第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
【学习目标】
1．了解一元二次方程的概念；
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0
(a≠0)，能分清一元二次方程的二次项及系数，
一次项及系数，常数项；
3．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是
否是一个一元二次方程的根．
1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际
问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
知识回顾
小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米
的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地
的长和宽各为多少？
导入新课
问题一
设矩形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
整理可得
x2＋10x－900=0 （1）
小区准备在每两幢楼房之间，设置一块
面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽
多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
探索新知
分析
问题二
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年
年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分析 设这两年的年平均增长率为x.
已知去年年底的图书数是5万册，则今年
年底的图书数是5（1+x）万册.
同样，明年年底的图书数又是今年年底图
书数的（1+x）倍，即5（1+x）（1+x）
=5 （万册）.2)1( x
探索新知
可列得方程
5 =7.2
整理可得
（2）
2)1( x
02.2105 2 xx
问题一和问题二分别归结为解方程（1）和（2）.
这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？有什
么共同特点？
x2＋10x－900=0. （1）
5x2＋10x－2.2=0. （2）
自主探究
以上两个方程中都只含有一个未知数，
并且未知数的最高次数是2，这样的
方程叫做一元二次方程 。
一元二
次方程
的概念
一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其
中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；
bx 叫做一次项，b叫做一次项系数；
c 叫做常数项。
1.等号两边都是整式
2.只含有一个未知数
3.未知数的最高次数是2
特点：
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0
(a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据
一般式定义的，这与多项式中的项、次数及
其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）
的过程中，体会学习一元二次方程的必要性
和重要性。
知识梳理
例题讲解
1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二
次项、一次项和常数项及它们的系数：
二次项、二次
项系数、一次
项、一次项系
数、常数项都
是包括符号的
)2(5)1(3 xxx
•二次项系数是3
•一次项系数是-8
•常数项是-10
解: 01083 2 xx
随堂练习
例题讲解
2.方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件
下，方程为一元二次方程？在什么条件下此
方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；
当a＝2，b≠0时是一元一次方程
3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元
二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a
B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1
D.(a2+1)x2=0
D
22.2一元二次方程的解法
22.2.1直接开平方法和因式分解法
【学习目标】
1．体会解一元二次方程降次的转化思想；
2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝
p(p≥0)的一元二次方程．
3．了解因式分解法的解题步骤；
4．能用因式分解法解一元二次方程．
.2
;2
)(
)(
222
222
baba
baba
ab
ab
完全平方公式：
知识回顾
___)(
___)(
___)(
___)(
22
22
22
22
____2
1)4(
_____5)3(
_____8)2(
_____2)1(
yy
yy
xx
xx
y
y
x
x
）（
2
5 2
2
5
）（
4
1 2
4
1
12
42
试解下列方程
根据平方根的意义，对于题（1）
有这样的解法： 4x
2x 即
通常也表示成：
自主预习
；4)1( 2 x .01)2( 2 x
.2,2 21 xx
这种解一元
二次方程的
方法叫做直
接开平方法.
对于题2，有这样的解法：
1 1 0x x
必有
1 0 1 0x x 或
分别解这两个方程，得
.1,1 21 xx
这种解一元
二次方程的
方法叫做因
式分解法。
做一做
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
解下列方程：
典例解析
；02)1( 2 x .02516)2( 2 x
例1
解 （1）移项，得
直接开平方，得
即
.22 x
.2x
.22 21 xx ，
（2）移项，得
方程两边都除以16，得
直接开平方，得
即
2516 2 x
16
252 x
4
5x
.4
5
4
5
21 xx ，
直接开平方法
解下列方程：
典例解析
例2
；）（ 0231 2 xx .32 2 xx ）（
解 （1）方程左边分解因式，得
所以
得
（2）移项，得
方程左边分解因式，得
所以
得
023 ）（ xx
0230 xx 或
.3
2,0 21 xx
032 xx
0)3( xx
030 xx 或
.3,0 21 xx
因式分解法
这样解是否正确呢？
解：方程的两边同时除以x，
得x=1.
故原方程的解为x=1.
不正确，方程两边同时除以的数不能为零，
还有一个解为x=0.
