理科数学-考场仿真演练卷（全国Ⅲ卷）02（A3考试版+全解全析）

理科数学试题 第 1页（共 18页） 理科数学试题 第 2页（共 18页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 绝密★启用前 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国Ⅲ卷）02 理科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1．已知复数 1z 、 2z 在复平面内对应的点分别为 )11( ， 、 )10( ， ，则 2 1 z z 的共轭复数为（ ）。 A、 i1 B、 i1 C、 i1 D、 i1 2．已知 p ： }01 2|{   x xxAx ， q ： }0|{  axxBx ，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取 值范围是（ ）。 A、 )1( ， B、 ]1( ， C、 )2[ ， D、 )2( ， 3． 2020 年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰 高多彩，呈现形式新颖多样。某小区的 5 个家庭买了8 张连号的门票，其中甲家庭需要 3 张连号的门票，乙 家庭需要 2 张连号的门票，剩余的 3 张随机分到剩余的 3 个家庭即可，则这8 张门票不同的分配方法的种数 为（ ）。 A、 48 B、 72 C、108 D、120 4．已知定义域为 R 的奇函数 )(xf 满足： 0)()3(  xfxf ，且当 )02 3( ，x 时， 1 12)( 2   x xxf ，则 )2021(f （ ）。 A、 2 1 B、 2 1 C、1 D、 2020 5．运行如右图所示的程序框图，则输出的 k 的值为（ ）。 A、11 B、12 C、13 D、14 6．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有 n 把钥匙依次分给 n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打 开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（ ）。 A、1 B、 2 1n C、 2 1n D、 n 7．已知函数 )(xf 的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）。 A、 xxxf ln)(  B、 xexxf )( C、 x xxf ln)(  D、 x exf x )( 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）。 A、 2 B、 4 C、 3 16 D、 3 22 9． 32 )1( xx  的展开式中的常数项为 a ，则直线 axy  与曲线 2xy  围成图形的面积为（ ）。 A、 2 3 B、 8 27 C、 4 27 D、 2 9 10．已知 02ln 111  yxx ， 02ln242 22  yx ，记 2 21 2 21 )()( yyxxM  ，则 M 的最小值为（ ）。 A、 5 2 B、 5 4 C、 5 8 D、 5 12 11．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面 ABCD 为正方形， 2AB ，侧面 PAD 为等边三角形，线段 BC 的中点为 E ，若 1PE ，则所需球体原材料的最小体积为（ ）。 A、 3 28  B、 3 28 C、 9 D、 3 314  12．如图所示，半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD ，它的下底 AB 为圆 O 的直径，上底 CD 的端点在圆周 上，若双曲线以 A 、 B 为焦点，且过 C 、 D 两点，则当梯形 ABCD 周长最大时，双曲线的实轴长为（ ）。 A、 33 B、 232  C、 233  D、 133  第Ⅱ卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知函数 )(xf 和 )2( xf 都是奇函数，定义域为 R ，当 )20( ，x 时， xxxf  sin)( ，则  )13()21( ff 。 14．如图所示，在 ABC 中， BCBD 3 1 ，点 E 在线段 AD 上移动(不含端点)，若 ACABAE  ，则   ， 2 的最小值是 。 15．已知点 )( yxP ， 是直线 l ： 04  ykx ( 0k )上的动点，过点 P 作圆 C ： 0222  yyx 的切线 PA， 理科数学试题 第 3页（共 18页） 理科数学试题 第 4页（共 18页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … A 为切点。