2021届陕西省咸阳市高中学科研究中心数学专家组-高考数学五月信息专递

2021 年高考 五 月 信 息 专 递 数 学 咸阳市高中学科研究中心数学专家组 2021 年 5 月 13 日 1 信息传递 依据教育部考试中心发布的信息，2021 年全国数学卷结构和考试内容，可沿用 2019 版《考 试大纲》。我们确信，今年的试题在做好过渡的前提下，将承载着数学核心素养的考题展示和 新高考评价体系的信息渗透，既有联系数学学科本质, 又会立足基础进一步创新设计试题，考 题既会有利于中学数学教学，又有利于大学不同层次人才的选拔。 往年全国真题背景 1．根植教材内容。教材是高考试题的生长点。例如：复数；集合；向量；线性规划；分 段函数；排列组合（理）；二项式定理（理）；数列；三角；统计概率；立几；解几；函数性 质。2020 年 II 卷第 1题、第 2题、第 5题、第 8题、第 13 题、第 14 题显然是教材题目的“迁 移”。 2．彰显数学文化。数学文化是高考试题的载体。例如：2020 年 I 卷第 3题涉及金字塔的 立几计算、2020 年 II 卷第 4题涉及北京天坛的数列运算；2020 年 III 卷第 4题涉及 Logistic 模型的应用; 2020 年 II 卷理科第 12 题涉及周期数列相关通讯技术；2020 年 II 卷第 18 题涉 及沙漠治理与野生动物的数量。意让考生感悟数学之美，关注人文艺术、科技创新、社会生活、 数学游戏。 3．变式往年真题。历年高考优秀试题是改编新考题有效素材。例如：2020 年 I 卷理科第 5题和和 2015 年 I 卷理科第 15 题第一问基本一致。2020 年 I 卷理科第 12 题和和 2012 年浙江 卷第 9题类似。2020 年 I 卷文科第 16 题和完全雷同于 2013 年 I 卷理科第 16 题。2020 年 II 卷理科第 21 题是 2018 年 I 卷理科第 16 题的变式与深化。 4．改造经典竞赛。竞赛题是改编新考题有效素材。例如：2020 年 II 卷理科第 11 题、文 科第 12 题是 2012 年希望杯赛题改编。2020 年 II 卷理科第 21 题是 1973 年国外竞赛，也见国 内某竞赛教程题的改造。 2 5．依托高数背景。例如：依据最经典的不等式： 1, ln 1xe x x x   或 设计的高考真题, 随处可见 2013 年全国 II 卷理科第 21 题，2017、2018 年全国 II 卷理科第 21 题，2020 年全国 I卷理科第 21 题，2020 年全国新课程山东卷第 22 题。 2021 年高考数学命题猜想 猜想 1：今年全国卷Ⅱ中各知识板块的难度与题序会有回归，命题者很可能会根据课改等 情况做一些适当调整和创新。主干知识依然支撑着整个试卷，常规题型仍会是数学试卷的主流， 考查的仍将是现行高中数学教材中最基本的数学知识和最重要数学思想方法。 猜想 2：关注社会与生活中的“精准扶贫”、“建党百年”、“乡村振兴”；关注科技与 创新中的“通讯技术”、“密码设计”；关注人文艺术中的数学；关注数学名题中育人功能。 猜想 3：在选择题和填空题的命制中，集合、复数、三角求值、统计概率、充要条件、古 典概率（排列组合）体积表面积（三视图）、程序框图（不等式）、平面向量、数列计算、直 线与圆（双曲线）、线性规划（回归方程）、函数性质、导数应用、二项式定理、立几中的线 面关系、命题等依然是高频考点，既会以单一知识点的考查为主，又有多于两个知识点的综合 考查。多选多填题是命题设计的新动向。 猜想 4：在解答题的命制中，三角函数图像与性质的考查，三角与实际应用性问题的联系； 等差和等比数列的通项和前 n项和； 立体几何增加平几知识考查力度，强化空间直观想像； 解析几何题联系曲线定义，综合平几的基础知识。求曲线方程，研究曲线特性；统计概率考查 社会热点；函数不等式导数综合题的难度较大，解题思维灵活，极值点和零点是考试热门话题。 猜想 5：应用性、探究性、开放性试题将会是命题设计的新“亮点”。“任意、存在、唯 一”仍然是命题设计的关键词。代数运算、几何直观、逻辑推理将会在试题考查中得到充分体 现。 3 2021 年高考数学命题风向标 真题：回归本质是常态 ,平稳过度是关键 题源：植根于课标和核心素养、生长于教材、仿真于往年全国真题模版。 难度：在稳定与变革的前提下，较去年难度可能有所调整。 关注：高数背景、新高考评价体系、数学文化、数学应用的深度考查。 创新：把知识考查降低到极小，把思维考查发挥到极大。 题型：能力立意是常态 选择题：基础，控制计算量，关注开放性试题； 填空题：基本，稳定中渐变，可能有 1道情景型题； 解答题：常规，突显数学本质，一般有 2道选拔型题。 2021 年高考数学备考解题策略 应试：科学做题是常态：稳、准、快。 提醒：查漏补缺是常态：读、改、悟。 选择题：对照选支，不择手段；该算不算，巧判过关。 填空题：从定义、概念出发，浅层次挖掘，寻找联系。 解答题：模式识别、差异分析、寻找转化，规范书写。 解题就是找关系：数量关系、图形关系、随机关系。 解题五字操作法：建（坐标系）， 设（点坐标、方程、角度、参数）， 列（关系式、方程、函数、不等式、数列）, 解（方程、不等式、函数最值）， 验（反思、检验）。 4 模题传递 理性思维（数学抽象 逻辑推理） [题目 1] 某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题．甲和丁均说自己不会证明；乙说： 丙会证明；丙说：丁会证明．已知四名同学中只有一人会证明此题，且只有一人说了真话．据 此可以判定证明此题的人是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 [题目 2] 在平面直角坐标系中，点 0 0,x y 到直线 0Ax By C   的距离 0 0 2 2 Ax By C d A B     ，类比可 得在空间直角坐标系中，点  2,3,4 到平面 2 2 4 0x y z    的距离为（ ） A．4 B．5 C． 16 3 D． 