讨 论
范 例
解下列方程：
(1)(x＋1)2－4＝0； (2)12(2－x)2－9＝0
(2)原方程可以变形为:
解：(1)原方程可以变形为:
3.＝－,1＝∴
，2＝1＋2,＝－1＋
，4±＝1＋ ∴4,＝1)2＋(
2 1 xx
xx
xx
∴
.2
322
32
2
322
32
4
324
32
21
2
xx
xx
xx
，
，，
，，
知识梳理
1 2x a , x a
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1、方程右边不为零的化为 。
2、将方程左边分解成两个 的乘积。
3、至少 一次因式为零，得到两个一元一次方程。
4、两个 就是原方程的解。
零
一次因式
有一个
一元一次方程的解
随堂练习
x1＝3， x2＝－3
x1＝0， x2＝3
2.用因式分解法解下列方程：
(⑴)4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;
(⑵)(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2
解 :(1)移项得4x2-12x=0,即x2-3x=0,
x(x-3)=0,得x1=0,x2=3;
(2)原方程可以变形为2x2-7x=0,
分解因式为x(2x-7)=0,解得x1=0,x2=3.5;
(3)原方程可以变形为（x+3)2=0,解得x=-3;
(4)移项得9x2-(x-1)2=0,变形得（3x-x+1)(3x+x-1)=0,
解得x1=-0.5,x2=0.25.
第22章一元二次方程
22.2.2 配方法
【学习目标】
1．理解配方法，会运用配方法解一元二次方程；
2．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，
体会转化的数学思想．
(1)
(2)
(3)
xx 62 =( + )2x
xx 42 =( )2x
xx 82 =( )2x
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
23 3
22 2
24 4
2
p
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
共同点：
( )22
p =( )2x(4) pxx2
观察(1)(2)看所
填的数与一次项
系数之间有什么
关系?
自主预习
解方程：
解：原方程左右两边都加上1，得
即
直接开平方，得
所以
即
典例精析
例4 522 xx
6122 xx
6)1( 2 x
61 x
61 x
.61,61 21 xx
我们把方程 变形为
以上变形过程：
左边是一个含有未知数的完全平方式，
右边是一个非负常数.
这样，就能应用直接开平方的方法求解.
这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2 2 5x x
知识归纳
6)1( 2 x
2 12 1 0x x （2）4
典例精析
;014)1( 2 xx
解方程：例5
.32,32
,32
.32
,21222-
4
.14
)1(
21
2
222
2
xx
x
x
xx
xx
所以
直接开平方，得
）（即
），得配方（两边同时加上
原方程可化为解
.2
10
2
3,2
10
2
3
,2
10
2
3
.4
10
2
3
,2
3
4
1
2
3
2
32
.4
134
.1124)2(
21
2
22
2
2
2
xx
x
x
xx
xx
xx
所以
直接开平方，得
即
配方，得
，得两边同除以
移项，得解
2、把常数项移到方程右边；
3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，
使左边成为完全平方式；
4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平
方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程
无实根。
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程
两边都除以二次项系数)；
你是这样配方的吗？
2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的
步骤：
1、配方法：通过配方,将方程的左边化成一个含知
数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直
接开平方求出方程的解的方法。
化简:化二次项系数为1
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
知识梳理
(2) －x2＋4x－3=0
(1) x2＋12x =－9
1.用配方法解下列方程：
解：(1) 两边同时加上36，得x2＋12x+36 =－9+36，
配方得（x+6）2=27，解得
（2）原方程可变形为x2-4x+3=0,配方得（x-1）（x-3)=0,
x1=1,x2=3.
1 26 3 3 6 3 3x , x .
随堂练习
2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5
的值必定大于零.
解： k2－3k＋5=(k- )2+ ，
∵ (k- )2≥0，
∴ k2－3k＋5＞0.
3
2
11
4
3
2
随堂练习
3.对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件
下才有实数根？
随堂练习
2 2
2
2 2
2
02 4
02 4
4 0
p px px q x q ,
p px q ,
p q .
