华师版七年级数学上册第3章整式的加减

HS版 第3章 整式的加减 1.加法的运算律有哪些？ 你能用字母表示加法的运算定律吗？ 2.乘法的运算律有哪些？ 你能用字母表示乘法的运算定律吗？ 引例： 为了测试一种皮球的弹起高度与下落高度之 间的关系，试验记录了一个皮球下落高度与反 弹高度的情况如下表，你认为“？”处的数据 可能是多少？为什么？ 下落 高度 40 50 80 100 150 反弹高 度 20 25 40 50 ? 75 如果记下落高度为a，则反弹高度为_____2a a+b=b+a a(b+c)=ab+ac 你还能表示出那些运算律？自己试试看 2. 某种大米每千克的售价是4.8元，购买 这种大米2千克、2.5千克、5千克、10千克 各需付款多少元？ 如果用字母n表示购买这种大米的千克数， 那么需付款可以怎样表示呢？ 3.长方形的面积等于____×_____. 如果用a、b分别表示长方形的长和宽， 用S表示长方形的面积，则长方形的面积 公式为：_______________. 一些常见图形的面积公式用字母可以怎样表示呢？ 长 宽 S=ab 例1：填空 （1）某地为了治理河山，改造环境，计 划在第十个五年计划期间植树绿化荒山， 如果每年植树绿化x公顷荒山，那么这五 年内植树绿化荒山_________公顷； （2）每本练习本m元，甲买了5本，乙买 了2本，两人一共花了______________ 元，甲比乙多花了___________元． （3）如果王红用t小时走完的路程为s千 米，那么她的速度为______千米／时； （5m+2m） 5m-2m t 1500 注意： （1）式子中出现“×”，通常写成：”·“或省 略不写，如：5×n常写成5·n或5n。 （2）数字与字母相乘时，数字通常写在字母的前 面，如：5n一般不能写成n5. （3）除法运算通常写成分数形式， 如：1500÷t写作（ ）（t≠0） t 1500 1.三角形的三边分别为3a,4a,5a,则其周长为 _________. 2.每辆出租车日均耗油10升，则n辆出租车每日 耗油________升；每升汽油价格为m元，某公司 每天有100辆出租车投入营运，则该公司每天的 汽油费用为_______元。 12a 10n 1000n 3.把稻谷加工成大米，重量减少20%，则 m千克稻谷能加工成______千克大米；要 得到n千克大米，需加工_______千克稻谷。 80%m n/80% 4.n表示整数，则偶数可以表示为_____, 奇数可以表示为_______,3的倍数可以表示 为________, 被3除余2的整数表示为 ______. 2n 2n+1 3n+2 3n （1）某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋， 用式子表示在这个月内销售这种商品的收入. （2）圆柱体的底面半径、高分别是 r，h，用式子表示圆 柱体的体积. （3）有两片棉田，一片有m hm2 (公顷，1 hm2 ＝104 m2 )， 平均每公顷产棉花a kg；另一片有n hm2 ，平均每公顷产棉花b kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量. （4）在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正 方形的边长是a mm，小正方形的边长是b mm，用式子表示剩 余部分的面积. 练一练 上节课我们学习了用字母表示数， 看下面的例子： （1）乘法分配律 a(b+c)=ab+ac; （2）1+2+3+…+n= ; （3）若某三位数的个位数字为a，十位 数字为b，百位数字为c，则此三位数可 表示为 。 2 )1( nn 100c+10b+a 用字母表示数的用处是： 1.用字母表示数之后，有些数量 之间的关系看上去更加简明， 更具有普遍意义了。 2.探索数学中的一般规律问题。 用字母表示数有哪些用处？ 填空： （1）某种瓜子的单价为16元/千克， 则n千克需 元；16n (3)钢笔每枝a元，铅笔每枝b元， 买2枝钢笔和3枝铅笔共需 元。 2a+3b (2)小刚上学步行速度为5千米/小时， 若小刚家到学校的路程为s千米，则他 上学需走 小时；5 s 前述各问题中出现的如a(b+c)， ， 100c+10b+a， 16n， 2a+3b等式子，我们称它们为代数式。 注意： 单独的一个数或一个字母也是代数式， 如18，0，505，a,x等都是代数式。 2 )1( nn 判断下列式子中，哪些是代数式？ 0，4x+5y，3y,-10，2x=3y，2+1=3，3x>0， 代数式特点 （1）单独的一个数或一个字母也是代数式 （2）代数式中不含单位，不含 “=”、“≠”、“≤”、 “≥”。 （3）数与数之间、数与字母之间、字母与字母之间用运算符 号连接。 1）．在表示字母与数相乘时，乘号“×”通常写作“·”或者省 略不写，如v×t应写成v·t或vt，且将数字写在字母的前面.又如 a×4应写作4a ． 2）．带分数与字母相乘时，必须把带分数化成假分数， 如 3）．在除法算式中，要写成分数的形式，被除数作分子， 除数作分母，“÷”号转化为分数线，如4÷（a-1）应写作 4）．式子后面有单位时，要注意结果若是和或差的形式则应 该带上括号如（1.8a+10b）元. 代数式在书写格式中几条特殊的规定： 5）.字母与字母相乘时一般按英文字母顺序. 6）.当1与字母相乘时1省略不写. 例2：用代数式表示下列问题中的量： （1）长为acm、宽为bcm的长方形的周长； （2）开学时爸爸给小强a元，小强买文具用去了b元（a＞b），还剩多少元? (3)某机关原有工作人员m人，抽调20%下基层工作后，留在机关工作的还有多少人？ （4）家每小时走a千米，乙每小时走b千米，两人同时同地反向出发，t小时后，他们之间的距离是多少？ 