湖北省2021年中考数学模拟试题含答案(二)

2021 年湖北初中学业水平考试模拟卷(二) (考试时间：120 分钟 满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 1．(2020·绥化)化简| 2 －3|的结果正确的是 ( D ) A． 2 －3 B．－ 2 －3 C． 2 ＋3 D．3－ 2 2．(2020·抚顺)一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆 放，若∠1＝20°，则∠2 的度数是 ( C ) A.15° B．20° C．25° D．40° 3．(2020·牡丹江)下列运算正确的是 ( D ) A．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2 B． a－1 2 2 ＝a2－1 4 C．－2(3a－1)＝－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)＝a2－9 4．(2020·菏泽)一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图 如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则 该几何体的主视图为 ( A ) A B C D 5．(2020·泸州)某语文教师调查了本班 10 名学生平均每天的课外阅 读时间，统计结果如下表所示： 课外阅读时间(小时) 0.5 1 1.5 2 人数 2 3 4 1 那么这 10 名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是 ( A ) A．1.2 和 1.5 B．1.2 和 4 C．1.25 和 1.5 D．1.25 和 4 6．如果 a－b＝2 3 ，那么代数式 a2＋b2 2a －b · a a－b 的值为 ( A ) A． 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3 7．(2020·徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝4 x (x>0)与 y＝x －1 的图象交于点 P(a，b)，则代数式1 a －1 b 的值为 ( C ) A．－1 2 B．1 2 C．－1 4 D．1 4 第 7 题图 第 8 题图 8．(2020·南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)， (3，3)，(1，3)，若抛物线 y＝ax2 的图象与正方形有公共顶点，则实 数 a 的取值范围是 ( A ) A．1 9 ≤a≤3 B．1 9 ≤a≤1 C．1 3 ≤a≤3 D．1 3 ≤a≤1 9．(2020·铜仁)如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交 于点 O，且 AC＝6，BD＝8，P 是对角线 BD 上任意一点，过点 P 作 EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点 E，F.设 BP＝x，EF＝y， 则能大致表示 y 与 x 之间关系的图象为 ( D ) A B C D 10．(2020·自贡)如图，在平行四边形 ABCD 中，AD＝2，AB＝ 6 ， ∠B 是锐角，AE⊥BC 于点 E，F 是 AB 的中点，连接 DF，EF，若 ∠EFD＝90°，则 AE 长为 ( B ) A.2 B． 5 C．3 2 2 D．3 3 2 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 11．(2020·江西)教育部近日发布了 2019 年全国教育经费执行情况统 计快报．经初步统计，2019 年全国教育经费总投入为 50 175 亿元， 比 上 年 增 长 8.74%. 将 50 175 亿 用 科 学 记 数 法 表 示 为 __5.071_5×1012__． 12．按照一定规律排列的 n 个数：－2，4，－8，16，－32，64，…， 若最后三个数的和为 768，则 n 为__10__． 13．(2020·泰安)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是 一块平地，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡 AB 长 26 m，斜坡 AB 的坡比 为 12 ∶5，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改 造，经地质人员勘测，当坡角不超过 50°时，可确保山体不滑坡．如 果改造时保持坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿 BC 至少向右移__10__m 时， 才能确保山体不滑坡．(取 tan 50°＝1.2) 14．(2020·上海)为了解某区六年级 8 400 名学生中会游泳的学生人 数，随机调查了其中 400 名学生，结果有 150 名学生会游泳，那么估 计该区会游泳的六年级学生人数约为__3_150 名__． 15．(2020·泰安)如图，点 O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点 A， D 在半圆上，且 AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点 D 作 DC⊥BE 于点 C，则阴影部分的面积是__64 3 π－8 3 __． 第 15 题图 第 16 题图 16．