冲刺系列卷04-决胜2021年全国高考数学备考优生50天冲刺系列（江苏等八省市新高考地区专用）（解析版）

决胜 2021 高考数学 50 天冲刺系列卷 冲刺系列卷(04) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在 本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.设集合  2 1A y y x   ，     3 4 1 0B x x x    ，则  )( BCA R （ ） A. 40 3      ， B. 1 4, 2 3      C. 40, 3     D. 1 4, 2 3     【答案】A 【 解 析 】    2 1 0A y y x y y     ， } 3 41{}0)1)(43({)(  xxxxxBCR ， 则 ] 3 4,0[)(  BCA R ．故选：A. 【点晴】本题考查了根据集合 ,A B的意义，求出函数 2 1y x  的值域即为集合A，    3 4 1 0x x   的解集即为 BCR ，再根据交集的运算即可求出,属于基础题． 2.已知 i 为虚数单位，复数满足 z(2＋i)＝3＋4i，记 z 为 z的共轭复数，| z |＝（ ） A． 29 3 B． 5 5 3 C． 29 5 D． 5 【答案】D 【解析】由题意可知，z＝ 3＋4i 2＋i ＝ (3＋4i)(2－i) (2＋i)(2－i) ＝2＋i，所以 z ＝2－i，所以| z |＝ 22＋1＝ 5，故选:D. 【点晴】本题考查了复数的概念、运算以及复数的几何意义,属于基础题． 3.《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒 种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论．已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为10.5尺和4.5 尺，现在从该地日影长小于 9 尺的节气中随机抽取 2 个节气进行日影长情况统计，则所选取这 2 个节气中 至少有 1 个节气的日影长小于 5 尺的概率为（ ） A． 3 7 B． 4 7 C． 13 21 D． 5 7 【答案】D 【解析】由题意可知，十二节气满足等差数列{an}，且 a4＝10.5，a10＝4.5，则解得 a1＝13.5，d＝－1，则 a5＝9.5，a6＝8.5，a7＝7.5，…，a10＝4.5，a11＝3.5，a12＝2.5，日影长小于 9 尺的节气有 7 个，即从惊蛰 到芒种，日影长小于 5 尺的节气有 3 个，即立夏、小满、芒种，所以从该地日影长小于 9 尺的节气中随机 抽取 2个节气，所选取这 2 个节气中至少有 1 个节气的日影长小于 5 尺的概率为 1－ C24 C27 ＝ 5 7 ，故选:D. 【点睛】本题考查了新情景问题下的文化题：数列与概率的综合应用,属于基础题. 4.已知 sinx﹣cosx＝ ，则 sin（2x+ ）＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ sinx﹣cosx＝2sin（x﹣ ）＝ ， ∴sin（x﹣ ）＝ ， ∴sin（2x+ ）＝sin[（2x﹣ ）+ ]＝cos（2x﹣ ）＝1﹣2 ＝1﹣2× ＝ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角恒等变换,属于基础题. 5.已知 6a   ， ( ,3)b m  ，且 ( ) (2 )b a a b      ，则向量a在向量b  方向上的投影的最大值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 6 2 【答案】C 【解析】    2b a a b      ，     2 22 2 0b a a b b a b a                即 2 9 12 0m a b      ， 23a b m     ， 则向量 a在向量b  方向上的投影为 2 2 3 9 a b m b m       ， 令 2 9 3t m   ，则 2 2 9m t  ，  23 9 12ta b t t tb         ，函数在区间 3, 上单调递减， 故当 3t  时，向量 a在向量b  方向上的投影取得最大值，最大值是 12 3 1 3   . 故选：C 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，投影公式，本题的关键是根据数量积表示 23a b m    ，从 而根据投影公式，转化为关于m的函数求最值,属于中档题. 6.函数 2cos( ) x x x xf x e e    的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 2cos( ) x x x xf x e e    ， 0x  ， 所以 2cos( ) ( )( ) ( )x x x xf x f x e e         ， 故函数为奇函数，故排除 AC, 当 x  时 21( ) 0f e e         知，可排除 B, 故选：D 【点睛】本题考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义 域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点， 或者取极限,属于基础题. 7.