填空 (1)圆的半径为rcm,它的面积为______. (2)长方形的长与宽分别为acm,bcm,则该长 方形的周长为 cm. (3)小强在小学六年中共攒了a元零花钱，上 中学后买文具用去了b元，剩下的钱全部存入 银行，则小强可以存款 元 （4）某机关原有工作人员m人，先精简机构， 减少20%的工作人员，则还剩 __人。 πr2cm2 2(a+b) a-b 80%m 填空题： 1）.a千克含盐为10%的盐水中含盐_________千克。 2）.某同学军训期间打靶成绩为10环、8环、8环、 7环、a环，则他的平均成绩为______________环。 10%a 10 8 8 7 5 a    填空题： 3）.甲以a千米/时、乙以b千米/时（a>b)的速度沿 同一方向前进，甲在乙的后面8千米处开始追乙， 则甲追上乙需____________小时。 4）.一枚古币的正面是一个半径为r厘米的圆形，中 间有一个边长为a厘米的正方形孔，则这枚古币正 面的面积为_______________。 8 a b 2 2r a  结合你的生活经验对下列代数式 作出具体的解释： （1）a-b; (2)ab; (3) hba )(2 1  解：（1）小刚体重a公斤，他妹妹b公斤， 小刚比他妹妹重（a-b）公斤; （2）长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 长方形的面积是ab平方厘米。 （3）梯形上底长为a厘米，下底长为b厘米，高 为h厘米，梯形的面积是 平方厘米。hba )(2 1  你 还 能 做 出 其 它 的 解 释 吗 ？ 说出下列代数式的意义 (1). 2a - b (2). 2(a - b) (3). a – 2b a的２倍与b的差  a与b的差的２倍  a与b的２倍的差 通过本节课的学习你对代数式有了哪 些认识? （1）什么叫做代数式？ （2）代数式规范书写的要求有哪些？ 问题：字母表示数有什么意义？ （1）代数式中出现的乘号，通常写作“ · ”或省 略不写. （2）数字与字母相乘时，数字须写在字母前面； 数字与数字相乘，一般仍用“×”号. （3）除法运算写成分数形式. (4)带分数与字母相乘，一般把带分数化为假分 数，再字母相乘. （5）用代数式表示具有实际意义的量时，如果所列 的代数式是“和”或“差”的形式，并且有单位，那 么必须把所列代数式用括号括起来，后面写上单位. 请同学们思考以下问题并填空： 某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每升 高100米降低0.7ºC.如果山脚温度是28ºC，那么 山上300米处的温度为________一般地，山上x 米处的温度为_____________. 25.9 28-0.007x 25.9ºC 请同学们思考以下问题并填空： 某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每升 高100米降低0.7ºC.如果山脚温度是28ºC，那么 山上300米处的温度为________一般地，山上x 米处的温度为_____________. 通过以上问题的解决，说明了为什么要 学习列代数式。在解决一些实际问题时，往往 先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出 来，使问题变得更简洁，更具一般性. 列代数式应注意两点： 1、要正确理解问题中的数量关系，特别要弄清 问题中的和、差、积、商与大、小、多、少、倍、 几分之几等词语的意义. 2、要弄清楚问题中的运算顺序. 例3：设某数为x，用代数式表示： （1） 比该数的3倍大1的数； （2） 该数与它的 和； （3） 该数与它的 的和的三倍； （4） 该数的倒数与5的差. 3 1 5 2 例3：设某数为x，用代数式表示： （1） 比该数的3倍大1的数； （2） 该数与它的 和； （3） 该数与它的 的和的三倍； （4） 该数的倒数与5的差. 3 1 5 2 3x+1 3 1x+ x 5 23（x+ x） -5（x≠0） x 1 例4.用代数式表示： （1） a、b两数的平方和； （2） a、b两数和的平方； （3） a、b两数的和与他们的差的乘积； （4） 偶数、奇数. 解：（1） a² +b² （2）( a+b)² （3）(a+b)(a–b) （4）偶数是2的整数倍，奇数是2的整数倍 加1.所以，偶数和奇数可以表示为： 2n，2n+1(n为整数) 例4.用代数式表示： （1）认真审题：抓住关键性的词、字， 如“大”、“小”、“多”、“少”、 “和”、“差”、“倍”、“商”、 “倒数”“平方差” 、”余数”、 “平方”、“立方”、“增加”等等； （2）正确判断各种数量关系中的运算顺序： 通常是先读的先写，后读的运算后写，并且 正确对待遵循运算顺序（先乘方，后乘除， 最后加减）和运算括号（先括号内，后括 号外；先小括号，再中括号 ，最后大括号） (3)要理解掌握基本的数量关系: 路程=时间 x 速度 工作量=工作时间x工作效率 总价=单价x数量 溶质=溶液x浓度 1.仔细填一填: 2).奥运冠军田亮在十运会跳水决赛的最后两跳的 成绩为x,y;已知x比y小，则田亮的最后两跳的成 绩差为________ 3).一隧道长l米，一列火车长180米，如果该列火 车穿过隧道所花的时间为t分，则列车的速度 ________米/分 1).如果我们班的男同学有a人，女同学有b人， 假设我们学校有１０个这样的班级，那么这些班 级的男女同学总人数为________10a+10b y-x (l+180)/t 2.比一比，看谁做的快又对： 1).假如宁波中农信大厦的高为m，而我们中学 操场的国旗杆高度为n，则两者的高度差距为 _______ 2).