考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（6）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合 { | 2 1}A y y x ， { | (3 4)( 1) 0}B x x x ，则 ( ) (RA B ð )
A．[0 ， 4]3 B． 1[2
， 4]3 C．[0 ， 4)3 D． 1[2
， 4)3
2．设复数 1
1
iz i
，那么在复平面内复数 3 1z 对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．采购经理指数 ( )PMI ，是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指
数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用
的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．如图为国家统计局所
做的我国 2019 年 12 月及 2020 年1~12 月份的采购经理指数 ( )PMI 的折线图，若 PMI 指数
为 50% ，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的 ( )
A．2020 年 1 至 12 月的 PMI 指数的最大值出现在 2020 年 3 月份
B．2020 年 1 至 12 月的 PMI 指数的中位数为 51.0%
C．2020 年 1 至 3 月的 PMI 指数的平均数为 49.9%
D．2020 年 1 月至 3 月的月 PMI 指数相对 10 月至 12 月，波动性更大
4．下列对不等关系的判断，正确的是 ( )
A．若 1 1
a b
，则 3 3a b B．若 2 2
| | | |a b
a b
，则 2 2a b
C．若 2 2lna lnb ，则 | | | |2 2a b D．若 tan tana b ，则 a b
5．如果等比数列{ }na 的前 n 项和 12n
nS a ，则常数 (a )
A． 1 B．1 C． 2 D．2
6．函数 ( ) 2 cos2f x x x 的图象在点 5(12
， 5( ))12f 处的切线方程为 ( )
A． 5 3 012 2x y B． 5 3 012 2x y
C． 5 3 012 2x y D． 5 3 04 2x y
7．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 1sin cos sin cos 3a A C c A A c ，
3 2a c ，则锐角 B 的值为 ( )
A．
12
B．
6
C．
4
D．
3
8．已知 2 2( ) (12 7 10 ) ( )f x x ax a ln x a 的值域为[0 ， ) ，则实数 (a )
A．4 或 0 B．4 或 3
5
C．0 或 3
5
D．2 或 3
5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的对 2 分，有选错的得 0 分。
9．2020 年 3 月 15 日，某市物价部门对 5 家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，
5 家商场的售价 x （元 ) 和销售量 y （件 ) 之间的一组数据如表所示：
价格 x 9 9.5 10 10.5 11
销售量 y 11 10 8 6 5
按公式计算， y 与 x 的回归直线方程是： ˆ ˆ3.2y x a ，相关系数| | 0.986r ，则下列说法正
确的有 ( )
A．变量 x ， y 线性负相关且相关性较强
B． ˆ 40a
C．当 8.5x 时， y 的估计值为 12.8
D．相应于点 (10.5,6) 的残差约为 0.4
10．设函数 ( ) sin(2 )3f x x ，则下列结论正确的是 ( )
A． ( )f x 的一个周期为 4
B． ( )y f x 的图象关于直线 7
12x 对称
C．函数 ( )f x 向左平移
12
后所得函数为奇函数
D． ( )f x 在区间 7(12
，13 )12
上单调递增
11．已知直线 : 0l kx y 与圆 2 2: 2 2 1 0M x y x y ，则下列说法中正确的是 ( )
A．直线l 与圆 M 一定相交
B．若 0k ，则直线 l 与圆 M 相切
C．当 1k 时，直线 1 与圆 M 的相交弦最长
D．圆心 M 到直线l 的距离的最大值为 2
12．若非负实数 a ， b ， c 满足 1a b c ，则下列说法中一定正确的有 ( )
A． 2 2 2a b c 的最小值为 1
3 B． ( )a b c 的最大值为 2
9
C． ac bc ca 的最大值为 1
