华师版八年级数学上册第14章同步测试题含答案

华师版八年级数学上册第 14 章同步测试题含答案 14.1.2 直角三角形的判定 一、单选题 1．若△ABC 三边长 a，b，c 满足 25 ba +| 1 ab |+（ 5c ）2=0，则△ABC 是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 解答：∵△ABC 三边长 a，b，c 满足 25 ba +| 1 ab |+（ 5c ）2=0=0，且 25 ba ≥0， | 1 ab |≥0，（ 5c ）2≥0 ∴a+b﹣25=0，b﹣a﹣1=0，c﹣5=0， ∴a=12，b=13，c=5， ∵122+52=132， ∴△ABC 是直角三角形． 故选 C． 分析：根据非负数的性质可求得三边的长，再根据勾股定理的逆定理可推出这个三角形是直角三角形， 此题主要考查学生对非负数的性质及勾股定理逆定理的综合运用． 2．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，1），点 B 的坐标为（11，1），点 C 到直线 AB 的距离为 5， 且△ABC 是直角三角形，则满足条件的 C 点有（ ） A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．8 个 答案：C 解答：∵点 A，B 的纵坐标相等， ∴AB∥x 轴，点 C 到距离 AB 为 5，并且在平行于 AB 的两条直线上． ∴满足条件的 C 点有：（1，6），（6，6），（11，6），（1，﹣4），（6，﹣4），（11，﹣4） 故选 C． 分析：当∠A=90°时，满足条件的 C 点 2 个；当∠B=90°时，满足条件的 C 点 2 个；当∠C=90°时， 满足条件的 C 点 2 个．所以共有 6 个，用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ ABC 是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 3．如图，每个小正方形的边长为 1，A，B，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 答案：C 解答：根据勾股定理可以得到:AC=BC= 5 ,AB= 10 ∵ 222 )10()5()5(  ∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC 是等腰直角三角形. ∴∠ABC=45°. 故选 D． 分析：利用勾股定理和勾股定理的逆定理判断特殊的直角三角形，从而求取特殊角的度数，是本节的重 点，也为今后学习一般三角形的余弦定理做一个准备． 4．长度为 9、12、15、36、39 的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个 数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解答：根据三角形的三边关系，知能够搭成的三角形有 9、12、15；9、36、39；12、36、39；15、36、39； 根据勾股定理的逆定理，知能够搭成直角三角形的有 9、12、15 和 15、36、39． 故选 B． 分析：首先根据三角形的三边关系找到所有的三角形，再根据勾股定理的逆定理进行分析排除，此题综 合考查了三角形的三边关系和勾股定理的逆定理． 5．如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有 AB，CD，EF，GH 四条线段,其中能构成直角三角形 三边的线段是( ) A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF 答案：B 解答：AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13, 所以 AB2+EF2=GH2，故选 B． 分析：先运用勾股定理算出所涉及的各条边长的平方，再运用勾股定理的逆定理判断是否构成直角三角 形是解此题的一般方法． 6．The coordinates of the three points A．B．C on the plane are （﹣5，﹣5），（﹣2，﹣1）and（﹣1， ﹣2）respectively，the triangle ABC is（ ） （英汉小词典：right 直角的；isosceles 等腰的；equilateral 等边的；obtuse 钝角的） A．a right trisngle B．an isosceles triangle C．an equilateral triangle D．an obtuse triangle 答案：B 解答：如图过 B 作 Y 轴的平行线，过 A 作 X 轴的平行线，两线交于 H，由勾股定理得：AB2=[（﹣2）﹣ （﹣5）]2+[（﹣1）﹣（﹣5）]2， 即：AB2=25 同理：AC2=[（﹣1）﹣（﹣5）]2+[（﹣2）﹣（﹣5）]2，即：AC2=25， BC2=[（﹣1）﹣（﹣2）]2+[（﹣1）﹣（﹣2）]2，BC2=2， ∴AB=AC． 故选 B． 分析：过 B 作 Y 轴的平行线，过 A 作 X 轴的平行线，两线交于 H，构造直角三角形，根据勾股定理求出 AB 的长，同理求出 AC、BC 的长，比较即可得出答案，本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理 的逆定理等知识点，解此题的关键是能根据点的坐标求出 AB、BC、AC 的长度． 7．如图所示方格纸中的三角形是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：A 解答：从图上可知：△ADB≌△AEC， ∴AB=AC． ∴△ABC 是等腰三角形． 故选 A． 分析：是等腰三角形，AB，AC 分别位于两个全等的直角三角形里，本题考查了等腰三角形的概念和全 等三角形的判定定理，根据此知识点可得解． 8．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形( ) A．仍是直角三角形 B．可能是锐角三角形 C．可能是钝角三角形 D．