解：
第22章一元二次方程
22.2.3 公式法
【学习目标】
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解
公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二
次方程；
2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过
程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推
导过程，并应用公式法解一元二次方程．
能否用配方法把一般形式的一元二次方程
转化为“ ”的形式呢？ 2 常数
自主预习
2 0( 0)ax bx c a
0, ,a a 方程两边都除以 得
移项，得
配方，得
解：
2 0b cx xa a
2 b cx xa a
2
2
2
4( )2 4
b b acx a a
a
c
a
b
a
b
a
bxx
22
2
2222
即
2
2
2 0
4
4
4
0
b ac
a
b ac a
当 ，且
大于等
时，
于零吗？
2 4
2 2
b b acx a a
2 4
2 2
b b acx a a
即 x1= x2=
由以上研究的结果，得到了一元二次方程
2 0 ( 0)ax bx c a
的求根公式：
2 4
2
b b acx a
2( 4 0)b ac
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、
b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方
法叫做公式法。
这个公式叫做一元二次方程的求根公式；
4 0ac 2
思考：
当 时，b 方程有解吗？
4 0ac 2b 时，原方程无解
解下列方程：
典例精析
分析
.811044)4(;01245)3(
;24)2(;062)1(
22
22
xxxxx
xxxx
.2,2
3
4
71
22
491
2
4
,49481
62414
,6,1,2)1(
21
2
22
xx
a
acbbx
acb
cba
即
所以
解
.62,62
622
244
244
.024
)2(
21
2
2
xx
x
acb
xx
即
，所以
，因为
得将方程化为一般形式，解
25 4 12 0x x
2
5, 4, 12
4 256
a b c
b ac
解：
1 2
4 256 4 16
2 5 10
6 , 25
x
x x
解 （3）
24 4 10 1 8x x x （4）
24 12 9 0x x
解：整理，得
2
1 2
4 0
12 0
8
3
2
b ac
x
x x
这时称方程
有两个相等
的实数根
解
运用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
（2）求出 的值； 2 4b ac
（3）若 ，把a、b、c及 的值代入
一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若 ，此时方程无实数解.
2 4b ac
由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
若 b2-4ac≥0 得求根公式 :
1、把方程化成一般形式， 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
4、写出方程的解：
(a≠0, b2-4ac≥0)
知识梳理
2 4
2
b b acx a
x1= x2=
a
acbbx 2
42
1.用公式法解下列一元二次方程：
解:（1）原方程即为
22 1 03 3x x
随堂练习
2.解方程： （精确到0.001）.2 1 0x x
解：
用计算器求得：
第22章 一元二次方程
22.2.4 一元二次方程根的判别式
【学习目标】
掌握b2－4ac＞0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个
不等的实数根，反之也成立；b2－4ac＝0，ax2＋
bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，反之也成立；
b2－4ac＜0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，反
之也成立；及其它们关系的运用．
用配方法解一元二次方程 2 0ax bx c
把方程两边都除以 2 0b cx xa a 解: a
移项，得 2 b cx xa a
配方，得
2 2
2
2 2
b b c bx xa a a a
即
2 2
2
4
2 4
b b acx a a
(a≠0)
知识回顾
2 4
2 2
b b acx a a
即
因为a≠0,所以 4a2>0；
式子 的值有以下三种情况：acb 42
0
4
4,04)1( 2
2
2
a
bb acac 这时
此时，方程有两个不等的实数根
x1= x2=
2 4
2 2
b b acx a a
即
0
4
4,04)2( 2
2
2
a
bb acac 这时
此时，方程有两个相等的实数根
a
bxx 221
=0
0
4
4,04)3( 2
2
2
a
bb acac 这时
而x取任何实数都不可能使 ，
因此方程无实数根.
0)2(
2
a
bx
当 2 4b ac ＞0 时，方程的右边是一个正数，方程有两个不
相等的实数根：
2 2
1 2
4 4; ;2 2
b b ac b b acx xa a
当 2 4b ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
实数根： 1 2 ;2
bx x a
当 2 4b ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
是 决定了一元二次方程根的情况.
分析
3.当方程没有实数根时，有 .
1.当方程有两个不相等的实数根时，有 ；
2.当方程有两个相等的实数根时，有 ；
反过来，对于一元二次程： 2 0( 0)ax bx c a
我们把 叫做一元二次方程
的根的判别式，用符号“ ”来表示.
△ ＞0 有两个不相等的实根
△＝0 有两个相等的实根
△＜0 没有实数根
2 4b ac
一元二次方程根的判别式
归纳
反之，同样成立！
下列一元二次方程根的个数：
2(1)2 5 3 0x x
22 3 3 6x x
2(3) 1 0x x
2 4 1 0,b ac
2 4 0,b ac
2 4 3 0, b ac
方程有两个不相等的根.
方程有两个相等的根.
方程没有实数根.
