2021年湖南省中考数学模拟试题含答案（三）

2021 年湖南初中学业水平考试 数学模拟卷(三) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分) 1．(2020·绥化)化简| 2 －3|的结果正确的是 ( D ) A． 2 －3 B．－ 2 －3 C． 2 ＋3 D．3－ 2 2．(2020·长沙)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的 是 ( B ) 3．(2020·娄底)2020 年中央财政下达义务教育补助经费 1 695.9 亿 元，比上年增长 8.3%.其中 1 695.9 亿元用科学记数法表示为( D ) A．16.959×1010 B．1 695.9×108 C．1.695 9×1010 D．1.695 9×1011 4．(2020·牡丹江)下列运算正确的是 ( D ) A．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2 B． a－1 2 2 ＝a2－1 4 C．－2(3a－1)＝－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)＝a2－9 5．(2020·南充)八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七 次射击成绩依次为(单位：环)：4，5，6，6，6，7，8.则下列说法错 误的是 ( D ) A．该组成绩的众数是 6 环 B．该组成绩的中位数是 6 环 C．该组成绩的平均数是 6 环 D．该组成绩数据的方差是 10 6．平面直角坐标系中，已知点 A(2，2)，B(4，0).若在坐标轴上取 点 C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是 ( A ) A．5 B．6 C．7 D．8 7．(2020·襄阳)已知四边形 ABCD 是平行四边形，AC，BD 相交于点 O， 下列结论错误的是 ( B ) A．OA＝OC，OB＝OD B．当 AB＝CD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当∠ABC＝90°时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC＝BD 且 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形 8．如图，空心卷筒纸的高度为 12 cm，外径(直径)为 10 cm，内径为 4 cm，在比例尺为 1∶4 的三视图中，其主视图的面积是 ( D ) A.21π 4 cm2 B．21π 16 cm2 C．30 cm2 D．7.5 cm2 9．(2019·巴中)如图，▱ ABCD 中，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE∶AD＝1∶3，连接 EF 交 DC 于点 G，则 S△DEG∶S△CFG＝ ( D ) A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D．4∶9 第 9 题图 第 10 题图 10．(2018·河池)如图，等边△ABC 的边长为 2，⊙A 的半径为 1，D 是 BC 上的动点，DE 与⊙A 相切于点 E，则 DE 的最小值是 ( B ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分) 11．下列因式分解：①a2－3a＋5＝a(a－3)＋5；②x3－4x＝x(x2－4)； ③x2 －2x＋4＝(x－2)2 ；④x2 ＋x＋1 4 ＝ x＋1 2 2 .正确的有__④ __．(填序号) 12．分式方程 4 x2－4x － 1 x－4 ＝1 的解为__x＝－1__． 13．若 y＝ x－1 2 ＋ 1 2－x －6，则 xy＝__－3__． 14．若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0 有实数根，则实数 m 的 取值范围是__m≤1__． 15．(2020·上海)为了解某区六年级 8 400 名学生中会游泳的学生人 数，随机调查了其中 400 名学生，结果有 150 名学生会游泳，那么估 计该区会游泳的六年级学生人数约为__3_150__名． 16．(2020·泰安)如图，点 O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点 A， D 在半圆上，且 AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点 D 作 DC⊥BE 于 点 C，则阴影部分的面积是__64 3 π－8 3 __． 第 16 题图 第 17 题图 17．(2019·眉山)如图，反比例函数 y＝k x (x>0)的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M，分别交 AB，BC 于点 D，E.若四边形 ODBE 的面积为 12，则 k 的值为__4__． 18．将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行，第 4 列 的数是 12，则位于第 45 行，第 6 列的数是__2_020__． 三、解答题(本大题共 8 小题，共 78 分) 19．