四 多边形的面积
第1课时 比较图形的面积
教学目标
1.能借助方格纸，直接判断图形面积的大小，知道比较图形面积的基本方法。
2.经历观察、猜想、验证等数学活动，发展学生的空间观念和形象思维。
3.体验图形形状的变化和面积大小变化的关系。
重点难点
重点：会比较图形面积大小，掌握比较图形面积大小的基本方法。
难点：理解比较图形面积大小的基本方法。
教学准备
多媒体课件、七巧板。
教学步骤
教学内容
一、创设情境，引入课题
师：现在请同学们回忆一下，我们学过或知道哪些平面图形？
生：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形。
师：(出示一个长方形平面图形)谁来用手比画一下这个长方形的周长有多长？用手摸一摸，估一估它的面积是多少？(学生演示)
师：我们怎样才能知道这个长方形的面积是多少呢？
生1：用尺子先量出这个长方形的长是多少，再量出它的宽是多少，用长乘以宽就可以求出它的面积是多少。
生2：把它放在大方格纸上，大方格纸中的小正方形边长为1厘米，数一数它有多少个面积是1平方厘米的正方形小格，就可以知道它的面积是多少。
师：同学们对学过的知识掌握得真好，现在老师这里有一幅图(出示课本主题图)图上有许多平面图形，今天我们就来比较这些图形的面积。
板书课题：比较图形的面积
二、自主探究
1.放手让学生在小组内讨论，自主探索图形面积的关系。
教师用多媒体课件出示课本中方格图内的12个图形。
师：观察、比较这些图形面积的大小，想一想，可以怎样比较？2.学生先独立思考，然后在小组内交流。
师：哪个小组先来汇报一下，你们是怎样比较面积大小的？
生1：①号图形和③号图形的面积相等，我们是用数方格的方法知道的。
生2：我们把①号图形平移到③号图形的位置，两个图形重合，所以①号图形和③号图形的面积相等。
教师按照学生叙述的方法，用课件演示①号图形和③号图形重合的方法。
师：你们的发现真不错，还有什么发现？说一说。
生3：②号图形和⑥号图形的面积相等，因为把②号图形平移到⑥号图形的位置，两个图形重合。
二、自主探究(续)
生4：②号图形和⑤号图形的面积相等，把②号图形翻过来平移到⑤
号图形的位置，两个图形重合。
生5：把⑤号图形和⑥号图形合在一起，面积与⑧号图形相等。
生6：①号图形和③号图形的面积和合起来是⑦号图形的面积，我是通过数方格的方法知道的。
生7：⑧号图形和⑩号图形的面积相等。沿着⑧号图形左上面的顶点竖直往下剪，将剪下来的三角形的斜边与⑧号图形右边的斜边重合，组合出来的图形平移到⑩号图形的位置，两个图形重合。
生8：⑨号图形和⑩号图形的面积相等。沿⑨号图形右上面的顶点竖直往下剪，将剪下的三角形置于⑨号图形左边缺失的部分，将组合的图形平移到⑩号图形的位置，两个图形正好重合。
……
三、解决问题
师：同学们观察得非常仔细，比较图形面积的方法真不少，现在老师想考一考你们。
1.完成“练一练”第1题。
生1：①号图形和③号图形的面积一样大，把③号图形上面的小三角形剪下来放到缺失的地方，变成①号图形。
生2：①号图形和④号图形的面积一样大，把④号图形右面的三角形分割下来向左平移到缺失的地方，变成①号图形。
师：请你上台演示一下你的分割方法，好吗？(学生演示)
生3：我的分割方法和他的不一样，我是从左边的尖处分割成两个直角三角形平移到右边，也变成①号图形。
师：同学们回答得很好，这说明同学们都认真思考，我们再看第2题。
2.完成“练一练”第2题。
如图，，一个长方形少了一块，你认为下面哪个图形补上去就能使这个长方形完整了？
生：②号图形。我先把这个长方形画完整，发现它缺一个直角梯形。所以我认为是②号图形。
3.师：现在请同学们拿出准备好的七巧板，进行小组活动。
师：怎样能拼成平行四边形？比一比哪组拼平行四边形的方法多。
四、课堂小结
师：这节课你有什么收获？还想了解什么？
学生列举学习中的种种收获、困惑。
第1课时 比较图形的面积
数方格法 平移法
第2课时 认识底和高
教学目标
1.认识平行四边形、三角形和梯形的高，并能借助三角尺画出这们的高。
2.在方格纸上根据图形的高和底的数据画符合条件的图形。
3.激起学生对周围环境中与图形有关的事物的好奇心，鼓励学生积极主动地参加教师组织的数学活动。
重点难点
重点：认识平行四边形、三角形和梯形的高并能画出它们的高。
难点：画平行四边形、三角形和梯形的高。
教学准备
多媒体课件、平行四边形、三角尺、剪刀。
教学步骤
教学内容
