决胜 2021 高考数学 50 天冲刺系列卷
冲刺系列卷(03)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知集合 2lg 4 , { 0 4}M x y x N x x ∣ ∣ ，则 NMCR )( （ ）
A. { 2 4}x x ∣ B. { 0 2}x x ∣
C. { 2 2}x x ∣ D. { 4}x x ∣
【答案】B
【解析】由 2 4 0x ，得 2x 或 2x ，
所以 2M x x 或 2x ，所以 }22{ xxMCR ，
因为 { 0 4}N x x ∣ ，
所以 NMCR )( { 0 2}x x ∣ ，故选：B
【点睛】本题考查了先求出集 M，再求出集合 M的补集，然后求出 NMCR )( 即可,属于基础题.
2.已知复数 z 满足：z
2
＝ +6i（i 为虚数单位），且 z 在复平面内对应的点位于第三象限，则复数 的虚部
为（ ）
A．2i B．3 C． i D．
【答案】D
【解析】设 z＝a+bi，（a，b∈R），
因为 z在复平面内对应的点位于第三象限，所以 a＜0，b＜0，
因为 z
2
＝a
2
﹣b
2
+2abi＝ +6i，所以 ＝a
2
﹣b
2
，2ab＝6，
故 a＝﹣2，b＝﹣ ，
的虚部为 ．故选：D．
【点睛】本题考查了复数的概念、运算法则以及几何意义，属于基础题.
3.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如
表是 2020 年我国某地区新能源乘用车的前 5 个月销售量与月份的统计表：
月份代码 x 1 2 3 4 5
销售量 y（万
辆）
0.5 0.6 1 1.4 1.5
由上表可知其线性回归方程为 ＝0.28x+a，则 a 的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
【答案】A
【解析】由题意可知， ， ，
因为线性回归方程过点（ ），
所以有 1＝0.28×3+a，
故 a＝0.16． 故选：A．
【点睛】本题考查了线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，属于基础题．
4.某地安排 4 名工作人员随机分到 3 个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至
少有一名工作人员的概率为（ ）
A.
9
16
B.
5
9
C.
8
9
D.
4
9
【答案】D
【解析】某地安排 4 名工作人员随机分到 3 个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，有 3 3 3 3 81 种安排方法，
其中每个村至少有一名工作人员的有
2 3
4 3 6 6 36C A 种安排方法，
所以所求概率为
36 4
81 9
. 故选：D
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式以及排列组合,属于基础题.
5.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用 85℃的水泡制，
再等到茶水温度降至 60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人
员每隔 1min 测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪
个函数模型可以近似地刻画茶水温度 y随时间 x变化的规律（ ）
A．y＝mx2+n（m＞0）
B．y＝max+n（m＞0，0＜a＜1）
C．y＝max+n（m＞0，a＞1）
D．y＝mlogax+n（m＞0，a＞0，a≠1）
【答案】B
【解析】由题意知茶水温度 y随时间 x的增大而减小，在[0，+∞）上是单调减函数，
所以 ACD 中的函数都不满足题意，只有选项 B 满足题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了新情景问题下的文化题：函数性质的应用,属于基础题.
6.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”
函数
2 cos
x xx e e
f x
x
的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
2 cos 2 cos
x x x xx e e x e e
f x f x
x x
，函数是奇函数，故排除 AB，
当 0x 时， 0x xe e ， 2 cos 0x ，所以 0f x ，故排除 D. 故选：C
【点睛】本题考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义
域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，
或者取极限,属于基础题.
