华师版八年级数学上册第13章同步测试题含答案

华师版八年级数学上册第 13 章同步测试题含答案 13.1 命题、定理与证明 定理与证明 1．“同角或等角的补角相等”是( ) A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题 2．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 a∥b 的是( ) A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠4 D．∠1＋∠4＝180° 3．如图所示，下列推理不正确的是( ) A．若∠1＝∠C，则 AE∥CD B．若∠2＝∠BAE，则 AB∥DE C．若∠B＋∠BAD＝180°，则 AD∥BC D．若∠C＋∠ADC＝180°，则 AE∥CD 4．根据下图，完成下列推理过程． (1)∵∠1＝∠A(已知)， ∴AD∥BC .(________________________________________________________) (2)∵∠3＝∠4(已知)，∴CD∥AB .(________________________________________________________) (3)∵∠2＝∠5(已知)，∴AD∥BC .(________________________________________________________) (4)∵∠ADC＋∠C＝180°(已知)，∴AD∥BC .(________________________________________________________) 5．填写下列证明过程中的推理根据： 已知：如图所示，AC，BD 相交于 O，DF 平分∠CDO 与 AC 相交于 F，BE 平分于∠ABO 与 AC 相交于 E，∠A＝∠C.求证：∠1＝∠2. 证明：∵∠A＝∠C(________)， ∴AB∥CD (__________________________________)， ∴∠ABO＝∠CDO (__________________________________)， 又∵∠1＝1 2CDO，∠2＝1 2 ∠ABO (__________________________________)， ∴∠1＝∠2(____________________)． 6．已知：如果所示，a∥b，c⊥a. 求证：c⊥b. 7．已知，如图，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC， 求证：FE 平分∠BED. 8．下列推理正确的是( ) A．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90° B．∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2 C．∵∠1 与∠2 是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1 与∠3 是对顶角 D．∵∠1 与∠2 是同位角，又∠2 与∠3 是同位角，∴∠1 与∠3 是同位角 9．下列推理中，错误的是( ) A．因为 AB⊥EF，EF⊥CD，所以 AB⊥CD B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因为 a∥b，b∥c，所以 a∥c D．因为 AB＝CD，CD＝EF，所以 AB＝EF 10．完成下列推理证明． 已知：如图，AD∥EF，∠1＝∠2. 求证：AB∥DG. 证明：∵AD∥EF(________)， ∴∠1＝∠(_________ ∠1＝∠2(已知)， ∴∠________＝∠2(________________________)． ∴AB∥DG(______________________________________) 11．如图，已知：∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB. 求证：CD⊥AB. 12．已知：如图，DE⊥AB，EF⊥BC，∠B＝∠ADE. 求证：AD∥EF. 13．如图，将△MNP 的三边分别向两边延长，并在每两条延长线上任取两点连接起来，又 得到了三个新的三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°. 14．已知：如图所示，AB∥CD，DE 与 BF 相交于点 E，试探究∠3 与∠1，∠2 之间有何等 量关系？并加以证明． 答案： 1. C 2. D 3. D 4. (1) 同位角相等，两直线平行 (2) 内错角相等，两直线平行 (3) 内错角相等，两直线平行 (4) 同旁内角互补，两直线平行 5. 已知 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 角平分线定义 等量代换 6. 证明：∵a∥b，∴∠2＝∠1. ∵c⊥a，∴∠1＝90°. ∴∠2＝90°.∴c⊥b 7. 解：∵DC∥FE，∴∠1＝∠3，∠CDE＝∠4，∵DE∥AC，∴∠2＝∠CDE，∴∠2＝∠4， ∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴EF 是∠BED 的平分线 8. B 9. A 10. 已知 BAD BAD 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行 11. 证明：∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠1＝∠3.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CD∥ FG.∵AB⊥FG，∴∠5＝90°，∠5＝∠4＝90°，∴CD⊥AB 12. 证明：∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵△BED 是直角三角形， ∴∠BDE＋∠B＝90°.∵∠B＝∠ADE，∴∠BDE＋∠ADE＝90°.∴∠ADB＝90°，∵EF⊥BC， ∴BFE＝90°，∴∠ADB＝∠BFE，∴AD∥EF 13. 证明：∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，∴∠1＋∠2＋∠3＝∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F.又∵∠1＝∠4＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠3＝∠5＋∠6，∴∠ 1＋∠2＋∠3＝∠4＋∠5＋∠4＋∠6＋∠5＋∠6＝2(∠4＋∠5＋∠6)＝2×180°＝360°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360° 14. ∴∠3＝∠1＋∠2－180°.证明：连结 BD.∵∠3 是△BDE 的外角，∴∠3＝∠DBE＋ ∠BDE.又∵AB∥CD，∴∠ABD＋∠BDC＝180°.∴∠3＝(∠1－∠ABD)＋(∠2－∠BDC) ＝∠1＋∠2－(∠ABD＋∠BDC)＝∠1＋∠2－180° 13.2 三角形全等的判定 边边边 1. 如图，在△ACE 和△BDF 中，AE＝BF，CE＝DF，利用“S.S.S.”证△ACE≌△BDF 时，需添加一个条件是( ) A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对 2．下列条件中能作出唯一三角形的是( ) A．AB＝4 cm，BC＝3 cm，AC＝5 cm B．AB＝2 cm，BC＝6 cm，AC＝4 cm C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° 3．如图，B，C，D，E 在一条直线上，且 BC＝DE，AC＝FD，AE＝FB，则△ACE≌________， 理由是_____________ ∠ACE＝________，理由是_____________________________． 4．如图，已知 AB＝CD，AD＝CB，求证：△ABD≌△CDB. 5．如图，C 是线段 AB 的中点，AD＝BE，CD＝CE， 求证：∠A＝∠B. 6．如图，给出下列四组条件： ①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝ EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共 有( ) A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 7．如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，且 OA＝OB，OC＝OD，AD＝BC， 则图中共有全等三角形( ) A．4 对 B．3 对 C．2 对 D．1 对 8．如图，方格纸上有一个格点三角形和一条格点线段 AB，在这个格点纸上找一点 C，使 得△ABC 与这个格点三角形全等，这样的 C 点可以找到________个． 9．已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 垂足为 D.将△ADC 绕点 D 逆时针旋转 90°后，点 A 落在 BD 上点 A1 处，点 C 落在 DA 延长线上点 C1 处，A1C1 与 AB 交于点 E. 求证：△A1BE≌△AC1E. 10．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N 重合．过 角尺顶点 C 作射线 OC.由做法得△MOC≌△NOC 的依据是( ) A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD； ②∠B＝∠C；③AD 平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知 AB＝CD，AD＝CB，下列判断不正 确的是( ) A．∠A＝∠C B．∠ABC＝∠CDA C．∠ABD＝∠CDB D．∠ABC＝∠C 13．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD. 求证：∠B＝∠D. 14．如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE. 求证：∠DAB＝∠EAC. 15．如图，已知：PA＝PB，AC＝BD，PC＝PD，△PAD 和△PBC 全等吗？请说明理由． 16．如图，已知 AB＝DC，DB＝AC. (1)求证：∠ABD＝∠DCA； (2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ 17．如图，AD＝CB，E，F 是 AC 上两动点，且有 DE＝BF. (1)若 E，F 运动如图①所示的位置，且有 AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若 E，F 运动如图②所示的位置，仍有 AF＝CE，那么△ADE≌△CBF 还成立吗？为什 么？ (3)若 E，F 不重合，AD 和 CB 平行吗？说明理由． 答案： 1. C 2. A 3. △FDB S.S.S. ∠FDB 全等三角形的对应角相等 4. ∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB(S.S.S.) 5. 解：利用边边边证△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠B 6. C 7. B 8. 4 9. ∵△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠C，BD＝CD.∵△A1DC1 是由△ADC 旋转而得， ∴A1D＝AD，C1D＝CD，∠C1＝∠C，∴∠B＝∠C1，BD＝C1D，∴BD－A1D＝C1D－AD，即 BA1 ＝C1A.在△A1BE 和△AC1E 中， ∠BEA1＝∠C1EA ∠B＝∠C1 BA1＝C1A ，∴△A1BE≌△AC1E(A.A.S.) 10. D 11. D 12. D 13. 连结 AC，在△ABC 和△ADC 中，∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(S.S.S.). ∴∠B＝∠D 14. 在△ADC 和△AEB 中，∵AC＝AB，CD＝BE，AD＝AE，∴△ADC≌△AEB(S.S.S.)，∴∠ DAC＝∠EAB，∴∠DAB＝∠EAC 15. ∵AC＝BD，∴AD＝BC，又∵PA＝PB，PC＝PD， ∴△PAD≌△PBC(S.S.S.) 16. (1)连结AD，在△BAD和△CDA中，∵AB＝CD，DB＝AC，AD＝AD，∴△BAD≌△CDA(S.S.S.). ∴∠ABD＝∠DCA (2)作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边 17. (1)运用“S.S.S.”证明△ADE≌△CBF (2)成立，证明方法同(1) (3)当 AF＝CE 时，AD 与 CB 平行；当 AF≠CE 时， AD 与 CB 不平行，理由略 13.2.4 角边角 一．选择题（共 10 小题） 1．如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，∠B=∠E，补充下列哪一个条件后，能直接应用“SAS”判定△ ABC≌△DEF（ ） A．BF=EC B．∠ACB=∠DFE C．AC=DF D．∠A=∠D 2．如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC 3．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（ ） A．4 对 B．3 对 C．2 对 D．1 对 4．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC 的条件是（ ） A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC C．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．AD=BC，BD=AC 5．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF 的是（ ） A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D C．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF 6．如图，AE∥DF，AE=DF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（ ） A．AB=CD B．CE∥BF C．CE=BF D．∠E=∠F 7．如图，AB∥EF，AB=EF，添加下面哪个条件不能使△ABC≌△EFD（ ） A．BD=FC B．∠A=∠E C．AC∥DE D．AC=ED 8．面积相等的两个三角形（ ） A．必定全等 B．必定不全等 C．不一定全等 D．以上答案都不对 9．如图：AB∥DE，CD=BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是（ ） A．∠B=∠E B．AC=EF C．AB=ED D．不用补充条件 10．两个三角形有以下元素对应相等，则不能确定全等的是（ ） A．一边两角 B．两边和其夹角 C．两边及一边所对的角 D．三条边 二．填空题（共 4 小题） 11．如图，∵ ∴△ ≌△ （SAS）． 12．如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是 （只添一个条件即可）． 13．如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，要使△ABC≌△ADE，还需要添加的条件是 ． 14．如图，点 F、C 在线段 BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件 ， 依据是 ． 三．解答题（共 6 小题） 15．