20 3 [题目 3] 已知函数 2( ) | |( )f x x a a R   ，则 ( )y f x 的大致图象不可能为 ( ) A． B． C． D． [题目 4]设{x}表示不小于实数 x的最小整数，执行如图所示的程 序框图，则输出的结果是（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 [题目 5]设函数 ( ) ( 1)xf x xe a x   ，其中 1a  ，若存在唯一整数 0x ， 使得 0( )f x a ，则 a的取值范围是 ( ) A． 2 1[ e  ，1) B． 2 1[ e  ， 1) e 5 C． 2 1[ e ， 1) e D． 2 1[ e ，1) [题目 6]（理科）若 a A 且 1a A  ， 1a A  ，则称 a为集合 A的孤立元素.那么，集合  1,2,3,4,5,6,7,8,9M  的无孤立元素的 4元子集有__________个. [题目 7] 已知函数 ( )f x 对 x R 均有 ( ) 2 ( ) 6f x f x mx    ，若 ( )f x ≤ lnx 恒成立，则实数m的取 值范围是 ． [题目 8] 已知函数 1( ) ln ,f x m x n x    其中 , .m n R （1）若 (1) 0,f  试判断函数 ( )f x 的单调性； （2）若 , 0,a b  求证： 1 1ln 1. 2 2 2 2 b a a b         [题目 9]（理科）已知函数  2( ) 6 exf x x x a   ，e是自然对数的底数. （1）若曲线 ( )y f x 在 (0, (0))f 处的切线与直线 5 0x y  平行，求 ( )f x 的单调区间； （2）当 11a  时，若    1 2( ) ( 1) 2 f x f x f m m       ，且 1 2x x ，证明： 1 2 2 x xm   . 数学应用（数学建模 数学运算 数据分析） [题目 1]接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据， 人在接种某种病毒疫苗后，有80% 不会感染这种病毒，若有 4人接种了这种疫苗，则最多 1 人 被感染的概率为 ( ) A． 512 625 B． 256 625 C． 113 625 D． 1 625 [题目 2] 某产品的宣传费用 x(单位：万元)与销售额 y(单位：万元)的统计数据如表所示： x 4 5 6 7 8 y 60 80 90 100 120 根据上表可得回归方程ŷ＝14x＋ â，则宣传费用为 9万元时，销售额最接近 A．123 万元 B．128 万元 C．133 万元 D．138 万元 [题目 3]香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式 C＝Blog2(1＋ S N )来表示， 6 其中 C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S 是平均信号功率(W)， N 是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为 1000W，平均噪声功率为 10W，在不改变平均信号 功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的 2倍，则平均噪声功率约降为( ) A．0.1W B．1.0W C．3.2W D．5.0W [题目 4] 我们打印用的 A4 纸的长与宽的比约为 2 ，之所以是这个比值， 是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为 2 ，纸张的形状不 变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面 ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与 AB所成的角约为（ ） A． 6  B． 4  C． 3  D． 2 3  [题目 5]（理科）某城镇为改善当地生态环境，2016 年初投入资金 120 万元，以后每年投入资 金比上一年增加 10 万元，从 2020 年初开始每年投入资金比上一年增加 10%，到 2025 年底该城镇生态环境建设共投资大约为( ) A.1600 万元 B.1660 万元 C.1700 万元 D.1810 万元 [题目 6]如图，有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（阴影部分，其中 矩形 ABCD 绕其对称中心按顺时针方向旋转 900后与矩形 EFGH 重合），已知 AB=2，正十字形有 一个外接圆，从外接圆内部随机取一点，此点取自正十字形的概率为 2( 5 1)   ，则 tan∠ACD= （ ） A . 5 − 1 B . 2 3 − 2 C . 5+1 2 D. 3+1 2 [题目 7] 2020 年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究 性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去 6 年 (2014年到 2019 年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两 个家庭的年人均纯收入（单位：百元 /人）茎叶图．对甲、乙两 个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙” )情况的判断，不正确的是 ( ) A．过去的 6年，“甲”的极差小于“乙”的极差 B．过去的 6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值 C．过去的 6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数 7 D．