不可能是直角三角形 答案：A 解答：设直角三角形的三边分别为 a，b，c，且满足 a2+b2=c2，扩大相同倍数后各边分别为 na，nb，nc， 因为(na)2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2，所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形，故选 A． 分析：能够利用字母抽象的表示出题目表达的数学意义，并运用勾股定理和勾股定理的逆定理进行分析 判断，是提高逻辑思维能力的好题目． 9．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．三内角之比为 1：2：3 B．三边长的平方之比为 1：2：3 C．三边长之比为 3：4：5 D．三内角之比为 3：4：5 答案：D 解答：A 项满足三角形中有一个内角为 90º，B 项满足勾股定理的逆定理，C 项符合勾股数的比例关系， 唯有 D 项不是直角三角形，故选 D． 分析：学生能够充分辨别三角形中角、边、边长的平方所能判定直角三角形的条件，是学习了勾股定理 的逆定理后，对直角三角形的认识的一个新的知识体系． 10. 下列说法正确的有（ ） ①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC 是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三 角形；③如果三角形的三边长分别为 4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的 三角形是直角三角形． A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案：D 解答：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°， ∴△ABC 是直角三角形，故①正确； ②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确； ③42=16，62=36，显然 42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确； ④符合直角三角形的判定方法，故④正确； 所以 4 个结论都正确，故选 D． 分析：根据题意，一一查看选项，根据勾股定理的逆定理或有一个角为直角的三角形为直角三角形判断 选项是否正确，本题考查直角三角形的判定方法，此题中涉及到直角三角形的三种判定方法： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②有两个锐角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理； 11. 有四个三角形，分别满足下列条件：①一个角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为 3：4：5； ③三边之比为 5：12：13；④三边长分别为 5，24，25．其中直角三角形有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案：B 解答：（1）∵一个角等于另外两个内角之和， ∴这个角= 2 1 ×180°=90°，是直角三角形； （2）三个内角之比为 3：4：5， ∴最大的角= ×180°= ×180°＜90°，是锐角三角形； （3）设三边分别为 5k，12k，13k， 则（5k）2+（12k）2=25k2+144k2=169k2=（13k)2，是直角三角形； （4）∵52+242=25+576=601≠252， ∴三边长分别为 5，24，25 的三角形不是直角三角形． 综上所述，是直角三角形的有（1）（3）共 2 个． 故选 B． 分析：（1）（2）根据三角形的内角和等于 180°，求出三角形中最大的角的度数，然后即可判断； （4）根据勾股定理逆定理列式进行计算即可得解． 本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理逆定理的应用，灵活求解，只要与 90°进行比较即可，技 巧性较强． 12．△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，下列说法中，错误的是（ ） A．如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90° B．如果∠C=90°，那么 c2﹣b2=a2 C．如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90° D．如果∠A=30°∠B=60°，那么 AB=2BC 答案：C 解答：A．∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180° ∴2∠C=180° ∴∠C=90° 故此选项正确； B．∵∠C=90° ∴c 是斜边 ∴满足 c2﹣b2=a2 故此选项正确； C．∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a 是斜边 故此选项错误； D．∵∠A=30°∠B=60° ∴∠C=90°，AB 为斜边，BC 为 30°角所对的边 ∴AB=2BC 故此选项正确； 故选 C． 分析：根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含 30 度角的直角三角形对各个选项进行分析，从 而不难求解，此题主要考查：（1）含 30 度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等 于斜边的一半． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是 180°． （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角 形． 13. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①已知直角三角形的面积为 2，两直角边的比为 1：2，则斜边长为 ； ②直角三角形的最大边长为 ，最短边长为 1，则另一边长为 ； ③在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC 为直角三角形； ④等腰三角形面积为 12，底边上的高为 4，则腰长为 5． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 答案：D 解答：①、设较短的一个直角边为 M，则另一个直角边为 2M，所以 M×2M=2，解得 M= ，2M=2 ．根 据勾股定理解得斜边为 ．所以此项正确； ②、根据勾股定理解得，另一边= = ，所以此项正确； ③、设∠A=x，则∠B=5x，∠C=6x．因为 x+5x+6x=180°解得 x=15°，从而得到三个角分别为 15°、75°、 90°．即△ABC 为直角三角形，所以此项正确； ④、已知面积和高则可以得到底边为 6，又因为是等腰三角形，则底边上的高也是底边上的中线，则可 以得到底边的一半为 3．此时再利用勾股定理求得腰长为 =5．所以此项正确． 所以正确的有四个． 故选 D． 分析：根据勾股定理以及三角形的内角和定理即可解答，此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的 判定及勾股定理等知识点． 14．已知直角三角形三边之比为 1：1： 2 ，则此三角形一定是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案：D 解答：由直角三角形三边之比为 1：1： 2 ，知其中两边相等，设三边分别为 k ， k ， k2 ，则由于 2222 )2(2 kkkk  ，所以此三角形也是直角三角形，所以此三角形是等腰直角三角形，故选 D． 分析：有比的关系的问题一般通过设比例系数 k ，算出相关边长或角的等量关系，再利用勾股定理的逆 定理解题． 15．下列结沦中，错误的有（ ） ①Rt△ABC 中，已知两边分别为 3 和 4，则第三边的长为 5； ②三角形的三边分别为 a、b、c，若 a2+b2=c2，则∠A=90°； ③若△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形； ④若（x﹣y）2+M=（x+y）2 成立，则 M=4xy． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 答案：C 解答：①分两种情况讨论：当 3 和 4 为直角边时，斜边为 5；当 4 为斜边时，另一直角边是 ，所以 错误； ②三角形的三边分别为 a、b、c，若 a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误； ③最大角∠C= ×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确； ④若（x﹣y）2+M=（x+y）2 成立，则 M=（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，正确． 故选 C． 分析：根据勾股定理以及逆定理即可解答，本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角 三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角 形三边满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 二、填空题 16．观察以下几组勾股数,并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41，… 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: . 答案：11，60， 61 解答：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增 2，故第 5 组第一个数是 11，又发现第二、第三个 数相差为 1，故设第二个数为 x，则第三个数为 x+1，根据勾股定理得：112+x2=(x+1)2，解得 x=60，则得 第⑤组勾股数是 11，60， 61． 分析：勾股数有很多规律，学生能够根据题目发现特定规律并运用勾股定理正确求解，是探索数学奥秘 的一个有效途径． 17．如图，已知八边形 ABCDEFGH 中 4 个正方形的面积分别为 25，144，48，121 个平方单位，PR=13 （单位），则该八边形的面积= 平方单位． 答案：428+66 解答：∵4 个正方形的面积分别为 25，144，48，121， ∴边长分别为：5、12、4 、11， ∵PR=13、PS=12、RS=5， ∴PS⊥SR，PQ⊥QR， ∴S 四边形 PQRS= （PS•SR+PQ•QR）=30+22 ， 显然 S△HSG+S△CDQ=S 四边形 PQRS， 如图作 QI⊥PS 交于 I，BJ⊥AP 交 AP 的延长线于 J， ∵BP=PQ，∠BJP=∠QIP=90°， ∵∠APB+∠QPS=360°﹣90°﹣90°=180°， ∴∠QPS=∠BPJ， ∴Rt△PQI≌Rt△PBJ， ∴QI=BJ， ∴S△APB=S△PSQ， 同理 S△EFR=S△QSR， 则 S△APB+S△EFR=S 四边形 PQRS， 故八边形的面积=3（30+22 ）+144+48+121+25， =428+66 ． 故答案为：428+66 ． 分析：由 PR=13、PS=12、RS=5 得出 PS⊥SR，PQ⊥QR，求出四边形 PQRS 的面积，作 QI⊥PS 交于 I，BJ ⊥AP 交 AP 的延长线于 J，利用全等证出 QI=BJ，推出 S△APB+S△EFR=S 四边形 PQRS，再把各部分的面积相加即可得到答案．本题主要考查了面积与等积 变换，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理得逆定理等知识点，正确求出各部分的面积 是解此题的关键．题目较好但有一定难度． 18．若 a,b,c 是直角三角形的三条边长，斜边 c 上的高的长是 h，给出下列结论： ①以 a2，b2，c2 的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以 a ， b ， c 的长为边的三条线段能 组成一个三角形；③以 a+b，c+h，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以 a 1 , b 1 , c 1 的长为边的 三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为 ． 