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF． 16．如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE． 17．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，且 BD=CE． 求证：△ABE≌△ACD． 18．已知：如图，点 C 是线段 AB 的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE． 求证：△AEC≌△BDC． 19．如图，在△ABC 和△DEF 中，点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB∥DE，且 AB=DE，BE=CF．求证： △ABC≌△DEF． 20．如图，直线 AD 与 BC 相交于点 O，OA=OD，OB=OC；求证：△AOB≌△DOC． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．（2015 春•相城区期末）如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，∠B=∠E，补充下列哪一个条件后，能 直接应用“SAS”判定△ABC≌△DEF（ ） A．BF=EC B．∠ACB=∠DFE C．AC=DF D．∠A=∠D 【分析】应用（SAS）从∠B 的两边是 AB、BC，∠E 的两边是 DE、EF 分析，找到需要相等的两边． 【解答】解：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．∠B 的两边是 AB、BC，∠E 的两边 是 DE、EF，而 DE=BF+FC、EF=CE+CF，要使 DE=EF，则 BF=EC． 故选 A． 【点评】本题考查了三角形全等的条件，判定三角形全等一定要结合图形上的位置关系，从而选择方法． 2．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC 【分析】添加条件 AB=CD 可证明 AC=BD，然后再根据 AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用 SAS 定理证明△EAC ≌△FDB 即可． 【解答】解：∵AE∥FD， ∴∠A=∠D， ∵AB=CD， ∴AC=BD， 在△AEC 和△DFB 中， ， ∴△EAC≌△FDB（SAS）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、 AAS、HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角． 3．（2015•西安模拟）如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（ ） A．4 对 B．3 对 C．2 对 D．1 对 【分析】如图，首先证明△ABC≌△DCB，进而得到∠ECB=∠EBC，EB=EC，BF=CF；同理可证△EFB≌EFC、 △ABE≌△DCE，即可解决问题． 【解答】解：如图，∵AB∥EF∥CD，∠ABC=90°， ∴∠DCB=∠EFB=∠ABC=90°； 在△ABC 与△DCB 中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠ECB=∠EBC， ∴EB=EC，BF=CF； 同理可证△EFB≌EFC、△ABE≌△DCE； ∴图中的全等三角形有 3 对， 故选 B． 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握全等三角形的判定及其性 质，这是灵活运用、解题的关键． 4．（2015 秋•廊坊期末）如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC 的条件是（ ） A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC C．BD=AC，∠BAD=∠ABC D．AD=BC，BD=AC 【分析】本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可， 如果所加条件是一边和一角对应相等，必须是这边和公共边的夹角对应相等，只有符合以上条件，才能 根据三角形全等判定定理得出结论． 【解答】解：A、符合 AAS，能判断△ABD≌△BAC； B、符合 ASA，能判断△ABD≌△BAC； C、符合 SSA，不能判断△ABD≌△BAC； D、符合 SSS，能判断△ABD≌△BAC． 所以根据全等三角形的判定方 C、满足 SSA 不能判断两个三角形全等． 故选 C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等判定定理中，最易出错的是“边角边”定理， 这里强调的是夹角，不是任意一对角． 5．（2016 春•泰州校级期末）在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF 的是（ ） A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D C．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF 【分析】根据题目所给的条件结合判定三角形全等的判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用 AAS 定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D 不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意； C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用 ASA 定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； D、AB=DE，BC=EF，AC=DF 可以利用 SSS 定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．（2016•琼海校级模拟）如图，AE∥DF，AE=DF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（ ） A．AB=CD B．CE∥BF C．CE=BF D．∠E=∠F 【分析】判定三角形全等的方法主要有 SAS、ASA、AAS、SSS 等，根据所添加的条件判段能否得出△EAC ≌△FDB 即可． 【解答】解：（A）当 AB=CD 时，AC=DB，根据 SAS 可以判定△EAC≌△FDB； （B）当 CE∥BF 时，∠ECA=∠FBD，根据 AAS 可以判定△EAC≌△FDB； （C）当 CE=BF 时，不能判定△EAC≌△FDB； （D）当∠E=∠F 时，根据 ASA 可以判定△EAC≌△FDB； 故选（C） 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、 AAS、HL．解题时注意：判定两个三角形全等时，必须有边相等的条件，若有两边一角对应相等时，角 必须是两边的夹角． 7．（2016 春•揭西县期末）如图，AB∥EF，AB=EF，添加下面哪个条件不能使△ABC≌△EFD（ ） A．BD=FC B．∠A=∠E C．AC∥DE D．AC=ED 【分析】根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可． 【解答】解：∵AB∥EF，AB=EF， ∴∠B=∠F， 当 BD=CF 时，可得 BC=DF，在△ABC 和△EFD 中，满足 SAS，故 A 可以判定； 当∠A=∠E 时，在△ABC 和△EFD 中，满足 ASA，故 B 可以判定； 当 AC∥DE 时，可得∠ACB=∠EDF，在△ABC 和△EFD 中，满足 AAS，故 C 可以判定； 当 AC=DE 时，在△ABC 和△EFD 中，满足 SSA，故 D 不可以判定； 故选 D． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五种判定方法是解题的关键，即 SSS、 SAS、ASA、AAS 和 HL． 8．（2016 春•成安县期末）面积相等的两个三角形（ ） A．必定全等 B．必定不全等 C．不一定全等 D．以上答案都不对 【分析】两个面积相等的三角形，则面积的 2 倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不 同的因数，所以说这两个三角形的对应边和对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等． 【解答】解：因为两个面积相等的三角形，则面积的 2 倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以 有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一 定全等． 故选 C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定．解答此题需要熟悉三角形的面积公式． 9．（2016 春•永登县期末）如图：AB∥DE，CD=BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是（ ） A．∠B=∠E B．AC=EF C．AB=ED D．不用补充条件 【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析即可． 【解答】解：∵AB∥DE ∴∠D=∠B ∵CD=BF ∴DF=BC ∴AB=ED ∴△ABC≌△EDF 故选 C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS 和 ASA、 HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角． 10．（2016 春•枣庄校级月考）两个三角形有以下元素对应相等，则不能确定全等的是（ ） A．一边两角 B．两边和其夹角 C．两边及一边所对的角 D．三条边 【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．而 SSA 不能判定三角形全等． 【解答】解：A、一边两角，可根据 AAS 判定两三角形全等； B、两边和其夹角，可根据 SAS 判定两三角形全等； C、两边及一边所对的角，SSA 不能判定两三角形全等； D、三条边，可根据 SSS 判定两三角形全等． 故选 C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边 一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 二．填空题（共 4 小题） 11．（2016 春•福州校级期末）如图，∵ ∴△ ABD ≌△ ACE （SAS）． 【分析】本题是很据已知条件找对应的全等三角形，关键是先确定出所给条件中，已知的两条边是哪两 个三角形的．进而可判断出哪些三角形全等． 【解答】解：∵AB、AD 和 AC、AE 分别是△ADB 和△ACE 的两边，且 AB=AC，AD=AE； 又∵∠BAC=∠CAB， ∴△ADB≌△ACE（SAS）． 故填 ABD，ACE． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法；在书写三角形全等时要注意各对应顶点要对应，排列位 置要一致． 12．（2015 秋•无锡期末）如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是 CD=BD （只添 一个条件即可）． 【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加 DB=DC，利用 SAS 判定其全 等． 【解答】解：需添加的一个条件是：CD=BD， 理由：∵∠1=∠2， ∴∠ADC=∠ADB， 在△ABD 和△ACD 中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． 故答案为：CD=BD． 【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL．添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择 条件是正确解答本题的关健． 13．（2015 春•市中区期末）如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，要使△ABC≌△ADE，还需要添加的 条件是 AC=AE（或 BC=DE，∠E=∠C，∠B=∠D） ． 【分析】要使△ABC≌△ADE，已知有一对角与一对边相等，则可以根据三角形全等的判定方法添加合适 的条件即可． 【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD， ∴可添加 AC=AE，利用 SAS 判定． 故填 AC=AE（或 BC=DE，∠E=∠C，∠B=∠D）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL．添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择 条件是正确解答本题的关健． 14．（2015 秋•都匀市期中）如图，点 F、C 在线段 BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF， 则还需补充一个条件 AC=DF ，依据是 SAS ． 【分析】要使△ABC≌△DEF，已知∠1=∠2，AC=EF，添加边的话应添加对应边，符合 SAS 来判定． 【解答】解：AC=DF． 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故答案为：AC=DF，SAS． 【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角． 三．解答题（共 6 小题） 15．（2016•历城区二模）如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF． 【分析】利用∠1=∠2，即可得出∠ABE=∠CBF，再利用全等三角形的判定 SAS 得出即可． 【解答】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF， 在△ABE 与△CBF 中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角． 16．（2015•重庆校级三模）如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE． 【分析】根据 AB∥DC，可得∠C=∠A，然后由 AE=CF，得 AE+EF=CF+EF，最后利用 SAS 判定△ABF≌△CDE． 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠C=∠A， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 在△ABF 和△CDE 中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角． 17．（2015 春•永春县期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 在 BC 上，且 BD=CE． 求证：△ABE≌△ACD． 【分析】由 AB=AC 可得∠B=∠C，然后根据 BD=CE 可证 BE=CD，根据 SAS 即可判定三角形的全等． 【解答】证明∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵BD=EC， ∴BE=CD， 在△ABE 与△ACD 中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角． 