日平均气温是指一天中2:00,8:00,14:00,20:00 四个时刻气温的平均值，若上述四个时刻气温的摄 氏度分别是a,b,c,d;则日平均气温的摄氏度数是 _____________ m-n (a+b+c+d)/4 3x-3 2x+ (a+b)² m ² + n² 3 2a 3.用代数式表示： (1) x的3倍与3的差； （2）x的2倍与y的 的和； （3）a与b的和的平方； （4）2a的立方根。 （５）m的平方与n的平方的和 2 1 2 y 4.思考：观察下列数表： 1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 … 第 一 列 … 第 二 列 … 第 三 列 … 第 四 列 由图表所反映的规律,猜想第6行与第6列的交 叉点上的数应为多少?那么第n行与第n列交叉点上 的数应为多少? 1.什么叫做代数式？ 2.代数式的规范书写方法有哪些？ 问题： 某礼堂第1排有18个座位，往后每排比前一 排多2个座位，问： （1）第n排有多少个座位？（用含n的代数式表 示） （2）第10排、第15排、第23排各有多少个座位？ 解：（1）第2排比第1排多2个座位，它的座位数应 为18+2=20； 第3排比第2排多2个座位，它的座位数应为 20+2=22； 也可以这样考虑：第3排是第1排的后2排，它的 座位数应比第1排多2×2个， 即为18+2×2=22； 类似的，第4排是第1排的后3排，它的座位数应 比第1排多2×3个，即为18+2×3=24； …… 一般地，第n排是第1排的后（n-1）排，它的座 位数应比第1排多2（n-1）个， 即为18+2（n-1） （2）第10排、第15排、第23排各有多少个座位？ 解：2）当n=10时，2n+16 =2×10+16=36； 当n=15时， 2n+16 =2×15+16=46； 当n=23时， 2n+16 =2×23+16=62； 因此，第10排、第15排、第23排分别 有36个，46个，62个座位。 我们看到，当n取不同数值时，代数式 2n+16的计算结果也不同，以上结果说： 当n=10时，代数式2n+16的值是36； 当n=15时，代数式2n+16的值是46；等等。 一般地，用数值代替代数式里的字母， 按照代数式中的运算关系计算得出的结果， 叫做代数式的值。 解：（1）当a=2，b=-1,c=-3时 2 2 4 ( 1) 4 2 ( 3) 1 24 25 b ac          例1 当a=2，b=-1，c=-3时， 求下列代数式的值： （1）b2-4ac；（2）（a+b+c）2     4312 22  cba （2）当a=2，b=-1,c=-3时 例2 某企业去年的年产值为a亿元，今年 比去年增长了10%，如果明年还能按这个 速度增长，请你预测一下，该企业明年 的年产值将能达到多少亿元，如果去年 的年产值是2亿元，那么预计明年的年产 值是多少亿元？ 解： 根据题意得，今年的年产值为a（1+10%）亿元， 于是明年的年产值为 a ·(1+10%) ·(1+10%) =1.21a(亿元) 若去年的年产值为2亿元， 即a=2.当a=2时， 1.21a=1.21 ×2=2.42 答：该企业明年的年产值将能达到1.21a亿元。 由去年的年产值是2亿元，可以预计明年的年产值 是2.42亿元 1.通过本题的求解过程，你觉得求代数式的值应该分 哪些步骤？应该注意什么？ 小结： ①求代数式的值的步骤： （1）代入，将字母所取的值代入代数式中； （2）计算，按照代数式指明的运算进行，计算出结果。 ②注意的几个问题： （1）由于代数式的值是由代数式中的字母所取的值确定的， 所以代入数值前应先指明字母的取值，把“当……时”写出来 。 （2）如果字母的值是负数、分数，代入时应加上括号； （3）代数式中省略了乘号时，代入数值以后必须添上乘号。 41x    21x(1)若 ，则 ； 16 (2) 若 ，则 ； (3) 若 ，则 ； (7) 若 ，则 。 (4) 若 ，则 ； (5) 若 ，则 ； (6) 若 ，则 ； 51 x    11 2x 45  yx  yx 102 45  yx  yx 1072 4532  xx  1062 2 xx 41  x x 2  yx yx    yx yx yx yx 2 24 8 15 8 1.判断题： （ ）①当 时 （ ）②当 时 2 1x 4 132 133 2 2     x 2x 1233 22 x 如何改正呢？ 2 2 1 1 33 3 32 4 4x          223 3 2 3 4 12x       1 x x 2x 3x 1 2 4 2 8 6 3 8 1 4 1 3 1 3 27 1 3 2 3 1 27 2 4 1 2 4 8 64 1 2 2 1 8 2.填表： 3、根据下列各组x、y 的值，分别求出代数 式 与 的值： （1）x=2，y=3；（2）x=－2，y=－4。 22 2 yxyx  22 2 yxyx  解：（1）当x=2，y=3时，  22 2 yxyx 25912433222 22   22 2 yxyx 1912433222 22  （2）当x=－2，y=－4时，  22 2 yxyx         361616444222 22   22 2 yxyx         41616444222 22  列代数式 1、一个正方形的边长a，则它的周长是 ; 面积是 。 2、若三角形的的一边长为a，且这边的高为h，则 这个三角形的面积为 。 3、若m表示一个有理数，则它的相反数是 。 4、小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程， 一年下来小明共捐款 元。 4a -m 12x 4a 你 们 和 我 们 不 是 同 一 类 的 ， 你 们 不能进！ 4 3 3x 5 a abc 2a＋b 1 x π 21 3 r h 2 r 2a m 为什么 不允许 我们进 去? 