精选22 解三角形（解答题）（解析版）-2021年高考数学108所名校押题精选（新高考地区专用）

1 精选 22 解三角形（解答题） 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如 果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦 或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用 到． 1．在① 2 2 2 3a b c S   ；②5 3 5 cosa c b C  ，这两个条件中任选一个，补充在下面问 题中，然后解答补充完整的题目． 在 ABC 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，设 ABC 的面积为 S，已知_____________． （1）求 tanB的值； （2）若 12S  ， 5a  ，求 b的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） 4tan 3 B  ；（2） 5b  ． 【解析】（1）选择条件①．由題意得 2 2 23 sin 2 ac B a c b   ．即 2 2 23 sin 4 2 a c bB ac    整理可得 3 sin cos 4 B B ，所以 sin 4tan cos 3 BB B   ．选择条件②．因为5 3 5 cosa c b C  ， 由正弦定理得，5sin 3sin 5sin cosA C B C  ，5sin( ) 3sin 5sin cosB C C B C   ， 即 sin (5cos 3) 0C B   ，在 ABC 中， sin 0C  ，所以 3cos 5 B  ， 2 4sin 1 cos 5 B B   ，所以 sin 4tan cos 3 BB B   ． （2）由 4tan 3 B  ，得 4sin 5 B  ，又 12S  ， 5a  ， 则 1 1 4sin 5 12 2 2 5 S ac B c     ，解得 6c  ． 由余弦定理得： 2 2 32 cos 25 36 2 5 6 5 5 b a c ac B          ，即 5b  ． 2．在① cos 2 3 sin 2 0B B   ，② 2 cos 2b C a c  ，③ cos 1 3 sin b B a A   三个条件中任 选一个，补充在下面问题中，并加以解答． 已知 ABC 的内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若_____，且 a，b，c成等差数列， 则 ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】①；证明见解析 【解析】选择① cos 2 3 sin 2 0B B   ， 证明：则由余弦降幂公式可得 21 2sin 3 sin 2 0B B    ， 即   2sin 3 sin 3 0B B   ，由0 B   可得 3sin 2 B  ， 又因为 a，b，c成等差数列，则 B 为锐角，则 2b a c  ， 3 B   ， 由余弦定理可知 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，代入可得  22 3b a c ac   ，即 2b ac ， 则 2 2 a c ac      ，化简可得  2 0a c  ，即 a c ，又因为 3 B   ， 所以 ABC 为等边三角形． 3．在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C所对的边，且满足 sin A＋ 3 cos A＝2． （1）求角 A的大小； （2）现给出三个条件：①a＝2；②B＝ 4  ；③c＝ 3 b．试从中选出两个可以确定△ABC的 条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可) 【答案】（1） 6  ；（2）选择①②， 3 ＋1；选择①③， 3 ；选择②③，无法确定△ABC． 【解析】（1）依题意得 2sin 3 A      ＝2，即 sin 3 A      ＝1， ∵0