典知精析
按要求完成下列表格：
Δ的值
根的
情况 有两个相等
的实数根
没有实数根 有两个不相
等的实数根
方程判别式
与根 0132 2 xxyy 422 2 0)1(2 2 xx
典知精析
2
(A)
1
B
2 0
C
D
x x
有两个不相等的实数根
( )有两个相等的实数根
(
1.方
)无
程 的根的情况是（
实数根
( )
）
无法确定
A
随堂练习
2.不解方程，判断方程的根的情况
2
2
2
2
(1) 5 6 0
(2)3 4 5
(3)3 6 3 0
(4) 2 3 0
x x
x x
x x
x x
有两个不相等的实数根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
随堂练习
B
2 22 1 0
( )
1 1 (A) ( ) 2 2
1 1 (C) ( )2 2
x x k x k
k
k B k
k D k
3.若关于 的方程 有实数根，
则 的取值范围是
随堂练习
B
2 4 1 0
A 4 ( ) 4 0
( ) 1 ( ) 1 0
mx x
m
m B m m
C m D m m
4.如果一元二次方程 有两个不相等
的实数根，那么 的取值范围是（ ）
（ ） 且
且
随堂练习
第22章 一元二次方程
22.2.5 一元二次方程的
根与系数的关系
【学习目标】
1．理解掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系；
2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条
件下，求出方程的另一根，以及方程中的未
知系数；
3．会求已知方程的两根的倒数和与平方和；
4．在推导过程中，培养学生“观察——发现—
—猜想——证明”的研究问题的思想与方法．
（1）一元二次方程的一般形式是什么？
ax2+bx+c=0(a≠0)
（2）一元二次方程的根的判别式是什么？
判别式的值 根的情况
2 4b ac
△＞0 有两个不相等的实根
△＝0 有两个相等的实根
△＜0 没有实数根
知识回顾
（3）一元二次方程的求根公式是什么
2 4
2
b b acx a
3 17
4
3 17
4
2
3
2
1
13, 2
2
7 3
2
2 , 13
3
5 2
3
方程
2x2+7x+3=0
3x2+5x+2=0
两个根x1，x2
的值
两根之和
x1+x2
两根之积
x1x2
自主预习
x1+ x2，x1∙x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系?
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两
根为x1、x2，且
则 x1+x2和 x1.x2与系数a，b，c 的关系为：
042 acb
总结归纳
(韦达定理）
例如：
当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2.
归纳推论
方程 x1 x2 x1+ x2 x1∙x2
x2-3x+2=0
x2-2x-3=0
x2-5x +4=0
2 1 3 2
-1 3 2 -3
1 4 5 4
归纳分析
试探索一元二次方程 根与
系数有什么关系?
ax2+bx+c=0（a≠0 ， ）042 acb
分析
.,
1
.0
2121
2
a
cxxa
bxx
a
cxa
bx
a
可得
数的关系，的一元二次方程根与系由二次项系数为
，得方程两边同时除以
不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
典例解析
例
0532)2(053)1( 22 xxxx
.5,3
1)1(
2121
21
xxxx
xx
的关系，可得一元二次方程根与系数
的，由上述二次项系数为、设两根为解：
.2
5-,2
3
2
3
.02
5-2
3-
2)2(
2121
21
2
xxxx
xx
xx
，可得、设两根为
，得方程两边同除以解：
2
2
2
1)1( xx
21
11)2( xx
设 是方程 的两个根，
利用根与系数的关系，求下列各式的值.
21 , xx 0342 2 xx
)1)(1)(3( 21 xx
2
212
2
1)4( xxxx
2
1
1
2)5( x
x
x
x 2
21 ))(6( xx
课外拓展
拓展1
1 2 1 2
32 2x x , x x
2 22 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2 1 1 2
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
32 2 2 7;2
1 1 2 4 ;3 3
2
3 51 1 1 2 1 ;2 2
3 2 3;2
7 14 ;3 3
2
2 7 3
x x x x x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
10.
由题意知解：
求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，
且二次项系数为1.
（x-2)（x-3）=0,
x2-5x+6=0.
解：
拓展2
课外拓展
构造新
方程
拓展3
课外拓展
方程 的两根的和为6，一根
为2，求p、q的值.
02 qpxx
若方程的另一个根为x1,由题意得
2+x1=-p=6, 2x1=q,
即x1=4 , p=-6 , q=8.
解：
求方程
中的待
定系数
随堂练习
1.方程 有一个正根，一个负
根，求m的取值范围.
解:由已知得
Δ=
即
m>0
m-1
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