考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（1）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合 { |1 3}A x x ， { | }B y y m ，且 A B ，则实数m应满足 ( )
A． 1m B． 1m C． 3m
D． 3m
2．（5分）若 ( 1)(1 )z i i ，则 (z )
A． 1 1
2 2
i B． 1 1
2 2
i C． 1 1
2 2
i D． 1 1
2 2
i
3．（5分）已知 x R ，则“ 3 4x ”是“ 2( 2) 1lg x x ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（5分）某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于 80分的所有考生的成绩统计表如表：
成绩 [80， 90) [90，100] (100，110] (110，120] (120，
130]
(130，
140]
(140，
150]
频数 30 40 15 12 10 5 2
则及格（不低于 90分）的所有考生成绩的中位数 ( )
A．在 [90，100]内 B．在 (100，110]内 C．在 (110，120]内 D．在 (120，130]内
5．（5分） 5(2 )(1 )x x 展开式中 2x 的系数为 ( )
A．15 B．16 C．24 D．32
6．（5分）在脱贫攻坚战中，某单位拟派出甲、乙、丙、丁四名同志到三个乡镇参加精准扶
贫工作，每名同志只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名同志．则甲、乙分到同一个乡镇的
概率等于 ( )
A． 1
6
B． 1
8
C． 1
12
D． 1
18
7．（5分）在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，以 A为球心的球 A与线段 1 1AC 交于点 E，
设 BE与底面 ABCD所成角为 ，且球 A的表面积为 24 ，则 cos 2 ( )
A． 1
3
B． 3
5
C． 2
3
D． 4
5
8．（5分）在抛物线 2 1
2
x y 第一象限内一点 ( na ， )ny 处的切线与 x轴交点的横坐标记为 1na ，
其中 *n N ，已知 2 32a ， nS 为{ }na 的前 n项和，若 nm S
恒成立，则m的最小值为 ( )
A．16 B．32 C．64 D．128
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的对 2 分，有选错的得 0 分。
9．（5分）设函数 ( ) cos( )
3
f x x
，则下列结论正确的是 ( )
A． ( )y f x 的一个周期为 2
B． ( )y f x 的图像关于直线
8
3
x 对称
C． ( )y f x 的一个零点为
6
x
D． ( )y f x 在 (
2
， ) 单调递减
10．（5分）设函数 2( ) ( 1 )f x lg x x ，则 ( )
A． 8
7( ) (log 5)
9
f f B． 8
2( ) (log 5)
3
f f
C． 8
7(log 5) ( )
9
f f D． 2 7( ) ( )
3 9
f f
11．（5分）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左
腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，
13，，则 ( )
A．在第 9条斜线上，各数之和为 55
B．在第 ( 5)n n
条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第 n条斜线上，共有
2 1 ( 1)
4
nn
个数
D．在第 11条斜线上，最大的数是 3
7C
12．已知函数 f（x）＝﹣x2lnx，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f（x）在 处取得极大值
B．方程 f（x）＝0有两个不同的实数根
C．
D．若不等式 k＞f（x）+x2在（0，+∞）上恒成立，则 k＞e
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（5分）已知 (0,4)A ， ( 4,0)B ， (1,2)C ，且 0GA GB GC
，则点G的坐标为 ．
14．（5分）已知点 ( , )C x y 在线段 : 4 1( , )AB x y x y R 上运动，则 xy的最大值是 ．
15．（5分）已知边长为 1的正 ABC 的三点都在球O的球面上，AO的延长线与球面的交点
为 S，若三棱锥 S ABC 的体积为
2
6
，则球O的体积为 ．
