浙江省五校2021届高三下学期5月联考数学试题 含答案

2020 学年第二学期五校联考试题 高三年级数学学科 参考公式： 如果事件 A， B互斥，那么      P A B P A P B   如果事件 A， B相互独立，那么      P A B P A P B   如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p，那么 n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k次的概率 ( ) C (1 ) ( 0,1, 2, , )k k n k n nP k p p k n    台体的体积公式  1 1 2 2 1 3 V h S S S S   其中 1S ， 2S 分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高 柱体的体积公式 V Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 V Sh 其中 S 表示锥体的底面积， h表示锥体的高 球的表面积公式 24S R 球的体积公式 34 3 V R 其中 R表示球的半径 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知全集 {1,2,3,4,5}U  ， {1,3}A  ，则 U A ð （ ） A.{1,2,3,4,5} B.{2,4,5} C.{1,3} D. 2.已知 aR ，复数  2 3 2 ( 1)iz a a a     （ i为虚数单位）是纯虚数，则复数 1 2z  的虚部是（ ） A. 1 3  B. 1 5  C. 1 i 3  D. 1 i 5  3.若实数 x， y满足约束条件 1 1 0 x y x y x        ，则 2z x y  的最小值是（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 4.已知 a，bR ，则“ a b ”是“ 12 2a b  ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数 2 ln | |( ) xf x x x   的图象大致是（ ） A. B. C. D. 已知实数 x， y满足 2 24 4x y  ，则 xy的最小值是（ ） A.-2 B. 3 C. 2 D.-1 7.已知不全相等的实数 a，b， c成等比数列，则一定不可能．．．是等差数列的为（ ） A.a， c，b B. 2a ， 2b ， 2c C. | |a ， | |b ， | |c D. 1 a ， 1 b ， 1 c 8.甲、乙、丙、丁、戊 5个人分到A，B，C三个班，要求每班至少一人，则甲不在A班的分法种数有（ ） A.160 B.112 C.100 D.86 9.已知三棱锥 A BCD 的所有棱长均为 2，E为 BD的中点，空间中的动点 P满足PA PE ，PC AB ， 则动点 P的轨迹长度为（ ） A. 11 16  B. 3 8  C. 11 2  D. 3 10.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ， P 是双曲线C 上的一点，且 2 2 ,0 2 a bQ        满足 1 6 F PQ    ， 2 2 F PQ    ，则双曲线C的离心率为（ ） A. 10 2 B. 13 2 C. 2 10 5 D. 43 5 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分. 11.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱的体积为______，表面积为______. 12.已知直线 :l y kx 与圆 2 2: ( 2) 1C x y   ，若 1 3 k  ，直线 l与圆相交于 A，B两点，则 AB  ______， 若直线 l与圆相切，则实数 k ______. 13.已知 6 2 6 0 1 2 6( 1) ( 1) ( 1)x a a x a x a x        ，则 2a  ______， 1 2 6a a a    ______. 14.某同学在上学路要经过两三个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为 1 2 ，若他在 第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 1 3 ；若他在第一个十字路口遇到绿灯， 则在第二个十字路口遇到红灯的概率为 2 3 .记他在上学路上遇到红灯的次数为，则 ( 0)P    ______，的 数学期望为______. 15.已知函数 ( ) 3 sin cosf x x a x  ， 0, 3 x     的最小值为 a，则实数a所有取值组成的集合为______. 16.设 a  ，b  为单位向量，则 3a b a b       的最大值是 17.已知 0a  ，设函数 2 (2 2 ) , (0 2) ( ) , ( 2) x a x x a f x ax x a           ，存在 0x 满足   0 0f f x x ，且  0 0f x x ，则 a的取值范围是______. 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分 14分） 设常数 Rk ，已知 ( ) cos 2 2 3 sin cosf x k x x x  . （Ⅰ）若 ( )f x 是奇函数，求 k的值及 ( )f x 的单调递增区间； （Ⅱ）设 1k  ， ABC△ 中，内角 A，B，C的对边分别为a，b，b .