3 D． a b b c 的最大值为 4
9
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．在 12
2021
1(1 )x x
的展开式中， 2x 项的系数为 ．
14．已知向量满足| | | | 1a b ， 3( ) 2a a b ，则 a ， b ．
15．设直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是 40 10
3
，
1AB AC AA ， 120BAC ，则此直三棱柱的高是 ．
16．双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，直线l 过 1F 与 C 的左支
和右支分别交于 A ，B 两点，若 x 轴上存在点 Q 满足 23QB F A ， 2 2QBF ABF ，则 C 的
渐近线方程为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列{ }na 是等差数列， nS 是数列{ }na 的前 n 项和， 3 5a ， 7 49S ．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）数列{ }nb 满足 1 1( 1)n
n n n nb S S a ，求数列{ }nb 的前 2n 项和 2nT ．
18．在 ABC 中，已知 2sin sin( ) sin6B C A ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 4AB ， ABC 的面积为 3 ，求 sin 2A 的值．
19．如图， ABCD 为矩形，点 A 、 E 、 B 、 F 共面，且 ABE 和 ABF 均为等腰直角三角
形，且 90BAE AFB ．
（Ⅰ）若平面 ABCD 平面 AEBF ，证明平面 BCF 平面 ADF ；
（Ⅱ）问在线段 EC 上是否存在一点 G ，使得 / /BG 平面 CDF ，若存在，求出此时三棱锥
G ABE 与三棱锥 G ADF 的体积之比．
20．针对国内天然气供应紧张问题，某市打响了节约能源的攻坚战．某研究人员为了了解天
然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，数据资料见表1:
表1:
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份代码 x 1 2 3 4 5
天然气需求量 /y 亿立方
米
24 25 26 28 29
（Ⅰ）已知这 5 年的年度天然气需求量 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型拟合，求 y 与 x
的线性回归方程，并预测 2021 年该地区的天然气需求量；
（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，根据续航里程的不同，将
补贴金额划分为三类， A 类：每车补贴 1 万元； B 类：每车补贴 2 万元；C 类：每车补贴 3
万元．某出租车公司对该公司 120 辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如表 2:
表 2:
类型 A 类 B 类 C 类
车辆数目 20 40 60
为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的
补贴情况，在该出租公司的 120 辆车中抽取 6 辆车作为样本，再从 6 辆车中抽取 2 辆车进一
步跟踪调查．若抽取的两辆车享受的补贴金额之和记为 ，求 的分布列及期望．
参考公式： 1 1
2 2 2
1 1
( )( )
ˆ
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
， ˆˆa y bx ．
21．已知函数 1( ) af x x alnxx
， a R ．
（1）求 ( )f x 的单调性；
（2）若 0a ，且 ( )f x 的最小值小于 4 2 3ln ，求 a 的取值范围．
22．已知点 M 是抛物线 2
1
1: 4C y x 的准线上的任意一点，过点 M 作 1C 的两条切线 MP ，
MQ ，其中 P ， Q 为切点．
（1）证明：直线 PQ 过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线 PQ 交椭圆
2 2
2 : 14 5
x yC 于 A ， B 两点，求 | |
| |
PQ
AB 的最小值．
22．已知函数 ( ) ( , )bf x lnx a a R b Rx
有最小值 M ，且 0M
．
（Ⅰ）求 1 1ae b 的最大值；
（Ⅱ）当 1 1ae b 取得最大值时，设 F （b） 1 ( )a m m Rb