(8 分)解不等式组 1 2（x＋1）≤2， x＋2 2 ≥x＋3 3 ， 并求出不等式组的整数解之 和． 解：解不等式1 2 (x＋1)≤2，得 x≤3， 解不等式x＋2 2 ≥x＋3 3 ，得 x≥0， 则不等式组的解集为 0≤x≤3， ∴不等式组的整数解之和为 0＋1＋2＋3＝6. 20．(8 分)先化简，再求值： x＋2 x－2－ x2－2x x2－4x＋4 ÷x－4 x－2 ，其中 x＝4tan 45°＋2cos 30°. 解：原式＝ x＋2 x－2－x（x－2） （x－2）2 ÷x－4 x－2 ＝ 2 x－2 ·x－2 x－4 ＝ 2 x－4 . 当 x＝4tan 45°＋2cos 30°＝4×1＋2× 3 2 ＝4＋ 3 时， 原式＝ 2 4＋ 3－4 ＝2 3 3 . 21．(8 分)(2020·绥化)如图，热气球位于观测塔 P 的北偏西 50°方 向，距离观测塔 100 km 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到 达位于观测塔 P 的南偏西 37°方向的 B 处，这时，B 处距离观测塔 P 有多远？(结果保留整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈0.75，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50° ≈1.19) 解：由已知，得∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100. 在 Rt△PAC 中， ∵sin A＝PC PA ， ∴PC＝PA·sin 50°≈77(km). 在 Rt△PBC 中， ∵sin B＝PC PB ， ∴PB＝ PC sin 37° ≈128(km). 答：这时，B 处距离观测塔约 128km. 22．(10 分)大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨， 每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生 产 6 天后剩余原材料 36 吨，当生产 10 天后剩余原材料 30 吨．若剩 余原材料数量小于或等于 3 吨，则需补充原材料以保证正常生产． (1)求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数； (2)若生产 16 天后，根据市场需求每天产量提高 20%，则最多再生产 多少天后必须补充原材料？ 解：(1)设初期购得原材料 a 吨，每天所耗费的原材料为 b 吨，根据 题意得 a－6b＝36， a－10b＝30， 解得 a＝45， b＝1.5. 答：初期购得的原材料为 45 吨，每天所耗费的原材料为 1.5 吨． (2)设再生产 x 天后必须补充原材料，依题意得 45－16×1.5－1.5(1＋20%)x≥3， 解得 x≤10. 答：最多再生产 10 天后必须补充原材料． 23．(10 分)(2020·鄂尔多斯)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB， 垂足为 H，连接 AC.过 BD 上一点 E 作 EG∥AC 交 CD 的延长线于点 G， 连接 AE 交 CD 于点 F，且 EG＝FG. (1)求证：EG 是⊙O 的切线； (2)延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若 AH＝2，CH＝2 2 ，求 OM 的长． (1)证明：连接 OE， ∵GE＝GF， ∴∠GEF＝∠GFE， 而∠GFE＝∠AFH， ∴∠GEF＝∠AFH， ∵AB⊥CD， ∴∠OAF＋∠AFH＝90°，∴∠GEA＋∠OAF＝90°， ∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAF， ∴∠GEA＋∠OEA＝90°，即∠GEO＝90°， ∴OE⊥GE，∴EG 是⊙O 的切线． (2)解：连接 OC， 设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r，OH＝r－2， 在 Rt△OCH 中，(r－2)2＋(2 2 )2＝r2，解得 r＝3， 在 Rt△ACH 中，AC＝ （2 2）2＋22 ＝2 3 ， ∵AC∥GE，∴∠M＝∠CAH， ∴Rt△OEM∽Rt△CHA， ∴OM AC ＝OE CH ，即 OM 2 3 ＝ 3 2 2 ，∴OM＝3 6 2 . 24．(10 分)为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间 抽取一件产品，并测量其尺寸．在一天的抽检结束后，检测员将测得 的 15 个数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 尺寸/cm 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 ⑧ ⑨ ⑩ ○11 ⑪ ○12 ⑫ ○13 ⑬ ○14 ⑭ ○15 ⑮ 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b 按照生产标准，产品等次规定如下： 尺寸/cm 产品等次 8.97≤x≤9.03 特等品 8.95≤x≤9.05 优等品 8.90≤x≤9.10 合格品 x9.10 非合格品 注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时， 将优等品(含特等品)计算在内． (1)已知此次抽检的合格率为 80%，请判断编号为⑮的产品是否为合 格品，并说明理由． (2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为 9 cm.