18．（2014•永春县质检）已知：如图，点 C 是线段 AB 的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE． 求证：△AEC≌△BDC． 【分析】根据∠ACD=∠BCE，可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD．根据边角边公理可得 出△AEC≌△BDC． 【解答】证明：在△AEC 和△BDC 中， ∵点 C 是线段 AB 的中点， ∴AC=BC， ∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠BCD， 在△AEC 和△BDC 中， ， ∴△AEC≌△BDC（SAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方 法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判 定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 19．（2013 秋•北京期末）如图，在△ABC 和△DEF 中，点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB∥DE，且 AB=DE， BE=CF．求证：△ABC≌△DEF． 【分析】首先根据 AB∥DE 可得∠B=∠DEF．再由 BE=CF 可得 BC=EF，然后再利用 SAS 证明△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF． ∵BE=CF， ∴BE+EC=FC+EC， 即 BC=EF． 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角． 20．（2014 秋•长汀县期中）如图，直线 AD 与 BC 相交于点 O，OA=OD，OB=OC；求证：△AOB≌△DOC． 【分析】利用 SAS 进行全等的判定即可． 【解答】解：在△AOB 和△DOC 中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角 对应相等时，角必须是两边的夹角． 13.2 三角形全等的判定 1. 如图，已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是( ) A．AB＝AC B．∠BAC＝90° C．BD＝AC D．∠B＝45° 2．如图，△ABC 和△EDF 中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点 B，F，C，D 在同一条直 线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF 的是( ) A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BF＝DC 3．根据下面的条件，能画出唯一的△ABC 的是( ) A．AB＝3，BC＝2，∠C＝60° B．AB＝3，BC＝4，∠A＝90° C．∠B＝90°，AC＝4，BC＝5 D．∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90° 4．如图所示，∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE，BC＝DC，则 Rt△CED≌________，理由是 ________，此时∠BCD＝________.(A，C，E 在同一条直线上) 5．如图，∠BAC＝∠CDB＝90°，请添加一个条件使△ABC≌△DCB，并在添加的条件后 面的括号内填上判断的依据： (1)________________( )； (2)________________( )； (3)_________________________( )； (4)_________________________( )． 6．在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE ＝CF. 求证：Rt△ABE≌Rt△CBF. 7．已知 AC＝BD，AF＝BE，CE⊥AB，FD⊥AB. 求证：CE＝DF. 8．已知点 B，E，C 在一条直线上，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝EC，且 AE＝DE.求证：AB ＋DC＝BC. 9．下列说法中正确的有( ) ①两直角边分别相等的两直角三角形全等；②两锐角分别相等的两直角三角形全等；③斜 边和一条直角边分别相等的两直角三角形全等；④一锐角和斜边分别相等的两直角三角形 全等． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 10．如图，矩形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，连结 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，连 结 BD，DF，则图中全等的直角三角形共有( ) A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对 11．如图 AD，A′D′分别是锐角△ABC 和△A′B′C′中 BC，B′C′边上的高且 AB＝A′B′，AD ＝A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′.请你补充条件 (只填写一个你认为适当的条件) 12．已知：如图 AD 为△ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BF＝AC，FD ＝CD.求证：BE⊥AC. 13．已知：点 O 到△ABC 的两边 AB，AC 所在直线的距离相等，且 OB＝OC. (1)如图①，若点 O 在 BC 上，求证：∠B＝∠C； (2)如图②，若点 O 在△ABC 的内部，求证：∠ABO＝∠ACO. 14．如图，AB 与 CD 相交于点 O，∠ACF＝∠BDE＝90°，F 在 AB 上，且 AC＝BD，AE ＝BF，求证：CO＝DO. 15．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝90°，D 是 AC 上的一点，CE⊥BD 于点 E，且 CE＝1 2BD，求证：BD 平分∠ABC. 答案： 1. A 2. C 3. B 4. Rt △ BAC H.L. 90° 5. (1) AC＝DB(H.L.) (2) AB＝DC(H.L.) (3) ∠ABC＝∠DCB(A.A.S.) (4) ∠ACB＝∠DBC(A.A.S.) 依据：略 6. ∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°， 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中，AE＝CF， AB＝CB，∴Rt△ABE≌△Rt△CBF(H.L.) 7. ∵AF＝BE，∴AF－EF＝BE－EF，即 AE＝BF，∵EC⊥AB，FD⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝ 90°，在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中，AC＝BD AE＝BF ，∴Rt△ACE≌Rt△BDF(H.L.)，∴CE＝DF 8. ∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在 Rt△AEB 和 Rt△EDC 中，AE＝DE AB＝EC ， ∴Rt△AEB≌Rt△EDC(H.L.)， ∴DC＝BE，∵BC＝BE＋CE，∴AB＋DC＝BC 9. B 10. B 11. BC＝B′C′或∠C＝∠C′或∠BAC＝∠B′A′C′ 12. ∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°， 又∵BF＝AC，FD＝CD， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC(H.L.)， ∴∠C＝∠BFD，∵∠DBF＋∠BFD＝90°， ∴∠C＋∠DBF＝90°， ∵∠C＋∠DBF＋∠BEC＝180°， ∴∠BEC＝90°，即 BE⊥AC 13. (1)在 Rt△OEC 和 Rt△OFB 中，∵ OE＝OF OB＝OC ，∴Rt△OEC≌Rt△OFB(H.L.)，∴∠B＝∠C(全 等三角形的对应角相等) (2)在 Rt△OEC 和 Rt△OFB 中，∵ OE＝OF OB＝OC ，∴Rt△OEC≌Rt△OFB(H.L.)，∴∠ABO＝∠ACO 14. 利用 H.L.证 Rt△ACF≌Rt△BDE，∴∠AFC＝∠BED，CF＝DE，再利用 A.A.S.，证△COF ≌△DOE，∴OC＝OD 15. 延长 CE 与 BA 的延长线相交于 F，证△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵CE＝1 2BD，∴CE ＝1 2CF，再证：△FBE≌△CBE.∴BD 平分∠ABC 13.3.2 等腰三角形的判定 1．下列能断定△ABC 为等腰三角形的是( ) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．AB＝AC＝2，BC＝4 D．AB＝3，BC＝7，周长为 10 2．如图，已知 OC 平分∠AOB，CD∥OB，若 OD＝3 cm，则 CD 等于( ) A．3 cm B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm 3．如图所示，在△ABC 中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC 的平分线交 AC 于 D，则图中共有等腰三角 形( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4．如图，在△ABD 和△BAC 中，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AC，BD 相交于点 E，则下列结论中正确的个数有 ( ) ①∠DAE＝∠CBE；②△ADE≌△BCE；③CE＝DE；④△EAB 为等腰三角形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形．你添加的 条件是_____________． 6．如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是角平分线，过点 B 作 BA 的垂线与 AD 的延长线相交于点 E， 求证：△BDE 是等腰三角形． 7．△ABC 中，①若 AB＝BC＝CA，则△ABC 是等边三角形；②一个底角为 60°的等腰三角形是等边三角 形；③顶角为 60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是 60°的三角形是等边三角形．上述结 论中正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．如图，D，E，F 分别是等边△ABC 各边上的点，且 AD＝BE＝CF，则△DEF 的形状是( ) A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 9．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC. (1)在 Rt△ACE 中，∠C＝______，CE＝______AE； (2)求证：△ADE 是等边三角形． 10．若三角形中一角的平分线是它对边的中线，则这个三角形一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE 分别为∠ABC，∠ACB 的角平分线，则图中等腰三 角形共有( ) A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 12．如图，D 为锐角△ABC 边 AC 延长线上一点，DF⊥AB 于 F 交 BC 于 E，要使△CED 为等腰三角形，则 △ABC 的边必须满足的条件是______________． 13．如图，已知 AB＝AC，D 是 AB 上一点，DE⊥BC 于 E，ED 的延长线交 CA 的延长线于 F，求证：△ADF 是等腰三角形． 14．如图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与 BD 交于 O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB 是等腰三角形． 15．如图所示，△ABC 为等边三角形，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，求证：△ADE 是等边三角形． 16．如图，在△ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 BC 上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD 与 CE 相交于点 F， 试判断△AFC 的形状，并说明理由． 17．已知：如图，AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，AB 平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为 E. (1)求证：AD＝AE； (2)若 BE∥AC，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 答案： 1---4 BADD 5. BD＝CD 6. ∵在 Rt△ACD 中，∠ADC＋∠DAC＝90°，又∵∠BDE＝∠ADC，∴∠BDE＋∠DAC＝90°，∵Rt△ABE 中，∠E＋∠BAE＝90°，又∵AD 是∠BAC 的平分线，即∠BAE＝∠DAC，∴∠E＝∠BDE，∴BE＝BD，即 △BDE 是等腰三角形 7. D 8. A 9. (1) 30° 2 (2) 由∠AED＝∠ADE＝∠EAD＝60°可证 10. A 11. D 12. AC＝BC 13. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又 DE⊥BC，∴∠B＋∠BDE＝90°，∠C＋∠F＝90°，又∠BDE＝∠ADF，∴ ∠ADF＝∠F，∴AD＝AF 14. (1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC 与△BAD 是直角三角形，在△ABC 和△BAD 中，∵AC＝BD，AB＝ BA，∠ACB＝∠BDA＝90°，∴△ABC≌△BAD(H.L.)，∴BC＝AD (2)∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB＝∠DBA， ∴OA＝OB，∴△OAB 是等腰三角形 15. ∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.又∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(S.A.S.)， ∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAD＝60°， ∴△ADE 是等边三角形 16. △AFC 是等腰三角形.理由如下：在△BAD 与△BCE 中，∵∠B＝∠B(公共角)，∠BAD＝∠BCE，BD ＝BE，∴△BAD≌△BCE(AAS)，∴BA＝BC，∠BAD＝∠BCE，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA －∠BCE，即∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，∴△AFC 是等腰三角形 17. (1) △AFC 是等腰三角形.