北师大版九年级上册数学第四章测试题附答案

北师大版九年级上册数学第四章测试题附答案 ‎(满分：120分   考试时间：120分钟)‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎1．已知＝(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是( B )‎ A.＝ B．2a＝3b C.＝ D．3a＝2b ‎2．如图所示，把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180°，点D到了点F的位置，则S△ADE∶S▱BCFD是( A )‎ A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．1∶1‎ 第2题图第3题图第5题图 ‎3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，则不一定能判断△ABC∽△EDC的是( D )‎ A．∠CDE＝∠B B．∠DEC＝∠A C.＝ D.＝ ‎4．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4及x，那么x的值( B )‎ A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个 ‎5．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(2，0)，则点C的坐标为( A )‎ A．(2，2) B．(1，2) C．(，2) D．(2，1)‎ ‎6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t s，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为( B )‎ A. B．2 C．2 D．3‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．若＝＝(y≠n)，则＝ .‎ ‎8．如图，直线l1，l2，…，l6‎ 是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，C，E，F.若BC＝2，则EF的长是__5__．‎ 第8题图 第9题图第10题图 ‎ ‎ ‎9．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP.要使△ABP∽△ACB，则必须有∠ABP＝ ∠C 或∠APB＝ ∠ABC 或＝ .‎ ‎10．如图所示，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)．若△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为____．‎ ‎11．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为 10 米．‎ 第11题图     第12题图 ‎12．如图，AC⊥BC，AC＝BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE.若S△ACE＝，S△BDE＝，则AC＝ 2 .‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．如图，AB＝25，BC＝40，AC＝20，AE＝12，AD＝15，DE＝24.‎ ‎(1)判断△ABC与△AED是否相似；‎ ‎(2)若∠BAC＝100°，∠EAC＝70°，求∠CAD的度数．‎ 解：(1)∵＝，＝，＝，‎ ‎∴△ABC∽△ADE；‎ ‎(2)∵△ABC∽△ADE，‎ ‎∴∠DAE＝∠BAC＝100°，‎ 又∵∠EAC＝70°，∴∠CAD＝30°.‎ ‎14．如图，△ABC为等边三角形，DF⊥AB，EF⊥AC，求证：△BDF∽△CEF.‎ 证明：∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF＝∠CEF＝90 °.‎ ‎∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60 °.‎ ‎∵∠BDF＝∠CEF，∠B＝∠C，∴△BDF∽△CEF.‎ ‎15．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1.‎ ‎(1)求证：△ABD∽△CBA；‎ ‎(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．‎ ‎(1)证明：∵AB＝2，BC＝4，‎ BD＝1，∴＝，＝＝，‎ ‎∴＝，又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA.‎ ‎(2)解：△ABD∽△CDE，DE＝.‎ ‎16．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边的中点，AD，BE相交于点G，若S△GDE＝1，求S△ABC.‎ 解：∵点D，E分别是BC，AC的中点．‎ ‎∴DE∥AB，DE＝AB，∴△AGB∽△DGE，‎ ‎∴＝＝22＝4.‎ 又∵S△GDE＝1，∴S△ABG＝4.‎ ‎∵△AGE与△GDE同高，∴＝＝＝2，∴S△AGE＝2.‎ 同理可得S△GBD＝2，∴S四边形ABDE＝4＋2＋2＋1＝9.‎ ‎∵DE∥AB，∴△EDC∽△ABC.设S△ABC＝x，‎ 则＝，∴x＝12，∴S△ABC＝12.‎ ‎17．在如图所示的网格中，已知△ABC和点M(1，2)．