过去的 6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率 [题目 8] 已知圆内接四边形 ABCD的边长 2 2BC AB  ， 7CD DA  ，则 AC  ，四边形 ABCD的面积为 ． [题目 9]在 ABC 中， 30A  ， 2 2 3AB AC BC     ，则 ABC 的最大角的余弦值为________. [题目 10] （理科）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济” 的举措．某市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、 衣帽、玩具、饰品、果蔬等，各类商贩所占比例如图． （1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩中随机抽取 100 家进行政策问 询．如果按照分层抽样的方式抽取，请问果蔬类、小吃类商贩各抽取多少家？ （2）为了更好的了解商贩的收入情况，工作人员对某果蔬商贩最近 50 天的日收入进行了 统计（单位：元），所得频率分布直方图如图所示： （ⅰ）请根据频率分布直方图估计该果蔬商贩的日平均收入（同一组中的数据用该组区间 的中间值代替）； （ⅱ）若从该果蔬商贩这 50 天中日收入不低于 250 元的天数中随机抽取 2天，求这 2 天 的日收入至少有一天不低于 300 元的概率． [题目 11] （文科）人类已经进入大数据时代．目前，数据量级已经从 (1 1024 )TB TB GB 级 别跃升到 (1 1024 )PB PB TB ， (1 1024 )EB EB PB 乃至 (1 1024 )ZB ZB EB 级别．国际数据公司 ( )IDC 研 究结果表明，2008 年全球产生的数据量为 0.49ZB，2009 年数据量为 0.8ZB，2010 年增长到1.2ZB， 2011 年数据量更是高达1.82ZB．如表是国际数据公司 ( )IDC 研究的全球近 6年每年产生的数据 量（单位： )ZB 及相关统计量的值： 8 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 序号 x 1 2 3 4 5 6 年数据量 y 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 x y z 6 2 1 ( )i i x x   6 2 1 ( )i i z z   6 1 ( )( )i i i x x y y    6 1 ( )( )i i i x x z z    3.5 21.15 2.85 17.5 13.82 125.35 6.73 表中 i iz lny ， 6 1 1 6 i i z z    ． （1）根据上表数据信息判断，方程 2 1 (c xy c e e  是自然对数的底数）更适宜作为该公司统 计的年数据量 y关于年份序号 x的回归方程类型，试求此回归方程 ( ,0.01)c ． （2）有人预计 2021 年全世界产生的数据规模将超过 2011 年的 50 倍．根据（1）中的回 归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由． 参考数据： 4.56 95.58e  ， 4.58 97.51e  ，回归方程 ˆˆ ˆy a bx  中，斜率最小二乘法公式为 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ˆ ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                ， ˆâ y bx  ． 数学探索（数学抽象 逻辑推理 直观想象 数学运算 数据分析） [题目 1] 写出一个值域为 1,3 的周期函数,这样的函数可以是 ( )f x  ____________. 9 [题目2] 已知双曲线C与双曲线 2 2 1 9 4 x y   有共同的渐进线,则双曲线C的离心率是_______. [题目 3]写出一个关于 a与 b的等式，使 2 2 1 9 a b  是一个变量，且它的最小值为 16，则该等式 为 ． [题目 4] 已知数列 na 满足    1 1, 1 2 n n n a n a a n      是奇数 是偶数  * ,n N 若 2≤a10≤3，则 a1的取值范围 是（ ） A．1≤a1≤10 B．1≤a1≤17 C．2≤a1≤3 D．2≤a1≤6 [题目 5]如图，已知 1F ， 2F 分别为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b     的左、右焦点，过 1F 的直线 与双曲线C的左支交于 A、 B两点，连接 2AF ， 2BF ，在 2ABF 中， 2AB BF ， 2 31cos 32 ABF  ，则双曲线的离心率为 ( ) A．2 B． 2 C． 3 D． 3 2 2 [题目 6] （理科）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，四边形 1 1AA C C 是边长为 4的正方形， 3AB  ．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题 的条件作为已知，并作答． （1）求证： AB 平面 1 1AA C C ； （2）求直线 BC 与平面 1 1A BC 所成角的正弦值． 