理由如下：在△BAD 与△BCE 中，∵∠B＝∠B(公共角)，∠BAD＝∠BCE， BD＝BE，∴△BAD≌△BCE(AAS)，∴BA＝BC，∠BAD＝∠BCE，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠ BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，∴△AFC 是等腰三角形 (2)△ABC 是等边三角形.理由：∵BE∥AC，∴∠EAC＝90°，∵AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，∴∠1＝∠2 ＝∠3＝30°， ∴∠BAC＝∠1＋∠3＝60°，∴△ABC 是等边三角形 13.3 等腰三角形 专题一 与等腰三角形有关的探究题 1. 设 a、b、c 是三角形的三边长，且 cabcabcba  222 ，关于此三角形的形状有以下判断： ①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是 （ ） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2. 如图，已知：∠MON=30°，点 A1、A2、A3……在射线 ON 上，点 B1、B2、B3……在射线 OM 上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若 OA1=1，则△A2013B2013A2014 的边长为（ ） A.2013 B. 2014 C. 20122 D. 20132 O M N B1 A1 B2 B3 A2 A3 A4 3. 如图,在△AB 1A 中, ∠B＝20°,AB＝ 1A B，在 1A B上取一点C,延长 1AA 到 2A ,使得 1 2A A ＝ 1A C ; 在 2A C 上取一点 D,延长 1 2A A 到 3A ,使得 2 3A A ＝ 2A D ;……，按此做法进行下去,求∠ nA 的度数. 4. 如图，点 O 是等腰直角三角形 ABC 内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC 绕直角 顶点 C 按顺时针方向旋转 90°得△BDC，连接 OD． （1）试说明△COD 是等腰直角三角形； （2）当α=95°时，试判断△BOD 的形状，并说明理由． 5. 如图．在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O，且 OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE 的形状，并说明你的理由； （2）线段 BD、DE、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程． 专题二 等腰（边）三角形中的动点问题 6. 已知ΔABC 为等边三角形，点 M 是射线 BC 上任意一点，点 N 是射线 CA 上任意一点，且 BM=CN，直线 BN 与 AM 相交于 Q 点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM 的大小， 将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM 在点 M、N 的变化中的取值情况，并利用图③证明 你的结论. 测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______. 7. 如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠B=40°，点 D 在线段 BC 上运动（D 不与 B、C 重合），连接 AD，作 ∠ADE=40°，DE 交线段 AC 于 E． （1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点 D 从 B 向 C 运动时，∠BDA 逐渐变_____ （填“大”或 “小”）； （2）当 DC 等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点 D 的运动过程中，△ADE 的形状也在改变，判断当∠BDA 等于多少度时，△ADE 是等腰三角 形． 8. 阅读材料： 如图，△ABC 中，AB=AC，P 为底边 BC 上任意一点，点 P 到两腰的距离分别为 r1，r2， 腰上的高为 h，连接 AP，则 S△ABP+S△ACP=S△ABC，即： 1 2 AB•r1+ 1 2 AC•r2= 1 2 AB•h，∴r1+r2=h（定值）． （1）类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在 三角形内任一点”，即：已知等边△ABC 内任意一点 P 到各边的距离分别为 r1，r2，r3，等边△ABC 的高为 h，试证明 r1+r2+r3=h（定值）． （2）理解与应用 △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC 内部是否存在一点 O，点 O 到各边的距离相等？ _____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离 r 的值，r= _____．若不存在， 请说明理由． 状元笔记 [知识要点] 1．等腰三角形的性质： （1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线； （2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分重合（简称为“三线合一”）； （3）等腰三角形的两底角相等（简称“等角对等边”）． 2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于 60°． 3．等腰三角形的判定： （1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”． （2）三个角都是 60°的三角形是等边三角形． （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 【方法技巧】 1．等边对等角或等角对等边必须在同一个三角形中． 2．判断一个三角形的形状一般要考虑：①等腰三角形；②直角三角形；③等边三角形；④等腰直角三 角形． 3．“等边对等角”和“等角对等边”成为今后证明角或边相等又一新方法． 参考答案 1. C 【解析】 由 cabcabcba  222 得： 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b b c a c      ，所以 0 0 0 a b b c a c         ， 所以 a b c  ，所以②、③是真命题，故选 C. 2. C 【解析】 ∵△A1B1A2 是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠1=60°. ∵∠MON=30°， ∴∠2=30°=∠MON， ∴A1B1 =OA1=1= A1A2. 同理可证：A2B2 =OA2 =2，A2A3=OA2 =2，A3A4=OA3 =4= 22 ，A4A5=OA4 =8= 32 . 以此类推：A2013B2013A2014=22012． 故选 C． 3. 解：如图，在△AB 1A 中， ∵∠B＝20°,AB＝ 1A B， ∴∠ 1AA B ＝80°. 在△ 1 2A A C 中， ∵ 1 2A A ＝ 1A C ， ∴∠ 1 2A A C ＝ 1 1 2 AA B ＝ 1 802   ＝ 2 11 802       ＝40°. 在△ 2 3A A D 中, ∵ 2 3A A ＝ 2A D , ∴∠ 2 3A A D ＝ 1 2 1 2 A A C ＝ 1 1 802 2    ＝ 3 11 802       ＝20°. 依此类推, 得∠ nA 的度数为 11 802 n      . 故∠ nA 的度数为 1 n-1 1 80802 2 n            或 . 4. 解：（1）∵△AOC 绕直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90°得△BDC， ∴∠OCD=90°，CO=CD， ∴△COD 是等腰直角三角形； （2）△BOD 为等腰三角形． 理由如下： ∵△COD 是等腰直角三角形， ∴∠COD=∠CDO=45°， 而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°， ∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，∠BDO=95°-45°=50°， ∴∠OBD=180°-80°-50°=50°． ∴△BOD 为等腰三角形． 5. 解：（1）△ODE 是等边三角形， 其理由是：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°， ∴△ODE 是等边三角形； （2）BD=DE=EC，其理由是： ∵OB 平分∠ABC，且∠ABC=60°， ∴∠ABO=∠OBD=30°， ∵OD∥AB， ∴∠BOD=∠ABO=30°， ∴∠DBO=∠DOB， ∴DB=DO ， 同理可证 EC=EO. ∵DE=OD=OE， ∴BD=DE=EC． 6. 60°，60°，60°. 证明: ∵BM=CN；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.ΔABM≌ΔBCN(SAS),∠BAM=∠CBN; ∴∠BQM=∠BAM +∠QBA=∠CBN+∠QBA=∠ABC =60°. 7. 解：（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°； 从图中可以得知，点 D 从 B 向 C 运动时，∠BDA 逐渐变小； 故答案为：25°；小． （2）当△ABD≌△DCE 时,DC=AB, ∵AB=2， ∴DC=2， ∴当 DC 等于 2 时，△ABD≌△DCE； （3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°， ①当 AD=AE 时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合； ②当 DA=DE 时，即∠DAE=∠DEA= 1 2 （180°-40°）=70°， ∵∠BAC=180°-40°-40°=100°， ∴∠BAD=100°-70°=30°. ∴∠BDA=180°-30°-40°=110°； ③当 EA=ED 时，∠ADE=∠DAE=40°， ∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°. ∴当∠ADB=110°或 80°时，△ADE 是等腰三角形． 8. 解：（1）证明：连结 AP，BP，CP.则 =ABC BPC APC APBS S S S △ △ △ △ ， 即 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2BC h BC r AC r AB r       ， ∵AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）． （2）存在；2. 13.4.1 作一条线段等于已知线段 一.选择题 1．下列属于尺规作图的是（ ） A．用量角器画∠AOB 的平分线 OP B．利用两块三角板画 15°的角 C．用刻度尺测量后画线段 AB=10cm D．在射线 OP 上截取 OA=AB=BC=a 答案：D 解答：根据尺规作图的定义可得：在射线 OP 上截取 OA=AB=BC=a，属于尺规作图， 故选：D． 分析：根据尺规作图的定义：是指用没有刻度的直尺和圆规作图可直接选出答案． 2.用一把带有刻度的直角尺，①可以画出两条平行线；②可以画出一个角的平分线；③可以确定一个圆 的圆心．以上三个判断中正确的个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 答案：D 解答：（1）任意画出一条直线，在直线的同旁作出两条垂线段，并且这两条垂线段相等．过这两条垂线 段的另一端点画直线，与已知直线平行，正确； （2）可先在这个角的两边量出相等的两条线段长，过这两条线段的端点向角的内部应垂线，过角的顶 点和两垂线的交点的射线就是角的平分线，正确； （3）可让直角顶点放在圆上，先得到直径，进而找到直径的中点就是圆心，正确． 故选：D． 分析：根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确个数． 3．下列关于作图的语句中正确的是（ ） A．画直线 AB=10 厘米 B．画射线 OB=10 厘米 C．已知 A，B，C 三点，过这三点画一条直线 D．过直线 AB 外一点画一条直线和直线 AB 平行 答案：D 解答：A．直线没有长度，故 A 选项错误； B．射线没有长度，故 B 选项错误； C．三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，故选 项错误； D．正确． 故选：D． 分析：根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论． 4．下列作图语句错误的是（ ） A．过直线外的一点画已知直线的平行线 B．过直线上的一点画已知直线的垂线 C．过∠AOB 内的一点画∠AOB 的平分线 D．过直线外一点画此直线的两条斜线，一条垂线 答案：C 解答：A．过直线外的一点画已知直线的平行线，此说法正确，故本选项错误； B．过直线上的一点画已知直线的垂线，此说法正确，故本选项错误； C．过∠AOB 内的一点画∠AOB 的平分线，此说法不正确，故本选项正确； D．过直线外一点画此直线的两条斜线，一条垂线，此说法正确，故本选项错误； 故选 C． 分析：根据平行线的作法.垂线的作法.角平分线的作法进行选择即可． 5．按下列条件画三角形，能唯一确定三角形形状和大小的是（ ） A．三角形的一个内角为 60°，一条边长为 3cm B．三角形的两个内角为 30°和 70° C．三角形的两条边长分别为 3cm 和 5cm D．三角形的三条边长分别为 4cm、5cm 和 8cm 答案：D 解答：A．三角形的一个内角为 60°，一条边长为 3cm，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定 大小，不符合题意； B．三角形的两个内角为 30°和 70°，能唯一确定三角形形状和但不能唯一确定大小，不符合题意； C．三角形的两条边长分别为 3cm 和 5cm，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定大小，不符合 题意； D．三角形的三条边长分别为 4cm、5cm 和 8cm，能唯一确定三角形形状和大小，符合题意． 故选 D． 分析：根据基本作图的方法，及唯一确定三角形形状和大小的条件可知． 6．下列作图语句中，不准确的是（ ） A．过点 A、B 作直线 AB B．以 O 为圆心作弧 C．在射线 AM 上截取 AB=a D．延长线段 AB 到 D，使 DB=AB 答案：B 解答：A．根据直线的性质公理：两点确定一条直线，可知该选项正确； B．画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，故该选项错误； C．射线有一个端点，可以其端点截取任意线段，故选项正确； D．线段有具体的长度，可延长，正确； 故选 B． 分析：根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论． 7．尺规作图是指（ ） A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图 C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图 答案：C 解答：尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规． 故选：C． 分析：根据尺规作图的定义：尺是不带刻度的直尺，规是圆规进而得出答案． 8．下列画图语句中正确的是（ ） A．画射线 OP=5cm B．画射线 OA 的反向延长线 C．