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可 惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了 500 年，到了 3 世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学 汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离 与到定直线的距离的比是常数 e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当 e＝1 时，轨迹 为抛物线；当 e＞1 时，轨迹为双曲线．现有方程 m（x2+y2+2y+1）＝（x﹣2y+3）2表示的曲线是双曲线，则 m的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（0，5） D．（5，+∞） 【答案】C 【解析】方程 m（x2+y2+2y+1）＝（x﹣2y+3）2，m＞0， 即为 m[x2+（y+1）2]＝（x﹣2y+3）2， 可得 • ＝|x﹣2y+3|， 则 ＝ ， 可得动点 P（x，y）到定点（0，﹣1）和定直线 x﹣2y+3＝0 的距离的比为常数 ， 由双曲线的定义，可得 ＞1， 解得 0＜m＜5， 故选：C． 【点睛】本题考查了以数学文化为背景，考查了双曲线的定义，属于基础题. 8.已知    21 lnf x x a x   在 1 , 4      上恰有两个极值点 1x ， 2x ，且 1 2x x ，则  1 2 f x x 的取值范围为 （ ） A. 13, ln 2 2       B. 1 ln 2,1 2      C. 1, ln 2 2       D. 1 3ln 2, ln 2 2 4       【答案】D 【解析】由题意得     22 22 2 0a x x af x x x x x        ， 令   0f x  ，得 22 2 0x x a   ， 由题意知 22 2 0x x a   在 1 , 4      上有两个根 1x ， 2x ， ∴ 2 0, 1 12 2 0 4 4 4 8 0 a a a                  ，得 3 1 8 2 a  ． 由根与系数的关系得 1 2 1 2 1 2 x x ax x      ，由求根公式得 1,2 2 4 8 1 1 2 4 2 a ax       ， ∵ 1 2x x ，∴ 2 1 1 2 2 ax    ，∵ 3 1 8 2 a  ，∴ 2 1 3 2 4 x  ． 则         2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 ln 2 ln 2 1 ln 1 f x x a x x x x x x x x x x x             2 2 2 2 1 31 2 1 ln 1 1 2 4 x x x x            ， 令 21t x  ，则 1 1 4 2 t  ． 设   1 12 ln 1 4 2 g t t t t t          ，则   1 2lng t t   ， 易知  g t 在 1 1, 4 2       上单调递增， ∴   1 2ln 1 2 ln 2 ln 0 4 eg t t       ， ∴当 1 1 4 2 t  时，函数  g t 为减函数， ∴   1 1 1 32 ln 1 ln 2 4 4 4 4 g t        ，且   1 1 1 12 ln ln 1 ln 2 2 2 2 2 g t        ， ∴  1 2 1 3ln 2, ln 2 2 4 f x x        ，故选：D. 【点睛】本题考查了（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数 a的取值范 围，以及 1x 与 2x 之间的关系；（2）将题意转化为关于 2x 的函数，构造出 21t x  ，利用导数判断单调性. 属于中档题. 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分． 9.为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的 方法，某市垃圾处理厂连续 8 周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错 误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位： 吨）.根据统计图分析，下列结论正确的是（ ） A.当 [0, 2)x 时有害垃圾错误分类的重量加速增长 B.当 [2, 4)x 时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 C.当 [4,6)x 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 [2, 4)x 时增长了 30% D.当 [6,8]x 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 [0, 2)x 时减少了 0.6 吨 【答案】AB 【解析】本题考查统计图的应用.由统计图可知，第 2 周增长数量比第 1 周增长数量明显要多，所以是加速 增长，所以选项 A 正确； 当 [2, 4)x 时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项 B正确； 当 [4,6)x 时增长数量比当 [2, 4)x 时增长数量要少，所以是减少，所以选项 C错误； 当 [0, 2)x 时共增长 2.4 吨，当 [6,8]x 时共增长 0.6 吨，所以减少了 1.8 吨，所以选项 D 错误. 故选:AB. 【点睛】本题考查了根据统计图表依次判断选项即可得到答案,属于基础题. 10.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的 高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上 要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为 m，圆柱的表面积与球的表面积之比 为 n，若 f（x）＝（ x 3 ） 8 ，则（ ） A．