答案：②③ 解答：①直角三角形的三条边满足勾股定理 a2+b2=c2，因而以 a2，b2，c2 的长为边的三条线段不能满足 两边之和大于第三边，故不能组成一个三角形，故错误；②直角三角形的三边有 a+b>c(a,b,c 中 c 最大)， 而在 a ， b ， c 三个数中 c 最大，如果能组成一个三角形，则有 a + b > c 成立，即( a + b ) 2>( c )2，即 a+b+2 ab >c(由 a+b>c),则不等式成立,从而满足两边之和大于第三边，则以 a , b , c 的 长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；③a+b,c+h,h 这三个数 c+h 一定最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2a b+h2，（c+h)2=c2+h2+2ch，又∵2ab=2ch=4S△ABC，∴(a+b)2+h2=(c+h)2,根据勾股定理的逆定理即以 a+b，c +h，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形，故正确；④假设 a=3，b=4，c=5,则 a 1 ， b 1 ， c 1 的长为 3 1 ， 4 1 ， 5 1 ,以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形，故错误． 分析：充分运用勾股定理和勾股定理的逆定理结合三角形成立的三边关系进行判断判断分析，是学生综 合所学知识体系进行辩证提高的一个过程． 19．已知|m﹣ 2 |+ 2n +（p﹣ 2 ）2=0 则以 m、n、p 为三边长的三角形是 三角形． 答案：等腰直角 解答：根据题意得，m﹣ 2 =0，n﹣2=0，p﹣ 2 =0， 解得 m= 2 ，n=2，p= 2 ， ∴m=p， 又∵ 2 2+ 2 2=22=4， 即 m2+p2=n2， ∴以 m、n、p 为三边长的三角形是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 分析：根据非负数的性质列式求出 m、n、p 的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可．本题考查了 绝对值非负数，算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式 都等于 0 列式是解题的关键． 20．已知 x，y，z 均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+ 8 zy =0，若以 x，y，z 的长为边长画三角形， 此三角形的形状为 ． 答案：直角三角形 解答：根据题意得，x﹣4=0，y﹣3=0，y+z﹣8=0， 解得 x=4，y=3，z=5， ∵x2+y2=42+32=25=z2， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 分析：根据非负数的性质列式求出 x、y、z 的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可得到此三角形是 直角三角形．本题考查了绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的 和等于 0，则每一个算式都等于 0 列式是解题的关键，还考查了勾股定理逆定理的运用． 三、解答题（共 5 小题） 21．一如图，在△ABC 中，AB=41cm，BC=18cm，BC 边上的中线 AD=40cm．△ABC 是等腰三角形吗？为 什么？ 答案：△ABC 是等腰三角形 解答：△ABC 是等腰三角形， 理由是：∵BC=18cm，BC 边上的中线为 AD， ∴BD=CD=9cm ∵AB=41cm，BC=18cm，AD=40cm ∴AB2=1681， BD2+AD2=1681， ∴AB2=BD2+AD2， ∴AD⊥BC ∵BD=CD， ∴AC=AB ∴△ABC 是等腰三角形． 分析：由已知可得 BD 的长，再根据勾股定理的逆定理可判定 AD 垂直 BC，从而根据可利用勾股定理求 得 AC 的长，此时发现 AB=AC，即该三角形是等腰三角形．此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及等 腰三角形的判定线段的垂直平分线性质的理解及运用． 22．当 a、b、c 为何值时，代数式 68103 22  cbcba 有最小值？并求出这个最小值和此时 以 a、b、c 值为边的三角形的面积． 答案：a=3，b=5，c=4，这个最小值为﹣35，以 a、b、c 值为边的三角形的面积为 12． 解答：∵ 68103 22  cbcba = 3a +b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6 = 3a +（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35， ∴ 3a ≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2≥0， ∴代数式 68103 22  cbcba 有最小值时，a=3，b=5，c=4， ∴这个最小值为﹣35， ∴以 a、b、c 值为边的三角形为直角三角形，直角边为 a 和 c， ∴以 a、b、c 值为边的三角形的面积为 12． 分析：首先把 68103 22  cbcba 进行配方得： 3a +b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6， 进一步整理得： 3a +（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35，分析可知， 3a ≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2 ≥0，即可推出最小值为﹣35，a=3，b=5，c=4，此时三角形为直角三角形直角边长度为 4 和 3，所以面 积为 12．本题主要考查完全平方公式，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键在于利用完全平方公 式对原代数式进行配方．分析 a、b、c 的值． 23．