条件①： 5BC  ； 条件②： 1AB AA ； 条件③：平面 ABC  平面 1 1AA C C ． [题目 7]（文科） 如图， 1 1 1 1ABCD A BC D 是棱长为 1的正方体． （1）求证：平面 1A BD 平面 1 1A ACC ； （2）点 P是棱 1AA 上一动点，过点 P作平面 平行底面 ABCD，AP 为多长时，正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 在平面 下方的部分被平面 1A BD 10 截得的两部分的体积比是1: 3． [题目 8] 已知 1F， 2F 分别为椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b     的左、右焦点，M 为C上的动点，其 中M 到 1F的最短距离为 1，且当 1 2MFF△ 的面积最大时， 1 2MFF△ 恰好为等边三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）斜率为 k的动直线 l过点 2F ，且与椭圆C交于A ，B两点，线段 AB的垂直平分线交 x轴 于点 P，那么， 2 | | PF AB 是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由. [题目 9]已知双曲线 C：   2 2 2 2 1 0, 0y x a b a b     的离心率为 2, 且经过 A(0，2). （1）求双曲线 C的方程； （2）若过点 B(2，0)的直线交双曲线 C 于 x轴下方不同的两点 P、Q，设 P、Q 中点为 M， 求三角形 BOM 面积的取值范围. [题目 10]已知圆 2 2 17x y  与抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  在 x 轴下方的交点为 A，与抛物线 C 的准 线在 x轴上方的交点 B，且点 ,A B关于直线 y x 对称. （1）求抛物线 C的方程； （2）若 ,M N是抛物线 C上与点 A不重合的两个动点，且 AM AN ，求点 A到直线MN 的距 离最大时，直线MN 的方程. 数学文化（数学抽象 逻辑推理 数学建模) [题目 1] 黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分 与整体线段的长的比值为 5 1 2  的点.利用线段上的两个黄金分割 点可以作出正五角星，如图所示，已知 C，D为 AB 的两个黄金分割 点，研究发现如下规律： 5 1 2 AC BD CD AB AB BC     .若 CDE 是顶角 为36 的等腰三角形，则 cos 216  ( ) A. 5 1 4   B. 5 1 4   C. 5 1 2   D. 5 1 2   [题目 2] 我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠 11 日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚 8 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞 长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠 相逢需要的最少天数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 [题目 3] 欧拉恒等式： 1 0ie    被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几 个重要的数：自然对数的底数 e、圆周率 、虚数单位 i、自然数 1 和 0 完美地结合在一起， 它是在欧拉公式： cos sin ( )ie i R      中，令  得到的．根据欧拉公式， 2ie 在复平面内对 应的点在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [题目 4] 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶 依次为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序， 则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为( ) A. 1 2 B. 7 10 C. 9 20 D. 11 20 [题目 5] 《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌 的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王 的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能 用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得 1分，否则得 0分．若每 场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得 2分的概率 ( ) A． 1 3 B． 2 3 C． 1 6 D． 1 2 [题目 6] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数学学 科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意 义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图： 12 记图乙中第 n个白圈的个数为 an，黑圈的个数为 bn，则下列结论中不正确的是（ ） A．a4＝14 B．40 是数列{bn}中的项 C．对任意的 n∈N*，均有 an＋1＝an＋bn＋n D． 9 10 ∈N 13 参考答案 理性思维（数学抽象 逻辑推理） [题目 1] A. 由题意，①若甲说的是真话，则甲不会证明，乙会证明，丙不会证明，丁不会证明，此时与 丁说的话矛盾；②若乙说的是真话，则丙会证明，甲和丁均会证明，此时与题意矛盾；③若丙 说的是真话，则丁会证明，甲和丁均会证明，此时与题意矛盾；④若丁说的是真话，则丁不会 证明，甲会证明，丙不会证明，满足题意；故答案选 A. 注：或从甲和丁有一人说了真话考虑也可以推断出甲会证明. [题目 2] A. 类比可得:在空间直角坐标系中，点 0 0 0, ,x y z 到平面 0Ax By Cz D    的距离为 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d A B C       ， 有 2 2 2 1 2 2 3 2 4 4 12 4. 