若 ( ) 1f A  ，且 ABC△ 的面积 S abc ， 求 ABC△ 周长的取值范围. 19.（本题满分 15分） 如图，四边形 ABCD中，满足 //AB CD， 90ABC  ， 1AB  ， 3BC  ， 2CD  ，将 BAC△ 沿 AC 翻折至 PAC△ ，使得 2PD  . （Ⅰ）求证：平面 PAC 平面 ACD； （Ⅱ）求直线CD与平面 PAD所成角的正弦值. 20.（本题满分 15分） 已知数列 na ， nb 中， 1 1a  ， 1 2b  ， 1 1 2( 1)nn n na a b       ， 1 1 ( 1)nn n nb a b       ， *Nn . （Ⅰ）证明 ( 1)nn na b   是等比数列，并求 na 的通项公式； （Ⅱ）设 2logn n nc a b  ，求数列 nc 的前 2n项和 2nS . 21.（本题满分 15分） 如图，已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a b a b     与抛物线 2 2 : 4C y x 共焦点 F ，且椭圆的离心率为 1 2 . （Ⅰ）求椭圆 1C 的方程； （Ⅱ）若点P在射线 4( 2)x y  上运动，点 A，B为椭圆 1C 上的两个动点，满足 //AB OP，且Q为 AB 的中点，连接 PF 交抛物线 2C 于G 、H两点，连接OQ交椭圆 1C 与M 、 N 两点，求四边形MGNH 面 积的取值范围. 22.（本题满分 15分） 已知 3 2( ) 6 x ef x ae x bx cx    ， ( , , R)a b c ，（ e为自然对数的底数， e 2.71828 …）. （Ⅰ）当 0a  时，若函数 ( )f x 与直线 y ex 相切于点 (1, )e ，求b， c的值； （Ⅱ）当 1a e  时，若对任意的正实数b， ( )f x 有且只有一个极值点，求负实数 c的取值范围. 2020 学年第二学期五校联考参考答案 高三年级数学学科 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分. BBCAA DDCCD 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分. 11.1，5 5 12. 2 15 5 ； 3 3  13.15，-1 14. 1 6 ，1 15.{3}【填 3不扣分】 16. 8 3 3 17. 1 1 2 a  三、解答题：本大题共 5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解析： （Ⅰ）由题意知， (0) 0f k  ，得 0k  ， 下面对 0k  进行检验： 若 0k  ，则， ( ) 2 3 sin cos 3 sin 2f x x x x  对任意 x R 都有 ( ) 3 sin( 2 ) 3 sin 2 ( )f x x x f x       ， ( )f x 是奇函数， 0k  . 又因 ( ) 3 sin 2f x x ，由 2 2 2 2 2 k x k      ， k Z ， 得 4 4 k x k      ， k Z ( )f x 的单调递增区间为 , 4 4 k k       ， k Z . （Ⅱ）当 1k  时 ( ) cos 2 3 sin 2 2sin 2 6 f x x x x         ， (  ) 2sin 2 1 6 f A A         ；得 1sin 2 6 2 A       (0, )A  ， 132 , 6 6 6 A          ， 3 A    由 1   sin 2 S abc bc A  ，可知： 2 sina A ， 2 sinc C  ， 2 sinb B . ABC△ 的周长为 1 (sin sin sin ) 2 a b c A B C     1 2 3 1 3 1 3sin sin sin cos sin 2 3 4 2 2 2 4 B B B B B                     1 3 3 3 3 3sin cos sin 2 2 2 4 2 6 4 B B B                 20, 3 B       ， 5, 6 6 6 B          ， 1sin ,1 6 2 B             ABC△ 的周长的取值范围为 3 3 3, 2 4       . 19.解析： （Ⅰ）证明：过 B作 BO AC ，垂足为O，连 PO，DO，则 PO AC ， 作DE AC ，垂足为 E，则 3DE  ， 1 2 OE  ， 13 2 DO  所以 2 2 2PO DO PD  ，即 PO OD 又 AC DO O  ，所以 PO 平面 ACD， 又 PO 平面 PAC ， 所以平面 PAC 平面 ACD； （Ⅱ）以O为坐标原点，OC， BO所在的直线为 x， y轴建立空间直角坐标系 则 1 ,0,0 2 A     ， 3 ,0,0 2 C       ， 1 , 3,0 2 D       ， 30,0, 2 P        ，  1, 3,0AD   ， 1 3,0, 2 2 AP          设平面 PAD的法向量为 ( , , )n a b c  ，则 1 3 0 2 2 3 0 AP n a c AD n a b                取法向量  3, 1, 1n     ，  1, 3,0CD    设直线CD与平面PAD所成角为， 则 15sin cos , 5 CD n       . 