， ( )F x 有两个零点为 1x ，
2 1 2( )x x x ，证明： 2 3
1 2x x e ．
考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（6）答案
1．解： 4{ | 0}, { | 1 }3A y y B x x x 或
，
4{ | 1 }3R B x x ð ， 4( ) [0, ]3RA B ð ．
故选： A ．
2．解：复数
21 (1 ) 2
1 (1 )(1 ) 2
i i iz ii i i
，
那么在复平面内复数 3 1 1 3z i 对应的点 ( 1, 3) 位于第三象限，
故选： C ．
3．解：根据折线图可得，2020 年1~12 月的 PMI 指数的最大值出现在 2020 年 11 月，故 A
错误；
根据中位数的定义，将 2020 年1~12 月的 PMI 指数按从小到大的顺序排列后，可知排在第
五和第六位的两个数据的平均数即为中位数，即可得中位数为 50.9 51.0 50.95%2
，故 B 错
误；
根 据 平 均 数 的 定 义 ， 可 求 得 2020 年 1~ 3 月 的 PMI 指 数 的 平 均 数 为
50.0 35.7 52.0 45.9%3
，故 C 错误；
根据图中折线可得，2020 年 1 月至 3 月的 PMI 指数相对 10 月至 12 月，波动性更大，故 D
正确．
故选： D ．
4．解： 1 1
a b
时，得不出 3 3a b ，比如 1a ， 1b ， A 错误；
2 2
| | | |a b
a b
得出 1 1
| | | |a b
， 0 | | | |a b ，得不出 2 2a b ，比如， 3a ， 4b ， B 错误；
由 2 2lna lnb 得，| | | | 0a b ， | | | |2 2a b ， C 正确；
tan tana b 得不出 a b ，比如 ,3 6a b ， D 错误．
故选： C ．
5．解：等比数列{ }na 的前 n 项和 12n
nS a ，
2
1 1 2 4a S a a ，
3 2
2 2 1 2 2 4a S S a a ，
4 3
3 3 2 2 2 8a S S a a ，
1a ， 2a ， 3a 成等比数列，
24 (4 ) 8a ，
解得常数 2a ．
故选： C ．
6．解： ( ) 2 cos2f x x x 的导数为 ( ) 2 2sin 2f x x ，
可得图象在点 5(12
， 5( ))12f 处的切线的斜率为 52 2sin 16
，
切点为 5(12
， 5 3 )6 2
，
则切线的方程为 5 3 5( )6 2 12y x ，
即为 5 3 012 2x y ．
故选： A ．
7．解：因为 1sin cos sin cos 3a A C c A A c ，
所以 3 sin cos 3 sin cosa A C c A A c ，
又 3 2a c ，可得 3sin 2sinA C ，
所以 2 sin cos 3 sin cosc A C c A A c ，即 2sin cos 3sin cos 1A C A A ，
可得 2sin cos 2sin cos 2sin( ) 2sin 1A C C A A C B ，可得 1sin 2B ，
因为 B 为锐角，
所以
6B ．
故选： B ．
8．解： 2 2( ) (12 7 10 ) ( ) (3 2 ) (4 5 ) ( )f x x ax a ln x a x a x a ln x a ，
由 ( ) 0f x ，可得 2
3
ax ，或 5
4
ax ，或 1x a ，
它的定义域为 ( , )a ，值域为[0 ， ) ，
若 0a ，则 2( ) 12f x x lnx ，则函数的值域为 ( , ) ，不满足条件．
若 0a ，则根据函数的定义域为 ( , )a ，此时，函数 ( )f x 的零点为 5
4x a ， 1x a ，
故 5 14
a a ，求得 4a ；
若 0a ，则函数的定义域为 ( , )a ，此时函数 ( )f x 的零点为 2
3
ax ， 1x a ，
故 2 13
a a ， 3
5a ．
综上 3
5a ，或 4a ，
故选： B ．
9．解：对 A ，由表可知 y 随 x 增大而减少，可认为变量 x ， y 线性负相关，且相关性强，
故 A 正确．
对 B ，价格平均 10，销售量 8．故回归直线恒过定点 (10,8) ，故 ˆ 8 3.2 10 40a ，故 B 正
确．
对 C ，当 8.5x 时， 3.2 8.5 40 12.8y ，故 C 正确．
对 D ，相应于点 (10.5,6) 的残差约为 ˆ 6 ( 3.2 10.5 40) 0.4e ，故 D 不正确．
故选： ABC ．
10．解：函数 ( ) sin(2 )3f x x ，
对于 A ：函数的最小正周期为 ，所以 4 也为函数的周期，故 A 正确；
对于 B ：当 7