①求 a 的值；② 将这些优等品分成两组，一组尺寸大于 9 cm，另一组尺寸不大于 9 cm， 从这两组中各随机抽取 1 件进行复检，求抽取到的 2 件产品都是特等 品的概率． 解：(1)∵抽检的合格率为 80%，∴合格品有 15×80%＝12(个)，∴非 合格品有 3 个．而从编号①至编号⑭对应的产品中，只有编号①与编 号②对应的产品为非合格品，∴编号为⑮的产品不是合格品． (2)①从编号⑥到编号⑪对应的 6 个产品为优等品，中间两个产品的 尺寸数据分别为 8.98 和 a，8.98＋a 2 ＝9，∴a＝9.02. ②在优等品当中，编号⑥，⑦，⑧对应的产品尺寸不大于 9 cm，分 别记为 A1，A2，A3；编号⑨，⑩，⑪对应的产品尺寸大于 9 cm，分别 记为 B1，B2，B3，其中的特等品为 A2，A3，B1，B2.根据题意列表如下： B1 B2 B3 A1 (A1，B1) (A1，B2) (A1，B3) A2 (A2，B1) (A2，B2) (A2，B3) A3 (A3，B1) (A3，B2) (A3，B3) ∵由上表可知共有 9 种等可能的结果，其中 2 件产品都是特等品的结 果有 4 种，∴抽取到的 2 件产品都是特等品的概率为4 9 . 25．(12 分)(2020·滨州)如图，抛物线的顶点为 A(h，－1)，与 y 轴 交于点 B 0，－1 2 ，点 F(2，1)为其对称轴上的一个定点． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)已知直线 l 是过点 C(0，－3)且垂直于 y 轴的定直线，若抛物线 上的任意一点 P(m，n)到直线 l 的距离为 d，求证：PF＝d； (3)已知坐标平面内的点 D(4，3)，请在抛物线上找一点 Q，使△DFQ 的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点 Q 的坐标． (1)解：设抛物线的函数解析式为 y＝a(x－h)2＋k， 由题意，抛物线的顶点为 A(2，－1)， ∴y＝a(x－2)2－1. 又∵抛物线与 y 轴交于点 B 0，－1 2 ， ∴－1 2 ＝a(0－2)2－1，∴a＝1 8 ， ∴抛物线的函数解析式为 y＝1 8 (x－2)2－1. (2)证明：过点 P 作 PM 垂直于对称轴 x＝2 于点 M，连接 PF. 在 Rt△PFM 中，PM＝|m－2|，FM＝|n－1|， 由勾股定理可得 PF＝ （m－2）2＋（n－1）2 . ∵点 P(m，n)在抛物线 y＝1 8 (x－2)2－1 上， ∴n＝1 8 (m－2)2－1， ∴8n＝(m－2)2－8，8n＋8＝(m－2)2. ∴PF＝ 8n＋8＋（n－1）2 ＝ 8n＋8＋n2－2n＋1 ＝ n2＋6n＋9 ＝ （n＋3）2 . ∵n≥－1，∴n＋3≥2>0，∴PF＝n＋3. 又∵d＝n－(－3)＝n＋3.∴PF＝d. (3)解：作 DG⊥l 于点 G，交抛物线于点 Q，则由(2)可知点 Q 即为所 求，此时△DFQ 的周长最小． 由(2)可知，QF＝QG， ∴DQ＋QF＝DQ＋QG＝DG. 又∵连接直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短， ∴△DFQ 周长的最小值为 DF＋DQ＋FQ＝DF＋DG. 又∵DF＝ （4－2）2＋（3－1）2 ＝2 2 ， DG＝3－(－3)＝6， ∴△DFQ 周长的最小值为 2 2 ＋6， 此时点 Q 的横坐标为 4，纵坐标为 y＝1 8 ×(4－2)2－1＝－1 2 ， 即点 Q 的坐标为 4，－1 2 . 26．(12 分)已知矩形 ABCD 中，AB＝5 cm，点 P 为对角线 AC 上的一 点，且 AP＝2 5 cm.如图①，动点 M 从点 A 出发，在矩形边上沿 A →B→C 匀速运动(不包含点 C).设动点 M 的运动时间为 t(s)，△APM 的面积为 S(cm2) ，S 关于 t 的函数图象如图②所示．(假设当点 M 与 点 A 重合时，S＝0) (1)动点 M 的运动速度为________cm/s，BC 的长度为________cm； (2)如图③，动点 M 重新从点 A 出发，在矩形边上按原来的速度和路 线匀速运动，同时，另一个动点 N 从点 D 出发，在矩形边上沿 D→C →B 匀速运动，设动点 N 的运动速度为 v(cm/s).已知两动点 M，N 经 过时间 x(s)后在线段 BC 上相遇(不包含点 C)，动点 M，N 相遇后立即 同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为 S1(cm2) ，S2(cm2) . ①求动点 N 的运动速度 v 的取值范围； ②试探究 S1·S2 是否存在最大值．若存在，求出 S1·S2 的最大值并确 定运动时间 x 的值；若不存在，请说明理由． ① ② ③ 解：(1)2；10. (2)①∵动点 M，N 相遇后停止运动， ∴动点 M 和动点 N 运动的距离之和为 AB＋BC＋DC＝20(cm). 又∵动点 M，N 的运动速度分别是 2 cm/s，v cm/s，且两个动点的运 动时间均为 x s，∴2x＋xv＝20，∴v＋2＝20 x . ∵动点 M，N 在线段 BC 上相遇(不包含点 C)， ∴5≤2x