华师版九年级数学上册第21章二次根式

第21章 二次根式 21.1 二次根式（1） 【学习目标】 1．经历二次根式概念的发生过程； 2．了解二次根式的概念； 3．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在 简单情况下求根号内所含字母的取值范围． 1.正数有两个平方根且互为相反数； 2.0有一个平方根就是0； 3.负数没有平方根。 平方根的性质： 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根。 知识回顾 当a是整数时， 表示a的算术平方根，即正数 a的正的平方根； 当a是零时， 等于0，它表示零的平方根，也 叫做零的算术平方根； 当a是负数时， 没有意义。 a a a 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. a的平方根是 .a 用  (a≥0)表示.a 观察与思考 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 50米 a米 塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ______________米。25002 a ?米 S 圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为______. S 如图所示的值表示正方形的面积， 则正方形的边长是______. b-3 表示一些正数的算术平方根． 你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ 新课讲授 a 一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数. 二次根式的定义： 理解要点：两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开数a ≥0 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！ 知识归纳 4. （双重非负性）0,0  aa 下列各式是二次根式吗? 32 5 (7) , a (6) ， xy (5) m-(4) ,12 (3) 6, (2) ,32 (1) 1     (m≤0), (x,y 异号) 在实数范围内,负数没有平方根 判 断 解析：（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属于 “非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy 0时,怎样化去 中的分母?  观察上面各数并思考： （1）你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式 了吗？ （2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足 什么条件就可以说它是最简二次根式了？ 15 6 2 5 3 a a ， ， 最简二次根式 15 6 2 5 3 a a ， ， 可以发现这些式子有如下两个特点：   （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．   我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 简记为：分母 无根号，根号 无分母 解： 2(1) 45 9 5 3 5 3 5     24 40 2 10 2 10(2) 4 9 9 39    解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次 根式，需要熟记1~100以内非二次根式的化简. 如 等.8, 12, 18, 99 典例精析 例5 1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式. )0b0≥(  ，ab a b a 3. 在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次根 式化简，再考虑如何化去分母中的根号. 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： ； （2）把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次 根式. 知识梳理 4.最简二次根式的概念       被开方数不含分母；   被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 5.如何化去分母中的根号，请举例说明． 可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基 本性质化去分母中的根号． 6.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？  把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次 根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基 本性质． 1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。   6234 ＝）（ 1a3 －）（ （ ）＝ a－1 522）（ （ ）＝ 10 81）（ （ ）＝ 42 a 1－ 5 3 随堂练习 随堂练习 2.化简: 4521215  解： 21.3 二次根式的加减法（一） 【学习目标】 1．知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的 加减法运算； 2．经历探索二次根式加减的过程，掌握其计算方 法； 3．认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培 养乐学、会学的思想． （1）被开方数的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 分母不含根号。 二次根式计算、化简的结果应符合什么要求？ 知识回顾 自主预习 观察下列二次根式有什么共同特征： （1） …    ，  ，    ， （2） …      ，   ，    ， 每组的二次 根式的被开 方数相同 自主预习 ，   ，   ，   ，   ， （3） … 经过化简后，各 根式被开方数相 同，像这样的几 个二次根式被称 为同类二次根式. 下列根式又有什么共同特征？ 二次根式经过化简后，被开方数相同的二 次根式,就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么？ ①化:化成最简二次根式， ②看:看被开方数是否相同,根指数也相同 (都等于2). 知识归纳 典例精析 例1 计算： .3322323  解： 3322323  )333()2223(  .322  同类二次根式合并： 把根号外系数或字母相加减,根指数和被 开方数不变。 注意:不是同类二次根式的二次根式 (如 与 )不能合并 知识归纳 12188  342924 解：原式 322322  3225  强调：先化简，再合并 典例精析 例2 计算： （3）合并同类二次根式。 一化 二找 三合并 二次根式加减法的步骤： （2）找出其中的同类二次根式； （1）将每个二次根式化为最简二次根式； 知识归纳 二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并. 如何合并同类二次根式 与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加 减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变。 知识归纳 25.3 二次根式的加减法（二） 要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才 能进行合并？ (1)说出 的三个同类二次根式; (2)试举出一组同类二次根式. 52 (3)下列各式中哪些是同类二次根式? 33 22683 2327 1 50 1752 ,b ab,ab,,,,, 同类二次根式 知识回顾 下列计算哪些正确，哪些不正确？ ⑴ 3 2 5  ⑵ a b a b  ⑶ a b a b   ⑷ ( )a a b a a b a   ⑸ 1 13 2 03 2a a a a    （不正确） （不正确） （不正确） （正确） （不正确）  1 27 12 45    252 32 182   5 2 4 2 3 22    27 12 45 解： 3 3 2 3 3 5   3 3 5  5 32 182  解： 5 4 3 22       7 22  典例精析 例2 计算 观察题目的特点，看能否使用乘法公式 整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应。 典例精析 例3 计算 ;)12()12()1(  .)12()2( 2 .1 1-2 1-2 )12()12(1 22     ）（ ）（ .22-3 1122-2 )12()2( 22 2    ）（ 解： 8 3 6+ （ ） ；（1） （2） 4 2 3 6 2 2- （ ） ． 计算：   思考：（1）中，先计算什么？后计算什么， 最后的目标是什么？（2）呢？ 典例精析 与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；   对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；   对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式． 典例精析 解：（1）   思考： （1）中，每一步的依据是什么？   第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；   第二步的依据是：二次根式乘法法则；   第三步的依据是：二次根式化简． 典例精析 解：（2）   思考： （2）中，每一步的依据是什么？   第一步的依据是：多项式除以单项式法则；   第二步的依据是：二次根式除法法则． 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样， 体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适 用. 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2; (a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2; 完全平方公式: 知识归纳 1.同类二次根式的定义. 2.二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)把各个同类二次根式合并. 3.如何合并同类二次根式 与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作 为结果的系数,根号及根号内部都不变. 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相 同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 知识归纳 1. 计算： 2 ( 3 5 )（1） （2）( 80 40 ) 5  （3）( 5 3)( 5 2)  提示：把二次根式看成“项”，（1）、（2）、（3）分 别可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多 项式÷单项式”、“多项式×多项式”的运算. 随堂练习 2( 3 5) 2 3 2 5 6 10      （1）解： （2）( 80 40) 5 80 5 40 5 4 2 2        （3） 2 ( 5 3)( 5 2) ( 5) 2 5 3 5 6 5 5 5 6 11 5 5            2. 计算：      1 5 3 5 3  2 2( 5) ( 3) 5 3 2      用了公式（a+b）（a-b）=a2-b2.     2 2 3 2 2 2( 3) 2 3 2 2 3 4 3 4 7 4 3           用了公式（a+b）2 =a2+2ab+b2.