若 || PA 最小为 2 时，圆 M ： 022  myyx 与圆 C 外切，且与直线 l 相切，则 m 的值为 。 16．在数列 }{ na 中， 41 a 、 62 a ，且当 2n 时， 941  nn aa ，则 na ；若 nT 是数列 }{ nb 的前 n项和， 1 )3(9   nn n n aa ab ，则当 )8 7)(3(5 1 nn Ta   为整数时 n 。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 中国探月工程自 2004 年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项 中国首次。2020 年12 月1日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采 样返回，为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100 名学生进行 调查，调查样本中有 40 名女生。下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关注“嫦娥五号” 的部分) 关注 没关注 合计 男 女 合计 附： ))()()(( )( 2 2 dbdccaba bcadnK   ，其中 dcban  )( 0 2 kKP  150.0 100.0 050.0 010.0 005.0 0k 072.2 706.2 841.3 635.6 879.7 （1）完成上面的 22 列联表，并计算回答是否有 %95 的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”? （2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽 3 人，记被抽取的 3 名女生中对“嫦娥五号”新闻关 注的人数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望。 18．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，已知边 2c ，且 CBaAa sin2sinsin  Bb sin 。 （1）若 AABC 2sin)sin(sin  ，求 ABC 的面积； （2）记 AB 边的中点为 M ，求 || CM 的最大值，并说明理由。 19．（本小题满分 12 分） 如图 1，在直角三角形 ABC 中， C 为直角， 30A ， D 在 AC 上，且 3 DCDA ，作 ABDE  于 点 E ，将 ADE 沿直线 DE 折起到 PDE 所处的位置，连接 PB 、 PC ，如图 2。 （1）若平面 PDE 平面 BCDE ，求证： PDBE  ； （2）若二面角 ADEP  为锐角， 且二面角 EBCP  的正切值为 9 62 ，求 PB 的长。 20．（本小题满分 12 分） 设函数 xaxxf ln)(  ，其中 Ra  ，曲线 )(xfy  在点( )1(1 f， )处的切线经过点 )23( ， 。 （1）求函数 xaxxf ln)(  的极值； （2）证明： ee xxf x 2)(  。 21．（本小题满分 12 分） 如图所示， 1F 、 2F 分别是椭圆C ： 12 2 2 2  b y a x ( 0 ba )的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上。当 21PFF 最大 时， 5 3cos 21  PFF 且 2212  FFPF 。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 2PF 与椭圆 C 的另一交点为 Q ，过 1F 作直线 PQ 的垂线 l ， l 与圆 222 byx  交于 A 、 B 两点， 求四边形 APBQ 面积的最大值。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目 计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为      sin cos ty tx (t 为参数且 0t ， )20(  ， )，曲线 2C 的参数 方程为      sin1 cos y x ( 为参数且 )22(  ， )，以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 3C 的 极坐标方程为  cos1 ( )20(  ， )，曲线 4C 的极坐标方程为 1cos  。 （1）求 3C 与 4C 的交点到极点的距离； （2）设 1C 与 2C 交于 P 点， 1C 与 3C 交于 Q 点，当  在 )20( ， 上变化时，求 |||| OQOP  的最大值。 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 a 、 b 大于 0 ，设 abx  ， 2 22 bay  。求证： （1） abxy  ； （2） bayx  。 