画出 A、B 两点的中点 D．画出 A、B 两点的距离 答案：B 解答：A．画射线 OP=5cm，错误，射线没有长度， B．画射线 OA 的反向延长线，正确． C．画出 A、B 两点的中点，错误，中点是线段的不是两点的， D．画出 A、B 两点的距离，错误，画出的是线段不是距离． 故选：B． 分析：利用射线的定义，线段中点及距离的定义判定即可． 9．尺规作图的画图工具是（ ） A．刻度尺、量角器 B．三角板、量角器 C．直尺、量角器 D．没有刻度的直尺和圆规 答案：D 解答：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规． 故选 D． 分析：根据尺规作图的定义可知． 10．下列属于尺规作图的是（ ） A．用刻度尺和圆规作△ABC B．用量角器画一个 300 的角 C．用圆规画半径 2cm 的圆 D．作一条线段等于已知线段 答案：D 解答：A．用刻度尺和圆规作△ABC，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； B．量角器不在尺规作图的工具里，错误； C．画半径 2cm 的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； D．正确． 故选：D． 分析：根据尺规作图的定义分别分析得出即可． 11．下列作图语句正确的是（ ） A．以点 O 为顶点作∠AOB B．延长线段 AB 到 C，使 AC=BC C．作∠AOB，使∠AOB=∠α D．以 A 为圆心作弧 答案：C 解答：A．画角既需要顶点，还需要角度的大小，错误； B．延长线段 AB 到 C，则 AC＞BC，即 AC=BC 不可能，错误； C．作一个角等于已知角是常见的尺规作图，正确； D．画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误． 故选 C． 分析：根据画角的条件判断 A；根据线段延长线的等腰判断 B；根据基本作图判断 C；根据确定弧的条 件判断 D． 12．.已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ） A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一条线段等于已知线段的和 答案：C 解答：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段． 故选 C． 分析：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段． 13．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．.两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 答案：A 解答：如图： ∵∠DPF=∠BAF， ∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 分析：由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行． 14．以下作图，用一对三角尺不能办到的是（ ） A．画一个 45°的角，再把它三等分 B．画一个 15°的角，再把它三等分 C．.画一个周角，再把它三等分 D．画一个平角，再把它三等分 答案：C 解答：A．画一个 45°角，把它三等分，每一份都是 15°，一副三角板可以画出 15°角，可以用一副 三角板办到，故此选项不合题意； B．画一个 15°角，把它三等分，每一份都是 5°，一副三角板不能画出 5°角，不能用一副三角板办 到，故此选项不符合题意； C．画一个周角，把它三等分，每一份都是 120°，一副三角板可以画出 120°角，可以用一副三角板 办到，故此选项不合题意； D．画一个平角，把它三等分，每一份都是 60°，一副三角板可以画出 60°角，可以用一副三角板办 到，故此选项不合题意； 故选：B． 分析：一幅三角板有以下几个角度：90°，60°，45°，30°；只要其中的两个角相加或者相减后能 得出的角都可以用一副三角板拼出． 15．下列作图属于尺规作图的是（ ） A．画线段 MN=3cm B．用量角器画出∠AOB 的平分线 C．用三角尺作过点 A 垂直于直线 L 的直线 D．作一条线段等于已知线段 答案：D 解答：A．画线段 MN=3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； B．用量角器画出∠AOB 的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误； C．用三角尺作过点 A 垂直于直线 L 的直线，三角尺也不在作图工具里，错误； D．正确． 故选 D． 分析：根据尺规作图的定义可知． 二.填空题 16．所谓尺规作图中的尺规是指： ． 答案：没有刻度的直尺和圆规 解答：由尺规作图的概念可知：尺规作图中的尺规指的是没有刻度的直尺和圆规． 分析：本题考的是尺规作图的基本概念． 17．作图题的书写步骤是 、 、 ，而且要画出 和 ，保留 ． 答案：已知|求作|作法|图形|结论|作图痕迹 解答：作图题的书写步骤是 已知.求作.作法，而且要画出 图形和 结论，保留 作图痕迹． 故答案为：已知.求作.作法，图形，结论，作图痕迹． 分析：根据作图题的书写步骤和尺规作图的要求作答． 18．已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是 ． 答案： SSS 解答：等边三角形三边相等，依题意得使其边长等于已知线段，则按全等三角形的判定定理（SSS）可 得作图． 分析：等边三角形三边相等，按全等三角形的判定定理（SSS）即可作图． 19．用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是 ． 答案： SAS 解答：用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为 SAS． 分析：隐含的条件是直角，是两直角边的夹角，即可得出作图的依据为 SAS． 20．如图，使用直尺作图，看图填空：延长线段 到 ，使 BC=2AB． 答案： AB| C 解答：延长线段 AB 到 C，使 BC=2AB． 分析：延长线段 AB 到 C，使 BC=2AB． 三.解答题 21．已知：线段 a，画出一条线段，使它等于 2a． 答案： 解答：首先作射线，然后截取 AB=BC=a，则 AC=2a， 即 AC 就是所求的线段． 分析：利用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，即可求解． 22．作图：已知线段 a.b，画一条线段使它等于 2a+b（要求：用尺规作图，并写出已知.求作.结论，保 留作图痕迹，不写作法） 答案： 解答：已知：线段 a.b， 求作：线段 AC，使线段 AC=2a+b． 结论：AC 即为所求． 分析：可先画出一条线段等于 2a，然后再在这条线段延长线上上截去 b，即为所求线段． 23．用直尺.圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段 a，b 求作：线段 AB，使 AB=a+b 答案： 解答：如图： 线段 AB 就是所求的线段． 分析：首先作射线，然后截取线段 AC=a，CB=b，则 AB 即为所求． 24．作图题（利用直尺与圆规画图，不写作法，保留作图痕迹）： 如图，已知线段 a.b，作一条线段，使它等于 a-2b． 答案： 解答：如图，BD 就是所求的线段． 分析：画线段 AB=a，AC=b，CD=b，线段 BD 就是所求线段． 25．已知三条线段 a.b.c，用尺规作出△ABC，使 BC=a，AC=b，AB=c．（不写作法，保留作图痕迹） 答案： 解答：如图所示： 分析：作线段 BC=a，以点 B 为圆心，c 为半径画弧，再以点 C 为圆心，b 为半径画弧两弧的交点就是点 A 的位置，连接 AB，AC 即可． 13.4.2 作一个角等于已知角 一、单选题（共 15 题） 1.作一个角等于已知角用到下面选项的哪个基本事实（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 答案：A 解析：解答：作“一个角等于已知角”用到了全等三角形的判定方法是：边边边 选 A 分析: 根据作一个角等于已知角可直接得到答案 2.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 答案：A 解析：解答:作图的步骤： ①以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 C、D； ②作射线 O′B′，以 O′为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′B′于点 C′； ③以 C′为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点 D′； ④过点 D′作射线 O′A′． 所以∠A′O′B′就是与∠AOB 相等的角． 在△O′C′D′与△OCD 中， O′C′＝OC O′D′＝OD C′D′＝CD ∴△O′C′D′≌△OCD（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 显然运用的判定方法是边边边 选：A． 分析:通过分析作图的步骤，发现△OCD 与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边，判 定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得出∠A′O′B′=∠AOB. 3.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ） A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线 答案：C 解析：解答: 根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选 C 选 C． 分析: 根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段 4.下列属于尺规作图的是（ ） A．用刻度尺和圆规作△ABC B．用量角器画一个 300 的角 C．用圆规画半径 2cm 的圆 D．作一条线段等于已知线段 答案:D 解析：解答: A.用刻度尺和圆规作△ABC，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； B.量角器不在尺规作图的工具里，错误； C.画半径 2cm 的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； D.正确． 选 D． 分析: 根据尺规作图的定义分别分析 5.已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ） A．平分已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段 D．作已知直线的平行线 答案:C 解析：解答: 已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作 两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段 选 C． 分析:看利用 ASA 是怎么作三角形的 6.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如图：对于“想一想”中的问题，下列 回答正确的是（ ） A．根据“边边边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB B．根据“边角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB C．根据“角边角”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB D．根据“角角边”可知，△C′O′D′≌△COD，所以∠A′O′B′=∠AOB 答案:A 解析：解答: 由作法易得 OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据 SSS 可判定△COD≌△C'O'D' 选 A． 分析: 根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，由 SSS 可得到三角形全等 7.下列作图语句正确的是（ ） A．以点 O 为顶点作∠AOB B．延长线段 AB 到 C，使 AC=BC C．作∠AOB，使∠AOB=∠α D．以 A 为圆心作弧 答案:C 解析：解答: A.画角既需要顶点，还需要角度的大小，错误； B.延长线段 AB 到 C，则 AC＞BC，即 AC=BC 不可能，错误； C.作一个角等于已知角是常见的尺规作图，正确； D.画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误 选：C． 分析: 根据画角的条件判断 A；根据线段延长线的等腰判断 B；根据基本作图判断 C；根据确定弧的条 件判断 D 8.下列画图语句中，正确的是（ ） A．画射线 OP=3cm B．连接 A，B 两点 C．画出 A，B 两点的中点 D．画出 A，B 两点的距离 答案:B 解析：解答: A.射线没有长度，错误； B.连接 A，B 两点是作出线段 AB，正确； C.画出 A，B 两点的线段，量出中点，错误； D.量出 A，B 两点的距离，错误选 B． 分析: 根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论 9.下列属于尺规作图的是（ ） A．用刻度尺和圆规作△ABC B．用量角器画一个 30°的角 C．用圆规画半径 2cm 的圆 D．作一条线段等于已知线段 答案:D 解析：解答: A.用刻度尺和圆规作△ABC，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； B.量角器不在尺规作图的工具里，错误； C.画半径 2cm 的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； D.正确 选：D． 分析: 根据尺规作图的定义分别分析 10.下列画图语句中正确的是（ ） A．画射线 OP=5cm B．画射线 OA 的反向延长线 C．画出 A、B 两点的中点 D．画出 A、B 两点的距离 答案:B 解析：解答: A.画射线 OP=5cm，错误，射线没有长度， B.画射线 OA 的反向延长线，正确． C.画出 A、B 两点的中点，错误，中点是线段的不是两点的， D.画出 A、B 两点的距离，错误，画出的是线段不是距离 选：B． 分析:利用射线的定义，线段中点及距离的定义判定 11.下列关于几何画图的语句正确的是（ ） A．延长射线 AB 到点 C，使 BC=2AB B．点 P 在线段 AB 上，点 Q 在直线 AB 的反向延长线上 C．将射线 OA 绕点 O 旋转 180°，终边 OB 与始边 OA 的夹角为一个平角 D．已知线段 a，b 满足 2a＞b＞0，在同一直线上作线段 AB=2a，BC=b，那么线段 AC=2a-b 答案:C 解析：解答: A.延长射线 AB 到点 C，使 BC=2AB，说法错误，不能延长射线； B.点 P 在线段 AB 上，点 Q 在直线 AB 的反向延长线上，说法错误，直线本身是向两方无限延长的，不 能说延长直线； C.将射线 OA 绕点 O 旋转 180°，终边 OB 与始边 OA 的夹角为一个平角，说法正确； D.已知线段 a，b 满足 2a＞b＞0，在同一直线上作线段 AB=2a，BC=b，那么线段 AC=2a-b，说法错误， AC 也可能为 2a+b 选：C． 分析: 根据射线、直线、以及角的定义可判断出正确答案 12.尺规作图是指（ ） A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图 C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图 答案:C 解析：解答: 尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规 选：C． 