一、挑战活动一：表述梯形的高
教师用多媒体课件出示课本上的桥洞限高图。
提出问题：你认为“限高”是指哪一条线段的长度？画一画。
学生在小组内讨论、交流，并尝试画一画。
生1：梯形两条对边之间的垂直线段叫做梯形的高。
生2：我有不同的意见，应该是相互平行的那组对边之间的垂直线段才叫作梯形的高。
师：不平行的那组对边之间画垂直线段呢？
生1：应该也可以叫作梯形的高，反正是对边之间画垂直线段。
生2：不可以，因为不平行的这组对边之间的垂直线段的长度不固定。
师：是，两条平行线之间的垂直线段是梯形的高。
教师演示梯形高的作法。
二、挑战活动二：画平行四边形的高
1.设计图纸。(出示一个平行四边形)
师：这是一块平行四边形的木板，王师傅想利用它做一个尽可能大的长方形桌面，大家愿意帮这个忙吗？
生：是不是可以把这块木板锯开，然后拼起来？
师：可以的，但锯的次数应尽可能少一些，最好只锯一次，想一想，应从哪里锯开呢？
教师出示活动要求。
学生思考、设计，然后小组交流。
2.集体交流。
生1：我是这样设计的。因为我想既然是要做一个长方形桌面，必须要有四个直角。需要从顶点出发，画一条线和平行四边形的这条边垂直。
生2：我有不同的设计。不需要一定从顶点出发，从一条边出发到另一条边画垂直线段也可以。
师：同学们设计了不同的方案，想一想，这些设计有没有共同的地方？
生1：每条分割线都是垂直的，因为做长方形桌面需要直角。
二、挑战活动二：画平行四边形的高(续)
生2：它们的对边都是平行的，因为只有在对边之间画垂直线段平移之后才可以拼成长方形。
师：符合这些条件的线段就是平行四边形的高。可以用一句话说一说什么是平行四边形的高吗？
生：平行四边形两条对边之间的垂直线段就是平行四边形的高。
师：与它垂直的那组对边就是平行四边形的底。
3.动手检验。
师：我们现在就用剪刀沿着平行四边形的高剪下来，试一试能否拼出长方形。
学生动手实践，教师巡视。学生操作后进行交流、讨论。
三、挑战活动三：三角形的高
学生每人手拿一张三角形纸片。
师：谁能在最短的时间内，画一条线段，并把一张三角形纸片分成两个直角三角形？
学生开展操作活动。
师：介绍一下你画的这条线段。
生：在三角形的一个顶点到对边之间画垂直线段就可以了，这条线段就是三角形的高。
四、挑战活动四：动脑、动手
在方格纸上画图形。(“练一练”第4题)
1.底是3cm，高是2cm的平行四边形。
2.底是4cm，高是3cm的三角形。
3.上底是2cm，下底是4cm，高是3cm的梯形。
师：按照什么样的顺序画比较好？
生：先画底和高，然后再画另外的边。
五、课堂小结
师：这节课你有何收获？还有什么不明白的地方吗？
第2课时 认识底和高
梯形两条平行线之间的垂直线段是梯形的高。
平行四边形两对边之间的垂直线段就是平行四边形的高，与它垂直的那组对边就是平行四边形的底。
从三角形的一个顶点到对边之间的垂直线段就是三角形的高。
第3课时 探索活动：平行四边形的面积
教学目标
1.理解并掌握平行四边形的面积计算公式，能正确计算平行四边形的面积。
2.进一步发展学生的思维能力，培养学生运用转化的方法解决实际问题的能力，发展学生的空间观念。
3.引导学生运用转化的思想探索规律。
重点难点
重点：理解并掌握平行四边形的面积计算公式。
难点：理解平行四边形面积计算公式的推导过程。
教学准备
多媒体课件、由4根长木条钉成的长方形。
教学步骤
教学内容
一、实践操作
1.组织谈话。
师：我们已经认识了平行四边形，同学们都知道了平行四边形的哪些知识？
生1：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
生2：认识了平行四边形的高。
2.教师出示由4根长木条钉成的长方形，演示将长方形沿对角拉伸成平行四边形的过程。
师：现在你能发现什么问题？
生：为什么会变成平行四边形呢？面积是否变了呢？这就是我们今天要学习的内容。(板书课题)
二、交流汇报
教师出示课本中的主题情境图并介绍：如图，公园准备在一块平行四边形的空地上铺上草坪。如何求这块空地的面积？
生1：可以借助方格纸数一数。
生2：可利用平移的方式将平行四边形转化为长方形。
生3：我发现转化后长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，所以平行四边形的面积是底乘高。
师：同学们的表现真棒！平行四边形的面积计算公式还可以用字母表示。你们知道怎样表示吗？
学生说，教师板书：S＝ah