理科数学试题 第 5页（共 18页） 理科数学试题 第 6页（共 18页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … 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【答案】D 【解析】若甲、乙 2 个家庭的 5 张票连号，则有 484 4 1 2 CC 种不同的分配方法， 若甲、乙 2 个家庭的 5 张票不连号，则有 722 4 3 3  AA 种不同的分配方法， 综上，这8 张门票共有 1207248  种不同的分配方法，故选 D。 4．已知定义域为 R 的奇函数 )(xf 满足： 0)()3(  xfxf ，且当 )02 3( ，x 时， 1 12)( 2   x xxf ，则 )2021(f （ ）。 A、 2 1 B、 2 1 C、1 D、 2020 【答案】A 【解析】∵函数 )(xf 为奇函数，∴ )()( xfxf  ，∴ )3()3(  xfxf ， 又 0)()3(  xfxf 得 )3()3()(  xfxfxf ， 即 )()3( xfxf  ，∴ )(xf 的周期为 3T ， ∴ )1()2()26733()2021(  ffff ， 又当 )02 3( ，x 时， 1 12)( 2   x xxf ，∴ 2 1)1( f ，∴ 2 1)2021( f ，故选 A。 5．运行如右图所示的程序框图，则输出的 k 的值为（ ）。 A、11 B、12 C、13 D、14 【答案】C 【解析】由算法框图可知， S 是首项为1，公比为 2 的等比数列的前 n项和， 即 12222 110   kkS ， ∵ 12)12(log 12 2  ， 12)2(log)12(log 12 2 13 2  ， 13k ，故选 C。 6．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有 n把钥匙依次分给 n名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打 开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（ ）。 A、1 B、 2 1n C、 2 1n D、 n 【答案】C 理科数学试题 第 7页（共 18页） 理科数学试题 第 8页（共 18页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 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、 x 轴围成图形的面积(如图)， 由      2 3 xy xy 得 )93( ，A ， 由定积分的意义得所求面积为： 2 933 1 2 27932 1 33 0 2   dxxS ，故选 D。 10．已知 02ln 111  yxx ， 02ln242 22  yx ，记 2 21 2 21 )()( yyxxM  ，则 M 的最小值为（ ）。 A、 5 2 B、 5 4 C、 5 8 D、 5 12 【答案】B 【解析】设 )( 11 yxA ， 、 )( 22 yxB ， ，点 A在函数 2ln  xxy 上，点 B 在直线 02ln242  yx 上， ∴ M 的最小值为函数 2ln  xxy 上的点到 直线 02ln242  yx 的距离的最小值的平方， 函数 2ln  xxy 的导数为 11  xy ， 与直线 02ln242  yx 平行的直线的斜率为 2 1 ， 令 2 111  xy ，解得 2x ，∴切点的坐标为 )2ln2( ， ， ∴切点到直线 02ln242  yx 的距离 5 2 21 |2ln242ln22| 22   d ， ∴ 5 42  dM ，故选 B。 理科数学试题 第 9页（共 18页） 理科数学试题 第 10页（共 18页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 11．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面 ABCD 为正方形， 2AB ，侧面 PAD 为等边三角形，线段 BC 的中点为 E ，若 1PE ，则所需球体原材料的最小体积为（ ）。 A、 3 28  B、 3 28 C、 9 D、 3 314  【答案】A 【解析】如图所示，设 F 为 AD 中点，G 为正方形 ABCD 中心， 连 EF 、 AC ， GACEF  ， 设四棱锥的外接球的球心为 O ，半径为 r ， 则球心 O 一定在过点G 且垂直于底面 ABCD 的垂线上， ∴ EFOG  ， 1 FGEG ，∵ PAD 是边长为 2 的等边三角形，∴ 3PF ， 又 1PE 、 2 ABEF ，∴ PEPF  ，∴ 60PEF ，又 1 CEBEPE ， ∴ E 为 PBC 外心，则球心 O 一定在过点 E 且垂直于侧面 PBC 的垂线上， ∴ PEOE  ，∴ 30OEG ，∴ 3 3 3 3  EGOG ， 又∵ 22 1  ACAG ，∴ 3 21 3 1222  OGAGAOr ， 此时球心 O 在四棱锥 ABCDP  外，不是最小球，浪费材料， 可把底面 ABCD 的外心 G 看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥 ABCDP  的外接球， 但这时候原材料最省，最小球的半径 2 AGR ， 3 28 3 4 3  RV球 ，故选 A。 