f（x）的展开式中的常数项是 56 B．f（x）的展开式中的各项系数之和为 0 C．f（x）的展开式中的二项式系数最大值是 70 D．f（i）＝﹣16，其中 i 为虚数单位 【答案】BC 【解析】设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R， 则圆柱的体积 ，球的体积 ，可得 m＝ ＝ ， 圆柱的表面积 ， 球的表面积为 ，则 n＝ ，可得 ． ∴f（x）＝（ x 3 ） 8 ＝（x 3 ） 8 ， 其二项展开式的通项为 ， 令 24﹣4r＝0，得 r＝6，常数项为 ，故 A 错误； 各项系数和为 f（1）＝0，故 B 正确； 二项式系数的最大值为 ，故 C 正确； f（i）＝ ，故 D错误． 故选：BC． 【点睛】本题考查了新情景问题下的文化题：二项式定理,考查了数学运算求解能力，属于基础题. 11.已知数列{ }na 满足 1 1a  ， 2 3a  ， 2 2n na a   ， *nN ，则（ ） A. 1 2 3 4 5 6( ), ( ), ( ),a a a a a a   为等差数列 B. 2 1 4 3 6 5( ), ( ), ( ),a a a a a a   为常数列 C. 2 1 4 3na n   D. 若数列{ }nb 满足 ( 1)nn nb a   ，则数列{ }nb 的前 100 项和为 100 【答案】ABD 【解析】 2 2n na a   ， 当 2n  时， 1 1 2n na a   ，两式相加得：   2 1 1 4n n n na a a a      ，则 1 2 3 4 5 6( ), ( ), ( ),a a a a a a    是公差为 4的等差数列，故 A正确； 上面两式相减得    2 1 1 0n n n na a a a      ，则 2 1 4 3 6 5( ), ( ), ( ),a a a a a a   为常数列，故 B正确； 1 21, 2n na a a   ，所以数列 2 1na  是首项为1，公差为2的等差数列，即  2 1 1 1 2 2 1na n n       ， 故 C 不正确；      100 1 2 3 4 99 100 2 1 4 3 100 99... ...b a a a a a a a a a a a a               ，由 B可知数列 2 1 4 3 6 5( ), ( ), ( ),a a a a a a   是常数列， 2 1 2a a  ， 100 50 2 100b    ，故 D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了根据递推公式，求通项公式或求和，本题的关键是构造 2n  时， 1 1 2n na a   ，通 过两式相加或相减，即可判断选项,属于中档题. 12.已知球O的半径为 2，球心O在大小为 60°的二面角 l   内，二面角 l   的两个半平面分别 截球面得两个圆 1O ， 2O ，若两圆 1 2O O， 的公共弦 AB的长为 2，E为 AB的中点，四面体 1 2OAOO 的体积 为V ，则下列结论中正确的有（ ） A. 1 2, , ,O E O O 四点共面 B. 1 2 3 2 OO  C. 1 2 3 2 OO  D. V 的最大值为 3 16 【答案】ACD 【解析】因为公共弦 AB在棱 l上，连结OE， 1O E， 2O E， 1 2OO ，OA， 则 2 2 3OE OA AE   ， 因为二面角 l   的两个半平面分别截球面得两个圆 1O ， 2O ，O为球心， 所以 1OO  ， 2OO  ， 又 1O E  平面 ， 2O E  平面  ， 所以 1 1OO O E ， 2 2OO O E ， 故O， E， 1O ， 2O 四点共圆，故选项A正确； 因为 E为弦 AB的中点， 故 1O E AB ， 2O E AB ，故 1 2O EO 即为二面角 l   的平面角， 所以 1 2 60O EO  ， 故 1 2 3sin 60 2 OO OE   ，故选项 B错误，选项C正确； 设 1 1OO d ， 2 2OO d ， 在△ 1 2OOO 中，由余弦定理可得， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 3 4 OO d d d d d d    … ， 所以 1 2 3 4 d d „ ，故 1 2 3 3 16OO OS „ ， 所以 1 2 1 3 3 16OO OV AE S   △ „ ， 当且仅当 1 2d d 时取等号，故选项D正确． 故选： ACD 【点睛】本题考查了球的几何性质、截面圆的几何性质、二面角的平面角、余弦定理、基本不等式以及锥 体的体积公式都需要熟练运用才能解题，属于中档题． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分． 13.写出一个最大值为 4，最小值为﹣2的周期函数 f（x）＝ 3sinx+1 ． 【答案】f（x）＝3sinx+1(答案不唯一) 【解析】先考虑常见的周期函数 y＝sinx，然后根据最大值为 4，最小值为 2，结合正弦函数的有界性， 所以符合条件的一个函数 f（x）＝3sinx+1（答案不唯一）． 故答案为：f（x）＝3sinx+1（答案不唯一）． 【点睛】本题属于开放式试题,考查了三角函数的图象与性质,属于基础题. 14.某市抽调 5 位医生分赴 4 所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医 生．