16．（5 分）已知函数 ( )f x 对 x R 均有 ( ) 2 ( ) 6f x f x mx ，若 ( )f x lnx
恒成立，则实
数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）在 ABC 中，角 A， B ， C 所对的边分别为 a， b， c ，已知 2c ab ，且
3cos( ) cos
2
A B C ．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）延长 BC至 D，使得 4BD ，求 ACD 面积的最大值．
18．（12分）已知数列{ }na 满足 1 1a ，且点 ( na ， 1 2 )nna 在函数 ( ) 3f x x 的图象上．
（1）求证：{ 1}
2
n
n
a
是等比数列，并求{ }na 的通项公式：
（2）若 1n
n
n
ab
a
，数列{ }nb 的前 n项和为 nS ，求证：
23
3nS n ．
19．（12分）在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两个团体进行比赛，比赛分
两轮，每轮比赛必有胜负，没有平局．第一轮比赛甲团体获胜的概率为 0.6，第二轮比赛乙
团体获胜的概率为 0.7，第一轮获胜团体有奖金 5000元，第二轮获胜团体有奖金 8000元，
未获胜团体每轮有 1000元鼓励奖金．
（1）求甲团体至少胜一轮的概率；
（2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为 X 元，求 X 的分布列及其数学期望．
20．（12分）如图，在三棱台 1 1 1ABC A BC 中， 1AC A B ，O是 BC的中点， 1AO 平面 ABC．
（1）求证： AC BC ；
（2）若 1 1AO ， 2 3AC ， 1 1 2BC A B ，求二面角 1B BC A 的大小．
21．（12分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a b
a b
的离心率为
2
2
，点 (2,1)A 在椭圆C上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）不过点 A的直线 l与椭圆相交于不同的两点M ，N，若直线 AM 与直线 AN 的斜率 1k ，
2k 总满足 1 2
1
2
k k ，求证：直线 l必过定点．
22．（12分）已知函数 2( ) 2f x lnx x ax ， a R ．
（1）设 ( ) ( ) (2 3)g x f x a x ，求 ( )g x 的极值：
（2）若函数 ( )f x 有两个极值点 1x ， 2 1 2( )x x x ．求 1 22 ( ) ( )f x f x 的最小值．
考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（1）答案
1．解：集合 { |1 3}A x x ， { | }B y y m ， A B ，
1m ，
故选： A．
2．解： ( 1)(1 )z i i ，
2
2 2
(1 ) 1 11
1 (1 )(1 ) 1 1 2 2
i i i i iz i
i i i
，
则
1 1
2 2
z i ，故
1 1
2 2
z i ．
故选：C．
3．解：因为 2( 2) 1 10lg x x lg ，所以 20 2 10x x ，
解得 3 1x 或 2 4x ，
因为“ 3 4x ”不能推出“ 3 1x 或 2 4x ”，不符合充分性，
而“ 3 1x 或 2 4x ”能推出“ 3 4x ”满足必要性，
所以“ 3 4x ”是“ 2( 2) 1lg x x ”的必要不充分条件．
故选： B．
4．解：由表中数据知，及格的考生共有 40 15 12 10 5 2 84 （人 )，
在 [90，100]内有 40人，在 (100，110]内有 15人，
所以及格的所有考生成绩的中位数在 (100，110]内．
故选： B．
5．解：因为 5(1 )x 展开式的通项为 1 5
r r
rT C x ，
所以 5(2 )(1 )x x 展开式中 2x 的系数为 2 1
5 52 20 5 15C C ，
故选： A．
6．解：在脱贫攻坚战中，某单位拟派出甲、乙、丙、丁四名同志到三个乡镇参加精准扶贫
工作，
每名同志只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名同志．
基本事件总数 2 3
4 3 36n C A ，
甲、乙分到同一个乡镇包含的基本事件个数 2 1 2
2 3 2 6m C C A ，
则甲、乙分到同一个乡镇的概率为
6 1
36 6
mP
n
．
故选： A．
7．解：设球的半径为 r ，因为球 A的表面积为 24 ，
所以 24 24r ，解得 6r ，
因为 1AA 平面 1 1 1 1A B C D ，又 1A E 平面 1 1 1 1A B C D ，