7.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为
一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元
作纪历”，某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百
之龄（年龄介于 90 至 100），其余 19 人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为（ ）
A. 94 B. 95 C. 96 D. 98
【答案】B
【解析】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90,100]，
则有 n+（n+1）+（n+2）+ +（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，
则有 19n+m＝1349，则 m＝1349﹣19n，
所以 90≤1349﹣19n≤100，解得
14 565 66
19 19
n ，
因为年龄为整数，所以 n＝66，则 m＝1349﹣19×66＝95. 故选：B
【点晴】本题考查了阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题．
8.已知 xeexf xx 2sin)( ，单调递增等差数列{an}满足 f（a2﹣3）≤0，f（4a1）+f（7﹣a2）≥0，则
a3的取值范围是（ ）
A．（0，3] B．（0，7） C．（﹣ ，3] D．（﹣ ，7]
【答案】D
【解析】因为 xeexf xx 2sin)( ,所以 02cos222cos2)( xeexeexf xxxx
所以 f（x）在 R 上单调递增，又 f（0）＝0，
所以 f（a2﹣3）≤0，等价于 f（a2﹣3）≤f（0），所以 a2﹣3≤0，解得 a2≤3，
xeexf xx 2sin)( ＝﹣f（x），所以 f（x）为奇函数，
所以 f（4a1）+f（7﹣a2）≥0，等价于 f（4a1）≥f（a2﹣7），
所以 4a1≥a2﹣7，
由 a2≤3，可得 6≥a1+a3，①
由 4a1≥a2﹣7，可得 8a1≥a1+a3﹣7，即 7a1≥a3﹣7，②
①×7+②可得 42+7a1≥7a1+7a3+a3﹣7，解得 a3≤7，
因为{an}是单调递增数列，
所以 a3＞a2＞a1，
所以 4a2＞4a1≥a2﹣7，所以 a2＞﹣ ，所以 a3＞a2＞﹣ ，
所以 a3的取值范围是（﹣ ，7]．故选：D．
【点晴】本题考查了函数的奇偶性、利用导数以及基本不等式研究函数的单调性，考查了利用数列的单调
性求范围，属于中档题．
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分．
9.为促进儿童全面发展和健康成长，我国于 2011 年颁布实施《中国儿童发展纲要（2011﹣2020 年）》．儿
童文化产品和活动场所更加丰富．近年来，儿童接触文化艺术和娱乐体验的途径更加多元，可获得的文化
产品和服务也更加丰富．如图为 2011﹣2019 年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间．则
下列结论中正确的是（ ）
A．2018 年全国少儿电视节目播出时间比上一年增长 6.4%
B．2011﹣2019 年少儿广播节目播出时间的平均数约为 21 万小时
C．2011﹣2019 年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间均逐年增长
D．2011﹣2019 年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间中电视动画节目播出时间的方差最
小
【答案】BD
【解析】2018 年全国少年电视节目播出时间比上一年增长 0.35%，故 A错误，
少儿广播节目播出时间的平均数约为 21 万小时，故 B 正确，
2014 年到 2015 年少儿电视节目播出时间降低，故 C错误，
由图可知电视动画节目播出时间的方差最小，故 D 正确，故选：BD．
【点睛】本题考查了根据统计图表依次判断选项即可得到答案,属于基础题.
10.设 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，m n ，m ，则 n 或 / /n
B. 若 ，m n ， //m ，则 n//
C. 若 ，m ， n ，则m n
D. 若 ， //m ， n// ，则m n
【答案】AC
【解析】对于选项 A,若 ，m n ，m ，则 n 或 / /n ，故 A 正确；
对于选项 B,若 ，m n ， / /m ，则 / /n 或 n ，故 B 错误；
对于选项 C,若 ，m ，n ，直线m和n相当于平面 和 的法向量，则m n ，故 C 正确；
对于选项 D,若 ， / /m ， / /n ，则m n 或 //m n，或m和n一般的相交，故 D错误．
故选：AC．
【点晴】本题考查了直接利用线面的平行和垂直的判定和性质及法向量的应用判定 A、B、C、D 的结论,属
于基础题.
11.已知函数 2cos 0,
2
f x x
的图象上，对称中心与对称轴
12
x
的最小距离为
4
，
则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 ( )f x 的一个对称点为
5 ,0
12
B. 当 [ , ]
6 2
x
时，函数 ( )f x 的最小值为 3
C. 若
4 4 4sin cos 0,
5 2
，则
4
f
的值为
4 3 3
5
D. 要得到函数 ( )f x 的图象，只需要将 2( 2)g x cos x 的图象向右平移
6
个单位
【答案】BC
【解析】因为函数 f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
2
）的图象上，对称中心与对称轴 x＝
12
的最
小距离为
1
4
×
2
＝
4
，
∴ω＝2．再根据 2 ,
12
k k Z ，可得
6
，故 ( ) 2cos(2 )
6
f x x
,令
5 ,
12
x
可得
( ) 1 0f x ，故 A 错误；
当 [ , ]
6 2
x
时，
52 ,
6 6 6
x
，故当
52
6 6
x
时，函数 f（x）的最小值为 3 ，故 B 正确；
若
4 4 4sin cos 0,
5 2
，
24 3cos 2 ,sin 2 1 cos 2 ,
5 5
则 2cos(2 )
4 2 6
f
4 3 32sin(2 ) 2sin 2 cos 2cos 2 sin
6 6 6 5
，故 C 正确；
将 ( ) 2cos2g x x 的图象向右平移
6
个单位，可得 y＝2cos（2x﹣
3
）的图象，故 D错误. 故选：BC
【点睛】本题考查了根据三角函数的图象与性质确定对称中心，最值，利用三角恒等变换求值，根据平移
得解析式是解题的关键，属于中档题.