分析: 根据尺规作图的定义：尺是不带刻度的直尺，规是圆规进而得出答案 13.下列有关作图的叙述中，正确的是（ ） A．延长直线 AB B．延长射线 OM C．延长线段 AB 到 C，使 BC=AB D．画直线 AB=3cm 答案:C 解析：解答: A.直线本身是向两方无限延伸的，故不能延长直线 AB，故此选项错误； B.射线本身是向一方无限延伸的，不能延长射线 OM，可以反向延长，故此选项错误； C.延长线段 AB 到 C，使 BC=AB，说法正确，故此选项正确； D.直线本身是向两方无限延伸的，故此选项错误； 选：C 分析:根据直线、射线和线段的特点分别进行分析 14.下列作图语句中，不准确的是（ ） A．过点 A、B 作直线 AB B．以 O 为圆心作弧 C．在射线 AM 上截取 AB=a D．延长线段 AB 到 D，使 DB=AB 答案:B 解析：解答：A.根据直线的性质公理：两点确定一条直线，可知该选项正确； B.画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，故该选项错误； C.射线有一个端点，可以其端点截取任意线段，故选项正确； D.线段有具体的长度，可延长，正确 选：B． 分析: 根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论 15.按下列条件画三角形，能唯一确定三角形形状和大小的是（ ） A．三角形的一个内角为 60°，一条边长为 3cm B．三角形的两个内角为 30°和 70° C．三角形的两条边长分别为 3cm 和 5cm D．三角形的三条边长分别为 4cm、5cm 和 8cm 答案:D 解析：解答：A.三角形的一个内角为 60°，一条边长为 3cm，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯 一确定大小，不符合题意； B.三角形的两个内角为 30°和 70°，能唯一确定三角形形状和但不能唯一确定大小，不符合题意； C.三角形的两条边长分别为 3cm 和 5cm，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定大小，不符合题 意； D.三角形的三条边长分别为 4cm、5cm 和 8cm，能唯一确定三角形形状和大小，符合题意 选：D． 分析: 根据基本作图的方法，及唯一确定三角形形状和大小的条件可知 二、填空题（共 5 题） 16.尺规作图“作一个角等于已知角“的依据是三角形全等的判定方法___ 答案: SSS 解析：解答: 在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的全等三角形来证， 因此由作法知其判定依据是 SSS，即边边边公理 分析: 通过对尺规作图过程的探究，找出三条对应相等的线段，判断三角形全等．因此判定三角形全等 的依据是边边边公理 17.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明△DOC≌△D'O'C'的依据是__________． 答案: SSS 解析：解答: OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，从而可以利用 SSS 判定其全等 分析: 1.以 O 为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交 OA、OB 于点 C、D； 2.任意画一点 O′，画射线 O'A'，以 O'为圆心，OC 长为半径画弧 C'E，交 O'A'于点 C'； 3.以 C'为圆心，CD 长为半径画弧，交弧 C'E 于点 D'； 4.过点 D'画射线 O'B'，∠A'O'B'就是与∠AOB 相等的角． 则通过作图我们可以得到 OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，从而可以利用 SSS 判定其全等 18.已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法： （1）以_________为圆心，_________为半径画弧．分别交 OA，OB 于点 C，D． （2）画一条射线 O′A′，以_________为圆心，_________长为半径画弧，交 O′A′于点 C′， （3）以点_________为圆心_________长为半径画弧，与第 2 步中所画的弧交于点 D′． （4）过点_________画射线 O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB． 答案: ：O | 任意长 |O′|OC | C | CD |D′ 解析：解答: 已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法： （1）以 O 为圆心，任意长为半径画弧．分别交 OA，OB 于点 C，D． （2）画一条射线 O′A′，以 O′为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′A′于点 C′， （3）以点 C 为圆心，CD 长为半径画弧，与第 2 步中所画的弧交于点 D′． （4）过点 D′画射线 O′B′′，则∠AO′B′=∠AOB 分析: 利用作一个角等于已知角的基本方法 19.所谓尺规作图中的尺规是指：________． 答案：没有刻度的直尺和圆规 解析：解答：由尺规作图的概念可知：尺规作图中的尺规指的是没有刻度的直尺和圆规 分析: 本题考的是尺规作图的基本概念 20.用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等 的方法是________ 答案：SSS 解析：解答: ①设已知角的顶点为 O，以 O 为圆心，任意长度为半径画圆，交角两边为 A，B 两点； ②用直尺画一条射线，端点为 M，以 M 为圆心，用同样的半径画圆，该圆为圆 M，交射线为 C 点； ③以 A 为圆心，以 AB 为半径画圆，然后以 C 点为圆心，以同样的半径画圆，交圆 M 于 D，E 两点，随 意连 MD 或者 ME； 得到的∠CMD 就是所求的角； 由以上作角过程不难看出有三个对应边相等． ∴证明全等的方法是 SSS 分析: 根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等 三、解答题（共 5 题） 21.如图，作一个角等于已知角的一半 答案: 解答: ①以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 M、N， ②分别以 M、N 为圆心，大于 1 2 MN 长为半径画弧，两弧交于一点 P， ③画射线 OP，∠POB 就是∠AOB 的一半 分析: 根据作角平分线的方法画出∠AOB 的平分线即可 22.作图题（保留作图痕迹） 作一个角等于已知角． 答案: 解答: 如图所示：∠DEF 即为所求 分析: 利用作一角等于已知角的作法得出即可 23.作一个角等于已知角α（0＜α＜180°）的补角 答案：解答：如图所示：∠DEF 即为所求 分析:反向延长 BO，得到α的补角∠AOC，再作∠FED=∠AOC 24.尺规作图：如图，作一个角等于已知角．（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法）． 已知： 求作： 答案：解答：已知：∠AOB， 求作：∠ECF 等于∠AOB， 如图所示： ∠ECF 即为所求 分析: 首先画射线 CF；再以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA、OB 于 E、D；以 C 为圆心，OD 长为半 径画弧，然后再以 N 为圆心 ED 长为半径画弧，交前弧于 M，过 M 作射线 AE 可得∠ECF 25.已知：∠1 和∠2，作一个角，使它等于∠1-∠2 答案：解答：作∠CAB=∠1，∠DAB=∠2，∠CAD 就是所求的角 分析: 利用尺规作图，作一个角等于已知角，即可解答． 13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线 一、单选题（共 15 题） 1.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线 l 和 l 外一点 P，用直尺和圆规作直线 PQ， 使 PQ⊥l 于点 Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：解答：根据分析可知， 选项 B、C、D 都能够得到 PQ⊥l 于点 Q；选项 A 不能够得到 PQ⊥l 于点 Q， 选 A 分析: A.根据作法无法判定 PQ⊥l； B.以 P 为圆心大于 P 到直线 l 的距离为半径画弧，交直线 l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为 半径画弧，得出其交点，进而作出判断； C.根据直径所对的圆周角等于 90°作出判断； D.根据全等三角形的判定和性质即可作出判断 2.如图所示的作图痕迹作的是（ ） A．线段的垂直平分线 B．过一点作已知直线的垂线 C．一个角的平分线 D．作一个角等于已知角 答案：B 解析：解答:观察作图痕迹发现该基本作图为：过直线外一点作已知直线的垂线 选：B． 分析: 根据图形发现此基本作图为过直线外一点作已知直线的垂线，据此求解. 3.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ） A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线 答案：C 解析：解答: 根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选 C 选 C． 分析: 根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段 4.图中的尺规作图是作（ ） A．线段的垂直平分线 B．一条线段等于已知线段 C．一个角等于已知角 D．角的平分线 答案:A 解析：解答: 根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故作的 是：线段的垂直平分线． 选 A． 分析:根据图象以及做线段垂直平分线的作法，即可得出答案 5.已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ） A．平分已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段 D．作已知直线的平行线 答案:C 解析：解答: 已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作 两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段 选 C． 分析:看利用 ASA 是怎么作三角形的 6.四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过 A，B，C 三点，且点 C 在点 A 与点 B 之 间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线段 AB，CD 相交于点 P”画出图形（2）；丙同学读语句“点 P 在直线 l 上，点 Q 在直线 l 外”画出图形（3）；丁同学读语句“点 M 在线段 AB 的延长线上，点 N 在 线段 AB 的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是（ ） A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 答案:D 解析：解答: 观察图形可知，图形（1）、图形（2）、图形（3）；都符合要求； 图形（4）点 N 在线段 AB 的延长线上，点 M 在线段 AB 的反向延长线上，不符合要求． 故画的不正确的是丁同学 选 D． 分析: 利用直线与点的关系分析 7.下列作图语句正确的是（ ） A．以点 O 为顶点作∠AOB B．延长线段 AB 到 C，使 AC=BC C．作∠AOB，使∠AOB=∠α D．以 A 为圆心作弧 答案:C 解析：解答: A.画角既需要顶点，还需要角度的大小，错误； B.延长线段 AB 到 C，则 AC＞BC，即 AC=BC 不可能，错误； C.作一个角等于已知角是常见的尺规作图，正确； D.画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误 选：C． 分析: 根据画角的条件判断 8.下列画图语句中，正确的是（ ） A．画射线 OP=3cm B．连接 A，B 两点 C．画出 A，B 两点的中点 D．画出 A，B 两点的距离 答案:B 解析：解答: A.射线没有长度，错误； B.连接 A，B 两点是作出线段 AB，正确； C.画出 A，B 两点的线段，量出中点，错误； D.量出 A，B 两点的距离，错误选 B． 分析: 根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论 9.下列属于尺规作图的是（ ） A．用刻度尺和圆规作△ABC B．用量角器画一个 300 的角 C．用圆规画半径 2cm 的圆 D．作一条线段等于已知线段 答案:D 解析：解答: A.用刻度尺和圆规作△ABC，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； B.量角器不在尺规作图的工具里，错误； C.画半径 2cm 的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误； D.正确 选：D． 分析: 根据尺规作图的定义分别分析 10.下列画图语言表述正确的是（ ） A．延长线段 AB 至点 C，使 AB=AC B．以点 O 为圆心作弧 C．以点 O 为圆心，以 AC 长为半径画弧 D．在射线 OA 上截取 OB=a，BC=b，则有 OC=a+b 答案:C 解析：解答: A.延长线段 AB 至点 C，AB≠AC，故错误； B.以点 O 为圆心作弧，没有指明半径，故错误； C.正确； D.在射线 OA 上截取 OB=a，BC=b，则有 OC=a+b 或 OC=a-b，故错误 选：C． 分析: 根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出画图语言表述正确的选项 11.下列关于几何画图的语句正确的是（ ） A．延长射线 AB 到点 C，使 BC=2AB B．点 P 在线段 AB 上，点 Q 在直线 AB 的反向延长线上 C．将射线 OA 绕点 O 旋转 180°，终边 OB 与始边 OA 的夹角为一个平角 D．已知线段 a，b 满足 2a＞b＞0，在同一直线上作线段 AB=2a，BC=b，那么线段 AC=2a-b 答案:C 解析：解答: A.延长射线 AB 到点 C，使 BC=2AB，说法错误，不能延长射线； B.点 P 在线段 AB 上，点 Q 在直线 AB 的反向延长线上，说法错误，直线本身是向两方无限延长的，不 能说延长直线； C.将射线 OA 绕点 O 旋转 180°，终边 OB 与始边 OA 的夹角为一个平角，说法正确； D.已知线段 a，b 满足 2a＞b＞0，在同一直线上作线段 AB=2a，BC=b，那么线段 AC=2a-b，说法错误， AC 也可能为 2a+b 选：C． 分析: 根据射线、直线、以及角的定义可判断出正确答案 12.尺规作图是指（ ） A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图 C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图 答案:C 解析：解答: 尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规 选：C． 分析: 根据尺规作图的定义：尺是不带刻度的直尺，规是圆规进而得出答案 13.下列有关作图的叙述中，正确的是（ ） A．延长直线 AB B．延长射线 OM C．延长线段 AB 到 C，使 BC=AB D．画直线 AB=3cm 答案:C 解析：解答: A.