由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是___________ 【答案】216 【解析】根据题意，分 2步进行分析： ①将 5位医生分为 4组，要求甲乙不在同一组，有 C5 2﹣1＝9 种分组方法， ②将分好的 4 组安排到 4所医院支援抗疫，有 A4 4＝24 种安排方法， 则有 9×24＝216 种安排种数， 故答案为：216 【点睛】本题考查了排列与组合,属于基础题. 15.在矩形 ABCD 内有 E、F 两点，其中 AB＝120cm，AE＝100 cm，EF＝80 cm，FC＝60 cm，∠AEF＝∠ CFE＝60°，则该矩形 ABCD 的面积为 cm2．（答案如有根号可保留） 【答案】14400 ． 【解析】在△AEF 中，由余弦定理可得 AF2＝（100 ）2+（80 ）2﹣2× ＝25200， 可得 AF＝60 cm， 由正弦定理可得 ＝ ，解得 sin∠AFE＝ ， 所以 cos∠AFE＝ ＝ ， 所以 cos（∠AFE+60°）＝cos∠AFEcos60°﹣sin∠AFEsin60°＝ × ﹣ ＝﹣ ， 在△AFC 中，由余弦定理可得 AC2＝AF2+FC2﹣2AF•FC•cos∠AFC ＝25200+3600×3+2× ×60 × ＝57600， 所以 BC＝ ＝120 cm， 则矩形 ABCD 的面积为 S＝120 ×120＝14400 cm2． 故答案为：14400 ． 【点睛】本题考查了解三角形应用,考查了正弦定理以及余弦定理,属于中档题. 16.在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，已知 a＝2，b 2 ＋c 2 －bc＝4．若以 AB，AC 为边向△ABC 外分别作正△MAB，正△NAC，记△MAB，△NAC 的中心分别为 P，Q，则 → BP  → CQ的最大值为___▲___． 【答案】 4 3 【解析】由题意可知，在△ABC 中，因为b 2 ＋c 2 －bc＝4，则由余弦定理可得 cosA＝ 1 2 ，因为 A∈(0，π)， 所以A＝60°，又△MAB，△NAC均为正三角形，P，Q为其中心，则可得到BP∥CQ，所以 → BP  → CQ＝( → BM＋ → MP )( → CN ＋ → NQ )＝ → BM  → CN＋ → BM  → NQ＋ → MP  → CN＋ → MP  → NQ＝cb 1 2 ＋ 3 3 c 3 3 b(－ 1 2 )＝ 1 2 bc－ 1 6 bc＝ 1 3 bc，而b 2 ＋c 2 －bc＝4≥ 2bc－bc＝bc，即 bc≤4，所以 → BP  → CQ＝ 1 3 bc≤ 4 3 ，所以 → BP  → CQ的最大值为 4 3 . 故答案为： 4 3 . 【点睛】本题考查了数量积在平面几何中的应用,属于中档题. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在①  sin sin sinB C A C   ② 3 tan tan cos c A B a B   ③ 2 cos cos cosa A b C c B  这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出b c 的最大值；若问题中的三角形不 存在，请说明理由（若选择多个，则按第一个条件评分） 问题：已知 ABC 的内角A， B，C的对边分别为 a，b， c，若 2a  ，________，求b c 的最大值 【答案】答案见解析. 【解析】若选择条件①，  sin sin sinB C A C   ，三角形存在.    sin sin sinA C C A C     ， 化简可得： 2cos sin sinA C C ∵ sin 0C  ，∴ 1cos 2 A  ，∴ 3 A   由余弦定理可知， 2 2 22 cosb c bc A a   2 2 4b c bc    ，  2 3 4b c bc    利用基本不等式   2 2 4 3 3 2 b cb c bc          ，当且仅当b c 时等号成立，  2 4 4 b c   ， 0 4b c    综上  max 4b c  . 若选择条件②， 3 tan tan cos c A B a B   ，三角形存在. 由正弦定理可得 3 sin sin sin sin cos cos cos C A B A B A B   化简可得  sin3 sin sin sin cos cos cos cos cos A BC C A B A B A B    ∵ sin 0C  ，∴ 3 1 , tan 3 sin cos A A A    ，∴ 3 A   ， 同理条件①可得  max 4b c  若选择条件③， 2 cos cos cosa A b C c B  ，三角形存在. 由正弦定理得： 2sin cos sin cos sin cosA A B C C B  化简得：  2sin cos sin sinA A B C A   ∵ sin 0A  ，∴ 1cos 2 A  ，∴ 3 A   同理条件①可得  max 4b c  【点睛】本题考查了正余弦定理的应用以及利用基本不等式求最值，考查转化能力与运算能力，属于基础 题. 18.已知数列 na 前n项和为 nS ，且 2 3 ( ) 2n n nS n N    （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 nT 为数列 1 1 n na a        的前 n项和，且存在 *n N ，使得 1 0n nT a   成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） 1na n  ；（2） 1, 16     . 