三、巩固练习
运用平行四边形的面积计算公式解决下列问题。
1.口算下列各题。
生1：第一个平行四边形的面积是12平方厘米。
生2：第二个平行四边形的面积是20平方分米。
生3：第三个平行四边形的面积是8平方米。
2．辨析性练习。
师：你们能根据图中给出的数据求平行四边形的面积吗？
生1：是54平方厘米。
生2：我不同意，因为……
生3：我也认为不是，因为6厘米这条高不在9厘米这条底上。如果沿6厘米这条高剪开拼成长方形，长方形的长就是6厘米这条高，长方形的宽却不是9厘米这条底，所以不能用9×6＝54(平方厘米)计算面积。
三、巩固练习(续)
课件出示此平行四边形的底和与该底对应的高，你们发现了什么？
生：只要找到一组对应的底和高，就能计算出平行四边形的面积。
3.比较面积。
师：下面两个平行四边形哪个大？为什么？(多媒体课件出示)
生1：不相等，因为一个宽，一个窄。
生2：相等，因为它们的底相同，高也相等，所以面积相等。
师：为什么高相等？
生：因为它们在一组平行线间，距离相等，所以高相等。同底等高，所以面积相等。
四、课堂小结
师：这节课我们共同研究了什么问题？有什么收获？
学生在小组内交流，小组代表汇报。
教师小结：今天，我们用转化割补法学习了平行四边形面积的计算方法，希望同学们把它运用到今后的学习生活中，真正做到学以致用。
第3课时 探索活动：平行四边形的面积
第4课时 探索活动：三角形的面积
教学目标
1.在探索活动中，经历三角形面积计算公式的推导过程，掌握计算三角形面积的方法。
2.在探索图形的特征、变换等活动中，初步建立空间观念，发展几何直觉。
3.感受数学与日常生活的密切联系。
重点难点
重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。
难点：理解三角形面积计算公式的推导过程。
教学准备
多媒体课件，直角、锐角、钝角三角形的学具，方格图。
教学步骤
教学内容
一、新课导入
1.教师用多媒体课件出示平行四边形：高1.5厘米，对应底边长2厘米。
(1)这是什么图形？计算平行四边形的面积我们学过哪些方法？
板书：平行四边形的面积＝底×高
(2)底是2厘米，高是1.5厘米，求它的面积。
(3)平行四边形的面积计算公式是怎样推导的？
2.教师用多媒体课件出示三角形：三角形按角分可以分为哪几种？
师：既然长方形、正方形、平行四边形都可以用数方格的方法或利用公式计算的方法求它们的面积，那三角形的面积可以用哪些计算方法呢？
揭示课题：三角形的面积
二、探究新知
教师用多媒体课件出示课本中的主题情境图并提出问题：如何求出这面三角形彩旗的面积？说一说你的想法。
1.用数方格的方法求三角形的面积。
学生自制方格图并数一数。
2.用直角三角形推导。
(1)用两个完全一样的直角三角形可以拼成哪些图形？(学生自由拼图)
(2)拼成的这些图形中，哪几个图形的面积我们不会计算？
(3)利用拼成的长方形和平行四边形，怎样求三角形面积？
(4)小结：通过刚才的实验，想一想，每个直角三角形的面积与拼成图形的面积有什么关系？
引导学生得出：每个直角三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。
3.用锐角三角形推导。
(1)两个完全一样的锐角三角形能拼成平行四边形吗？(学生试拼)
(2)提问：你发现了什么？
(3)引导学生得出：每个锐角三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。
4.用钝角三角形推导。
(1)两个完全一样的钝角三角形能用刚才的方法来拼吗？
(2)通过刚才的操作，你又发现了什么？
(3)引导学生得出：每个钝角三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。
5.归纳、总结公式。
(1)通过以上三个实验，同学们互相讨论一下，能发现什么规律？
(2)汇报结果。
①两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
②这个平行四边形的底等于三角形的底的2倍。
③这个平行四边形的高等于三角形的高。
④每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。
(3)三角形的面积计算公式是怎样推导出来的？为什么要加上“除以2”？(强化理解推导过程)
板书：三角形的面积＝底×高÷2
二、探究新知(续)