31 2 2 d            [题目 3] C. ①当 0a  时， ( ) | |f x x ，则 A符合，C不符合； ②当 0a  时， 2 2 2( ) | |f x x a y   ， 若x2＞a，即 x＞ 或 x＜－ 时，则 2 2y x a  ，即 2 2x y a  ，则其图象为双曲线在 x轴上 方的部分， 若 2x a ，即 a x a    时，则 2 2y x a   ，即 2 2x y a  ，则其图象为圆在 x轴上方的部分， 故 B符合； ③当 0a  时， 2 2 2( )f x x a y   ，即 2 2y x a   ，其图象表示为双曲线的上支，故D符合． [题目 4]A. 模拟程序框图的运行过程，如下: i＝1，S＝0+{log21}＝0， i＝2，S＝0+{log22}＝1， 14 i＝3，S＝1+{log23}＝3， i＝4，S＝3+{log24}＝5， i＝5，S＝5+{log25}＝8， i＝6，S＝8+{log26}＝11， i＝7，S＝11+{log27}＝14， i＝8，终止循环，输出 S＝14．故选 A． [题目 5] C. 函数 ( ) ( 1)xf x xe a x   ，其中 1a  ，设 ( ) xg x xe ， y ax ， 存在唯一的整数 0x ，使得 0( )f x a ， 存在唯一的整数 0x ，使得 0( )g x 在直线 y ax 的下方， ( ) ( 1) xg x x e   ， 当 1x   时， ( ) 0g x  ，当 1x   时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 ( , 1)  上单调递减，在 ( 1, )  上单调递增， 当 1x   时， 1[ ( )] ( 1)ming x g e     ． 当 0x  时， (0) 0g  ，当 2x   时， 2 2( 2)g e    ， 直线 y ax 恒过 (0,0) ，斜率为 a， 故 1( 1)a g e      ，且 g（－2）≤-2a， 解得 1 2 ≤a＜ 1 ， a 的取值范围是 2 1[ e ， 1) e ．故选C． [题目 6] 21. （ⅰ）4个元素均相邻，由枚举法可得，有 6个符合题意的集合. （ⅱ）4个元素中 2个元素相邻，另 2个元素也相邻，但 4个元素不相邻，由枚举法可得， 有 15 个符合题意的集合. 综上，集合M 共有无孤立元素的 4 元子集 21 个. [题目 7] (， ]e . 15 函数 ( )f x 对 x R 均有 ( ) 2 ( ) 6f x f x mx    ①， 将 x 换为 x，得 ( ) 2 ( ) 6f x f x mx     ②， 由①②，解得 ( ) 2f x mx   ．  ( )f x ≤ lnx 恒成立，m ≤− 2+lnx x 恒成立， 只需m ≤ ( − 2+lnx x )min ， 令 2( ) lnxg x x    ，则 2 1( ) lnxg x x   ， 令 ( ) 0g x  ，则 1x e  ， ( )g x 在 1(0, ) e 上单调递减，在 1( e ， ) 上单调递增，  1( ) ( )ming x g e e    ，m≤－e， m 的取值范围为 (， ]e ． [题目 8] （1）因为 (1) 0,f  所以 1.n  则  1( ) ln 1 0 .f x m x x x     求导，得 / 2 2 1 1( ) .m mxf x x x x     当 0m  时， / 2 1( ) 0,mxf x x    函数 ( )f x 在 (0, ) 上是递减函数； 当 0m  时，若 / ( ) 0,f x  函数 ( )f x 在 1(0, ) m 上是递减函数；若 / ( ) 0,f x  函数 ( )f x 在 1( , ) m  上是递增函数. (2) 特别取 1,m  得 1( ) ln 1,f x x x    由（1）知 ( ) (1) 0,f x f  即 1ln 1 .x x   则有 1 1ln 1 ,12 2 2 2 b ba a         于是，要证 1 1ln 1, 2 2 2 2 b a a b         16 只要证 1 11 1,1 2 2 2 2 a b b a      等价于 1 1 1. 2 2 2 2 a b b a           事实上，应用基本不等式，得 1 1 1 1 1 1 1 12 1. 2 2 2 2 2 4 2 4 a b ab ab b a ab ab                        获证. [题目 9]（1）  2( ) 6 exf x x x a   ，  2( ) 4 6 exf x x x a     ， 则 (0) 6 5, 1f a a      ，  2( ) 4 5 e ( 1)( 5)ex xf x x x x x       . 令 ( ) 0f x  ，得 1x   或 5x  ； 令 ( ) 0f x  ，得 1 5x   ， ( )f x 的单调递增区间为 ( , 1), (5, )    ，单调递减区间为 ( 1,5) . （2）    2 2( ) 6 11 e , ( ) 4 5 ex xf x x x f x x x       . 令  2( ) 4 5 exg x x x   ，则 2( ) ( 1) e 0xg x x  且不恒为 0， ( )g x 在 R上为增函数，即 ( )f x 在 R 上为增函数.    1 2( ) ( 1) 2 f x f x f m m      ，    1 2( ) ( )f x f m f m f x       ，  1 ( )f x f m   与  2( )f m f x  同号. 不妨设 1 2x m x  ，设 ( ) (2 ) ( ) 2 ( )(1 )h x f m x f x f m m x       ， 则 2 2 2( ) e (2 1) e ( 1)m x xh x m x x      . 