【解析】(1) 1n  时， 1 1 1 3 2 2 a S     , 2n  时，    22 1 1 3 13 1 2 2n n n n nn na S S n          ， 1n  时， 1 2a  也适合上式， 所以数列 na 的通项公式 1na n  . (2) 因为    1 1 1 1 1 1 2 1 2n na a n n n n        ， 所以   1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 2 2 2 2 2n nT n n n n                因为存在 *n N ，使得 1 0n nT a   成立， 所以存在 *n N ，使得    2 0 2 2 n n n     成立， 即存在 *n N ，使  22 2 n n    成立 又  2 1 42 2 2 4 n n n n         ， 4 42 4n n n n     ， 42 4 16n n        1 1 4 162 4n n        （当且仅当 2n  时取等号）， 所以 1 16   . 即实数 的取值范围是 1, 16     . 【点睛】本题考查了已知 nS 求 na 、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属于中 档题. 19.在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD， 2 3  AB BD DA ， 2BC CD  . （1）求证：平面 PAC 平面 PBD； （2）若直线CD与平面 PBC所成角的正弦值为 3 4 ，求平面 PCD与平面 PBC所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 7 8 . 【解析】（1）证明：连接 AC，  2 3, 2,AB BD DA BC CD     ABD 为等边三角形， BCD△ 为等腰三角形， AC BD ，  PA 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， PA BD ， 又 AC PA A  ， ,AC PA平面 PAC， BD 平面 PAC , BD 平面 PBD，平面 PAC 平面 PBD . （2） 以A为原点， ,AD AP为 y z、 轴，在平面 ABCD内，作 Ax 面 PAD，建立如图所示的空间直角坐标 系，设 ( 0)PA a a  , AC BD ,根据勾股定理可求得： 6 BDC    ,则 CD AD ,则 (0,0, ), (3, 3,0), (2,2 3,0), (0,2 3,0)P a B C D      2,0,0 , 1, 3,0 , 2,2 3, .CD BC PC a         设平面 PBC的法向量为 ( , , )m x y z  ，则 · 0 , · 0 m BC m PC       即 3 0 2 2 3 0 x y x y az         令 1y  ，则 4 3( 3,1, )m a    直线CD与平面 PBC所成角的正弦值为 3 4 , 2 2 3 3cos , 4· 4 32 3 1 CD mCD m CD m a                     解得 2a  或-2（舍负）    2,2 3, 2 , 3,1,2 3PC m     同理可得，平面 PCD的法向量 (0,1, 3)n  ， 1 6 7cos , | | | | 83 1 12 2 m nm n m n                 ， 故平面 PCD与平面PBC所成锐二面角的余弦值 7 8 【点睛】本题考查了空间线面垂直、面面垂直的判定定理，最常见的求二面角的方法是分别求出二面角的 两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形 判断所求角是锐角还是钝角，考查了学生的空间想象能力及计算能力,属于中档题. 20.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即 2019 新型冠状病毒.2020 年 2 月 7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠 状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现. 基于目前流行病学调查，潜伏期为 1~14 天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源.某市为 了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩 统计如图所示. （1）由直方图可认为答题者的成绩 z服从正态分布  2,N   ，其中 2,  分别为答题者的平均成绩 x和成 绩的方差 2s ，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的 区间中点值作代表） （2）如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市 的民众，现从全市中随机抽取 4人，“防御知识合格者”的人数为 ，求  3P   .（精确到0.001） 附：① 2 204.75s  ， 204.75 14.31 ；②  2~ ,z N   ，则   0.6826P z        ，  2 2 0.9544P z        ；③ 40.8413 0.501 ， 30.8413 0.595 . 【答案】（1）1587人（2）0.499 【解析】（1）由题意知： 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 70.5x              . 因为 z服从正态分布  2,N   ，其中 70.5x   ，  2 204.75D   ， 14.31  ， ∴ z服从正态分布    2 2, 70.5,14.31N N   ， 而    5619 84 81 0 68. 6. . 