精选28 导数及其应用（解答题）（解析版）-2021年高考数学108所名校押题精选（新高考地区专用）

1 精选 28 导数及其应用（解答题） 1．用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： （1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； （2）不能随意将函数的 2 个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； （3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题 过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用． 2．对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题，通常要根据参数进行分类讨论，要注意 分类讨论的原则：互斥、无漏、最简． 3．解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极 值破解． 4．利用导数解决函数零点问题的方法： （1）先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数 图象与 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想 和分类讨论的思想； （2）构造新函数，将问题转化为研究两函数的图象的交点问题； （3）分离参变量，即由 ( ) 0f x  分离参变量，得 ( )a x ，研究直线 y a 与 ( )y x 的图象的交点问题． 1．已知函数 2( ) xf x e ax  ． （1）设函数    g x f x ，讨论  g x 的单调性； （2）当  1,x  时， ( ) 2 ef x  恒成立，求 a 的取值范围． 2．已知函数 2( ) 4 ( 1)( 0)xf x x x ae x a     ， ( ) ln 1( R)g x x mx m m     ． （1）讨论  f x 的单调性； （2）若对于任意 (0,1]x ，存在 ( 1,1)m  使得不等式 ( ) ( )g x f m 成立，求实数 a 的取 值范围． 3．已知函数 ( ) lng x x a x  ． （1）讨论 ( )g x 的单调性； （ 2 ） 若 2a  ， 且  1( )f x g xx   存 在 两 个 极 值 点 1 2,x x  1 2x x ， 证 明 ：      1 2 1 2( 2)f x f x a x x    ． 4．已知函数   sinf x x ax  ，  = ln 1xg x x x e  ， 2.71828e   为自然对数的底数． （1）当  0,x  ，   0f x  恒成立，求 a 的取值范围； （2）当 0a  时，记      h x f x g x  ，求证：对任意  1,x  ，   0h x  恒成立． 5．已知函数   lnxf x x  ． （1）求函数  f x 的单调区间； （2）设    g x f x x  ，求证：   1g x   ； （3）设     2 22 4 1h x f x x ax a     ，若存在 0x 使得  0 0h x  ，求 a 的最大值． 6．已知函数 ( ) (ln )sinxf x e x a x   ． （1）若 ( ) ln sinf x x x  恒成立，求实数 a 的最大值； （2）若 ( ) 0f x  恒成立，求正整数 a 的最大值． 7．已知函数 ln 1( ) x xf x e  ． （1）求 ( )f x 的最大值； （2）当 1x 时， 2(ln 1) xax x e  恒成立，求 a 的取值范围． 3 8．设函数 2 2( ) ln2 xf x k x  ， 0k  ． （1）求 ( )f x 的单调区间和极值； （2）证明：若 ( )f x 存在零点，则 ( )f x 在区间 (1, e] 上仅有一个零点． 9．已知函数     21 xf x x e ax   有两个零点． （1）求 a 的取值范围； （2）设 1x ， 2x 是  f x 的两个零点，证明： 1 2 0x x  ． 10．设函数   2 2ln 2f x a x x  （ a R ）． （1）若 [ 1,1]a  ，  f x 在 1x  处的切线在坐标轴上的截距之和为  g a ，求  g a 的范 围； （2）讨论函数  f x 的极值情况，并求出当函数  f x 的极大值为 0 时实数 a 的值． 11．已知函数     1 1 ln 1f x a x x     ，   1 xg x xe  ． （1）求  g x 在区间 0,e 上的值域； （2）是否存在实数 a ，对任意给定的  0 0,x e ，在 1,e 存在两个不同的  1,2ix i  使得    0if x g x ，若存在，求出 a 的范围，若不存在，说出理由． 12．已知 ( ) lnb xf x ax x c    ． （1）当 11, 1, 2a b c   时，求 ( )f x 在[1,2] 上的最大值； （2）当 1, 1,b c a R    时，讨论 ( )f x 的单调性． 13．已知函数 sin2( ) (n )l 1f x x x   ， sin) 2(g x x x  ． （1）求证： ( )g x 在区间 (0, ]4  上无零点； （2）求证： ( )f x 有且仅有 2 个零点． 14．已知函数    21 1 ln2f x x ax a x    ． （1）若 1a  ，讨论函数  f x 的单调性； （2）设      1 lng x f x a x x    ，是否存在实数 a ，对任意 1x ，  2 0,x   ， 1 2x x ， 有    1 2 1 2 0g x g x ax x    恒成立？若存在，求出 a 的范围；若不存在，请说明理由． 15．已知函数 ( ) ln ( )f x x ax a R   ． （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）当 1a  时， ( ) ( ) ( 2) xg x f x x e   ，记函数 ( )y g x 在 1 ,14      上的最大值为 m ，证 明： 3m   ． 16．已知函数   ln 1f x x ax   ，其中 a R ． （1）记     2g x f x x  ，求  g x 的单调区间； （2）是否存在 k Z ，使得   22 1f x ax k x        对任意 1x  恒成立？