2 2 2e e ,(2 1) ( 1) (2 2)(2 2 ) 0m x x m x x m m x          ， ( ) 0, ( )h x h x   在 ( , )m  上为增函数， ( ) ( ) 0h x h m   ， 17      2 2 22 2 ( ) 0h x f m x f x f m        ，      2 2 12 2 ( )f m x f m f x f x        . 又 ( )f x 在 R上为增函数， 2 12m x x   ，即 1 2 2 x xm   . 数学应用（数学建模 数学运算 数据分析） [题目 1] A. 由题意可得随机变量服从二项分布 ~ (4,0.2)B N ，则最多 1 人被感染的概率为 1 3 0 4 4(1 0.8) (0.8) 0.8C C   4 512 625  ，故选 A． [题目 2] C. 由题意， x＝4＋5＋6＋7＋8 5 ＝6， y＝60＋80＋90＋100＋120 5 ＝90，则由回归直线过中 心点( x， y )，可得 â＝ y－14 x＝90－14×6＝6，即回归方程为ŷ＝14x＋6，所以当 x＝9时， ŷ＝14×9＋6＝132(万元)，与 133 万元最接近，故选 C. [题目 3]A. 由题意可得 S＝1000W，N＝10W，则在信道容量未增大时，信道容量为 C1＝Blog2(1＋ S N )＝ Blog2101，信道容量增大到原来的 2 倍时，C2＝Blog2(1＋ 1000 N′ )＝2C1，则 log2101 2＝log2(1＋ 1000 N′ )，即 1＋ 1000 N′ ＝1012，解得 N′≈0.1 W，故答案选 A. [题目 4] C. ∵AB//CD，∴∠EDC（或补角）为异面直线 DE 与 AB 所成的角， 设 CD 的中点为 O，过 E作 EF⊥底面⊙O，连接 OE，OF， ∵E是AB的中点，∴F是CD的中点，∴CD⊥OF， 又 EF⊥平面⊙O，∴EF⊥CD，EF OF F ∴CD⊥平面 OEF，∴OD⊥OE． 设 AD＝1，则 CD 2 ，故 OF 2 2  ，EF＝1， 18 于是 OE 2 22 61 ( ) 2 2    ， ∴tan∠EDO 6 2 3 2 2 OE OD    ，∴∠EDO 3   ．故选 C． [题目 5] D. [题目 6] C. [题目 7] B. 对于 A，甲的极差为 42 36 6  ，乙的极差为 41 34 7  ， 所以“甲”的极差小于“乙”的极差， A正确； 对于 B，甲的平均数是 1 230(36 37 37 38 40 42) 6 6        ， 乙的平均数为 1 228(34 36 38 39 40 41) 6 6        ， 所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值， B错误； 对于C，甲的中位数是 1 (37 38) 37.5 2    ， 乙的中位数是 1 (38 39) 38.5 2    ， 所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C正确； 对于D，过去 6年甲的平均增长率为： 6 42 1 36  ； 乙的平均增长率为： 6 41 1 34  ，且 42 41 36 34  ， 所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，D正确．故选 B． [题目 8] 7 ， 9 3 4 ． 由于 180B D  ，则 cos cosB D  ， 由题设及余弦定理得， 在 ABC 中， 2 2 2 2 cos 5 4cosAC AB BC AB BC B B       ，① 在 ACD 中， 2 2 2 2 cos 14 14cosAC AD DC AD DC D B       ，② 由①②得 1cos 2 B   ，故 120B  ， 60D  ， 则 7AC  ． 19 由于 180B D  ， 3sin sin 2 B D   ， 由以上的结果及题设，可知四边形 ABCD的面积 1 1 1 3 9 3sin sin (1 2 7 7) 2 2 2 2 4ABC ACDS S S AB BC B AD CD D               ． [题目 9] 1 2  ． 设角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c . 因为 2 2 3AB AC BC     ，所以 2 2 2 23c b a a   ，即 2 2 24b c a  . 因为 2 2 2 3a b c bc   ，所以 3b c ，a c . 所以 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac      . [题目 10] （1）由扇形统计图可知，果蔬类商贩所占比例为 15% ，故果蔬类商贩抽取 15% 100 15  家， 小吃类商贩所占比例为1 25% 15% 10% 5% 5% 40%      ，故小吃类商贩抽取 40% 100 40  家； （2） ( )i 估计该果蔬商贩的日平均收入为： (0.002 75 0.0056 125 0.0064 175 0.004 225 0.0012 275 0.0008 325) 50 173             元； ( )ii 日收入不低于 250 元的天数为 (0.0012 0.0008) 50 50 5    天， 日收入不低于 300 元的天数为 0.0008 50 50 2   天， 所以，这 2天的日收入至少有一天不低于 300 元的概率为 1 1 2 2 3 2 2 5 7 10 C C C C   ． [题目 11] （1）因为 2 1 c xy c e  ，可得 2 1lny c x lnc  ，即 2 1z c x lnc  ， 所以 6 1 2 6 2 1 ( )( ) 6.73 0.38 17.5( ) i i i i i x x z x c x x           ， 又因为 2 1z c x lnc  ，所以 10.38 3.8 2.85lnc   ，所以 1 1.52lnc  ， 所以 0.38 1.52lny x  ，即 0.38 1.52xy e  为所求的回归方程； （2）根据（1）的回归方程为 0.38 1.52xy e  ， 20 当 8x  时， 0.38 8 1.52 95.58y e    ，又 95.58 52.52 1.82  ， 据此可以判断 2021 年全世界产生的数据规模将超过 2011 年的 50 倍， 因此，这种判断是准确的． 