2P z P z           ， ∴   1 0.682684.81 0.1587 2 P z     ， ∴竞赛成绩超过84.8的人数估计为 0.1587 10000 1587  人. （2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为1 0.1587 0.8413  ， 而  ~ 4,0.8413B ， ∴     4 4 43 1 4 1 0.8413 1 0.501 0.499P P C           . 【点睛】本题考查了频率分布直方图估计总体，正态分布以及二项分布的应用，还考查了运算求解的能力， 属于中档题. 21.已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的离心率为 3 2 ，且经过点 3(1, ) 2 ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为 ,A B， 点 P是椭圆上异于 ,A B的任意一点， PQ  y轴， Q为垂足， M 为线段 PQ中点，直线 AM交直线 : 1l y   于点C， N 为线段 BC的中点，若四边形MOBN 的面积 为 2，求直线 AM的方程． 【答案】（Ⅰ） 2 2 1 4 x y  ；（Ⅱ） 1 1 2 y x   ． 【解析】（Ⅰ）由题意 2 2 2 2 2 3 2 1 3 1 4 c a a b a b c            ，解得 2 1 3 a b c       ，所以椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y  ． （Ⅱ）设  0 0,P x y 0( 0)x  ，则  00,Q y ，且 2 20 0 1 4 x y  ．因为M 为线段 PQ中点， 所以 0 0, 2 xM y      ．又  0,1A ，所以直线 AM的方程为  0 0 2 1 1 y y x x    ． 因为 0 00, 1,x y   令 1y   ，得 0 01 xx y   即 0 0 , 1 1 xC y      ．又  0, 1B  ， N 为线段 BC的中点，有   0 0 , 1 2 1 xN y       ． 设直线MN与 x轴交于 ( ,0)RR x ， 由 MN MRk k 得： 0 0 0 0 0 0 1 2 2(1 ) 2 R y y x x x x y      ，∴ 0 2 02(1 )R xx y   ， ∴ 0 0 02 0 0 11 1 1(1 ) 2 4 (1 ) 2 1MON M N x yS OR y y y y y           ． 又 0 0 0 0 11 1 1 2 4 (1 ) 2 1BON N x yS x y y       ，∴ 0 0 1 2 1MOBN yS y    四边形 ， 解得： 0 3 5 y  ，代入椭圆方程得： 0 8 5 x   ，∵ (0,1)A ，∴ 1 2AMk   ， ∴直线 AM的方程为 1 1 2 y x   ． 【点睛】本题考查了椭圆方程、椭圆的几何性质以及解析几何面积问题，属于中档题. 22.已知函数 f(x)=2ex+aln(x+1)-2. （1）当 a=-2 时，讨论 f(x)的单调性； （2）当 x∈[0，π]时，f(x)≥sinx 恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】（1）函数  f x 在(-1，0)单调递减，在  0,  单调递增；（2）  1,  . 【解析】（1）当 2a   时    , 2 2ln 1 2, 1xf x e x x      .    22 , 1 xf x e f x x     在 1,  单调递增，且  0 0.f   当  1,0x  时，   0f x  ；当  0,x  时  , 0f x  . 所以函数  f x 在(-1，0)单调递减，在  0,  单调递增. （2）令        sin 2 ln 1 2 sin , 0,xg x f x x e a x x x         当  0,x  时，   sinf x x 恒成立等价于    0 0g x g  恒成立. 由于      cos 2 cos , 0, 1 x ag x f x x e x x x          ， 所以（i）当 0a  时，   2 1 0,xg x e    函数  y g x 在 0, 单调递增， 所以    0 0g x g  ，在区间 0, 恒成立，符合题意. （ii）当 0a  时，   2 cos 1 x ag x e x x      在 0, 单调递增，  0 2 1 1g a a      . ①当1 0a … 即 1 0a   时，    0 1 0,g x g a     函数  y g x 在 0, 单调递增，所以    0 0g x g … 在 0, 恒成立，符合题意. ②当1 0 a 即 1a   时    , 0 1 0, 2 1 1 ag a g e          ， 若   0g   ，即    1 2 1a e    时  , g x 在  0, 恒小于 0 则  g x 在  0, 单调递减，    0 0g x g  ，不符合题意. 若   0,g   即    1 2 1 1e a      时，存在  0 0,x  使得  0 0.g x  所以当  00,x x 时，   0,g x  则  g x 在  00, x 单调递减，    0 0,g x g  不符合题意，综上所述， a的取值范围是 1, .  【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是构造函数      2 ln 1 2 sin , 0,xg x e a x x x       ，不等式等价转化为    0 0g x g  恒成立，考查了分析能 力、计算能力以及分类讨论的思想,属于稍难题.