直线本身是向两方无限延伸的，故不能延长直线 AB，故此选项错误； B.射线本身是向一方无限延伸的，不能延长射线 OM，可以反向延长，故此选项错误； C.延长线段 AB 到 C，使 BC=AB，说法正确，故此选项正确； D.直线本身是向两方无限延伸的，故此选项错误； 选：C 分析:根据直线、射线和线段的特点分别进行分析 14.下列作图语句中，不准确的是（ ） A．过点 A、B 作直线 AB B．以 O 为圆心作弧 C．在射线 AM 上截取 AB=a D．延长线段 AB 到 D，使 DB=AB 答案:B 解析：解答：A.根据直线的性质公理：两点确定一条直线，可知该选项正确； B.画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，故该选项错误； C.射线有一个端点，可以其端点截取任意线段，故选项正确； D.线段有具体的长度，可延长，正确 选：B． 分析: 根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论 15.按下列条件画三角形，能唯一确定三角形形状和大小的是（ ） A．三角形的一个内角为 60°，一条边长为 3cm B．三角形的两个内角为 30°和 70° C．三角形的两条边长分别为 3cm 和 5cm D．三角形的三条边长分别为 4cm、5cm 和 8cm 答案:D 解析：解答：A.三角形的一个内角为 60°，一条边长为 3cm，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯 一确定大小，不符合题意； B.三角形的两个内角为 30°和 70°，能唯一确定三角形形状和但不能唯一确定大小，不符合题意； C.三角形的两条边长分别为 3cm 和 5cm，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定大小，不符合题 意； D.三角形的三条边长分别为 4cm、5cm 和 8cm，能唯一确定三角形形状和大小，符合题意 选：D． 分析: 根据基本作图的方法，及唯一确定三角形形状和大小的条件可知 二、填空题（共 5 题） 16.如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC． ①画线段 CE⊥AB，垂足为 E，画线段 AF⊥CD，垂足为 F； ②比较下列两组线段的大小：（用“＞”或“＜”或“=”填空） CE___CA，点 C 到 AB 的距离___点 A 到 CD 的距离 答案: ＜|＜ 解析：解答: ①如图所示： ②根据垂线段最短可得 CE＜AC； 利用直尺量出 AF 和 CE 的长可得点 C 到 AB 的距离大于点 A 到 CD 的距离 分析: （1）利用直角三角板画出垂线即可；（2）根据垂线段的性质和直尺可得答案 17.作图题的书写步骤是__________、__________、__________，而且要画出__________和__________， 保留__________． 答案: 已知|求作|作法|图形|结论|作图痕迹 解析：解答: 作图题的书写步骤是已知、求作、作法，而且要画出图形和结论，保留作图痕迹. 分析: 根据作图题的书写步骤和尺规作图的要求作答. 18.在同一平面内．过直线上一点作已知直线的垂线，能作__________条． 答案: 1 解析：解答: 过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线 分析: 过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线 19.所谓尺规作图中的尺规是指：________． 答案：没有刻度的直尺和圆规 解析：解答：由尺规作图的概念可知：尺规作图中的尺规指的是没有刻度的直尺和圆规 分析: 本题考的是尺规作图的基本概念 20.下列语句是有关几何作图的叙述． ①以 O 为圆心作弧；②延长射线 AB 到点 C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线 AB，使 AB=a；⑤过 三角形 ABC 的顶点 C 作它的对边 AB 的平行线．其中正确的有________ 答案：③⑤ 解析：解答: ①以 O 为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误； ②射线 AB 是由 A 向 B 向无限延伸，所以叙述错误； ③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB 等于已知∠1，所以叙述正确； ④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误； ⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形 ABC 的顶点 C 作它 的对边 AB 的平行线，所以叙述正确． 所以正确的有③⑤ 分析: ①根据确定圆的两个条件：圆心和半径判断即可； ②根据射线的性质判断即可； ③根据基本作图：作一个角等于已知角判断即可； ④根据直线的性质判断即可； ⑤根据平行公理判断即可. 三、解答题（共 5 题） 21. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线（写出已知、求作、作法，并画图，不证明） 答案: 解答: 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C． 求作：AB 的垂线，使它经过点 C． 作法：①任意取一点 K，使 K 和 C 在 AB 的两旁． ②以 C 为圆心，CK 的长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E． ③分别以 D 和 E 为圆心，大于 1 2 DE 的长为半径作弧，两弧交于点 F， ④作直线 CF． 直线 CF 就是所求的垂线 分析: 首先根据题意写出已知求作，进而根据过直线外一点向直线作垂线 22.已知：如图△ABC． 求作：①AC 边上的高 BD； ②△ABC 的角平分线 CE． 答案: 解答: 如图所示： 分析: ①以点 B 为圆心，较大的长为半径画弧，交直线 AC 于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点 的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点 B 和这点作射线，交直线 AC 于点 D，BD 就是所求的 AC 边上的高； ②以点 C 为圆心，任意长为半径画弧，交 CA，CB 于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离 的一半为半径画弧，两弧相交于一点，做过点 C 和这点的射线交 AB 于点 E，CE 即为所求的角平分线 23. 如图所示，已知△ABC：①过 A 画出中线 AD；②画出角平分线 CE；③作 AC 边上的高 BF 答案：解答：如图所示： 分析: （1）首先找出 BC 的中点，然后画线段 AD 即可；（2）利用量角器量出∠BCA 的度数，再除以 2， 算出度数，然后画出线段 CE 即可；（3）利用直角三角板，一个直角边与 AC 重合，令一条直角边过点 B， 画线段 BF 即可 24.已知点 M 在直线 l 上，A、B 是直线 l 外的两点，按照下面要求完成作图： （1）过点 M 作直线 l 的垂线； 答案：解答：如图所示 （2）在已作出的垂线上确定一点 P，使得点 P 到 A、B 两点的距离相等． （注意：要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹并给出结论） 答案： 如图所示，结论：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 分析:（1）以 M 为圆心，任意长为半径画弧，再以两弧与直线交点分别画弧，作出垂线即可；（2）再 作出 AB 的垂直平分线，两线交点即是 P 点 25.已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P．你能明白小明的作法吗？你是怎样作 的？ 答案：解答：明白． 作法：①以点 P 为圆心，以任意长为半径画圆，与直线 l 相交于点 A，B； ②分别以 AB 为圆心，以任意长为半径画圆，两圆相交于点 MN，连接 MN 即可得出直线 l 的垂线 分析: 根据线段垂直平分线的作法即可得出结论． 13.5 逆命题与逆定理 互逆命题与互逆定理 1．已知命题：全等三角形的面积相等，则其逆命题是( ) A．不全等三角形的面积不相等 B．面积不相等的两个三角形不全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积相等 2．下列命题的逆命题是真命题的是( ) A．对顶角相等 B．如果 a＝b，那么 a2＝b2 C．四边形是多边形 D．两直线平行，同旁内角互补 3．下列命题的逆命题不正确的是( ) A．若 a＋b>0，则 a>0，b>0 B．两直线平行，内错角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．对顶角相等 4．命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__________________________________，是________ 命题．(填“真”或“假”) 5．命题：“平行于同一直线的两直线互相平行”的逆命题是_____________________________，是________ 命题．(填“真”或“假”) 6．写出下列命题的逆命题，这些逆命题都成立吗？ (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果实数 a＝b，那么|a|＝|b|； (3)两个锐角的和是钝角； (4)直角都相等． 7．下列定理中，有逆定理的是( ) A．相反数的绝对值相等 B．两个全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．末位数是 2 的整数被 2 整除 8．下列定理中，逆定理不存在的是( ) A．等边三角形的三个内角都等于 60° B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．同角的余角相等 9．写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理． 10．下列命题与逆命题都正确的是( ) A．自然数是整数 B．若 a>b，则|a|>|b| C．互补的角为邻补角 D．三个角相等的三角形是等边三角形 11．下列说法正确的是( ) A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 12．已知下列命题： ①若 a≤0，则|a|＝－a；②若 ma2>na2，则 m>n；③两直线平行，内错角相等；④若 a－b>0，则|a|>|b|. 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 13．写出你熟悉的一个定理：_______________________________， 写出这个定理的逆定理：_________________________________. 14．举例说明下列命题的逆命题是假命题． (1)0 和 1 的立方根等于它本身； (2)如果两个角是直角，那么这两个角互补； (3)如果三角形有一个内角是钝角，那么其余的两个角都是锐角． 15．写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是 45°”的 逆命题，并证明这个命题是真命题． 16．写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题． 答案： 1---3 CDD 4. 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 真 5. 两平行直线中，有一条直线与第三条直线平行，则另一直线也与第三条直线平行 真 6. (1)逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，是真命题 (2)逆命题为：如果实数|a|＝|b|，那么 a＝b，不成立，是假命题 (3)逆命题为：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角，不成立，是假命题 (4)逆命题为：如果两个角相等，那么它们都为直角，不成立，是假命题 7. C 8. D 9. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 10. D 11. B 12. B 13. 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 14. (1)－1 的立方根是－1 (2)锐角α＝60°，钝角β＝120°，则α＋β＝180° (3)△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝80°，则∠C＝60° 15. 逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是 45°，那么这个三角是直角三角形. 已知，如图，△ABC 中，BE 是∠ABC 的角平分线，交 AC 于 E，AD 是∠CAB 的角平分线，交 BC 于 D，BE 和 AD 相交于 O 点，且∠EOA＝45°.求证：△ABC 是直角三角形.证明：∵BE 是∠ABC 的角 平分线，AD 是∠CAB 的角平分线，∴∠OAB＝1 2 ∠CAB，∠OBA＝1 2 ∠CBA，∴∠OAB＋∠OBA＝1 2(∠ CAB＋∠CBA)，∴180°－∠AOB＝1 2(180°－∠C)，∴∠AOE＝90°－1 2 ∠C，又∵∠EOA＝45°，∴ ∠C＝90°，∴△ABC 是直角三角形 16. 逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形， 已知：如图，△ABC 中，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，且 BD＝CE，求证：△ABC 是等腰三角形.证明： ∵BD⊥AC，CE⊥AB.∴∠BDC＝∠CEB＝90°，又∵BD＝CE，BC＝CB，∴Rt△BCD≌Rt△CBE(H.L.)，∴∠BCD ＝∠CBE，∴AB＝AC，即△ABC 是等腰三角形 13.5.3 角平分线 一、选择题 1．如图，在 CD 上求一点 P，使它到 OA，OB 的距离相等，则 P 点是（ ） A．线段 CD 的中点 B．OA 与 OB 的中垂线的交点 C．OA 与 CD 的中垂线的交点 D．CD 与∠AOB 的平分线的交点 答案：D 解答：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知 CD 与∠AOB 的平分线的交 P． 故选 D． 分析：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知 CD 与∠AOB 的平分线的交点． 2．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，PD=6，则点 P 到边 OB 的距离为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 答案：A 解答：如图， 过点 P 作 PE⊥OB 于点 E， ∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA 于 D， ∴PE=PD， ∵PD=6， ∴PE=6， 即点 P 到 OB 的距离是 6． 故选：A． 分析：过点 P 作 PE⊥OB 于点 E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PE=PD，从而得解． 3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，DE=1，则 BC=（ ） A． 3 B．2 C．3 D． 