12.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，
体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和
六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 2，则（ ）
A．BF⊥平面 EAB
B．该二十四等边体的体积为
20
3
C．该二十四等边体外接球的表面积为8
D．PN 与平面 EBFN 所成角的正弦值为
2
2
【答案】BCD
【解析】BF 与 AE 所成角是 60°，故 A错，其他选项均正确，故选:BCD．
【点睛】本题考查了“阿基米德多面体”这一新概念,考查了空间思维及想象能力,属于中档题．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．
13.
62x
x
的展开式中 2x 的系数为_________.(用数字作答)
【答案】60
【解析】由题得 6 1 6 2
1 6 6( 2) ( 2)
rr r r r r r
rT C x x C x
.
令6 2 2r ，解得 2r = ，
所以 2x 的系数为
2 2
6 ( 2) 60C . 故答案为：60
【点睛】本题考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题.
14.写出一个对称中心为（ ，0）的函数 f（x）＝ ．
【答案】y＝sin（x﹣ ）(答案不唯一)
【解析】y＝sin（x﹣ ）的对称中心为（ ，0），答案不唯一，正确即可．
【点睛】本题属于开放式试题,考查了三角函数的性质,属于基础题.
15.已知点 P（x，y）是抛物线 y2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x+2）2+（y﹣4）2＝1 上任意一点，则|PQ|+x 的
最小值为_____．
【答案】3
【解析】画出图像,设焦点为 (1,0)F ,由抛物线的定义有 1PF x ,故 1x PF .
又 PQ QC CP 当且仅当 , ,C Q P共线且Q为CP与圆C的交点时 PQ 取最小值为
1PC QC PC .故 PQ x 的最小值为 1 1 2PC PF PC PF .
又当 P为线段CF 与抛物线的交点时 PC PF 取最小值,
此时 2 22 2 [1 ( 2)] (0 4) 2 3PQ x PC PF CF
【点睛】本题考查了(1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距
离.
(2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系，属于中档题.
16.已知 x＞0，f（x）＝x2+ex，g（x）＝（m2+1）x+lnx，若 f（x）≥g（x）恒成立，则实数 m 的取值范围
是 ．
【答案】3
【解析】f（x）≥g（x）恒成立⇔x
2
+e
x
≥g（m
2
+1）x+lnx（x＞0）恒成立⇔（m
2
+1）≤ （x＞0）
恒成立，
令 h（x）＝ ＝x+ ﹣ ，
则 h′（x）＝ ，
再令 t（x）＝（x﹣1）ex+x2+lnx﹣1（x＞0），
则 t′（x）＝xe
x
+2x+ ＞0 恒成立，
∴y＝t（x）在（0，+∞）上单调递增，又 t（1）＝h′（1）＝0，
∴当 x∈（0，1）时，t′（x）＜0，即 h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减；
当 x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，即 h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增；
∴h（x）min＝h（1）＝1+e，
∴m2+1≤1+e，
解得：﹣ ≤≤ ，
故答案为：[﹣ ， ]．
【点晴】本题考查了不等式恒成立问题，通过构造函数利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理能力
与数学运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知 ABC 的内角A， B，C的对边分别为 a，b， c，在① ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C ；
② sin sin
2
B Cb a B
；③
22 3 sin sin 3 0
2
A A ；这三个条件中任选一个完成下列内容：
（1）求A的大小；
（2）已知 ABC 外接圆半径 3R ， 3AC ，求 ABC 的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
3
A
；（2）3 3 3 .
【解析】（1）选择①：由正弦定理得 ( )a b a b c b c ， 2 2 2a b c bc ，
由余弦定理得
1cos
2
A
0 A ，
3
A
.
选②：由正弦定理得 sin sin sin sin
2 2
AB A B
， sin 0B ，
cos sin
2
A A ，
1sin
2 2
A
，
0,A ，
3
A
.
选③：
22 3 sin sin 3 0
2
A A ，､
1 cos2 3 sin 3 0
2
A A
即 sin 3 cos 0A A ，
tan 3A ，
又0 A ，
3
A
.