数学探索（数学抽象 逻辑推理 直观想象 数学运算 数据分析） [题目 1]  2 sin x x R  (答案不唯一) [题目 2] 13 3 或 13 . 2 [题目 3] 2 2 1a b  . 该等式为 2 2 1a b  ，下面证明该等式符合条件． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 9 1 9 9 9( )( ) 1 9 10 2 16a b a ba b a b a b b a b a            ， 当且仅当 2 23b a 时取等号， 所以 2 2 1 9 a b  是一个变量，且它的最小值为 16． [题目 4] B. [题目 5]D. 设 2| |AF m ，由双曲线的定义可得 1| | 2AF m a  ， 由 2| | | |AB BF ，可得 2 12 | | | | 2m a BF BF a    ，即有 4m a ， 因为 2ABF 为等腰三角形， 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 31cos cos( 2 ) cos 2 1 2cos 32 ABF F AF F AF F AF           ， 解得 1 2 1cos 8 F AF  ， 在△ 1 2F AF 中， 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | | | | | (2 ) (4 ) (2 ) 1cos 2 | | | | 2 2 4 8 AF AF FF a a cF AF AF AF a a            ， 化为 3 2 2 c a ，即有 3 2 2 ce a   ．故选D． [题目 6] 选择①②： （1）因为 4AC  ， 3AB  ， 5BC  ， 所以 AB AC ． 21 又因为 1AB AA ， 1AC AA A ， 所以 AB 平面 1 1 .AAC C （2）由（Ⅰ）知 AB AC ， 1AB AA ． 因为四边形 1 1AAC C 是正方形，所以 1AC AA ． 如图，以 A为原点建立空间直角坐标系 A x yz ， 则 (0,0,0)A ， (3,0,0)B ， (0,0,4)C ， 1(0, 4,0)A ， 1(0, 4, 4)C ， 1 (3, 4,0)A B    ， 1 1 (0,0,4)AC   ， ( 3,0,4)BC    ． 设平面 1 1A BC 的一个法向量为 ( , , )x y zn ， 则 1 1 1 0, 0, A B AC         n n 即 3 4 0, 4 0. x y z     令 3y  ，则 4x  ， 0z  ，所以 (4,3,0)n ． 设直线 BC与平面 1 1A BC 所成角为 ， 则 | | 12sin | cos , | 25| || | BCBC BC       nn n   ． 所以直线 BC与平面 1 1A BC 所成角的正弦值为 12 25 ． 选择①③： （1）因为 4AC  ， 3AB  ， 5BC  , 所以 AB AC ． 又因为平面 ABC 平面 1 1AAC C，平面 ABC 平面 1 1AAC C AC ， 所以 AB 平面 1 1AAC C． （2）同上． [题目 7] （1） 1AA 平面 ABCD，则 1AA BD ， 又底面 ABCD是正方形，对角线 AC BD ， 又 1AA AC A ， BD 平面 1 1A ACC ， 而 BD 平面 1A BD，平面 1A BD 平面 1 1A ACC ； 22 （2）设平面 与 1A B， 1AD， 1B B， 1D D， 1C C分别交于 E， F ，M ， N，Q， 设 1A P x ，则 1AP x  ， PE PF x  ， 由题意，正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 在平面 下方的部分被平面 1A BD截得的两部分的体积比是1: 3， : 1: 4PEF ABD PMQN ABCDV V   ，得 31 1 16 6 1 4 x x    ， 解得 1 1 3 2 x    或 2 1 3 2 x    （舍 )． 1 3 3 31 1 2 2 AP x          ． [题目 8] （1）由题意，当点M 在椭圆的左顶点时，M 到 1F的距离最短，则 1a c  ， 当点M 在椭圆的上顶点（或下顶点）时， 1 2MFF△ 的面积最大，此时 1 2MFF△ 为等边三角形， 则 2a c ， 联立 2 2 2 1 2 a c a c a b c         ，解得 2, 1, 3a c b   ， 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 3 x y   . （2） 2 | | PF AB 为定值. 证明：由题意可知，动直线 l的斜率存在，设其方程为 ( 1)y k x  ， 联立 2 2 1 4 3 ( 1) x y y k x        ，得    2 2 2 23 4 8 4 3 0k x k x k     . 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 2 1 2 2 8 3 4 kx x k    ，  2 1 2 2 4 3 3 4 k x x k    ， 设 AB的中点为  0 0,Q x y ，则 2 1 2 0 2 4 2 3 4 x x kx k     ，  0 0 2 31 3 4 ky k x k      . 