所以 1 1AA A E ，
因为 6AE ，
则 2
1 6 2 2A E ，
所以 E为 1 1AC 的中点，故 DBE ，且
2 3cos
36
，
所以 2 1cos2 2cos 1
3
．
故选： A．
8．解： 2 1
2
x y ， 22 ( 0)y x x ，
4y x ，
2 1
2
x y 在第一象限内图象上一点 ( na ， 22 )na 处的切线方程是： 22 4 ( )n n ny a a x a ，
整理，得 24 2 0n na x y a ，
切线与 x轴交点的横坐标为 1na ，
1
1
2n na a ，又 2 32a ， 1 64a ，
{ }na 是首项为 1 64a ，公比
1
2
q 的等比数列，
164(1 ) 12 128(1 ) 128
1 21
2
n
n nS
，
nm S
恒成立， 128m
，
即m的最小值为 128．
故选： D．
9．解：函数 ( ) cos( )
3
f x x
，故它的周期为 2 ，故 A正确；
令
8
3
x
，求得 ( ) 1f x ，为最小值，故 ( )f x 的图像关于直线
8
3
x 对称，故 B正确；
对于 ( ) cos( ) cos( )
3 3
y f x x x ，
令
6
x
，可得 ( ) 0f x ，故 ( )f x 的一个零点为
6
x
，故C正确；
当 (
2
x
， ) ，
5(
3 6
x
，
4 )
3
，函数 ( )f x 没有单调性，故D错误，
故选： ABC．
10．解：函数 2( ) ( 1 )f x lg x x ，定义域为 R，
2 2
2
1( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )
1
f x lg x x lg lg x x f x
x x
，
所以 ( )f x 为奇函数，所以
2 2( ) ( )
3 3
f f ，
当 [0x ， ) 时，由复合函数的单调性可知 2( ) ( 1 )f x lg x x 单调递增，
因为
3 7
8 8 3 9 9
2 5 5 125 2 7log 4 log 5
3 8 8 2 2 9
lg lg lg lg
lg lg lg lg
，
所以 8
2 7( ) (log 5) ( )
3 9
f f f ，
结合选项可知 A， B正确．
故选： AB．
11．解：由题意，根据杨辉三角定义继续往下写三行有：
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
A：由图知，第九条斜线上，各数之和为1 10 15 7 1 34 ， A 错误．
B：由定义及图中规律可知，都是从左向右先增后减， B 正确．
C：由图，每条斜线个数为 1，1，2，2，3，3，代入
2 1 ( 1)
4
nn
符合， C 正确．
D：第 11条斜线上最大数为 3
735 C ， D 正确．
故选： BCD．
12．解：函数 f（x）的定义域为（0，+∞），
，
令 f′（x）＝﹣x（1+2lnx）＝0，
则 1+2lnx＝0，解得 ，
当 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以当 时，函数 f（x）有极大值 ，故选项 A正确；
因为 ，且当 x→0时，f（x）＞0，当 x→+∞时 f（x）＜0，
所以方程 f（x）＝0不可能有两个不同的实数根，选项 B错误；
因为函数 f（x）在 上单调递增，且 ，
所以 ，选项 C正确；
不等式 k＞f（x）+x2在（0，+∞）上恒成立，即不等式 k＞﹣x2lnx+x2在（0，+∞）上恒
成立，
令 g（x）＝﹣x2lnx+x2，则 g′（x）＝x﹣2xlnx＝x（1﹣2lnx），
令 g′（x）＝x（1﹣2lnx）＝0，则 1﹣2lnx＝0，
解得 ，当 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
所以当 时，函数 g（x）有最大值， ，所以 ，选项 D错误．
故选：AC．
13．解：设 ( , )G x y ，因为 (0,4)A ， ( 4,0)B ， (1,2)C ，
则 ( ,4 ), ( 4 , ), (1 ,2 )GA x y GB x y GC x y
，
又 0GA GB GC
，
所以
4 1 0
4 2 0
x x x
y y y
，解得
1
2
x
y
，
所以点G的坐标为 ( 1,2) ．
故答案为： ( 1,2) ．
14．解：由题设可得： 4 1 2 4x y xy
，即
14
2
xy ，
14
4
xy ，即
1
16
xy ，当且仅当
14
2
x y 时取“ “，
故答案为：
1
16
．
15．解：设球心为O，球的半径 r ．过 ABC三点的小圆的圆心为 1O ，
则 1OO 平面 ABC，
作 SD 平面 ABC交 1CO 的延长线与 D． 2 2 2
1
2 3 1( )
3 2 3
OO R R ，
高 12SD OO ，
ABC 是边长为 1的正三角形，三棱锥 S ABC 的体积为