（2） 2
sin
a R
A
，
2 sin 2 3sin 3
3
a R A
，
3AC b ，
由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
2 3 6 0c c ，
0c Q ，所以得 2 3c ，
周长 3 3 3a b c .
【点晴】本题考查了在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中
若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注
意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围，属于基础题．
18.已知等差数列的首项为 2，前 n项和为 Sn，正项等比数列{bn}的首项为 1，且满足，前 n项和为 a3＝2b2，
S5＝b2＋b4．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设 3 31 log logn
n n nc S b ，求数列{cn}的前 26 项和．
【答案】（1） 2na n ，
13nnb
；（2）328.
【解析】（1）由题意得：
1 1
3
1 1 1
2 2
5 45
2
a d b q
a d b q b q
即 3
2 2 2
10 10
d q
d q q
，
∴ 3 9 0q q ，∵ nb 是正项等比数列，∴ 3q ，则 2d ，
∴ 2 2 1 2na n n ，
1 11 3 3n n
nb
.
（2） 1 2 2 1
2nS n n n n ，
则 1
3 3 31 log 1 log 3 1 log 1 log 1 1n n nn
nc n n n n n
∴ nc 的前 26 项和为：
26 3 3 3 3 3 3log 1 log 2 0 log 2 log 3 1 log 3 log 4 2T
3 3 3 3log 25 log 26 24 log 26 log 27 25
3 3
26 0 25
log 1 log 27 3 325 328
2
.
【点晴】本题考查了求等差数列与等比数列的通项以及数列求和，其中数列求和关键看通项的结构形式，
如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错
位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，
则用并项求和法，属于基础题.
19.近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系
统．现从评价系统中选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为
3
5
，对服务的好评
率为
7
10
，其中对商品和服务均为好评的有 80 次．
（1）是否可以在犯错误概率不超过 0.1 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 4 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变
量 X，求对商品和服务全好评的次数 X的分布列及其期望．
参考公式：独立性检验统计量
2
2 n ad bc
K
a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
临界值表：
2
0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）答案见解析；（2） 8
5
E X
解析：（1）由题意可得关于商品和服务评价的 2×2 列联表如下：
对服务好评 对服务不满意 总计
对商品好评 80 40 120
对商品不满意 60 20 80
总计 140 60 200
22 200 1600 2400
1.587
140 60 120 80
K
，1.587 2.706 ，所以，不可以在犯错误概率不超过 0.1 的前提下，认
为商品好评与服务好评有关.
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为
2
5
，且 X 的取值可以是 0，1，2，3，4.其中
4
4
3 810
5 5
P X
；
3
1
4 4
2 3 2161
5 5 5
P X C
；
2 2
2
4 4
2 3 2162
5 5 5
P X C
；
3
3
4 4
2 3 963
5 5 5
P X C
；
4
4
2 164
5 5
P X
.X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
4
81
5 4
216
5 4
216
5 4
96
5 4
16
5
由于
2~ 4,
5
X B
，则 8
5
E X .
【点睛】本题考查了利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数
学期望值，考查数据处理能力，属于中档题.
20.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，CD//AB， 90ABC ， BD PA， 2 2 4AB BC CD ．
（1）证明：BD平面 PAD；
（2）设平面 PAD平面 PBC l，l 平面 ABCD G， 2PA PD ．在线段 PG上是否存在点 M，使得二面
角 P DC M 的余弦值为
6
3
？若存在，求出
PM
PG
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
1
3
PM
PG
.
【解析】(1) 在直角梯形 ABCD中，易知 2 2BD ， 2 2AD
2 2 2DA DB AB
DA DB
DB PA 且 PA DA A
DB 平面 PAD
(2) 延长 AD与 BC交于点G，连结 PG
取 AD的中点O，联结 PO，因为 PA PD ，易证 PO 面 ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，假
设存在点M 符合题意，且 (0 1)PM PG
(0,0, 2)P ， ( 2,0,0)D ， ( 2 2, 2,0)C ， ( 3 2,0,0)G
( 2, 2,0)DC
， ( 2,0, 2)DP
设面DPC的法向量 , ,n x y z
2 2 0
2 2 0
n DM x z
n DC x y
，
令 1x ，则 1y ， 1z
( )1,1, 1n
= -
DM DP PM DP PG
( 2 3 2 ,0, 2 2 )DM
同理可得面DCM 的法向量：
1 ( 1, 1,1 3 )n
1
1 2
1
5 3 6cos ,
33 11 10 3
n n
n n
n n
1
3
故存在满足条件的点M ，且
1
3
PM
PG
；
【点睛】本题考查了证明线面垂直，根据二面角的大小求参数，本题的关键是作出平面 PAD和平面PBC的
交线，从而可以设出点M 的坐标，属于中档题.