12．如图所示，半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD ，它的下底 AB 为圆 O 的直径，上底CD 的端点在圆周 上，若双曲线以 A、 B 为焦点，且过 C 、 D 两点，则当梯形 ABCD 周长最大时，双曲线的实轴长为（ ）。 A、 33 B、 232  C、 233  D、 133  【答案】B 【解析】 2R ，设  ABCBAC ，作 ABCE  于点 E ， 则  sin4sin2RBC ，  22 sin4sin2)90cos( RBCBE  ， ∴  22 sin84sin422RCD ， 则梯形周长  2sin84sin4222 RCDBCAB 8sin8sin8sin84sin84 22  10)2 1(sin8 2  ， 当 2 1sin  ，即 30 时周长有最大值10 ，这时 2 RBC ， 323  RAC ， 13)13(2 1)(2 1  RBCACa ， ∴双曲线的实轴长 a2 为 232  ，故选 B。 13．已知函数 )(xf 和 )2( xf 都是奇函数，定义域为 R ，当 )20( ，x 时， xxxf  sin)( ，则  )13()21( ff 。 【答案】 0 【解析】由 )(xf 和 )2( xf 都是奇函数可知： )()( xfxf  ， )2()2()2(  xfxfxf ， 则 )4()(  xfxf ，故 )(xf 是周朝为 4 的奇函数， 则 )1()1()21( fff  ， )1()13( ff  ，则 0)13()21(  ff 。 14．如图所示，在 ABC 中， BCBD 3 1 ，点 E 在线段 AD 上移动(不含端点)，若 ACABAE  ，则   ， 2 的最小值是 。 【答案】 2 16 1 【解析】∵ ABACBC  ， BCBD 3 1 ，∴ ACABBDABAD 3 1 3 2  ， ∵点 E 在线段 AD 上移动(不含端点)，∴设 ADtAE  ， 10  t ， 则 ACABADtAE  ，∴ ACtABtAD  ， 对应相等得 3 2 t 、 3 1 t ，∴ t3 2 、 t3 1 ，则 2  ， 又 16 1)4 1 3 2(3 1)3 2( 222  ttt ，∴当 8 3t 时 2 取最小值为 16 1 。 15．已知点 )( yxP ， 是直线l ： 04  ykx ( 0k )上的动点，过点 P 作圆 C ： 0222  yyx 的切线 PA， A为切点。若 || PA 最小为 2 时，圆 M ： 022  myyx 与圆 C 外切，且与直线 l 相切，则 m 的值为 。 【答案】 252  【解析】圆 C 的圆心为 )10( ，C ，半径为1， 当 CP 与 l 垂直时， || PA 的值最小，此时点 C 到直线 l 的距离为 21 |41| k d   ， 理科数学试题 第 11页（共 18页） 理科数学试题 第 12页（共 18页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 由勾股定理得 2 2 22 ) 1 |41|(21 k  ，又 0k ，解得 2k ， 圆 M 的圆心为 )20( mM ， ，半径为 |2| m ， ∵圆 M 与圆 C 外切，∴ |)1(2|1|2|  mm ，∴ 0m ， ∵圆 M 与直线 l 相切，∴ 5 |42| 2   m m ，解得 252 m 。 16．在数列 }{ na 中， 41 a 、 62 a ，且当 2n 时， 941  nn aa ，则 na ；若 nT 是数列 }{ nb 的前 n项和， 1 )3(9   nn n n aa ab ，则当 )8 7)(3(5 1 nn Ta   为整数时 n 。 【答案】       2343 14 2 n n n ， ， 24 【解析】当 2n 时，由 941  nn aa 得 )3(431  nn aa ， 故数列 }3{ na 从第二项起是首项为 3 ，公比为 4 的等比数列， 则当 2n 时， 343 2  n na ，又当 1n 时 1a 不符合该式，则        2343 14 2 n n a nn ， ， ， 当 1n 时， 8 3 11  bT ， ZTa  2 15)8 7)(3(5 12 ，不符合题意， 当 2n 时， 14 1 14 1 )14()14( 43 )343()343( )3343(9 1212 2 12 2             nnnn n nn n nb ， 此时 14 1 8 7)14 1 14 1()14 1 14 1(8 3 1121222321   nnnnn bbbbT ， 则 14 151514 1435 11 1    nn n ，由  是整数，得 14 1 n 是15的因数， ∴当且仅当 2n 时， 14 15 1 n 是整数，得 12 ，故 24n 。 