问题一: 为什么 可算作同一类，它们各包含哪些运算？ 、abcxh 、rr 、a 、 4 3 3 124 3 2 问题二: π是确定的数，还是表示任意数的 字母？为什么? 、a、5问题三: 为什么也在会场内呢？ 单项式： 1、由数与字母的乘积组成的代数式叫做单 项式。 约定： 单独一个数或单独一个字母也是单项式。 在单项式中 ⑴只含乘法运算，不含加减运算； ⑵可以含有除以数的运算，但决不能含有除以字母 的运算。 例1，判断下列代数式是否为单项式：  x、5 1、x+1 3、a ba 、  12 24 x、 6、xy y 、 27 58 abz、 是 否 是 是 是 是 否 否 问题：什么是单项式的系数？ 什么是单项式的次数？ 2、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3、一个单项式中,所有字母的指数的和，叫做这个 单项式的次数。 （1）所有字母（不是部分字母） （2）指数的和（不是乘积） 例2，指出下列单项式中的系数和次数： ⑴ a ba 2 2 33） （4）xy2）-m ⑺2mn2r⑸ 26.0 xy⑹ 2 abc⑻ 系数: 次数: 系数: 次数: 1 1 3 2 1-1 1 π 2 0.6 3 2 2 2 3 2 1 3 1、判断下列代数式是否是单项式 2、判断：正确的用√表示，错误的用×表示 1）代数式一定是单项式。（ ） 2）单项式一定是代数式。（ ） 3）单项式100的次数是1 。（ ）     1 11 ) . ; 2 ) . : 3 ) .2 2 24 ) . ; 5 ) . ; 6 ) . a x x x y x     × √ × ×) (.62 32 的次数是单项式 yx4） 3、请你先说出一个单项式，然后指定同 伴回答它的系数和次数，再交换进行。 4.说出下列单项式的系数和次数 2 2 2 21). 3 2). 3).5 74). 2 x y mn a ab c   21 . 3 2).1 3).5 74). 2   系 数 ： ） 3 2 2 4 次 数 ： 5.填表： 单项式 系数 次数 22a 1.2h 2xy 2t 2 3 vt 3 22 x y π 22 ab 2 2 －1.2 1 1 3 －1 2 2 2 3  32 3 2π 3 单项式 系数 次数 表示数与字母的乘积的代数式叫单项式 。 单独一个数或单独一个字母也是单项式 注意事项 单项式中的数字因数 叫这个单项式的系数 单项式中，所有字母的指 数和叫这个单项式的次数 1.理解单项式的特征，要准确判断，在确定系 数、次数时，注意容易出错的地方; 2.圆周率 是常数; 3.当一个单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写。 4.单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 π 3.填空： (1) 单项式-5y的系数是_____，次数是_____。 (2) 单项式a3b的系数是_____，次数是_____。 (3) 单项式 - ab3c 的系数是_____，次数是___。 3 2 -5 1 1 4 5 3 2 - a 2r 2(a+b) 2ar–r² X+21 列代数式： 1）若长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的 周长为_________. 2）图中的阴影部分的 面积为____________. 3）若某班有男生x人，女生21人，则这个班的学 生一共有__________人. 2(a+b) 2ar–r² X+21 单项式 单项式＋ 问题1：你所填入的代数式有什么共同特点？ 问题2：它们与单项式有什么关系？ 3x+5y+2z ab－ 3.14r2 2 1 x2+2x+18 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。 其中，不含字母的项，叫做常数项。 例如，多项式3x²–2x+5有三项，它们是： 3x²，–2x，5； 其中5是常数项。 一个多项式含几项，就叫几项式。多项式里 次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 例如，多项式3x²–2x+5是二次三项式。 2）在多项式中，每个单项式叫做___________. 3）在多项式中，不含字母的项叫做 _______. 4）在多项式中，次数最高的项的次数，叫做这 个 ______________. 5）多项式的每一项是否包括它前面的符号？ （6）单项式的次数与多项式的次数有什么区别？ 多项式 多项式的项 常数项 多项式的次数 多项式的每一项都包括它前面的符号，有正号也有 负号。 单项式的次数是所有字母的指数的和； 多项式的次数不是所有项的次数和。 1）几个单项式的和叫做_________. 例1：指出下列多项式的项和次数. 123 24  nn（2） 3223 babbaa （1） 解：（1）多项式的项有 ___,___,___,___,次数是____. (2)多项式 的项有 _____, ____,_____,次数是________. 3223 babbaa  123 24  nn 例2.指出下列多项式是几次几项 13  xx 2223 32 yyxx  13  xx（1） 是一个三次三项式. 2223 32 yyxx （2） 是一个四次三项式. 单项式和多项式统称为整式。 （1） （2） 解：  1.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？ 是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项 和次数。 