3 +2 答案：C 解答：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE=1， 又∵直角△BDE 中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2， ∴BC=CD+BD=1+2=3． 故选 C． 分析：根据角平分线的性质即可求得 CD 的长，然后在直角△BDE 中，根据 30°的锐角所对的直角边等 于斜边的一半，即可求得 BD 长，则 BC 即可求得． 4．如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上一个动点，若 PA=3，则 PQ 的最小值为 （ ） A． 3 B．2 C．3 D．2 3 答案：C 解答： 过点 P 作 PB⊥OM 于 B， ∵OP 平分∠MON，PA⊥ON，PA=3， ∴PB=PA=3， ∴PQ 的最小值为 3． 故选：C． 分析：首先过点 P 作 PB⊥OM 于 B，由 OP 平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可 求得 PB 的值，又由垂线段最短，可求得 PQ 的最小值． 5．如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点 D 到 AB 的距离是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 答案：A 解答：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC， ∴点 D 到 AB 的距离等于 CD， ∵BC=10，BD=6， ∴CD=BC-BD=10-6=4， ∴点 D 到 AB 的距离是 4． 故选 A． 分析：由角平分线的性质可得点 D 到 AB 的距离等于 CD，根据已知求得 CD 即可． 6．△ABC 的三边 AB，BC，CA 的长分别为 6cm，4cm，4cm，P 为三边角平分线的交点，则△ABP，△ BCP，△ACP 的面积比等于（ ） A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2 答案：D 解答：∵P 为三边角平分线的交点， ∴点 P 到△ABC 三边的距离相等， ∵AB，BC，CA 的长分别为 6cm，4cm，4cm， ∴△ABP，△BCP，△ACP 的面积比=6：4：4=3：2：2． 故选 D． 分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点 P 到△ABC 三边的距离相等，然后根据等高的三 角形的面积的比等于底边的比解答． 7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E， ABCS△ =15，DE=3，AB=6，则 AC 长是（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 答案：D 解答：∵DE=3，AB=6， ∴△ABD 的面积为 2 1 ×3×6=9， ∵ ABCS△ =15， ∴△ADC 的面积=15-9=6， ∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E， ∴AC 边上的高=DE=3， ∴AC=6×2÷3=4， 故选 D． 分析：先求出△ABD 的面积，再得出△ADC 的面积，最后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可 得 AC 边上的高，从而得解． 8．△ABC 是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B 的平分线，如果两条平分线交于点 O，那么 下列选项中不正确的是（ ） A．点 O 一定在△ABC 的内部 B．∠C 的平分线一定经过点 O C．点 O 到△ABC 的三边距离一定相等 D．点 O 到△ABC 三顶点的距离一定相等 答案：D 解答：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条 边的距离相等， ∴A、B、C 三个选项均正确，D 选项错误． 故选 D． 分析：根据角平分线的定义与性质即可判断． 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD=3，BC=10，则△BDC 的面 积是（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 答案：B 解答：过 D 作 DE⊥BC 于 E， ∵∠A=90°， ∴DA⊥AB， ∵BD 平分∠ABC， ∴AD=DE=3， ∴△BDC 的面积是 2 1 ×DE×BC= 2 1 ×10×3=15， 故选 B 分析：过 D 作 DE⊥BC 于 E，根据角平分线性质求出 DE=3，根据三角形的面积求出即可． 10．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等， 凉亭的位置应选在（ ） A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC 三边的中垂线的交点 C．△ABC 三条高所在直线的交点 D．△ABC 三条角平分线的交点 答案：D 解答：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC 三条角平分线的交点． 故选 D． 分析：由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC 三 条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 11．如图，直线 l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离 相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 答案：D 解答：如图所示，加油站站的地址有四处． 故选 D． 分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解． 12． 在 正 方 形 网 格 中 ， ∠AOB 的 位 置 如 图 所 示 ， 到 ∠ AOB 两 边 距 离 相 等 的 点 应 是 （ ） A．M 点 B．N 点 C．P 点 D．Q 点 答案：A 解答：从图上可以看出点 M 在∠AOB 的平分线上，其它三点不在∠AOB 的平分线上． 所以点 M 到∠AOB 两边的距离相等．故选 A． 分析：根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点 M、N、P、Q 中 的哪一点在∠AOB 的平分线上． 13．如图，∠POA=∠POB，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，若 OP=26，PE=10，则 OD 的长为（ ） A．12 B．18 C．20 D．24 答案：D 解答：∵∠POA=∠POB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD，∠PDO=90°， ∵PE=10， ∴PD=10， ∵OP=26， ∴OD=24， 故选 D． 分析：根据角平分线性质求出 PE=PD=10，再进一步求解即可． 14．如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是（ ） A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OD 答案：D 解答：A．∵∠POB=∠POA，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD，正确，故本选项错误； B．∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PEO=∠PDO=90°， ∵OP=OP，PE=PD， ∴OE=OD，正确，故本选项错误； C．∵∠PEO=∠PDO=90°，∠POB=∠POA， ∴由三角形的内角和定理得：∠DPO=∠EPO，正确，故本选项错误； D．根据已知不能推出 PD=OD，错误，故本选项正确； 故选 D． 分析：由已知条件认真思考，首先可得△POE≌△POD，进而可得 PD=PE，∠1=∠2，∠DPO=∠EPO；而 OD，OP 是无法证明是相等的，于是答案可得． 15. 如图，AD∥BC，∠ABC 的平分线 BP 与∠BAD 的平分线 AP 相交于点 P，作 PE⊥AB 于点 E，若 PE=2， 则两平行线 AD 与 BC 间的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解答：如图， 过点 P 作 PF⊥AD 于 F，作 PG⊥BC 于 G， ∵AP 是∠BAD 的平分线，PE⊥AB， ∴PF=PE， 同理可得 PG=PE， ∵AD∥BC， ∴点 F、P、G 三点共线， ∴EG 的长即为 AD、BC 间的距离， ∴平行线 AD 与 BC 间的距离为 2+2=4． 故选 C． 分析：过点 P 作 PF⊥AD 于 F，作 PG⊥BC 于 G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 PF=PE， PG=PE，再根据平行线之间的距离的定义判断出 EG 的长即为 AD、BC 间的距离． 二、填空题 16．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，若 BC=15，且 BD：DC=3：2，则 D 到边 AB 的距离是 ． 答案：6 解答：∵BC=15，BD：DC=3：2 ∴CD=6 ∵∠C=90° AD 平分∠BAC ∴D 到边 AB 的距离=CD=6． 故答案为：6． 分析：首先由线段的比求得 CD=6，然后利用角平分线的性质可得 D 到边 AB 的距离． 17．已知 OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，PD=10，则 PE 的长 度为 ． 答案：10 解答：∵点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E， ∴PD=PE， ∵PD=10， ∴PE=10， 故答案为：10． 分析：根据角平分线性质得出 PE=PD，代入求出即可． 18．如图所示，△ABC 中，∠A=90°，BD 是角平分线，DE⊥BC，垂足是 E，AC=10cm，CD=6cm，则 DE 的长为 cm． 答案：4 解答：∵∠A=90°，BD 是角平分线，DE⊥BC， ∴DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵AD=AC-CD=10-6=4cm， ∴DE=4cm． 故填 4． 分析：由已知进行思考，结合角的平分线的性质可得 DE=AD，而 AD=AC-CD=10-6=4cm，即可求解． 19．如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点 D、E 为垂足，PD=7cm，当 PE= cm 时，点 P 在∠AOB 的平 分线上． 答案：7 解答：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=7cm， ∴当 PE=PD，即 PE=7cm 时，P 在∠AOB 的平分线， 故答案为：7． 分析：根据角平分线性质得出 PD=PE，代入求出即可． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，若 AB=4，且点 D 到 BC 的距离为 3，则 BD= ． 答案：5 解答：∵∠A=90°， ∴DA⊥AB， ∵BD 平分∠ABC，点 D 到 BC 的距离为 3， ∴AD=3， ∵AB=4， ∴BD=5． 分析：根据角平分线的性质得到 AD=3，进一步求得 BD． 三、解答题 21. 在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目： 求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 答案： 解答： 已知：点 P 在∠AOB 的平分线上，PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F， 求证：PE=PF． 证明：在△POE 和△POF 中， ∠POE=∠POF，∠PEO=∠PFO=90°，OP=OP， ∴△POE≌△POF， ∴PE=PF． 分析：根据题意画出图形，写出已知和求证，根据确定三角形的判定和性质证明结论． 22．现要在三角地 ABC 内建一中心医院，使医院到 A、B 两个居民小区的距离相等，并且到公路 AB 和 AC 的距离也相等，请确定这个中心医院的位置． 答案： 解答：作 AB 的垂直平分线 EF，作∠BAC 的角平分线 AM，两线交于 P， 则 P 为这个中心医院的位置． 分析：根据线段垂直平分线性质作出 AB 的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC 的角平分线，即 可得出答案． 23．如图，已知 BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC，点 P 在 BD 上，PM⊥AD 于 M，PN⊥CD 于 N，求证： PM=PN． 答案： 解答：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD 和△CBD 中， AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB， ∵点 P 在 BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN． 分析：根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全 等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 24．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F，BE=CF． 求证：AD 是△ABC 的角平分线． 答案： 解答：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE 和 Rt△DCF 是直角三角形． 在 Rt△BDE 和 Rt△DCF 中 BD=DC，BE=CF， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴DE=DF， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD 是角平分线． 分析：首先可证明 Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得 AD 是角平分线即可． 25．如图，已知 P 点是∠AOB 平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为 C、D． （1）求证：∠PCD=∠PDC； 答案： 解答：∠PCD=∠PDC． 理由：∵OP 是∠AOB 的平分线， 且 PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD， ∴∠PCD=∠PDC； （2）求证：OP 是线段 CD 的垂直平分线． 答案： 解答：OP 是 CD 的垂直平分线． 理由：∵∠OCP=∠ODP=90°， 在 Rt△POC 和 Rt△POD 中， PC=PD，OP=OP， ∴Rt△POC≌Rt△POD（HL）， ∴OC=OD， 由 PC=PD，OC=OD，可知点 O、P 都是线段 CD 的垂直平分线上的点， 从而 OP 是线段 CD 的垂直平分线． 分析：∠PCD=∠PDC．由于 P 点是∠AOB 平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出 PC=PD，然后利 用等腰三角形的性质即可得到结论； 根据已知条件首先容易证明 Rt△POC≌Rt△POD，从而得到 OC=OD，由（1）有 PC=PD，利用线段的垂 直平分线的判定即可证明结论．