° ≈7.90 ∴AB=AE+EF+BF ≈6.72+12.51+7.90 ≈27.1 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去 解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 知识梳理 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = ，BC=6， 则AB的值为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 3 5 D 随堂练习 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4， sinB＝ ，则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 4 5 C 随堂练习 图① 提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论. 3.在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ， 求BC的长. 12 2 2 2 解：∵cos∠B = ，∴∠B=45°， 2 2 当△ABC为钝角三角形时，如图①， =12 2 =45AB B ∵ ，∠ ， = = cos 12.AD BD AB B ∴ ∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5 ∴BC=BD-CD=12-5=7； 图② 当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. ∴ BC的长为7或17. 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.4 3AD  解： 6 3cos 24 3 ACCAD AD     ， 30CAD  ， ∵ AD平分∠BAC， 60 30CAB B     ， ， 12 6 3.AB BC  ， D A BC 6 4 3 6.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航 行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测 得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有 触礁的危险？ B A D F 解：由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理 在Rt△ABF中， 解得x=6 10.4 >8没有触礁危险 30° 60° 第24章 小结与复习 【学习目标】 1．进一步理解勾股定理、直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半及三角函数的意义； 2．培养学生综合、概括等逻辑思维能力及分析问 题、解决问题的能力． 【学习重点】 灵活运用解直角三角形知识解决问题． 【学习难点】 选择恰当知识解决具体问题． 1．直角三角形的两个锐角互余． 2．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 (勾股定理)． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．30°所对直角边等于斜边的一半． 一、直角三角形的性质 在直角三角形中的三个三角函数的求法： 二、锐角三角函数 三、特殊角三角函数值 1．仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角． 2．俯角：从上往下向看，视线与水平线的夹角． 四、仰角、俯角、坡度与解直角三角形 3．坡度i＝ ＝tanα. (2)∠A的余弦：cosA＝        ＝   ； (3)∠A的正切：tanA＝        ＝    . 三边关系：   ； 三角关系：  ； 边角关系：sinA＝cosB＝   ，cosA＝sinB＝ ，tanA ＝      ，tanB＝      . (2)直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余 的3个未知元素． a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B  2、特殊角的三角函数值的考查 3、解直角三角形 4、 解直角三角形在实际中的应用 例4 [2010•广州] 目前世界上最高的电视塔是广州新电视 塔．如图28－5所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大 楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔 顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)． (cosα，sinα) 练习1 练习2 练习3 2．如图28－10，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店 楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处 的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测 得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E， 测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离 CD.(结果保留根号) 图28－10