4 2 2 2 2 3 2 3 4 1 , , 1, , 32 ,2 7 π , 3 1, 2 .3 m na b x y x t x y xy x x y     － － ＋3 － 21 2 a b－ 4 2 7 m n x 32t3 π 3 1 2 － 1 7 1 32 1 3 063 2 1x y２＋ － 2 33x y y x４－ ＋3x ＋ －1 x y2 ＋ 2 1x y２, ,－ 2 3 43 1x y xy x, ,3 , － 2x y, 142 2、填空 ②4n ③1 ④xyz2①n 4 π X+Y a2+b-3c ab- r2 X4+2x2Y3+18 12 3.下列多项式的项分别是什么 项 X、Y a2、b、-3c X4、2X2Y3、18 次数 1次 2次 2次 5次 一次二项式 二次三项式 二次二项式 五次三项式 ab、- r21 2 几次几项式   单项式   多项式 次数:所有字母的指数的和。 系数：单项式中的数字因数。 项：多项式中每个单项式叫多项 式的项。（不含字母的项叫做常数项） 次数：多项式中次数最高的项的次数。 整 式 整式一定是代数式，代数式不一定是整式。 单项式与多项式统称为整式。 问题：整式与代数式有什么关系？ 1.什么叫单项式?什么叫多项式? 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式； 几个单项式的和叫做多项式。 1）单项式5a²b²的系数是___，次数是____. 153 223  yxzyyx2）多项式 ， 3次项 系数为___，2次项系数为____，常数项为___. 5 4 -5 1 -1 2.已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项 式，求m、n的值。 3. 是 次 项式， 其中三次项系数是 ，二次项为 ___， 常数项为 . 写出所有的项 _____________. 13 42 4 5  abba 三 三 4 5 ab3 4 1 13 42 4 5 ， ， abba  运用加法交换律，任意交换多项式 的项的位置，可以得到哪些不同的排列方式？ 12  xx 可以得到6种不同的排列方式， 即： x²+x+1， x+x²+1， x+1+x²， x²+1+x， 1+x+x²， 1+x²+x. 问题1. 以上六种排列中，你认为哪几种比较规 律？ x²+x+1 ，1+x+x²这样的排列比较规律. 问题2. 你认为是什么特点使得两种排列比较 整齐呢？ 这两种排列有一个共同特点，那就是x 的指数是逐渐变小（或变大）的. 这样整齐的写法除了美观之外，还会为今后的 计算带来方便。 因而我们常常把一个多项式各项的位置按照其 中某一个字母的指数大小顺序来排列. 例如： 把多项式5x2+3x-2x3-1 按x的指数从大到小的顺序排列， 则写成：-2x3+5x2+3x-1. 这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。 升幂排列就是一个多项式按照某个字母的 指数从小到大的顺序进行排列。 例如：上面的多项式可以升幂排列为： -1+3x+5x2-2x3 你知道什么是升幂排列吗？ 注意：按要求排列多项式时，每一项一定要连 同它的符号一起移动。 你能将这个多项式按r进行降幂排列吗？   例4、把多项式 2r-1+ r3-r2 按r升幂 排列。 3 4 解: 按r的升幂排列为： -1+ 2r - r2 + r3 3 4 例5.把多项式 （1）按a升幂排列；（2）按a降幂排列。 3223 33 abbaba  试试看：能将这个多项式按b进行升（或 降）幂排列。   解: （1）按a升幂排列为： 3 2 3 23 3a a b ab b   (2)按a降幂排列为： 2 3 2 33 3b ab a b a   （1）重新排列多项式时，每一项一定要 连同它的符号一起移动； （2）含有两个或两个以上字母的多项式， 常常按照其中某个字母升幂排列或降幂 排列。 注 意 p100练习 1.把多项式2x2+ x3+x-5x4- 。 1）按x的升幂排列了；2）按x的降幂排列。 2.把多项式x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3重新排列。 1）按x的降幂排列；2）按y的降幂排列。 5 2 3 1 开放题： 写一个含有字母x,y的多项式,满足 下列条件: ①五次四项式。 ②每一项的系数是1或-1。 ③不含常数项。 ④每一项必须同时含字母x,y,但不能含 其他字母。 ⑤按x的升幂排列。 本节课我们学了什么？ 1.升幂排列：把一个多项式各项的位置按 照其中某一个字母的指数从小到大来排列. 2.降幂排列：把一个多项式各项的位置按 照其中某一个字母的指数从大到小来排列. 3.升幂排列与降幂排列时要注意些什么？ 3.多项式 是几次几项式，它的每一项分别是什么？ 525343 2222  xyyxxyyx 1.什么是单项式？什么是多项式？ 2.指出下列单项式的系数和次数： 10x2； －abc； x ； －0.8x2y；0.74m5n 请同学们看以下图片， 图片上有哪些物品可以归为类？ 我留心 我长知 以水果，动物，衣服为标准进行分类： （1）苹果，菠萝，香蕉，属于水果。 （2）老虎，狮子，豹子，属于动物。 （3）鞋子，帽子，袜子,属于衣服。 1.同类项：所含字母相同，并且相同字 母的指数也分别相同的项叫做同类项。 所有的常数项都是同类项。 如：2y+4x2-3xy+7+3y-8x2-2 同类项 ①字母相同 ②相同字母的指数分别相等 2）同类项与系数大小无关； 3）同类项与它们所含相同字母的顺序无关； 2、怎样判断同类项？ 1）同类项有两个标准 （1）所含字母相同； （2）相同字母的指数分别相同； （两者缺一不可） 例1、指出下列多项式中的同类项： 5231231  xyyx）（ 2222 2 3 3 1232 yxxyxyyx ）（ 解：（1）3x与-2x是同类项，-2y与3y是同类项， 1与-5是同类项。 （2） 是同类项， yxyx 22 2 33 与 22 3 12 xyxy 与 是同类项。 判断下列说法是否正确，正确的在括号内 打“√”，错误的打“×”。 (1)3x与3mx是同类项。 (2)2ab与－5ab是同类项。 (3)3x²y与－yx²是同类项。 (4)5ab²与－2ab²c是同类项. (5) 3 ²与2 3是同类项。 （ X ） （ √） （ √ ） （ X） （ √） 例2、取何值时， 与 是同类项？ k yx k3 yx 2 解： 要使3xky与-x2y是同类项，这两项 x的指数必须相等，即k=2 所以当k=2时，3xky与-x2y是同类项 变式训练1：已知3xk+mym+2与-x2y4是同类 项，求k、m的值。 解： 因为3xk+mym+2 与-x2y4是同类 项，所以，m+2=4,k+m=2,即 m=2,k=0 变式训练2：已知 与-x2y4是同 类项，求m的值。 4)2( yxm m 解：因为 与-x2y4是同类项，所以， 4)2( yxm m 2 202.22   m mmm，m 所以 则又因为则 一是所含字母相同， 二是相同字母的指数分别相同。 两无关： 同类项两相同： 所有的常数项都是同类项。 对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？ 1、同类项是（ ） A、所含字母相同 B、所含字母完全相同的项 C、所含字母相同且次数也相同的项 D、所含字母相同且相同字母的次数也分别相同的项 2.下列单项式中，与-3a2b为同类项的是（ ） A、2ab2 B、3a2b2 C、-2ba2 D、5ba3 3.代数式3amb与-abn是同类项， 则m+n= 。 D C 2 举例说明 1.什么叫单项式？ 2.什么叫多项式？ 3.什么叫整式？ 4.什么叫做同类项？ 52xyy5x3-4xy-y3x 2222  -4xy2与2xy2；3x2y与5x2y； -3与5。 归为同一类的项有什么共同特征？ 问题2：你认为在上面这个多项式中，    哪些项可以归为一类？ 52xyy5x3-4xy-y3x 2222  （-4xy2 与2xy2）（3x2y与5x2y） 我们把具有如此特征的项称为同类项 相同字母的指数也相同 所有的常数项也看做同类项 同类项， 同类项， 除了系数 都一样 归为同一类的项有什么共同特征？ 在多项式中，所含字母相同 如图是彩砖广场和篮球场(单位:米) 70a80a ＋ a ７０ a 8０ a ＝150a 把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项  通过观察你发现８０a和７０a在合并时实 际是什么在合并？什么没有改变? （80＋70）＝ 52xyy5x3-4xy-y3x 2222  = 3x2y+5x2y-4xy2+2xy2-3+5 =（3x2y+5x2y）+（-4xy2+2xy2）+（-3+5） =（3+5）x2y+（-4+2）xy2+（-3+5） = 8x2y-2xy2+2 从以上的做法中，你能归纳出合并同类 项的一般法则吗？ 合并同类项的法则： 把同类项的系数_____ , 字母和 字母的___________. 简记为：（一加，两不变） 相加 指数不变 例3.合并下式中的同类项： （1）2a 2 b-3a 2 b+ a 2 b； （2）a 3 -a 2 b+ab 2 +a 2 b-ab 2 +b 3 2 1 温馨提示： 用适当的 记号标出 同类项， 便于合并。 例4 求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值， 其中x=-3. 分析思路：可以先合并同类项，再求值。 自己试试看。 如果把x=-3直接带入多项式来求值，哪种 方法更为简便？ 下面我们回到章前导图来看看： 如图所示的窗户，上半部分为半圆，下 半部分为6个大小一样的长方形，长方形的 长和宽的比是3︰2. （1）设长方形的长为xm，用x表示所 用材料的长度（重合部分忽略不计） （2）分别求出当长方形的长为0.4m、 0.5m、0.6m时，所需材料的长度（精 确到0.1m，∏取3.14） 比一比 赛一赛 ２.完成课本P105第1、2、3题。 有这样一道题： 当a=0.35，b=-0.28时，求多项式的值： a3b+2a3－2a2b+3a3b+2a2b－2a3 －4a3b   有一位同学指出：题目中给出的条件 a=0.35,b=-0.28是多余的．   他的说法有没有道理？ A. a+b=0 B. a=0 C. b=3 D. a=-2 （２）已知单项式2x6y2m+1与-3x3ny5的差仍是 单项式，则mn的值为 4 D （1）本节课学了哪些主要内容？ （2）你能举例说明同类项的概念吗？ （3）举例说明合并同类项的方法. （4）本节课主要运用了什么思想方法 研究问题？ 1.加法的运算定律 2.乘法的运算定律 问题1.周三下午，学校图书馆内起初有a 位同学。后来某年级组织阅读，第一批来了 b位同学，第二批来了c位同学。则图书馆内 共有_______ 位同学。 我们还可以这样理解：后来两批一共来 了___________位同学，因而, 图书馆内 共有_________位同学。 由于__________和___________均表示 同一个量，于是，我们可以得到： b+c =a+b+ca+(b+c) a+b+c a+(b+c) a+(b+c) a+b+c 问题2. 若学校图书馆内原有a位同学。后来有 些同学因上课要离开，第一批走了b位同 学，第二批又走了c位同学。你能否用两 种方式写出图书馆内还剩下的同学数？从 中你能发现什么关系？ 由问题1得：a+(b+c)=a+b+c 由问题2得：a-(b+c)=a-b-c 问： 随着括号的变化，符号有什么变化规律？ 再举几个具体数字试试看， 你能概括出去括号法则. 