17．（12 分）中国探月工程自 2004 年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标， 创造了许多项中国首次。2020 年12 月1日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地 外天体无人采样返回，为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100 名学生进行调查，调查样本中有 40 名女生。下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图(阴影区域表示关 注“嫦娥五号”的部分) 关注 没关注 合计 男 女 合计 附： ))()()(( )( 2 2 dbdccaba bcadnK   ，其中 dcban  )( 0 2 kKP  150.0 100.0 050.0 010.0 005.0 0k 072.2 706.2 841.3 635.6 879.7 （1）完成上面的 22 列联表，并计算回答是否有 %95 的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”? （2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽 3 人，记被抽取的3 名女生中对“嫦娥五号”新闻关 注的人数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望。 【解析】（1）完成上面的 22 列联表如表， 3 分 关注 没关注 合计 男 30 30 60 女 12 28 40 合计 42 58 100 841.3941.3203 800 40605842 )30122830(100 2 2  K ， ∴有 %95 的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”， 5 分 （2）∵随机选一高三女生，对此事关注的概率 10 3 40 12 P ， 6 分 又∵服从二项分布 )10 33(~ ，BX ， 1000 343)10 7()10 3()0( 300 3  CXP ， 1000 441)10 7()10 3()1( 211 3  CXP ， 1000 189)10 7()10 3()2( 122 3  CXP ， 1000 27)10 7()10 3()3( 033 3  CXP ， ∴随机变量 X 的分布列为： 10 分 X 0 1 2 3 P 1000 343 1000 441 1000 189 1000 27 ∴ 10 9 10 33)(  pnXE 。 12 分 18．（12 分）在 ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，已知边 2c ，且 CBaAa sin2sinsin  Bb sin 。 （1）若 AABC 2sin)sin(sin  ，求 ABC 的面积； （2）记 AB 边的中点为 M ，求 || CM 的最大值，并说明理由。 【解析】（1）在 ABC 中，  CBA ，∵ 2c ， BbCBaAa sinsin2sinsin  ， ∴ BbCcBaAa sinsinsinsin  ， 1 分 则由正弦定理得： 222 bcaba  ，即 abcba  222 ， 2 分 理科数学试题 第 13页（共 18页） 理科数学试题 第 14页（共 18页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 由余弦定理得： 2 1 2cos 222  ab cbaC ，则 3 C ， 3 分 ∵ AABC 2sin)sin(sin  ， ∴ AAABBA cossin2)sin()sin(  ， ∴ AABABABABA cossin2sincoscossinsincoscossin  ， ∴ AABA cossin2sincos2  ， ∴ 0cos A 或 AB sinsin  ，即 2 A 或 BA  ， 5 分 当 2 A 时， 6 B ， 3 32 3 326tan  cb ， ∴ 3 3223 32 2 1 2 1  bcS ABC ， 6 分 当 BA  时， ABC 为正三角形， 2 cba ， ∴ 32 3222 1sin2 1  AbcS ABC ； 7 分 （2）∵ AB 边的中点为 M ，∴ )(2 1 CBCACM  ， ∴ |)|||2|||(|4 1|| 222 CBCACBCACM  )(4 1)cos2(4 1 2222 abbaCabab  ， 9 分 由余弦定理可知： Cabbac cos2222  ，∵ 2c ， 3 C ，∴ 422  abba ， ∴ 12 1)42(4 1|| 2  ababCM ， 又∵ abba 222  ，∴ abab 24  ，∴ 4ab ， 11 分 ∴ 3|| 2 CM ，∴ 3|| CM ，故 || CM 的最大值为 3 。 