12x 时， 7 3( ) sin 112 2f ，故 B 正确；
对于 C ：函数 ( )f x 的图象向左平移
12
，得到 ( ) sin(2 ) cos22g x x x 的图象，故函数 ( )g x
为偶函数，故 C 错误；
对于 D ：当 7(12x ，13 )12
时， 3 52 ( , )3 2 2x ，故函数在该区间上单调递增，故 D 正确．
故选： ABD ．
11．解：由 2 2 2 2 1 0x y x y ，得 2 2( 1) ( 1) 1x y ，
直线 : 0l kx y 过原点 O ，且不与 y 轴重合，
当 0k 时，直线 l 与圆 M 相离，故 A 错误；
若 0k ，则直线 l 与圆 M 相切，故 B 正确；
当 1k 时，直线 1 过圆心 M ，直线 l 与圆 M 的相交弦最长，故 C 正确；
当 1k 时，圆心 M 到直线 l 的距离取最大值为 2 ，故 D 正确．
故选： BCD ．
12．解：因为 2 2 2a b c ab ac bc
，当且仅当 a b c 时取等号，
所以 2 2 22 2 2 2 2 2a b c ab ac bc
，
所以 2 2 2 23 3 3 ( ) 1a b c a b c
，
故 2 2 2a b c 的最小值 1
3
， A 正确；
因为 21 1( ) (1 ) ( )2 4
c ca b c c c ，当且仅当1 c c ，即 1
2c 时取等号，
即 ( )a b c 的最大值 1
4
， B 正确；
同 A ， 21 ( ) 3 3 3a b c ac bc ca
，
所以 1
3ab ac bc ，当且仅当 a b b 时取等号， C 正确；
令 b x ， c y ，
所 以
2 3
2 2 2 3 3 3(1 ) (1 ) ( ) 4 4
x xa b b c b c b b c x y x y x x xy x y x x x x
，
令
33( ) 4
xf x x ， 0 1x ，
则
29( ) 1 4
xf x ，
易得，当 20 3x 时， ( ) 0f x ，函数单调递增，当 2 13 x 时， ( ) 0f x ，函数单调递减，
故 2 4( ) ( )3 9f x f ， D 正确．
故选： ACD ．
13．解：在 12
2021
1(1 )x x
的表示 12 个因式 2021
1(1 )x x
的乘积，
故有 2 个因式取 x ，其余的 10 个因式都取 1，可得展开式中，含 2x 项，
故含 2x 项的系数为 2 10
12 10 66C C ，
故答案为：66．
14．解： | | | | 1a b ，且 3( ) 2a a b ，
2 3
2a a b ，即 3 112 2a b ，
则
1
12cos , 1 1 2| || |
a ba b
a b
，
又 a ， [0b ， ] ， a ，
3b ．
故答案为：
3
．
15．解：设 1 2AB AC AA m ． 120BAC ， 30ACB ，
于是 2 2 (sin30
m r r 是 ABC 外接圆的半径）， 2r m ．
又球心到平面 ABC 的距离等于侧棱长 1AA 的一半，
球的半径为 2 2(2 ) 5m m m ．
球的表面积为 34 40 10( 5 )3 3m ，
解得 2m ．
于是直三棱柱的高是 1 2 2 2AA m ．
故答案为： 2 2 ．
16．解：如图所示，由题意可得 1 2| | 2F F c ，
因为 2
1
3F A QB ，所以△ 1 2F AF ∽△ 1F BQ ，
所以 2| | 4F Q c ，设 2| |AF m ，则| | 3BQ m ，
由角平分线的性质定理可得，因为 2BF 平分 1F BQ ，
所以 1 1 2
2
| | | | 2 1
| | | | 4 2
BF F F c
BQ F Q c
，
所以 1
3| | 2
mBF ， 1 1
1| | | |3 2
mAF BF ， 1
2| | | |3AB BF m ，
由双曲线的定义可得 2 1| | | | 2AF AF a ，所以 22
mm a ，即 4m a ，①，
1 2| | | | 2BF BF a ，所以 2
3| | 22
mBF a m ，
所以 2 2| | | | | |BF AB AF m ，即 2ABF 是等边三角形，
所以 2 2 60F BQ ABF ，
在△ 2F BQ 中，
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
| | | | | | 9 16 1cos 2| | | | 2 3 2
BF BQ F Q m m cF BQ BF BQ m m
，
化简可得 2 27 16m c ，②
由①②可得
2
2 7c
a
，所以
2 2 2
2 2 6b c a
a a
，
所以双曲线的渐近线方程为 6y x ．
故答案为： 6y x ．
17．解：（1）因为 7 47 49S a ，所以 4 7a ，