当 0k  时，线段 AB的垂直平分线的方程为 2 2 2 3 1 4 3 4 3 4 k ky x k k k          ， 23 令 0y  ，得 2 23 4 kx k   ，即 2 2 ,0 3 4 kP k      ， 所以  22 2 2 2 3 1 1 3 4 3 4 kkPF k k       .    22 1 2 1 21 4AB k x x x x       2 22 2 2 2 16 381 3 4 3 4 kkk k k          2 2 12 1 3 4 k k    . 所以     2 22 2 2 3 1 13 4 | | 412 1 3 4 k PF k AB k k      . 当 0k  时， l的方程为 0y  ， 此时， 2 4AB a  ， 2 1PF c  ， 2 1 | | 4 PF AB  . 综上， 2 | | PF AB 为定值. [题目 9]（1）由题题意，得 2,c a  2 4 1, a  2 2 2 ,c a b  解得 2.a b  所以，双曲线 C的方程为 2 2 4.y x  （2）设直线 PQ 的方程为 2 ( 0)x my m   与双曲线 C方程联立： 2 2 2 4 x my y x      ，消元得 2 2(1 ) 4 8 0m y my    设 P、Q两点的纵坐标为 1 2,y y ，则： 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 16 32(1 ) 0 4 0 1 8 0 1 m m m my y m y y m                     ，解得1 2.m  24 设点 M的纵坐标为 0y ，由题点 M为 PQ 的中点，即 1 2 0 2 2 2 1 y y my m     所以 0 2 2 1 1 2 22 2 2 1 1OBM m mS OB y m m         ，1 2m  设 2 2( ) ,1 2 1 xf x x x     求导 2 2 2 2 2'( ) 0 ( 1) xf x x      ，所以函数 ( )f x 在 (1, 2)上单调递减，即 ( ) ( 2) 2 2f x f  故三角形 BOM 面积的取值范围为  2 2, . [题目 10]（1）将 2 px   代入 2 2 17x y  ，得 2 17 4 py    ，所以 2 , 17 2 4 p pB       ， 由点 ,A B关于直线 y x 对称，可得 2 17 , 4 2 p pA          ， 将 A的坐标代入抛物线 C的方程得 2 2 2 17 4 4 p pp  ，得 8p  . 所以抛物线 C的方程为 2 16y x . （2）由(1), 得 (1, 4)A  . 设 2 2 1 2 1 2, , , 16 16 y yM y N y             ，直线MN 的方程为 x my n  ， 将直线MN 的方程代入 2 16y x 得 2 16 16 0y my n   ， 所以 1 2 1 216 , 16 .y y m y y n    因为 AM AN ，所以        2 22 2 1 21 2 1 2 1 2 16 16 1, 4 1, 4 4 4 0 16 16 256 y yy yAM AN y y y y                           由题意可知 1 24, 4,y y    所以   1 24 4 0y y   . 所以   1 24 4 1 0 256 y y    ，即  1 2 1 24 272 0y y y y    ， 所以 16 64 272 0n m    ，即 4 17n m   . 所以直线MN 的方程为 ( 4) 17x m y   ， 25 所以直线MN 过定点 (17,4)P ，当MN AP 时，点 A 到直线MN 的距离最大，此时直线MN 的方 程为 2 38 0x y   . 数学文化（数学抽象 逻辑推理 数学建模） [题目 1] A. 由题意得在正五角星中，C，D 为 AB 的两个黄金分割点，易知 BC CE .因为 5 1 2 CD BC   ， 所以 5 1 2 CD CE   ，故不妨设 2, 5 1CE CD   则在 CDE 中， 2 2 22 2 ( 5 1) 5 1cos36 2 2 2 4          ， 从而   5 1cos 216 cos 180 36 cos36 4            . [题目 2] B. 依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项 1 1a  ，公比为2的等比数列；大小老鼠每天 打洞的长度是首项 1 1 2 b  ，公比为 1 2 的等比数列.设 nS 是前 n天两只老鼠打洞长度的和. 第1天， 1 1 1 1 1 31, , 1 2 2 2 a b S     ； 第2天， 2 2 2 1 3 1 152, , 2 4 2 4 4 a b S      ； 第3天， 3 3 3 1 15 1 634, , 4 8 4 8 8 a b S      ； 第4天， 4 4 18, 16 a b  ， 4S 显然大于8 . 所以, 两鼠相逢需要的最少天数为4天. 故选 B [题目 3]B. 欧拉公式： cos sin ( )ie i R      中．根据欧拉公式， 2 cos 2 sin 2ie i  ，因为 cos 2 0 ，sin 2 0 ， 所以 2ie 在复平面内对应的点在第二象限，选 B． [题目 4] B. [题目 5] C. 每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得 1分，否 则得 0分． 设田忌的上等马、中等马、下等马分别为 A， B，C， 齐王的上等马、中等马、下等马分别为 a，b， c， 所有的基本事件有 6种，分别为： 26 (Aa， Bb， )Cc ， (Aa， Bc， )Cb ， (Ab， Ba， )Cb ， (Ab， Bc， )Cb ， (Ac， Bb， )ca ， (Ac， Ba， )Cb ， 比赛结束时，田忌得 2分的基本事件为： (Ab， Bc， )Ca ，只有 1种， 比赛结束时，田忌得 2分的概率 1 6 P  ．选C． [题目 6] C.