(2019·眉山)如图，反比例函数 y＝k x (x>0)的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M，分别交 AB，BC 于点 D，E.若四边形 ODBE 的面 积为 12，则 k 的值为__4__． 三、解答题(本大题共 8 小题，共 72 分) 17．(6 分)(2020·菏泽)计算： 2－1＋| 6 －3|＋2 3 sin 45°－(－2)2 020· 1 2 2 020 . 解：原式＝1 2 ＋(3－ 6 )＋2 3 · 2 2 －1 ＝5 2 . 18．(8 分)(2020·新疆)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，DE∥BF， 且分别交对角线 AC 于点 E，F，连接 BE，DF. (1)求证：AE＝CF； (2)若 BE＝DE，求证：四边形 EBFD 为菱形． (1)证明：∵BF∥DE， ∴∠BFE＝∠DEF， ∴∠BFC＝∠DEA. 又∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠DAE＝∠FCB.且 AD＝CB， ∴△AED≌△CFB(AAS)，∴AE＝CF. (2)∵△AED≌△CFB(AAS)，∴DE＝BF， ∵DE∥BF，∴四边形 EBFD 为平行四边形， 又∵BE＝DE，∴四边形 EBFD 为菱形． 19．(7 分)(2020·江西)某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌” 的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同 学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来 自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． (1)若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为______； (2)若随机抽取两名同学，请用列表法或画树状图法求两名同学均来 自八年级的概率． 解：(1)恰好抽取小艺同学的概率为1 4 . (2)将来自七年级的小贤、小艺两名同学记为 A，B，另外来自八年级 的小志、小晴两名同学记为 C，D. 画树状图如下： ∵共有 12 种等可能的情况，C，D 两名同学都被选中的情况有 2 种， ∴八年级两名同学都被选中的概率为 2 12 ＝1 6 . 20．(8 分)(2020·绥化)如图，在边长均为 1 个单位长度的小正方形组 成的网格中，点 A，点 B，点 O 均为格点(每个小正方形的顶点叫做 格点). (1)作点 A 关于点 O 的对称点 A1； (2)连接 A，B，将线段 A1B 绕点 A1 顺时针旋转 90°得点 B 对应点 B1， 画出旋转后的线段 A1B1； (3)连接 AB1，求出四边形 ABA1B1 的面积． 解：(1)如图所示．作出点 A 关于点 O 的对称点 A1. (2)连接 A1B，画出线段 A1B1. (3)连接 BB1，过点 A 作 AE⊥BB1 于点 E， 过点 A1 作 A1F⊥BB1 于点 F， S 四边形 ABA1B1＝S△ABB1＋S△A1BB1＝1 2 BB1·AE＋1 2 BB1·A1F ＝1 2 ×8×2＋1 2 ×8×4＝24. ∴四边形 ABA1B1 的面积是 24. 21．(10 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0. (1)求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若 x1，x2 是原方程的两根，且|x1－x2|＝2 2 ，求 m 的值，并求出 此时方程的根． (1)证明：∵Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4. ∵无论 m 取何值时，(m＋1)2＋4 的值恒大于 0， ∴原方程总有两个不相等的实数根． (2)解：∵x1，x2 是原方程的两根， ∴x1＋x2＝－(m＋3)，x1x2＝m＋1. ∵|x1－x2|＝2 2 ，∴(x1－x2)2＝(2 2 )2， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝8， ∴[－(m＋3)]2－4(m＋1)＝8， ∴m2＋2m－3＝0，解得 m1＝－3，m2＝1. 当 m＝－3 时，原方程化为 x2－2＝0， 解得 x1＝ 2 ，x2＝－ 2 . 当 m＝1 时，原方程化为 x2＋4x＋2＝0， 解得 x1＝－2＋ 2 ，x2＝－2－ 2 . 22．(10 分)(2020·新疆)某超市销售 A，B 两款保温杯，已知 B 款保 温杯的销售单价比 A 款保温杯多 10 元，用 480 元购买 B 款保温杯的 数量与用 360 元购买 A 款保温杯的数量相同． (1)A，B 两款保温杯的销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，A，B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进 这两款保温杯共 120 个，且 A 款保温杯的数量不少于 B 款保温杯数 量的两倍，若 A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降 低 10%，两款保温杯的进价每个均为 20 元，应如何进货才能使这批 保温杯的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)设 A 款保温杯的销售单价为 x 元，则 B 款保温杯的销售单价 为(x＋10)元， 由题意可得360 x ＝ 480 x＋10 ，解得 x＝30. 经检验，x＝30 是原方程的解，且符合题意． 