已知 a，b，c 为正数，满足如下两个条件： a+b+c=32 ① 4 1 ab cba ca bac bc acb ② 是否存在以 a ， b ， c 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角． 答案：以 a ， b ， c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90° 解答：解法 1：将①②两式相乘，得 8))((  cbaab cba ca bac bc acb ， 即： 8)()()( 222222  ab cba ca bac bc acb ， 即 0)(4)(4)( 222222  ab cba ca bac bc acb ， 即 0)()()( 222222  ab cba ca bac bc acb ， 即 0))(())(())((  ab cbacba ca bacbac bc acbacb ， 即 0)]()()([)(  cbacbacbacbaabc acb ， 即 0]2[)( 222  cbaababc acb ， 即 0])([)( 22  bacabc acb ， 即 0))(()(  bacbacabc acb ， 所以 b﹣c+a=0 或 c+a﹣b=0 或 c﹣a+b=0， 即 b+a=c 或 c+a=b 或 c+b=a． 因此，以 a ， b ， c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90°． 解法 2：结合①式，由②式可得 4 1232232232  ab c ca b bc a ， 变形，得 abccba 4 1)(21024 222  ③ 又由①式得（a+b+c）2=1024，即 a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca）， 代入③式，得 abccabcab 4 1)](21024[21024  ， 即 abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163= ﹣4096+256×32﹣163=0， 所以 a=16 或 b=16 或 c=16． 结合①式可得 b+a=c 或 c+a=b 或 c+b=a． 因此，以 a ， b ， c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90°． 分析：解法一：根据已知，将两式相乘，运用平方差公式、完全平方式、提取公因式将乘积分解为 0))(()(  bacbacabc acb ．再根据每个因式都可能等于零，及勾股定理，判断三角形为直角 三角形．最大角度也就是 90° 解法二：将①式变形代入，求出 a、b、c 的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角 度也就是 90°．本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出 a、b、c 三角形三边的关系． 24．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13nmile 的 A，B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行 120nmile，乙 巡逻艇每小时航行 50nmile，航向为北偏西 40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？ 答案：甲巡逻艇的航向为北偏东 50°. 解答：AC=120× 60 6 =12(nmile)，BC=50× 60 6 =5(nmile)，又因为 AB=13nmile，所以 AC2+BC2=AB2，所以 △ABC 是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，由∠CBA=50°，知∠CAB=40°，所以甲巡逻艇的航向 为北偏东 50°． 分析：正确运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定，从而根据已知条件求出直角三角形中两个锐 角的度数是本题的基本思路． 25．（1）如图①所示，P 是等边△ABC 内的一点，连接 PA、PB、PC，将△BAP 绕 B 点顺时针旋转 60° 得△BCQ，连接 PQ．若 PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°； 答案：解：（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ； ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°； ∵∠ABP=∠CBQ， ∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°； 又∵BP=BQ，∴△BPQ 是等边三角形； ∴BP=PQ； ∵PA2+PB2=PC2，即 PQ2+QC2=PC2； ∴△PQC 是直角三角形，且∠PQC=90° （2）如图②所示，P 是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接 PA、PB、PC，将△BAP 绕 B 点 顺时针旋转 90°得△BCQ，连接 PQ．当 PA、PB、PC 满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明． 解答：（2）PA2+2PB2=PC2；理由如下： 同（1）可得：△PBQ 是等腰直角三角形，则 PQ= PB，即 PQ2=2PB2； 由旋转的性质知：PA=QC； 在△PQC 中，若∠PQC=90°，则 PQ2+QC2=PC2，即 PA2+2PB2=PC2； 故当 PA2+2PB2=PC2 时，∠PQC=90°． 分析：（1）由旋转的性质可得到的条件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ； 由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，联立 BP=BQ，即可得到△BPQ 是等边三角 形的结论，则 BP=PQ；将等量线段代换后，即可得出 PQ2+QC2=PC2，由此可证得∠PQC=90°； （2）由（1）的解题思路知：△PBQ 是等腰 Rt△，则 PQ2=2PB2，其余过程同（1），只不过所得结论稍 有不同．