6.教学字母公式。
如果用S表示三角形的面积，a和h分别表示三角形的底和高，三角形的面积公式可以用字母表示为：S＝ah÷2(板书)。
7.试一试。
(1)学生自主读题，列式计算。
(2)集体订正，鼓励学生用自己喜欢的方法计算。
(3)学生观察同底等高的几个三角形，说一说自己的发现。
(4)帮助学生明白，影响三角形面积大小的因素是底和高，不能根据三角形的形状判断三角形面积的大小 。
三、巩固练习
1.一种零件有一面是三角形，三角形的底是5.6厘米，高是4厘米。这个三角形的面积是多少平方厘米？
(1)学生自主读题，理解题意并独立解答。
(2)集体订正，提问：计算三角形的面积时为什么要“除以2”？
2.填空。
两个完全一样的三角形可以拼成一个( )，这个平行四边形的底等于( )，这个平行四边形的高等于( )。因为每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的( )，所以三角形的面积＝( )。
四、课堂小结
师：怎样求三角形的面积？三角形的面积计算公式是怎样推导出来的？
第4课时 探索活动：三角形的面积
①两个完全一样的三角形都可以拼成平行四边形。
②这个平行四边形的底等于三角形的底的2倍。
③这个平行四边形的高等于三角形的高。
④每个三角形的面积都等于拼成的平行四边形面积的一半。
第5课时 探索活动：梯形的面积
教学目标
1.理解并掌握梯形的面积计算公式，能正确应用公式进行计算。
2.培养学生的观察、操作能力，抽象概括能力以及初步的探究能力。
3.培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，发展空间观念，引导学生运用转化思想探索规律。
4.提高学生合作学习的能力。
重点难点
重点：理解并掌握梯形的面积计算公式。
难点：理解梯形面积计算公式的推导过程。
教学准备
多媒体课件、梯形学具。
教学步骤
教学内容
一、复习旧知，铺垫导入
师：同学们还记得我们前两天学习的平行四边形和三角形的面积计算公式吗？还记得三角形的面积是怎样推导出来的吗？
生：转化成平行四边形。
教师在学生说的同时，配以投影展示，让学生注意到图形的转化。
这节课，我们一起探索梯形的面积。(板书课题)
二、新知探索
1.呈现实际情境，感受计算梯形面积的必要性。
师：这里有一个灌溉堤坝的横截面，如图，它的面积是多少？
师：你们认为应该从什么地方入手呢？
学生思考片刻，可能会回答：可以先转化为学过的图形。
2.教师提供材料，学生自主探究图形的转化过程。
(1)利用你们小组的梯形学具，先独立思考能把它转化成己学过的什么图形。
(2)把自己的方法与小组成员进行交流，共同验证。
3.全班交流汇报。
生1：我们小组的方法是用两个相同的梯形拼成一个平行四边形。
学生边动手演示，边说转化过程，见下图。
生2：我们小组是把梯形沿两底中点剪开，变成两个小梯形，再转化成平行四边形。
生3：我们取了两个相同的直角梯形，因此，拼成的图形是长方形。
三、探索、归纳梯形的面积计算公式
师：同学们介绍了各种方法，现在以第一种转化方法为例。梯形和转化后的平行四边形有什么联系？怎样推导其面积公式？
生1：梯形上、下底的和等于平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。
生2：梯形的面积是所拼平行四边形面积的一半。
生3：梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2。教师板书梯形的面积计算公式。
师：如果用S表示梯形的面积，用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，那么梯形的面积计算公式应怎样表示？
板书：S＝(a＋b)h÷2
学生在得出梯形的面积计算公式后，安排计算堤坝横截面的面积。
四、联系实际，巩固运用
1.出示“练一练”第1、2、3题，学生独立完成。
2.我们经常见到圆木、钢管等堆成下图的形状(“练一练”第5题)，求图中圆木的总根数，你们有几种解答方法？
五、课堂小结
师：谈谈你们这节课的收获和感想。
第5课时 探索活动：梯形的面积
梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2
S＝(a＋b)h÷2
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