法二、体积法 1 3 3 14 3 4 2 2P ACDV       ， 1 1 15 151 3 2 2 12C PADV h h      ，得 2 15 5 h  所以 2 15 1 15sin 5 2 5 h CD      20.解析：（Ⅰ） 1 1 2( 1)nn n na a b       ， 1 1 ( 1)nn n nb a b       ，   1 1 1 2 3( 1)nn n n na b a b          1 1 1 ( 1) 2 ( 1)n n n n n na b a b          ，且 1 1 ( 1) 4a b    所以 ( 1)nn na b   是等比数列. 1 1 ( 1) 4a b    ， 1( 1) 2n n n na b      ，即 12 ( 1)n n n na b     又 1 1 2( 1)nn n na a b       ， 1 1 1 2 ( 1)n n na       ， 又 1 1a  ，故 2 ( 1)n n na    ， 2nnb  . （Ⅱ）因为 2 ( 1)n n nc n n   ， 记 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 n nT n         则 2 3 4 2 1 22 1 2 2 2 3 2 2 2 n nT n          两式相减，得 2 1 2 (2 1)2 2n nT n    . 所以 2 1 2 (2 1)2 2n nS n n    . 21：解：（Ⅰ）因为 2 4y x ，所以 1 2 pc   ，又因为 1 2 c a  ，所以 2a  ， 椭圆方程为 2 2 1 4 3 x y   . （Ⅱ）设 (4, )( 2)P t t  ， 4AB OP tk k  ， 由点差法可得 3 4OQ ABk k   ，可得 3 OQk t   将直线 3:OQl y x t   与椭圆 2 2 1 4 3 x y   联列， 2 2 2 4 12 tx t   ， 解得 2 2 22 9 4 91 4 1212 t tMN t tt       将直线 3: 1PFl x y t   与抛物线 2 4y x 联列，得 2 12 4 0y y t    ， 12 G Hy y t   ， 4G Hy y   ，  2 2 2 2 4 99 144| | 1 16 t GH t t t      又因为 1OQ FPk k   ，所以  32 2 2 8 91 | | | | 2 12 MGNH t S MN GH t t       四边形 令 2 [4, )t m   ，则 3 2 (9 )( ) ( 12) mf m m m    ， 2 4 2 3 ( 9) (5 72)( ) 0 ( 12) m m mf m m m       所以 ( )f m 为单调递减，则 3 2 13( ) 1, 16 f m       ， 所以四边形MGNH 面积的取值范围为 13 138, 2       . 22.解析：（Ⅰ）当 0a  时， 3 2( ) 6 ef x x bx cx    ， 2( ) 2 2 ef x x bx c     ， 由题知  1f e 且  1f e  ，所以 6 2 2 e b c e e b c e           ，解得 3 eb  ， 5 6 ec  （Ⅱ）当 1a e  时， 1 3 2( ) 6 x ef x e x bx cx    ，则 1 2( ) 2 2 x ef x e x bx c     令 1 2( ) 2 2 x eh x e x bx c    ，则 1( ) 2xh x e ex b    ，令 1( ) 2xt x e ex b   ， 则 1( ) xt x e e   ， 当 ( ,2)x  时 ( ) 0t x  ， ( )t x 在 ( ,2) 上单调递减， 当 (2, )x  时 ( ) 0t x  ， ( )t x 在 (2, ) 上单调递增，所以 min( ) (2) 2t x t b e   . （1）当 2 eb  时， ( ) ( ) 0t x h x  恒成立，所以 ( )f x 在R上单调递增， 故 ( ) 0f x  在 R上有唯一解，所以 ( )f x 有且只有一个极值点. （2）当0 2 eb  时， (2) 2 0t b e   ，所以 ( )t x 有两个零点 1x ， 2x ， 即方程 1 2 0xe ex b    有两根 1x ， 2x ， 又因为 1(0) 0t b e    ，所以 1 20 2x x   ， 所以 ( )h x 在  1, x 上单调递增，在  1 2,x x 上单调递减，在  2 ,x  上单调递增， 所以要使 ( )h x 只有一个变号零点只需  1 0h x  或  2 0h x  . 首先考虑：      1 11 12 2 1 1 1 1 1 12 1 0 2 2 2 x xe eh x e x bx c x e x c x           ， 令 1 2( ) (1 ) 2 x ep x x e x c    ，  1( ) xp x x e e    ， 即 ( )p x 在 (0,2)上单调递增，所以 ( ) (2)p x p ， 要使  1 0h x  恒成立，只需 (2) 0p  即可，即 c e  . 其次考虑：     2 1 2 2 2 21 2 x eh x x e x c    ，因为 ( )p x 在 (2, ) 上单调递减， 同理可得，所以要使得  2 0h x  恒成立不可能，即 c无解. 综上可知： c的取值范围为 c e  .