12 分 19．（12分）如图1，在直角三角形 ABC 中， C 为直角， 30A ，D 在 AC 上，且 3 DCDA ，作 ABDE  于点 E ，将 ADE 沿直线 DE 折起到 PDE 所处的位置，连接 PB 、 PC ，如图 2。 （1）若平面 PDE 平面 BCDE ，求证： PDBE  ； （2）若二面角 ADEP  为锐角，且二面角 EBCP  的正切值为 9 62 ，求 PB 的长。 【解析】（1）由题意知， DEBE  ，又平面 PDE 平面 BCDE ，平面 PDE 平面 DEBCDE  ， BE 平面 BCDE ，∴ BE 平面 PDE ， 2 分 又 PD 平面 PDE ，∴ PDBE  ， 3 分 （2）由题意知， BEDE  、 PEDE  ， EPEBE  ， PE 平面 PBE ， EB 平面 PBE ，∴ DE 平面 PBE ， 4 分 又 DE 平面 BCDE ，∴平面 PBE 平面 BCDE ，作 BEPH  所在的直线于点 H ， 又平面 PBE 平面 BEBCDE  ， PH 平面 BCDE ， 以 H 为原点，分别以 HB 、 HP 所在直线为 x 、 z 轴， 以在平面 BCDE 内过点 H 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立如图的空间直角坐标系， 5 分 在 ABC 中， 90C ， 30A ， 3 DCDA ，∴ 4AB 、 2BC 、 2 3AE ， 设 )00( ，，bB ( 42 5  b )，则 ))2 5(4 900( 2 bP ，， 、 )031( ，，bC ， 则 )031( ，，BC 、 ))2 5(4 90( 2 bbBP ，， ， 6 分 设平面 PBC 的法向量为 )( zyxm ，， ， 则      0 0 BPm BCm ，即      0)2 5(4 9 03 2 zbbx yx ，取 3x ，则 1y ， 2)2 5(4 9 3   b bz ， ∴ ) )2 5(4 9 313( 2  b bm ，， ， 8 分 易知平面 BCE 的一个法向量为 )100( ，，n ， 9 分 由二面角 EBCP  的正切值为 9 62 ，得其余弦值为 35 33 ， 从而 35 33 41 || |||| |||cos| 2      z z nm nmnm， 得 2 272 z ， 10 分 ∴ 2 27 )2 5(4 9 3 2 2   b b ，解得 3b (取)或 11 12b (舍)， 11 分 ∴ 2PH 、 3HB ，则 1122  HBPHPB 。 12 分 20． （12 分）设函数 xaxxf ln)(  ，其中 Ra ，曲线 )(xfy  在点( )1(1 f， )处的切线经过点 )23( ， 。 （1）求函数 xaxxf ln)(  的极值； （2）证明： ee xxf x 2)(  。 理科数学试题 第 15页（共 18页） 理科数学试题 第 16页（共 18页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 【解析】（1） )(xf 的定义域为 )0( ， ， axaxf  ln)(' ， 1 分 则 0)1( f ， af  )1( ，故 )(xfy  在( )1(1 f， )处的切线方程 )1(  xay ， 2 分 ∵该切线经过点 )23( ， ，代入得 )13(2  a ，解得 1a ， 3 分 ∴ xxxf ln)(  ， 1ln)('  xxf ， 当 ex 10  时， 0)(  xf ，函数单调递减，当 ex 1 时， 0)(' xf ，函数单调递增，5 分 故当 ex 1 时，函数取得极小值 eef 1)1(  ，无极大值； 6 分 （2） ee xxf x 2)(  等价于： 02ln  ee xxx x ， 由（1）可得 exxxf 1ln)(  (当且仅当 ex 1 时等号成立)①， ∴ xx e x eee xxx  12ln ，故只要证明 01  xe x e 即可，(需验证等号不同时成立)，9 分 设 xe x exg  1)( ， 0x ，则 xe xxg 1)(  ， 当 10  x 时， 0)(  xg ，函数单调递减，当 1x 时， 0)(  xg ，函数单调递增， ∴ 0)1()(  gxg ，当且仅当 1x 时等号成立②， ∵①②等号不同时成立，∴当 0x 时， ee xxf x 2)(  。 12 分 21．（12 分）如图所示， 1F 、 2F 分别是椭圆 C ： 12 2 2 2  b y a x ( 0 ba )的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上。当 21PFF 最大时， 5 3cos 21  PFF 且 2212  FFPF 。