‎ ‎(1)以点M为位似中心，位似比为2，在点M的同侧画出△ABC的位似图形△A′B′C′；‎ ‎(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．‎ 解：(1)如图；‎ ‎(2)A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．如图所示，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.‎ ‎(1)求证：△ADE≌△CFE；‎ ‎(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．‎ ‎(1)证明：∵AB∥FC，‎ ‎∴∠ADE＝∠CFE，∠EAD＝∠ECF.‎ 在△ADE和△CFE中，‎ ‎∠ADE＝∠CFE，DE＝FE，∠EAD＝∠ECF，‎ ‎∴△ADE≌△CFE；‎ ‎(2)解：∵AB∥FC，∴△GBD∽△GCF，∴＝.‎ ‎∵GB＝2，BC＝4，BD＝1，∴＝，∴CF＝3，‎ ‎∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝3.‎ ‎∴AB＝BD＋AD＝1＋3＝4.‎ ‎19．如图所示，四边形ABCD与四边形DEFG都是矩形，顶点F在BA的延长线上，边DG与AF交于点H，AD＝4，DH＝5，EF＝6，求FG的长．‎ 解：∵四边形ABCD和四边形DEFG为矩形，∴∠DAF＝∠DAB＝90°，∠G＝90°，DG＝EF.∵EF＝6，DH＝5，∴GH＝DG－DH＝EF－DH＝6－5＝1，在Rt△ADH中，AD＝4，∴AH＝＝＝3.‎ ‎∵∠G＝∠DAH＝90°，∠FHG＝∠DHA，∴△FGH∽△DAH，‎ ‎∴＝，∴FG＝＝＝.‎ ‎20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进．小虫P每秒走1 cm，小虫Q每秒走2 cm.请问：它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点的三角形相似？‎ 解：设它们同时出发了t秒时，△PBQ与△ABC相似，BP＝10－t，BQ＝2t.①∵∠B＝∠B，∴当＝时，△PBQ∽△ABC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴t＝5；‎ ‎②∵∠B＝∠B，∴当＝时，△PBQ∽△CBA，∴＝，‎ ‎∴t＝2.‎ 综上，它们同时出发了2秒或5秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点的三角形相似．‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．(陕西中考)某市在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．‎ 解：由题意得：∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，则＝，‎ ＝，即＝，＝，‎ 解得：AB＝99，‎ 答：“望月阁”的高AB的长度为99 m.‎ ‎22．如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC.(AB＞AE)‎ ‎(1)△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；‎ 解：相似．证明：延长FE与CD的延长线交于点G，在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠A＝∠EDG＝90°，∠AEF＝∠DEG，∴△AFE≌△DGE，∴∠AFE＝∠G，FE＝GE.又CE⊥FG，∴FC＝GC.‎ ‎∴∠EFC＝∠G.又∵∠AFE＝∠G.∴∠AFE＝∠EFC.又∵∠A＝∠CEF，∴△AEF∽△ECF.‎ ‎(2)设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：存在．①当∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△‎ AEF∽△BCF.证明：当＝时，＝，∴＝，∴∠ECG＝30°，∴∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°，∴∠BCF＝90°－∠ECF－∠ECG＝30°.又∵∠EAF＝∠CBF＝90°，∴△AEF∽△BCF.‎ ‎②∵EF不平行于BC，∴∠BCF≠∠AFE，∴不存在第二种相似的情况．‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4 cm，DC＝5 cm，AB＝8 cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1 cm/s.当P点到达C点时，两点同时停止运动．连接PQ，设运动时间为t s．解答下列问题：‎ ‎(1)当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？‎ ‎(2)当△PQB为等腰三角形时，求t的值．‎ 解：(1)作CE⊥AB于点E.‎ ‎∵CD∥AB，DA⊥AB，‎ ‎∴四边形AECD是矩形，‎ ‎∴AE＝CD＝5，CE＝AD＝4，‎ ‎∴BE＝AB－AE＝8－5＝3.‎ 在Rt△CBE中，BC＝＝＝5，‎ ‎∴t＝＝5(s)，即当t＝5 s，P，Q两点同时停止运动．‎ ‎(2)若BP＝BQ，则t＝8－t，∴t＝4 s.‎ 若QP＝QB，过Q作QM⊥BC于点M，则△QBM∽△CBE，‎ 则＝.则＝，t＝ s.‎ 若PQ＝PB，过P作PF⊥AB，交AB于点F，则△PFB∽△CEB，‎ 则＝.则＝，t＝ s.‎ 综合以上，当t等于4 s， s， s时，△PQB为等腰三角形．‎