21.已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a b
a b
的离心率为
2
2
，点
21,
2
在椭圆 C上.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点
6 ,0
3
P
的直线交椭圆 C 于 E、F 两点， 2 2
1 1
EP FP
是否为定值？若为定值，求出定值；若
不为定值，请说明理由
【答案】（1）
2
2 1
2
x y ；（2）为定值 3.
【解析】（1）由题意可得 2 2
2 2 2
2
2
1 1 1
2
c
a
a b
a b c
，解得
2
2
2
1
a
b
，
所以椭圆C的方程为
2
2 1
2
x y ．
（2）当过点
6(
3
P ， 0)的直线不是 x轴，设方程为
6
3
x ny ，
由
2
2 1
2
6
3
x y
x ny
，
消去 x得 2 23( 2) 2 6 4 0n y ny ，
△ 272 96 0n ，设 1(E x ， 1)y ， 2(F x ， 2 )y ，
则 1 2 2
2 6
3( 2)
ny y
n
， 1 2 2
4
3( 2)
y y
n
，
又 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
6 6 6| | ( ) (0 ) ( ) (0 ) (1 )
3 3 3
EP x y ny y n y ，
同理
2 2 2
2| | (1 )FP n y ，
所以 2 2
1 1
| | | |EP FP
2 2 2
1 2
1 1 1( )
1 n y y
2
1 2 1 2
2 2
1 2
( ) 21 ·
1 ( )
y y y y
n y y
2
2 2
2
2
2
2 6 8[ ]
1 3( 2) 3( 2)· 41 [ ]
3( 2)
n
n n
n
n
，
3 ，
当过点 P的直线为 x轴时，则设
62
3
EP ，
62
3
FP ，
则
2 2
2 2
1 1 1 1 3
| | | | 6 6( 2 ) ( 2 )
3 3
EP FP
，
综上可知 2 2
1 1
| | | |EP FP
为定值，定值为 3．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，定值问题，属于中档题．
22.已知函数 2 ln 0f x x x a a ， 0,1x ．
（1）讨论函数 f x 的单调性；
（2）若 lnxf x ae x 对 0,1x 恒成立，求实数 a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
1 ,
e
.
【解析】（1）因为 2 lnf x x x a ， 0,1x ，
所以 ln 2f x a x ， 0,1x ，
若 20 a e ，即 ln 2a ，
当 0,1x 时， 0f x ，函数 f x 单调递减；
若 1a ， ln 0a ，当 0,1x 时， 0f x ，函数 f x 单调递增；
若 2 1e a 时，即 2 ln 0a ，
ln0 1
2
a
，
若
ln0
2
ax 时， 0f x ，函数 f x 单调递减；
若
ln 1
2
a x 时， 0f x ，函数 f x 单调递增；
综上所述，当 20 a e 时，函数 f x 在 0,1x 单调递减；
当 2 1e a 时，函数 f x 在
ln0,
2
ax
单调递减；函数 f x 在
ln ,1
2
ax
单调递增．
当 1a 时，函数 f x 在 0,1x 单调递增．
（2）因为 2ln lnxae x x x a ，
所以
ln ln ln x
x x
aex
x ae
x a
ae
，即
ln nl x
x
ae
ae x
x
对任意 0,1x 恒成立，
设 lnH x
x
x
，则 2
1 ln xH x
x
，
所以，当 0,1x 时， 0H x ，函数 H x 单调递增，
当 0,1x 时， 0H x ，
若 1xae x ，则 0xH ae H x ，
若0 1xae ，因为 xH ae H x ，且 H x 在 0,1 上单调递增，
所以 xae x ，
综上可知， xae x 对任意 0,1x 恒成立，即 x
xa
e
对任意 0,1x 恒成立．
设 x
xG x
e
， 0,1x ，则 1 0x
xG x
e
，所以 G x 在 0,1 单调递增，
所以 11 aG x G
e
，即 a的取值范围为
1 ,
e
．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的解题关键
是在于转化，转化为求函数的单调性，化简不等式，再用分离参数法转化为求函数的最值，属于稍难题．
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