若存在，请求 出 k 的最大值；若不存在，请说明理由． 17．已知函数 1( ) ( 2)xf x e a x x     在区间 ( 1,0) 内存在零点． （1）求 a 的范围； （2）设 2 2 ea  ， 1 2 2 1, ( )x x x x 是 ( )f x 的两个零点，求证： 1 2 2x x  ． 5 18．已知函数 1( ) lnf x a x x x    ，其中 0a  ． （1）若  f x 在 (2, ) 上存在极值点，求 a 的取值范围； （2）设  1 0,1x  ， 2 (1, )x   ，若    2 1f x f x 存在最大值，记为  M a ，则当 1a e e   时，  M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由 19．已知函数   lnxf x x e a x ax    ． （1）若 a e ，讨论  f x 的单调性﹔ （2）若对任意 0x  恒有不等式   1f x  成立，求实数 a 的值． 20．已知函数        1 ln , 1 f xf x x ax x a g x x      R （1）当 1 2a   时，求  f x 的最小值； （2）当 0 1a  时，  g x m 恒成立，求整数 m 的最小值． 21．已知函数     22 2 x af x x e x ax    ， aR ． （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）当 1x  时，不等式     21 2 02 x af x x e x ax a      恒成立，求 a 的取值范围． 22．若对任意的实数 k 、b ，函数  y f x kx b   与直线 y kx b  总相切，则称函数  f x 为“恒切函数”． （1）判断函数   2f x x 是否为“恒切函数”； （2）若函数    ln 0f x m x nx m   是“恒切函数”，求实数 m 、 n 满足的关系式； （3）若函数    1x xf x e x e m    是“恒切函数”，求证： 1 04 m   ． 23．已知函数 f(x)=xlnx- 1 2 x2+(a-1)x(a∈R)． （1）讨论函数 f(x)的极值点的个数； （2）若函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)>2a-3． 24．已知函数   3x xf x xe e  ． （1）求   f x 的极值； （2）若     lng x f x x x   在 1 ,14      上的最大值为  ，求证：  3 46 7e f e     ． 25．已知函数      2 21 12ln 1 ln 24 2f x x x ax x x     ． （1）讨论  f x 的单调性． （2）试问是否存在  ,a e  ，使得   13 sin4 4 af x   对  1,x  恒成立？若存在， 求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 26．已知函数   2xf x ax e   ，其中 0a  ． （1）讨论  f x 的单调性． （2）是否存在 a R ，对任意  1 0,1x  ，总存在  2 0,1x  ，使得    1 2 4f x f x  成立？ 若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由． 27．已知函数 ( ) 2, ( ) lnxf x e x g x x x     ，若 1x 是函数  f x 的零点， 2x 是函数  g x 的零点． （1）比较 1x 与 2x 的大小； （2）证明：    2 1 0f x g x  ． 7 28．已知函数 1( ) cosxf x e x ， 2( ) xg x e  ． （1）求函数 ( )f x 在 ( , )  上的单调区间； （2）证明：对任意的实数 1x ， 2 11, 2x      ， 1 2x x ，都有        1 2 1 22 2g x g x f x f x   恒成立． 29．已知函数 ( ) ( 1) 15af x x a lnx ax      ，其中 0a  ，且 1a   （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）设函数 3 2 2( 2 3 6 4 6 ) ( 1)( ) ( ( ) ( 1) xx ax ax a a e xg x e e f x x          „ 是自然对数的底数），是否 存在 a ，使 ( )g x 在[a ， ]a 上是减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理 由． 30．已知函数 21 1( ) 4 ln2 2f x x ax a x a     ，其中 a R ． （1）当 1a  时，求函数 ( )f x 在 1x  处的切线方程； （2）记函数 ( )f x 的导函数是 ( )f x ，若不等式 ( ) ( )f x xf x 对任意的实数 (1, )x  恒 成立，求实数 a 的取值范围； （3）设函数 ( ) ( ) 2g x f x a  ， ( )g x 是函数 ( )g x 的导函数，若函数 ( )g x 存在两个极值 点 1x ， 2x ，且      1 2 1 2g x g x g x x  ，求实数 a 的取值范围． 31．已知函数 1 1( ) sin ln 1, ( ) ( ) sin2 2f x x x m x g x f x x      ． （1）求函数 ( )g x 的单调区间和极值； （2）当 1x 时，若不等式 1( ) 0xg x x e    恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）若存在  1 2, 0,x x   ，且当 1 2x x 时， 1 2( ) ( )f x f x ，证明： 1 2 2 14 x x m  ． 32．已知1 2a  ，函数   exf x x a   ，其中 e=2．71828…为自然对数的底数． （1）证明：函数  y f x 在 (0 ) ， 上有唯一零点； （2）记 x0 为函数  y f x 在 (0 ) ， 上的零点，证明： （ⅰ） 01 2( 1)a x a    ； （ⅱ） 0 0 (e ) (e 1)( 1)xx f a a   ．