此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定及勾股定理 的应用等知识，能够正确的判断出△BPQ 的形状，从而得到 BP、PQ 的数量关系，是解答此题的关键． 14.2 勾股定理的应用 一、求解证明线段平方之间的关系 a、构造于不同的直角三角形中分别利用勾股定理，然后利用等式性质相加或相减 1 已知，如图△ABC 中，∠C=90°，M 为 BC 中点，MD⊥AB 于 D．求证：AD2=AC2+BD2． 证明：连接 MA， ∵MD⊥AB， ∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2， ∵∠C=90°， ∴AM2=AC2+CM2 ∵M 为 BC 中点， ∴BM=MC． ∴AD2=AC2+BD2． 2、如图，DEm，BCn，EBC 与DCB 互余，求 BD2CE2 的值． 解：延长 BE、CD 交于点 A. ∵EBC 与DCB 互余， ∴∠A=90°， ∴BD2=AD2+AB2 CE2=AE2+AC2 BD2+CE2=m2+n2. b、通过对称、平移、旋转变换将线段构造于同一个直角三角形中利用勾股定理 1、已知：如图 1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，DE、DF 分别交 AC 于 E，交 BC 于 F， 且 DE⊥DF． （1）如果 CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2； （2）如图 2，如果 CA＜CB，（1）中结论还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 解答：（1）证明：过点 A 作 AM∥BC，交 FD 延长线于点 M，（或将△FBD 旋转 180°） 连接 EM． ∵AM∥BC， ∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B． ∵AD=BD，∠ADM=∠BDF， ∴△ADM≌△BDF． ∴AM=BF，MD=DF． 又 DE⊥DF，∴EF=EM． ∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2． （2）证法同一 2、如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 M、N 在边 BC 上． （1）如图 1，如果 AM=AN，求证：BM=CN； （2）如图 2，如果 M、N 是边 BC 上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段 BM、MN、NC 是 否有可能使等式 MN2=BM2+NC2 成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． （1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C． ∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM． 即得∠AMB=∠ANC． 在△ABM 和△CAN 中， ∴△ABM≌△CAN（AAS）． ∴BM=CN． 另证：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D． ∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD． 同理，证得 MD=ND． ∴BD-MD=CD-ND． 即得 BM=CN． （2）MN2=BM2+NC2 成立． 证明：过点 C 作 CE⊥BC，垂足为点 C，截取 CE，使 CE=BM．连接 AE、EN． ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°． ∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°． 在△ABM 和△ACE 中， ∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM=AE，∠BAM=∠CAE． ∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°． 于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°． 在△MAN 和△EAN 中， ∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN=EN． 在 Rt△ENC 中，由勾股定理，得 EN2=EC2+NC2． 即得 MN2=BM2+NC2． 另证：由∠BAC=90°，AB=AC，可知，把△ABM 绕点 A 逆时针旋转 90°后，AB 与 AC 重合，设点 M 的对应点是点 E． 于是，由图形旋转的性质，得 AM=AE，∠BAM=∠EAN． 二、利用勾股定理求线段、角（含折叠问题） 1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，P 是△ABC 内的一点，且 PB=1，PC=2， PA=3，求∠BPC 的度数。 解：如图，将△APC 绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合，即△APC 与△BEC 全等 ∴△PCE 为等腰 Rt△ ∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8 又∵PB2=1，BE2=9 ∴PE2+ PB2=BE2，则∠BPE=90° ∴∠BPC=135°。 2、如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求 AC 的长． 解：如图，∵ AC 平分∠BAD， ∴ 把△ADC 沿 AC 翻折得△AEC， ∴ AE=AD=9，CE=CD=10=BC． 作 CF⊥AB 于点 F．∴ EF=FB= 2 1 BE= 2 1 (AB-AE)=6． 在 Rt△BFC(或 Rt△EFC)中，由勾股定理得 CF=8． 