答：A 款保温杯的销售单价为 30 元，B 款保温杯的销售单价为 40 元． (2) 设该超市计划再次购进 B 款保温杯 a 个， 则购进 A 款保温杯(120－a)个，销售利润为 w 元， 由题意可得 a≥0 且 120－a≥2a， ∴0≤a≤40. ∴w＝(30－20)(120－a)＋[40(1－10%)－20]a ＝6a＋1 200(0≤a≤40). ∵6>0， ∴w 随着 a 的增大而增大， ∴当 a＝40 时，w 有最大值，此时最大利润为 1 440 元． 120－40＝80(个). 答：应进货 A 款保温杯 80 个，B 款保温杯 40 个才能使这批保温杯的 销售利润最大，且最大利润为 1 440 元． 23．(10 分)(2020·遂宁)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 AB 边上的一点，以 AD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F， 过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 于点 G，交 AE 于点 H，过点 E 的弦 EP 交 AB 于点 Q(EP 不是直径)，点 Q 为弦 EP 的中点，连接 BP，BP 恰好 为⊙O 的切线． (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)求证： EF ＝ ED . (3)若 sin ∠ABC＝3 5 ，AC＝15，求四边形 CHQE 的面积． (1)证明：连接 OE，OP， ∵PE⊥AB，点 Q 为弦 EP 的中点， ∴AB 垂直平分 EP， ∴PB＝BE， ∵OE＝OP，OB＝OB，∴△BEO≌△BPO(SSS)， ∴∠BEO＝∠BPO， ∵BP 为⊙O 的切线，∴∠BPO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴OE⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线． (2)证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠OEA. ∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO，∴ EF ＝ ED . (3)解：∵AD 为⊙O 的直径，点 Q 为弦 EP 的中点， ∴EP⊥AB. ∵CG⊥AB，∴CG∥EP. 由(2)可知∠CAE＝∠EAO， ∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE， ∴△ACE≌△AQE(AAS). ∴CE＝QE， ∵∠AEC＋∠CAE＝∠EAQ＋∠AHG＝90°， ∴∠CEH＝∠AHG， ∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH， ∴CH＝CE，∴CH＝EQ， ∴四边形 CHQE 是平行四边形． ∵CH＝CE，∴四边形 CHQE 是菱形． ∵sin ∠ABC＝sin ∠ACG＝AG AC ＝3 5 ， 且 AC＝15，∴AG＝9， ∴CG＝ AC2－AG2 ＝12. ∵△ACE≌△AQE，∴AQ＝AC＝15，∴QG＝6. ∵HQ2＝HG2＋QG2，∴HQ2＝(12－HQ)2＋62， 解得 HQ＝15 2 ，∴CH＝HQ＝15 2 ， ∴四边形 CHQE 的面积＝CH·GQ＝15 2 ×6＝45. 24．(13 分)(2020·滨州)如图，抛物线的顶点为 A(h，－1)，与 y 轴 交于点 B 0，－1 2 ，点 F(2，1)为其对称轴上的一个定点． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)已知直线 l 是过点 C(0，－3)且垂直于 y 轴的定直线，若抛物线上 的任意一点 P(m，n)到直线 l 的距离为 d，求证：PF＝d； (3)已知坐标平面内的点 D(4，3)，请在抛物线上找一点 Q，使△DFQ 的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点 Q 的坐标． (1)解：设抛物线的函数解析式为 y＝a(x－h)2＋k， 由题意，抛物线的顶点为 A(2，－1)， ∴y＝a(x－2)2－1. 又∵抛物线与 y 轴交于点 B 0，－1 2 ， ∴－1 2 ＝a(0－2)2－1，∴a＝1 8 ， ∴抛物线的函数解析式为 y＝1 8 (x－2)2－1. (2)证明：过点 P 作 PM 垂直于对称轴 x＝2 于点 M，连接 PF. 在 Rt△PFM 中，PM＝|m－2|，FM＝|n－1|， 由勾股定理可得 PF＝ （m－2）2＋（n－1）2 . ∵点 P(m，n)在抛物线 y＝1 8 (x－2)2－1 上， ∴n＝1 8 (m－2)2－1， ∴8n＝(m－2)2－8，8n＋8＝(m－2)2. ∴PF＝ 8n＋8＋（n－1）2 ＝ 8n＋8＋n2－2n＋1 ＝ n2＋6n＋9 ＝ （n＋3）2 . ∵n≥－1，∴n＋3≥2>0，∴PF＝n＋3. 又∵d＝n－(－3)＝n＋3.∴PF＝d. (3)解：作 DG⊥l 于点 G，交抛物线于点 Q，则由(2)可知点 Q 即为 所求，此时△DFQ 的周长最小． 由(2)可知，QF＝QG， ∴DQ＋QF＝DQ＋QG＝DG. 又∵连接直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短， ∴△DFQ 周长的最小值为 DF＋DQ＋FQ＝DF＋DG. 又∵DF＝ （4－2）2＋（3－1）2 ＝2 2 ， DG＝3－(－3)＝6， ∴△DFQ 周长的最小值为 2 2 ＋6， 此时点 Q 的横坐标为 4，纵坐标为 y＝1 8 ×(4－2)2－1＝－1 2 ， 即点 Q 的坐标为 4，－1 2 .