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 2PF 与椭圆 C 的另一交点为 Q ，过 1F 作直线 PQ 的垂线 l ， l 与圆 222 byx  交于 A、 B 两点， 求四边形 APBQ 面积的最大值。 【解析】（1）当 21PFF 最大时，点 P 与椭圆 C 的上顶点或下顶点重合， 设 )0( bP ， ，则 5 3 2 )2(cos 222 21    aa caaPFF ①， 1 分 22)02()( 2 212  ccbcFFPF ，， ②， 2 分 由①②得 12 c ， 52 a ，于是 4222  cab ， 3 分 ∴椭圆 C 的标准方程是 1 45 22  yx ； 4 分 （2）当直线 PQ 的斜率不存在时， 4|| AB ， 5 58|| PQ ， 则四边形 APBQ 的面积是 5 516 ， 5 分 当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 )1(  xky ， )( 11 yxP ， 、 )( 22 yxQ ， ， 将 )1(  xky 与 1 45 22  yx 联立并消去 y ，整理得 020510)45( 2222  kxkxk ， 0 恒成立，则 45 10 2 2 21   k kxx ， 45 205 2 2 21   k kxx ， 7 分 则 45 )1(584)(1|| 2 2 21 2 21 2   k kxxPQ ， 由于直线 l 与直线 PQ 垂直，且经过点 1F ，∴直线 l 的方程为 01 kyx ， ∴点O 到直线 l 的距离为 1 1 2 k ，∴ 1 342) 1 1(2|| 2 2 2 2 2     k k k bAB ， 9 分 则四边形 APBQ 的面积： 34 1 1 34 58 45 34158||||2 1 2 2 2 22 22       k k k kk kkPQABS ， 由于 )23[ 1 14 1 34 22 2 ，     kk k ，∴ )2 5 3 34[ 34 1 1 34 2 2 2 2 ，     k k k k ， 于是 ]1525 516( ，S (当 0k 时取得最大值)， 11 分 综上可知，四边形 APBQ 面积的最大值为 152 。 12 分 22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为      sin cos ty tx ( t 为参数且 0t ， )20(  ， )， 曲线 2C 的参数方程为      sin1 cos y x ( 为参数且 )22(  ， )，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 3C 的极坐标方程为  cos1 ( )20(  ， )，曲线 4C 的极坐标方程为 1cos  。 （1）求 3C 与 4C 的交点到极点的距离； （2）设 1C 与 2C 交于 P 点， 1C 与 3C 交于 Q 点，当  在 )20( ， 上变化时，求 |||| OQOP  的最大值。 理科数学试题 第 17页（共 18页） 理科数学试题 第 18页（共 18页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【解析】（1）联立曲线 3C 、 4C 的极坐标方程      1cos ))2,0((cos1 ， 得 012  ， 解得 2 51 ，即交点到极点的距离为 2 51 ； 2 分 （2）曲线 1C 的极坐标方程为  ，( )20(  ， ， 0 )， 曲线 2C 的极坐标方程为  sin2 ， )20(  ， ，联立得  sin2 ， )20(  ， ， 即  sin2|| OP ， )20(  ， ， 5 分 曲线 1C 与曲线 3C 的极坐标方程联立得  cos1 ( )20(  ， )， 即  cos1|| OQ ， )20(  ， ， ∴ 1)sin(5cos1sin2||||  OQOP ，其中 2tan  ， 8 分 当  k22 ( )20(  ， ， Zk  )， 即 5 52arcsin 时， |||| OQOP  取最大值为 15  。 10 分 23．（10 分）已知 a 、 b 大于 0 ，设 abx  ， 2 22 bay  。求证： （1） abxy  ； （2） bayx  。 【解析】（1）证明：∵ 0a 、 0b ，且 abba 222  ，∴ abba  2 22 ，则 02 22  abba ， ∴ abbaabxy  2 22 ，当且仅当 ba  时，等号成立； 4 分 （2）证明：∵ 0a 、 0b ，欲证 bayx  ，即 baabba  2 22 ， 只需证明 22 2222 2222 bababaababba  ， 7 分 也就是证明 abbabaab  222 2222 ，即证 0)2( 2 22  abba ， 显然此式成立，当且仅当 abba  2 22 ，即 ba  时等号成立， 故原不等式 bayx  成立。 10 分