在 Rt△AFC 中，由勾股定理得 AC=17． ∴ AC 的长为 17． 折叠问题中，通常需设出某一边长，在落点旁破坏原图形而新形成的直角三角形中利用勾 股定理建立方程求解 1、如图将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 处，已知 CE=3，AB=8， 则 BF=______． 解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8-3=5； 在 Rt△CEF 中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4， 若设 AD=AF=x，则 BC=x，BF=x-4； 在 Rt△ABF 中，由勾股定理可得： 82+（x-4）2=x2，解得 x=10， 故 BF=x-4=6． 2、已知：如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=4，BC=7，点 E 在 BC 边上，将△CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C'处． （1）求∠C'DE 的度数； （2）求△C'DE 的面积． 解：（1）过点 D 作 DF⊥BC 于 F． ∵AD∥BC，∠B=90°，AD=AB， ∴四边形 ABFD 是正方形． ∴DF=BF=AB=4，FC=3， 在 Rt△DFC 中， ， ∴C′D=5， ∵AD=FD，∠A=∠DFC=90°，C′D=CD， ∴△AC′D≌△FCD， ∴∠ADC′=∠FDC，AC′=FC=3， ∴∠ADF=∠ADC′+∠C′DF=∠FDC+∠C′DF=∠C′DC=90°， ∵∠C′DE=∠CDE， ∴∠C′DE=45°； （2）设 EC=x，则 BE=7-x，C′E=x， ∵AC′=3， ∴BC'=1， 在 Rt△BEC′中（7-x）2+1=x2 解方程，得： ， ∴ ． 第 14 章勾股定理单元检测试题 一、单选题（共 10 题；共 30 分） 1.以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 5，12，13 2.已知 a、b、c 是三角形的三边长，如果满足 ，则三角形的形状是（ ） A. 底与腰不相等的等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3.一架长 2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯足到墙的底端距离为 0.7m， 若梯子顶端下滑 0.4m，则梯足将向外移( ) A. 0.6m B. 0.7m C. 0.8m D. 0.9m 4.如图，在平地 MN 上用一块 10m 长的木板 AB 搭了一个斜坡，两根支柱 AC=7.5m，AD=6m，其中 AC⊥AB， AD⊥MN，则斜坡 AB 的坡度是（ ） A. 3：5 B. 4：5 C. 3：4 D. 4：3 5.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( ) A. 3,4,4 B. 3,4,5 C. 3,4,6 D. 3,4,7 6.如图，在水塔 O 的东北方向 32m 处有一抽水站 A，在水塔的东南方向 24m 处有一建筑工地 B，在 AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ） A. 45m B. 40m C. 50m D. 56m 7.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. 三内角之比为 1：2：3 B. 三边长的平方之比为 1：2：3 C. 三边长之比为 3：4：5 D. 三内角之比为 3：4：5 8. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5m，消防车的云梯最大 升长为 13m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ） A. 12m B. 13m C. 14m D. 15m 9.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形( ) A. 仍是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形 10.下列说法中，正确的个数有（ ） ①已知直角三角形的面积为 2，两直角边的比为 1：2，则斜边长为 ； ②直角三角形的最大边长为 ，最短边长为 1，则另一边长为 ； ③在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC 为直角三角形； ④等腰三角形面积为 12，底边上的高为 4，则腰长为 5． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（共 8 题；共 24 分） 11.如图，一旗杆被大风刮断，旗杆的顶部着地点到旗杆底部的距离为 4m, 折断点离旗杆底部的高度为 3m,则旗杆的高度为________m. 12.若一个三角形的三边满足 ，则这个三角形是________。 13.已知一个直角三角形的两条直角边分别为 6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为________ cm． 14.我校有一楼梯的侧面视图如图所示，其中 AB=4 米，∠BAC=30°，∠C=90°，因 09 年第一场暴雪路滑， 要求整个楼梯铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的总长度应为________米．（可以保留根号） 15.如图,一圆柱体的底面周长为 20cm，高 AB 为 4cm，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点 A 出发，沿着 圆柱的侧面爬行到点 C，爬行的最短路程是________ cm． 16.我们把符合等式 a2+b2=c2 的 a、b、c 三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股 数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．