括号没了，符号没变 括号没了，符号却变了 观察： 随着 括号与括号 前符号的变 化，括号内 各项符号有 什么变化规 律？   cbacba    cbacba  1.去括号法则： （1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号； （2）括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变正负号； 例6 去括号： （1）a＋(b － c）；（2）a － (b －c) （3）a ＋ (－b＋c）. (4) a －(－b －c) 解： （1）a＋(b － c） = a ＋ b － c （2） a－(b － c） = a － b ＋ c （3） a ＋(－ b ＋ c） = a － b ＋ c （4） a－(－ b － c） = a ＋－ b ＋ c 熟练后，可省略. （1）(x+ y–z) + (x–y +z )–(x–y–z) 解：原式= x+ y- z+ x- y+ z- x+ y+ z = (x +x –x )+( y-y+y)+(-z+z+z) = (1+1-1)x+(1-1+1)y+ (-1+1+1)z = x+ y+ z 例7、先去括号，再合并同类项： 例7 先去括号，再合并同类项： （2）（a 2 +2ab+b 2 ）-（a 2 -2ab+b 2 ） （3） 3（2x 2 -y 2 ）-2（3y 2 -2x 2 ） 自 己 试 试 看   1.用式子表示十位上的数是a，个位上的数是b的两位数，再把这个 两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，计算所得数与原数的和， 所得数与原数的和能被11整除吗？ 解：原来的两位数为10a+b， 新的两位数为10b+a 两个数的和为10a+b+10b+a =11a+11b =11（a+b） ∴所得数与原数的和能被11整除. 练习2： 下列各式中，去括号正确的是（ ）. A. a +(b-c+d)=a-b+c-d B. a -(b-c+d)=a-b-c-d C. a -(b-c+d)=a-b+c-d D. a -(b-c+d)=a-b+c+d C 练习3：去括号，并合并同类项： （ 1）8x-(-3x-5) ( 2 ) a-(5a-3b)+(2b-a) ( 3 ) 3x+1-2(4-x) ( 4 ) –0.5(2x+y)+0.25(4p+q) 其中 2005 , 12004x y    练习4 先化简，再求值： （2x2-3xy+y2-2xy）-（2x2-5xy+2y+1） 这节课你有什么收获呢? 小组之间议一议 1、括号前是“+”号，去掉括号和前面的“+”号时，括号里的各项都不 改变符号； 2、括号前是“-”号，去掉括号和前面的“-”号时，括号里的各项都改 变符号； 3、一个数乘以代数式，应根据乘法分配律把数乘以括号内的每一项，并 把乘积放在括号里，然后按去括号的原则去括号。 注意：去多重括号的问题 含有多重括号，必须将所有括号都去掉， 主要有两种方法： 1、由里向外逐层去括号； 2、由外向里逐层去括号。但此时要注意 将内层括号看成一项来处理。 复习提问： （1）去括号法则是什么？ (2）填空： ① a-（-b-c）=__________ ， ② x2-y2- 4（2x2-3y2）= _________ ③ a+（b-c）=___________ ④ a-（b-c）=_____________ a+b+c x2-y2-8x2+12y2 a+b-c a-b+c 去括号法则 括号前是“＋”号，把括号和它前面和“＋”号去掉，括号里各项都不变符号。 括号前是“－”号，把括号和它前面 和“－”号去掉，括号里各项都改变符 号。 3 a + (b – c) a – (–b + c) a + b – c = a + ( b – c) 符号均没有变化 a + b – c = a – ( – b +c ) 符号均发生了变化 添上“+( )”, 括号 里的各项都不变符号； 添上“–( )”, 括号 里的各项都改变符 号． + ( ) – ( ) = = a + b – c a + b – c 你能根据上面的分析总结出添括号的法则吗? 添括号法则： 所添的括号前面是“+”号，括到括 号里的各项都不变号； 所添的括号前面是“－”号，括到 括号里的各项都要变号。 1．去掉下列各式中的括号 ① = ； ② = ； ③ = ； ④ = ； ⑤ = ；  2 3a b c d       23x xy y x        3b a c      2 3x y  21 18 2 2 4x x      a-b+2c-3d x-3-xy+y-x2 -b+a+c+3 x-2y+6 -16+4x-2x2 做一做： （1）x2-x+1=x2-（ ）； （2）2x2-3x-1=2x2+（ ）； （3）（a-b）-（c-d）=a-（ ）。 x-1 -3x-1 b+c-d 怎样检验呢？ 检验方法： 用去括号法则来检验添括号是否正确。 例1.按下列要求，把多项式 添 上括号 ㈠把它放在前面有“+”号的括号里； ㈡把它放在前面有“-”号的括号里； 3 2a b c  例2．按下列要求，把多项式 的后两项括起来 ㈠括号前带有“+”号； ㈡括号前带有“-”号； 3 25 4 9x x x   例题 计算： （1）214a+47a+53a；（2）214a-39a-61. 解：（1）214a+47a+53a=214a+（47a+53a） =214a+100a =314a。 （2）214a-39a-61a=214a-（39a+61a) =214a-100a =114a. 适当添加括号，可使运算简便。 1.在括号内填入适当的项： (1) x ²–x+1 = x ² –( )； (2) 2 x ²–3 x–1= 2 x ² +( )； (3)(a–b)–(c–d)= a –( ). x–1 –3x–1 b + c – d 2.