而 3 5a ，
设数列{ }na 的公差为 d ，
则 4 3 2d a a ， 1 1a ，
所以 1 2( 1) 2 1na n n ；
（2）由 21 (1 2 1)2nS n n n ，
由 1 1( 1)n
n n n nb S S a ，
可得 ( 1) (2 1) 1 1( 1) ( )( 1) 1
n
n
n
nb n n n n
，
2
1 1 1 1 1 1 1 1 21 12 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1n
nT n n n n
．
18．解：（1）在 ABC 中， 2sin sin( ) sin6B C A ，
所以 3sin sin sin cos sin( )B C B C B C ．
即 3sin sin sin cos sin cos cos sinB C B C B C B C ，
所以 3sin sin cos sinB C B C ．
又 sin 0C ，所以 3tan 3B ，
又 0 B ，所以
6B ．
（2）设 BC t ．由题意及（1）得， 1 4 sin 32 6ABCS t
，
解得 3t ，即 3BC ．
在 ABC 中，由余弦定理，
得 2 2 2 2 22 cos 4 ( 3) 2 4 3 cos 76AC AB BC AB BC B
所以 7AC ．
由正弦定理，得
sin sin
AC BC
B A
，
所以 3 1 21sin sin 6 2 147
BCA AC
．
因为 7 3AC BC ，
所以 B A ，所以 0 6A ．
所以 2 221 5 7cos 1 sin 1 ( )14 14A A ，
所以 21 5 7 5 3sin 2 2sin cos 2 14 14 14s A A A ．
19 ． 解 ： （ 1 ） 证 明 ： ABCD 为 矩 形 ， BC AB ，
又平面 ABCD 平面 AEBF ， BC 平面 ABCD ，平面 ABCD 平面 AEBF AB ，
BC 平面 AEBF ，
又 AF 平面 AEBF ， BC AF ．
90AFB ，即 AF BF ，且 BC 、 BF 平面 BCF ， BC BF B ，
AF 平面 BCF ．
又 AF 平面 ADF ，平面 ADF 平面 BCF ．
（2）解： / /BC AD ， AD 平面 ADF ， / /BC 平面 ADF ．
ABE 和 ABF 均为等腰直角三角形，且 90BAE AFB ，
45FAB ABE ， / /AF BE ，又 AF 平面 ADF ， / /BE 平面 ADF ，
BC BE B ，平面 / /BCE 平面 ADF ．
延长 EB 到点 H ，使得 BH AF ，又 / /BC AD ，连 CH 、 HF ，
由题意能证明 ABHF 是平行四边形，
/ / / /HF AB CD
， HFDC 是平行四边形， / /CH DF ．
过点 B 作 CH 的平行线，交 EC 于点 G ，即 / / / /BG CH DF ， (DF 平面 )CDF
/ /BG 平面 CDF ，即此点 G 为所求的 G 点．
又 2 2 2BE AB AF BH ， 2
3EG EC ，又 2ABE ABFS S ，
2 4 4 4 4
3 3 3 3 3G ABE C ABE C ABE D ABF B ADF G ADFV V V V V V ，
故 4
3
G ABE
G ADF
V
V
．
20．解：（Ⅰ）由题意可知 1 2 3 4 5 35x ， 24 25 26 28 29 26.45y ，
2 2 2 2 2
1 24 2 25 3 26 4 28 5 29 5 3 26.4ˆ 1.31 2 3 4 5 5 3b ，
ˆ 26.4 1.3 3 22.5a ，
ˆ ˆ1.3 22.5y x ，所以当 7x 时， ˆ 31.6y ，
2021 年该地区的天然气需求量大约为 31.6 亿立方米．
（Ⅱ）由题意可知抽样比为 6 1
120 20
，
所以 A 类车抽取 120 120
辆， B 类车抽取 140 220
辆， C 类车抽取 160 320
辆，
故 的可能取值为 3，4，5，6，
1
2
2
6
2( 3) 15
CP C
；
1 2
3 2
2
6
4( 4) 15
C CP C
；
1 1
2 3
2
6
6 2( 5) 15 5
C CP C
；
2
3
2
6
3 1( 6) 15 5
CP C
；
所以 的分布列为：
3 4 5 6
P 2
15
4
15
2
5
1
5
2 4 2 1 14( ) 3 4 5 615 15 5 5 3E ．
21．解：（1）
2
2 2 2
1 ( 1) ( 1)[ ( 1)]( ) 1 a a x ax a x x af x x x x x
， ( 0)x ，
①当 1a 时， ( ) 0f x
恒成立， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，