3，4，5； 5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，________，________；… 17.如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6．则∠ACD=________度． 18.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 9cm, 则正方形 A，B，C，D 的面积之和为________cm2 ． 三、解答题（共 7 题；共 54 分） 19.如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积． 20.已知，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 垂足为 D，BC=6，AC=8，求 AB 与 CD 的长． 21.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13nmile 的 A，B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行 120nmile，乙 巡逻艇每小时航行 50nmile，航向为北偏西 40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？ 22.如图所示，△ ABC 和△ AEF 为等边三角形，点 E 在△ ABC 内部，且 E 到点 A、B、C 的距离分别 为 3、4、5，求∠AEB 的度数． 23.如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是 50cm，30cm，10cm，A 和 B 是这个台阶的两个 相对的端点，若一只壁虎从 A 点出发沿着台阶面爬到 B 点.（1）画出从点 A 到点 B 的台阶侧面展开图； （2）求壁虎爬行的最短路线的长． 24.如图，在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，在所给网格中按下列要求画出图形： （1）（I）已知点 A 在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段 AB，长度为 ，且点 B 在格点上； （II）以上题中所画线段 AB 为一边，另外两条边长分别是 3，2 ，画一个三角形 ABC，使点 C 在格 点上（只需画出符合条件的一个三角形）；（2）所画的三角形 ABC 的 AB 边上高线长为________（直接 写出答案） 25.如图 1，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 F 是 AB 上一点，作等腰 Rt△FCP，且∠PCF=90°，连结 AP． （1）求证：△CFB≌△CPA;（2）求证：AP2+AF2=PF2； （3）如图 2，在 AF 上取点 E，使∠ECF=45°，求证：AE2+BF2=EF2 ． 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】D 8.【答案】A 9.【答案】A 10.【答案】D 二、填空题 11. 8 12.直角三角形 13. 4.8 14. 2 +2 15. 10.78 16. 60；61 17. 45 18. 81 三、解答题 19.解：如图，连接 AC， ∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°， ∴AC= =5，∴S△ACD=6， 在△ABC 中，∵AC=5，BC=12，AB=13， ∴AC2+BC2=AB2 ， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB=90°， ∴Rt△ABC 的面积=30，∴四边形 ABCD 的面积=30-6=24． 20.解：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 垂足为 D，BC=6，AC=8， 由勾股定理得：AB= =10， ∵S△ABC= AB•CD= AC•BC，∴CD= = =4.8 21. AC=120× =12(nmile)，BC=50× =5(nmile)，又因为 AB=13nmile，所以 AC2+BC2=AB2，所以△ABC 是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，由∠CBA=50°，知∠CAB=40°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东 50°. 22.解：连接 FC，则△AEB≌△AFC（SAS）。 在△EFC 中，EF=3，FC=4，EC=5， 所以是直角三角形，则∠EFC=90°， ∠AEB=∠AFC=90°+60°=150° 23.（1）解：侧面展开图如图所示，（2）解：如图所示， 由题意可知：线段 AB 为爬行的最短路径， ∵AC=50cm，BC=120cm 由勾股定理得：AB=130cm 答：求壁虎爬行的最短路线的长为 130cm 24.（1）解：（I）如图所示： （II）如图所示： （2） 25.（1）证明：∵△ABC 和△PCF 都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，PC=FC，∠ACB=PCF=90°， ∴∠ACB-∠ACF=∠PCF-∠ACF， ∴∠ACP=∠BCF， 在△CFB 与△CPA 中 ∴△CFB≌△CPA（SAS） （2）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=∠BAC=45°， 由（1）△CFB≌△CPA，∴∠PAC=∠B=45°， ∴∠PAF=∠PAC+∠BAC=45°+45°=90°， ∴AP2+AF2=PF2 （3）证明：连结 PE， ∵∠ACE+∠BCF=∠ACB-∠ECF=90°-45°=45°， ∵∠BCF=∠ACP， ∴∠PCE=∠PCA+∠ACE=45°， 在△PCE 与△FCE 中 ∴△PCE≌△FCE（SAS）， ∴EF=EP，∠PCE=∠ECF=45° 由（2）知∴∠PAF=90°，PA=BF， ∴AP2+AE2=PE2； ∴AE2+BF2=EF2 ．