2
6
，
3
4ABCS ，
3 21
3 4 6S ABCV h 三棱锥
，
2 6
3
h ，
2 1 2 62
3 3
R ，
1R ．则球O的体积为 34 41
3 3
，
故答案为：
4
3
．
16．解：函数 ( )f x 对 x R 均有 ( ) 2 ( ) 6f x f x mx ①，
将 x 换为 x，得 ( ) 2 ( ) 6f x f x mx ②，
由①②，解得 ( ) 2f x mx ．
( )f x lnx
恒成立，
2 lnxm
x
恒成立，
只需
2( )min
lnxm
x
．
令
2( ) lnxg x
x
，则 2
1( ) lnxg x
x
，
令 ( ) 0g x ，则
1x
e
，
( )g x 在
1(0, )
e
上单调递减，在
1(
e
， ) 上单调递增，
1( ) ( )ming x g e
e
， m e ，
m 的取值范围为 (， ]e ．
故答案为： (， ]e ．
17．解：（Ⅰ）已知 2c ab ，
所以 2sin sin sinC A B ，
3cos( ) cos
2
A B C ，
所以：
32sin sin
2
A B ，
故 2 3sin
4
C ，
整理得
3sin
2
C ，
故
3
C
或
2
3
．
由于
2 2 2 2 2 1 2 1 1cos
2 2 2 2 2 2
a b c a b abC
ab ab ab
，
所以
3
C
满足条件，
故
3
C
．
（Ⅱ）延长 BC至 D，使得 4BD ，
所以
1 3(4 ) sin (4 )
2 3 4ACDS a b a b
，
由于
2 2 2
2
2 cosc a b ab C
c ab
，
所以 a b ，
所以 23 3(4 ) ( 2) 3
4 4
a b a ，
当 2a 时， ACDS 的最大值为 3．
18．解：（1）证明：由点 ( na ， 1 2 )nna 在函数 ( ) 3f x x 的图象上，
可得 1 2 3n
n na a ，
所以 1 3 1
2 2
n n
n n
a a ，即 1
1
3 1
2 2 2 2
n n
n n
a a
，
也即 1
1
31 ( 1)
2 2 2
n n
n n
a a
，
由 1 1a ，所以 1
1
31
2 2
a
，
所以{ 1}
2
n
n
a
是首项和公比均为
3
2
的等比数列，
则
31 ( )
2 2
nn
n
a
，
所以 3 2n n
na ；
（2）证明：
1 1
1
33 ( ) 23 2 1 22 3 3 ( )
3 33 2 3( ) 1 ( ) 1
2 2
n
n n
nn
n n n
n nn
a
b
a
，
所以 2
2 2(1 )2 2 2 3 33 ( ) ( ) 3 23 3 3 1
3
n
n
n
nS n n
2 43 2 2( ) 3 2
3 3
nn n
23
3
n ．
19．解：（1）第一轮甲胜第二轮乙胜的概率为 0.6 0.7 0.42P ，
第一轮乙胜第二轮甲胜的概率为 0.4 0.3 0.12P ，
第一轮甲胜第二轮甲胜的概率 0.6 0.3 0.18P ，
故甲团体至少胜一轮的概率为 0.42 0.12 0.18 0.72 ；
（2）由已知可得 X 的可能取值为 2000，6000，9000，13000，
则 ( 2000) 0.6 0.3 0.18P X ， ( 6000) 0.4 0.3 0.12P X ，
( 9000) 0.6 0.7 0.42P X ， ( 13000) 0.4 0.7 0.28P X ，
所以 X 的分布列如下：
X 2000 6000 9000 13000
P 0.18 0.12 0.42 0.28
( ) 2000 0.18 6000 0.12 9000 0.42 13000 0.28 8500E X ．
20．（1）证明：因为 1AO 平面 ABC， AC 平面 ABC，所以 1AO AC ，
又因为 1AC A B ， 1 1 1A B AO A ， 1A B 平面 1A BO， 1AO 平面 1A BO，
所以 AC 平面 1A BO，又因为 BC 平面 1A BO，
所以 AC BC ；
（2）解：以O为坐标原点，与CA平行的直线为 x轴，OB所在直线为 y轴， 1OA 所在直线
为 z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则 1(0,0,0), (2 3, 1,0), (0,1,0), (0,0,1)O A B A ，
所以 1(0,1,0), ( 2 3,2,0), (0,0,1)OB AB OA
，
于是 4AB ，因为 1 1 1ABC A BC 是三棱台，所以 1 1/ /AB A B ，
又因为 1 1 2A B ，所以 1 1
1 ( 3,1,0)
2
A B AB
，
所以 1 1 1 1 ( 3,1,1)OB OA A B
，
设平面 1 1BBC C的法向量为 ( , , )n x y z
，
则
1
0
0
n OB
n OB
，即
0
3 0
y
x y z
，