②当 1a 时，令 ( ) 0f x ，则 0 1x a ，令 ( ) 0f x ，则 1x a ，
( )f x 在 (0, 1)a 上单调递减，在 ( 1, )a 上单调递增，
综上：当 1a 时， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，
当 1a 时， ( )f x 在 (0, 1)a 上单调递减，在 ( 1, )a 上单调递增，
（2）由（1）知 ( ) ( 1) 1 1 ( 1)minf x f a a aln a ，则 ( 1) 2 2 3a aln a ln ，
令 ( ) ( 1)g x x xln x ，则 1( ) 1 ( 1) ( 1)1 1
xg x ln x ln xx x
，
令 1( ) ( 1) 1h x ln x x
， 2
1 1( ) 01 ( 1)h x x x
，
( )h x 在 ( 1, ) 上单调递减，又 (0) 1 0h ， h （1） 1 2 02 ln ，
存在 0 (0,1)x ，使得 0( ) 0h x ，
即 0( ) 0g x ， ( )g x 在 0(0, )x 上单调递增，在 0(x ， ) 上单调递减，
又 (0) 0 2 2 3g ln ， g （2） 2 2 3ln ，
g （a） 2 2 3 2ln a ．
a 的取值范围为 (2, ) ．
22．解：（1）证明：根据题意，设 ( , 1)M t ， 1(P x ， 1)y ， 2(Q x ， 2 )y ，
由 21
4y x ，求导得 1
2y x ，
所以切线 MP 的方程为 1
1 1( )2
xy y x x ，又 2
1 1
1
4y x ，
所以 MP 的方程可化为 1 12( )x x y y ，
同理，切线 MQ 的方程为 2 22( )x x y y ，
因 为 上 述 两 条 直 线 都 过 点 M ， 把 M 的 坐 标 代 入 两 方 程 ， 得 1 12 2 0tx y 和
2 22 2 0tx y ，
这两个方程说明点 P ，Q 都在直线 2 2 0tx y 上，
而此直线过定点 (0,1) ，
所以直线 PQ 过定点 (0,1) ．
（2）设直线 PQ 的方程为 1(y kx k 总存在）， 3(A x ， 3 )y ， 4(B x ， 4 )y ，
联立方程组，
21
4
1
y x
y kx
，
消去 y ，得 2 4 4 0x kx ，
△ 2
1 16(1 ) 0k ，
所以 1 2 4x x k ， 1 2 4x x ，
所以 2 2
1 2| | 1 | | 4( 1)PQ k x x k ，
联立
2 2
14 5
1
x y
y kx
，
消去 y ，得 2 2(5 4 ) 8 16 0k x kx ，
△ 2
2 64 5(1 ) 0k ，
所以 3 4 2
8
5 4
kx x k
， 3 4 2
16
5 4x x k
，
所以
2
2
3 4 2
8 5( 1)| | 1 | | 5 4
kAB k x x k
，
所以 2| | 2 5 5 5
| | 5 2 2
PO kAB
，
所以 | |
| |
PO
AB 的最小值为 5
2
．
22．解：（Ⅰ）有题意 2 2
1( ) ( 0)b x bf x xx x x
，
当 0b 时， ( ) 0f x
， ( )f x 在 (0, ) 上单增，此时显然不成立，
当 0b 时，令 ( ) 0f x ，得 x b ，
此时 ( )f x 在 (0, )b 上单减，在 ( , )b 上单增，
M f （b） 1 0lnb a
，即 1lnb a
，所以 1ab e
， 1 0ae b ．
所以 1 1ae b 的最大值为 1．
（Ⅱ）证明：当 1 1ae b 取得最大值时， 1a lnb ， 1( ) a lnbF b m mb b
，
( )F x 的两个零点为 1x ， 2x ，则 1 2
1 2
0; 0lnx lnxm mx x
，即 1 1lnx mx ， 2 2lnx mx ，
不等式 2 3
1 2x x e 恒成立等价于 1 2 1 2 1 22 2 ( 2 ) 3lnx lnx mx mx m x x ，
两式相减得
1
1 2
1 2
2 1 2
( )
xlnx xln m x x mx x x
，
带入上式得
1 1
2 1 1 2 2
1 2
11 2 2 1 2
2
3( 1)3( )( 2 ) 3 2 2
x xln x x x x xx x ln xx x x x x
x
，
令 1
2
(0 1)x t tx
，则 3( 1)( ) ,(0 1)2
tg t lnt tt
， 2
( 1)( 4)( ) 0( 2)
t tg t t t
，
所以函数 ( )g t 在 (0,1) 上单调递增， ( )g t g （1） 0 ，得证．
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