判断下面的添括号对不对： （1）m-n-x+y=m-(n-x+y) （ ） （2）m-a+b-1=m+(a+b-1) （ ） （3）2x-y+z-1=-(2x+y-z+1) （ ） （4）x-y-z+1=(x-y)-(z-1) （ ） 错 错 错 对 3.在各式的括号中填上适当的项，使等式 成立； ① －（ ） =＋（ ） = －（ ） = －（ ） a b c d    a a b -a-b-c-d a+b+c+d -b-c-d -c-d ② （ ） = （ ） = （ ） = （ ） = （ ） = （ ） a b c d a     a  a b  d  c d   a d  -b-c+d b+c-d c-d -a+b+c -a+b b+c 4. （ ），括号内所填 的代数式是（ ） A． B． C． D． 3 4 1ab bc    3 4 1ab bc  3 4 1ab bc  3 4 1ab bc   3 4 1ab bc   D 5.下列等式中正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 12 23 3a b c a b c        1 1 5 5x y z x y z           1 1 2 1 1 2 2 4 7 2 4 7a b c a b c                 2 2 2a b c a b c     A 1、添括号法则 2、添括号时应注意事项 3、添括号法则的应用。 添括号法则 a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c) 对添括号法则的理解及注意事项如下： （1）添括号是添上括号和括号前面的符号。也就是 说，添括号时，括号前面的“+”或“-”也是新添的 不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的。 （2）添括号的过程与去括号的过程正好相反，添括 号是否正确，可用去括号检验。 总之，无论去括号还是添括号，只改变式子的形式， 不改变式子的值，这就是多项式的恒等变形。 “负”变“正”不变！！ 例 1.什么叫做同类项？怎样合并同类项？ 2.去括号、添括号的法则。 3.去括号、添括号时要注意什么？ 合并同类项时要注意什么？ 做一做： 某中学合唱团出场时第一排站了n名同 学，从第二排起每一排都比前一排多1人，一 共站了四排，则该合唱团一共有＿______名 同学参加演唱. )3()2()1(  nnnn解： 321  nnnn …去括号 )321()(  nnnn ...找同类项 64  n …合并同类项  得出法则，揭示内涵 例9、求整式x2-7x-2与-2x2+4x-1的差 解：(x2-7x-2)-(-2x2+4x-1) = x2-7x-2+2x2-4x+1 = 3x2-11x-1 注意： 几个整式相加减，通常用括号把每一 个整式括起来，再用加减号连接。 例10.计算：-2y3+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3). 解：原式= -2y3+3xy2-x2y-2xy2 +2y3 = xy2-x2y 例11、先化简，再求值: 2x2y-3xy2+4x2y-5xy2,其中x=1,y=-1 解： 2x2y-3xy2+4x2y-5xy2 =2x2y+4x2y-3xy2-5xy2 =6x2y-8xy2 当x=1，y=-1时， 原式=6×12×(-1)-8×1×(-1)2 =-14 1.选择题： （1）一个二次式加上一个一次式，其和是（ ） A.一次式 B.二次式 C.三次式 D.次数不定 （2）一个二次式加上一个二次式，其和是（ ） A.一次式 B.二次式 C.常数 D.二次式或一次式或常数 （3）一个二次式减去一个一次式，其差是（ ） A.一次式 B.二次式 C.常数 D. 次数不定 B D B 2、求减去-x3+2x2-3x-1的差为-2x2+3x-2的 多项式 解：(-x3+2x2-3x-1)+(-2x2+3x-2) =-x3+2x2-3x-1-2x2+3x-2 =-x3-3 答：所求多项式为：-x3-3。 注意：几个整式相加减，通常用括号把每一 个整式括起来，再用加减号连接。 说这是怎么回事？的结果也是正确的，你 但他计算错抄成“甲同学把” 的值，其中 算（有这样的一道题：“计 ,"2 1"2 1 ,"1,2 11)23(2 )246 32 32    xx yxyxyx yxyx3. 4.一种笔记本的单价是x 元，圆珠笔的单价是y元，小红 买这种笔记本3个，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4个， 买圆珠笔3支。买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共 花费多少钱？ 解法一：小红买笔记本和圆珠笔共花费_________元，小明买 笔记本和圆珠笔共花费________元。 小红和小明一共花费________________________. 解法二：小红和小明买笔记本共花费___________元，买圆 珠笔共花费__________元。小红和小明一共花小红和小明 一共花费_____________________. 3x+2y 4x+3y 7x 5y 7x+5y 7x+5y 5.已知a+2b=5,ab=-3, 则(3ab-2b)+(4b-4ab+a)=_______. 6.先化简，再求值。 -2-（2a-3b+1）-（3a+2b）， 其中a=-3 ，b=-2. 2 1.整式的加减运算法则 。 2.升幂排列、降幂排列。 3.比较复杂的式子求值,先化简,再把数值 代入计算。