令 1x ，则 0y ， 3z ，故 (1,0, 3)n ，
因为 1OA 平面 ABC，所以平面 ABC的法向量为 1 (0,0,1)OA
，
所以 1
1
2 2 2 2 2 2
1
1 0 0 0 3 1 3cos ,
2| || | 1 0 ( 3) 0 0 1
n OAn OA
n OA
，
因为二面角 1B BC A 为钝二面角，
所以二面角 1B BC A 的大小为
5
6
．
21．解：（1）由已知可得
2
2
c
a
，且 2 2
4 1 1
a b
，又 2 2 2a b c ，
解得 2 6a ， 2 3b ，所以椭圆的方程为：
2 2
1
6 3
x y
；
（2）证明：当 l与 x轴垂直时，设 l方程为： x t ，由已知可得 | | 6t ，
可得M ， N的坐标分别为
26( , )
2
tt
，
26( , )
2
tN t
，
则
2 2
1 2 2
6 6( 1)( 1) 12 2
( 2) 2
t t
k k
t
时，解得 2t （舍去）或 0t ，
所以直线 0x 经过原点 (0,0)，
当直线的斜率存在时，设 :l y kx m ， 1(M x ， 1)y ， 2(N x ， 2 )y ，
将 y kx m 代入
2 2
1
6 3
x y
，得 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x mkx m ，
△ 2 2 2 216 4(1 2 )(2 6) 0m k k m ，解得 2 26 3 0k m ，
所以
2
1 2 1 22 2
4 2 6,
1 2 1 2
mk mx x x x
k k
①，
由已知可得 1 2
1 2
1 2
1 1 1
2 2 2
y yk k
x x
，即 1 2 1 22( 1)( 1) ( 1)( 2) 0y y x x ，
所以 1 2 1 2 1 2 1 22 2( ) 2( ) 6 0y y y y x x x x ，
又 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1 2( )( )( ) ( )y y kx m kx m kx m k x x mk x x m ， 1 2 1 2( ) 2y y k x x m ，
代入上式有 2 2
1 2 1 2(1 2 ) (2 2 2)( ) 2 4 6 0k x x mk k x x m m ，
将①代入化简可得： 2 2 0m mk m ，则 0m 或 1 2m k ，
当 1 2m k 时，直线为 2 1 ( 2) 1y kx k k x 过定点 A，不满足题意，
当 0m 时，直线为 y kx ，过原点 (0,0)，
综上，直线恒过定点，且定点为原点 (0,0)．
22．解：（1） 2( ) ( ) (2 3) 3g x f x a x lnx x x ，定义域是 (0, ) ，
21 2 3 1 (2 1)( 1)( ) 2 3 x x x xg x x
x x x
，
令 ( ) 0g x ，解得： 1x 或
10
2
x ，令 ( ) 0g x ，解得：
1 1
2
x ，
故 ( )g x 在
1(0, )
2
递增，在
1(
2
，1)递减，在 (1, ) 递增，
故
1 5( ) 2
2 4
g x g ln
极大值
， ( )g x g极小值 （1） 2 ；
（2）函数 2( ) 2f x lnx x ax ， (0, )x ，
22 2 1( ) x axf x
x
，
1x ， 2x 是函数 ( )f x 的极值点， 1x ， 2x 是方程 22 2 1 0x ax 的两不等正根，
则△ 24 8 0a ， 1 2 0x x a ， 1 2
1
2
x x ，故 2a ，
2
2 2
a
，
即 1
2(0, )
2
x ， 2
2(
2
x ， ) ，且 2
1 12 2 1ax x ， 2
2 22 2 1ax x ，
2 2
1 2 1 1 1 2 2 22 ( ) ( ) 2( 2 ) ( 2 )f x f x lnx x ax lnx x ax
2 2 2 2
1 1 1 2 2 22( 2 1) ( 2 1)lnx x x lnx x x
2 2
1 1 2 22 2 1x lnx lnx x
2 2
2 2
2 2
1 12( ) 2 1
2 2
x ln lnx
x x
2 2
2 22
2
1 3 2 2 1
2 2
x lnx ln
x
，
令 2
2t x ，则
1(
2
t ， ) ，
1 3( ) 2 2 1
2 2
g t t lnt ln
t
，
2 2
1 3 (2 1)( 1)( ) 1
2 2 2
t tg t t
t t
，
当
1(
2
t ，1)上递减，当 (1, )t 上递增，
故 ( )ming t g （1） 1 4 2
2
ln
，
故 1 22 ( ) ( )f x f x 的最小值为
1 4 2
2
ln
．
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